Matematyka Dyskretna 9/2008 1. Pokazać, że graf, którego macierz

Cz. Bagiński – Materiały dydaktyczne
Matematyka Dyskretna 9/2008
1. Pokazać, że graf, którego macierz sąsiedztwa ma postać
0 1 1 0 0 1 1 1
10101100
1 1 0 1 1 0 0 1
0 0 1 0 1 0 1 1
0 1 1 1 0 1 1 0
11001010
10011101
10110010
jest grafem planarnym
2. (a) Które grafy pełne i grafy pełne dwudzielne są planarne?
(b) Dla jakich n kostka Qn jest grafem planarnym?
3. Niech G będzie wielościanem (lub grafem wielościanu), którego każda ściana jest pięciokątem lub
sześciokątem. Udowodnić, że:
(a) G ma co najmniej 12 ścian pięciokątnych.
(b) Jeśli w każdym wierzchołku grafu schodzą się dokładnie trzy ściany, to ma on dokładnie 12
ścian pięciokątnych.
4. (a) Udowodnić, że jeśli G = (V, E) jest grafem planarnym, w którym nie ma ścian 3- i 4-kątnych,
to |E| 6 5(|V3|−2) .
(b) Na podstawie a) udowodnić, że graf Petersena nie jest planarny.
5. Niech G = (V, E) będzie grafem planarnym, |V | > 3. Niech ponadto dla dowolnej liczby całkowitej
∞
P
n, νn będzie liczbą wierzchołków stopnia n. Udowodnić, że
(6 − n)νn > 12. Wywnioskować na tej
n=0
podstawie, że G ma co najmniej trzy wierzchołki stopnia 6 5.
6. Niech G będzie grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień 3.
a) Pokazać, że jeśli G ma płaską reprezentację, w której każdy region jest ograniczony czterema
lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie sześć regionów ograniczonych czterema krawędziami.
b) Pokazać, że jeśli G ma planarną reprezentację, w której każdy region jest ograniczony pięcioma lub sześcioma krawędziami, to istnieje dokładnie dwanaście regionów ograniczonych pięcioma
krawędziami.
W każdym z przypadków podać dwa przykłady takich grafów, które mają różną liczbę wierzchołków.
7. Niech G będzie planarnym grafem dwudzielnym, w którym każdy wierzchołek ma stopień d.
Pokazać, że d < 4. Czy istnieje taki graf dla d = 3?
8. Podaj przykład grafu nieplanarnego, który może być narysowany bez przecięć na wstędze Möbiusa.
9. Niech G będzie grafem planarnym, dla którego w pewnej jego płaskiej reprezentacji każdy region
jest ograniczony cyklem o parzystej liczbie krawędzi. Pokazać, że G jest dwudzielny.
10. Rozważmy wielobok o n bokach wraz ze wszystkimi przekątnymi. Załóżmy, że przez każdy punkt
przecięcia przechodzą co najwyżej dwie z tych przekątnych. Traktując każdy punkt przecięcia jako
wierzchołek grafu, otrzymujemy rysunek grafu planarnego. Wyznaczyć liczbę wierzchołków, krawędzi
i ścian tego grafu.
11. Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem planarnym, w którym każdy wierzchołek ma dodatni
stopień d i dla którego, w pewnej płaskiej reprezentacji każda ściana jest ograniczona c krawędziami.
Pokazać, że
1 1
1
+ > .
c d
2
Przygotował: Cz. Bagiński