H0: ¢ = ¢0 HA: ¢ £ ¢ HA: ¢1 £ ¢2 ©

Testowanie hipotez – algorytm post powania:
1. załoenia
próba losowa, elementy próby niezalene
2. hipotezy
• hipoteza zerowa – zakłada brak rónic, np.
H0: p = p0
H0: = 0
H0: 1 = 2
•
hipoteza alternatywna np.
HA: p p0
HA: 0
lub
HA1: p < p0
HA1: > 0
HA2: p > p0
HA2: < 0
HA: 1 2
HA1: 1 > 2
HA2: 1 < 2
3. statystyka testu – funkcja elementów próby pozwalajca ustali czy hipotez zerow
moemy odrzuci czy nie.
4. reguła decyzyjna – przy jakich wartociach statystyki testu odrzucimy H0, a przy
jakich nie.
• p-warto – prawdopodobie
stwo popełnienia błdu I rodzaju przy odrzuceniu H0.
• poziom istotnoci – () na jaki błd I rodzaju moemy si zgodzi przy
podejmowaniu naszej decyzji.
• obszar krytyczny (obszar odrzucenia)– zakres wyników dowiadczenia dla
których odrzucimy H0.
5. badania i wyliczenie statystyki testu.
6. decyzja zgodnie z reguł decyzyjn.
Moliwe bł dy przy podejmowaniu decyzji
Jeli: H0: p = p0
Podjta
decyzja
HA1
H0
HA2
HA1
decyzja słuszna
Błd II rodzaju
Błd III rodzaju
HA1: p < p0
HA2: p > p0
Stan faktyczny
H0
Bł d I rodzaju
decyzja słuszna
Błd I rodzaju
HA2
Błd III rodzaju
Błd II rodzaju
decyzja słuszna
Przykład
Chcemy sprawdzi stosunek płci w populacji pewnego gatunku. Czy wicej jest samców czy
samic?
1. Pobieramy prób losow n=10 osobników. Rozkład liczby osobników jednej z płci
wród 10 elementowej próby bdzie rozkładem Bernoulliego.
2. Zakładamy, e proporcja płci w populacji jest 1:1, wic prawdopodobie
stwo
wylosowania osobnika jednej z płci jest 0,5 – stan opisywany przez H0. Pozostałe
stany s opisane przez hipotezy alternatywne.
H0: p=0,5
HA1: p>0,5
HA2: p<0,5
Jaki byłby rozkład prawdopodobie
stwa przy załoeniu słusznoci H0? Moemy go
wyliczy ze wzoru na prawdopodobie
stwo w rozkładzie Bernoulliego dla n = 10,
p = 0,5 i k = 0 do 10.
Liczba
prawdopodobie stwo
sukcesów
0
0.001
1
0.010
2
0.044
3
0.117
4
0.205
5
0.246
6
0.205
7
0.117
8
0.044
9
0.010
10
0.001
Czy odrzucimy H0 jeli w naszej próbie znajd si 4 osobniki jednej płci i 6 drugiej?
Nie, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,754, wicej od = 0,05 czyli duo.
Czy odrzucimy H0 jak w naszej próbie znajdzie si 1 osobnik jednej płci i 9 drugiej?
Tak, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,022 mniej ni = 0,05 czyli mało.
Czy odrzucimy H0 jak w naszej próbie znajdzie si 2 osobniki jednej płci i 8 drugiej?
Nie, bo prawdopodobie
stwo uzyskania wyniku takiego lub bardziej skrajnego wynosi:
p = 0,109 wicej ni = 0,05 czyli za duo.
Reguła decyzyjna:
Odrzucimy H0 dla 0, 1, 9 i 10 sukcesów
Nie odrzucimy H0 dla 2, 3, 4, 5, 6, 7 i 8 sukcesów
Test dla frakcji
Hipotezy:
H0: p=p0
HA1: p>p0
HA2: p<p0
Oszacowanie frakcji na podstawie próby: pˆ = k / n .
Statystyka testu:
u0 =
p̂ − p0
p0 q0
n
Warto krytyczna: u : P { U ≥ u } = α .
α
α
Jeli u ≥ u , to na poziomie istotnoci przyjmujemy hipotez HA1: p>p0;
0
α
Jeli u0 ≤ −uα , to na poziomie istotnoci przyjmujemy hipotez HA2: p<p0;
Jeli u ∈ ( −u , u ) , to na poziomie istotnoci nie moemy rozstrzygn midzy HA1 a HA2.
0
α
α
Test równo ci dwu frakcji
Hipotezy:
H0 : p1 = p2
Statystyka testu:
u0 =
HA1 : p1 > p2
HA2 : p1 < p2
pˆ1 − pˆ 2
1 1
pq  + 
 n1 n2 
gdzie p jest redni waon frakcji sukcesów w obu próbach: p =
pˆ1n1 + pˆ 2 n2
n1 + n2
Warto krytyczna: u : P { U ≥ u } = α .
α
α
Jeli u0 ≥ uα , to na poziomie istotnoci przyjmujemy hipotez HA1: p1>p2.
Jeli u0 ≤ −uα , to na poziomie istotnoci przyjmujemy hipotez HA2: p1<p2.
Jeli u0 ∈ ( −uα , uα ) , to na poziomie istotnoci nie moemy rozstrzygn midzy HA1 a HA2.