(statystyka matematyczna) - rachunek prawdopodobieństwa

Wnioskowanie statystyczne - Elementy rachunku prawdopodobieństwa
1. Egzaminator z katedry Statystyki wie z doświadczenia, że jeśli student wykonuje regularnie
zadania domowe, to jego prawdopodobieństwo zdania egzaminu ze statystyki wynosi 0,95,
podczas gdy prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez studenta, który nie wykonuje
regularnie zadań domowych, jest równe 0,3.
a.) jakie jest prawdopodobieństwo że losowo wybrany student zda egzamin ze statystyki, jeśli
25% studentów dużej grupy wykonuje regularnie zadania domowe?
b.) wylosowany z powyższej grupy student zdał pozytywnie egzamin, jakie jest
prawdopodobieństwo tego, że wykonywał regularnie zadania domowe?
2.Hurtownik posiada w swoim magazynie wyroby dwóch gatunków (I,II), pochodzące od
dwóch dostawców (A,B). Proporcje gatunkowe kształtują się następująco: dostawca A
(A(I) = 30% i A(II) = 70%); dostawca B (B(I)= 40% i B(II)=60% ). Wiedząc że
prawdopodobieństwo wylosowania wyrobu gat. I wynosi 0,325, obliczyć jaki procent dostaw
pochodzi od dostawcy A, a jaki od dostawcy B?
3.Prawdopodobieństwo zachorowania na chorobę zakaźną w n-tym dniu od chwili zetknięcia
się z chorym ma następujący rozkład:
Dzień zachorowania od
chwili zetknięcia się z
chorym
(X=xi)
0
1
2
3
4
5
pi
0.10
0.25
0.30
0.20
0.10
0.05
Obliczyć
1. Dystrybuantę (tabelarycznie i graficznie)
2. Parametry rozkładu:
a) wartość oczekiwaną
b) wariancję, odchylenie standardowe
4. Rozkład prawdopodobieństwa liczby „zawieszeń” nowego programu komputerowego w
ciągu dnia pracy w pewnej firmie, ustalony w trakcie 90 dni wdrażania programu jest
następujący:
0
1
2
3
4
liczba „zawieszeń”
(xi)
prawdopodobieństwo
0,6
0,2
0,09
0,07
0,04
„zawieszenia” (pi)
a. określić zmienną losową X oraz narysować wykres rozkładu prawdopodobieństwa,
b. wyznaczyć (graficznie i algebraicznie) dystrybuantę zmiennej losowej X
c. obliczyć na podstawie rozkładu prawdopodobieństwa oraz dystrybuanty następujące
prawdopodobieństwa:
P(X<2); P(X≥3); P(2≤X<3)
d. obliczyć i zinterpretować parametry rozkładu (wartość oczekiwaną oraz wariancję i
odchylenie standardowe)
1
5. Dystrybuanta zmiennej losowej X jest określona następująco:
(-oo , -2]
(-2,3]
(3,5]
x0 ∈
F(x0) =
0
0.4
0.5
a) wyznaczyć funkcję prawdopodobieństwa tej zmiennej
b) obliczyć parametry rozkładu
- wartość oczekiwaną
- wariancję i odchylenie standardowe
(5,+oo)
1
6. Doświadczenie polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry. Jakie jest
prawdopodobieństwo uzyskania liczby oczek podzielnej przez 3, a jakie liczby niepodzielnej
przez 3.
Jaki to jest typ rozkładu i ile wynosi jego wartość oczekiwana.
7. W rajdzie biorą udział 2 samochody pochodzące z koncernu Hondy.
Prawdopodobieństwo ukończenia rajdu jest identyczne dla tych samochodów i wynosi 0.8.
Niech zmienna X oznacza, ilość samochodów tego koncernu, które dojechały do mety.
Wyznaczyć rozkład zmiennej X oraz jej dystrybuantę (graficznie i analitycznie). Obliczyć
E(X) i D(X).
8. Z partii towaru o wadliwości p = 0.1 wylosowano 2 sztuki (losowanie ze zwracaniem).
Niech X oznacza liczę sztuk dobrych w próbie. Określić rozkład zmiennej X oraz jej
dystrybuantę (graficznie i analitycznie). Obliczyć E(X) i D(X).
9. Na pewnej trasie kursują 3 autobusy. Awarie autobusów są niezależne i
prawdopodobieństwo wystąpienia awarii każdego z nich w ciągu dnia wynosi 0,2.
Wyznaczyć:
- prawdopodobieństwo, że w ciągu dnia nie będzie żadnej awarii,
- rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuantę liczby awarii
- parametry tego rozkładu
10. W pewnej firmie wykonuje się rocznie ok. miliona operacji księgowania. Wiadomo,
że frakcja księgowań błędnych wynosi 0,1%. Podczas kontroli losuje się w celu
dokładnego sprawdzenia (losowanie ze zwracaniem) 2500 pozycji księgowania.
Wyznaczyć prawdopodobieństwo, że podczas kontroli zostaną znalezione nie więcej
niż dwie błędnie zaksięgowane pozycje
11. Frakcja wadliwych jednostek produktu wynosi p = 10%. Do badania wybrano losowo
(losowanie niezależne) n = 3 sztuki.
Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych:
Z < 0, Z = 0, Z ≤ 0, Z = 1, Z ≤ 1, Z ≤ 3, Z >3.
Symbol Z oznacza zmienną losową opisującą liczbę wadliwych sztuk
w badanym zbiorze.
12. W magazynie znajduje się partia towaru o liczności N = 20.
Wiadomo, że w partii tej 4 sztuki są wadliwe, nie wiadomo jednak które.
Sprzedano 5 sztuk. Obliczyć prawdopodobieństwa następujących zdarzeń losowych:
a.) wszystkie sprzedane sztuki są wolne od wad (Z = 0),
b.) wśród sprzedanych sztuk jedna jest wadliwa (Z = 1),
c.) wśród sprzedanych sztuk co najwyżej jedna jest wadliwa (Z ≤1),
d.) wszystkie sprzedane sztuki są wadliwe (Z = 5).
2
13. Prawdopodobieństwo tego, że w losowo wybranej paczce zawierającej 40 szklanek nie
będzie szklanek z wadami wynosi 0.135. Wiedząc, że wartość tę oszacowano
zakładając, że liczba wad w umownej jednostce (40 szklanek) ma rozkład Poissona, obliczyć
przeciętną liczbę wad przypadających na umowną jednostkę 40 szklanek (λ40).
14. Na egzaminie ze statystyki, student losuje bezzwrotnie 3 pytania. Egzaminujący
przedstawił do przygotowania 20 pytań. Student “A” zna prawidłowe odpowiedzi na 15
pytań.
Egzamin uważa się za zdany jeśli student odpowie co najmniej na 2 pytania. Jakie jest
prawdopodobieństwo, że zda on egzamin.
15.Z grupy 20 żołnierzy Legii Cudzoziemskiej w której było:(5 Francuzów, 6 Belgów, 2
Koreańczyków, 1 Anglik, 4 Polaków, 2 Amerykanów) wylosowano 4-ro osobową
reprezentacje honorową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych znajdzie się
jeden Polak?
16. Przyjmijmy, że zawartość tłuszczu w badanym mleku ma rozkład normalny
o parametrach N(3.5;0.3). Znaleźć prawdopodobieństwo, że zawartość
tłuszczu w otrzymanej z danej partii losowej próbce mleka wahać się będzie
w granicach od 2.9 do 3.8%.
17. Ciężar mężczyzn (w kg.) w pewnej popoulacji ma rozkład normalny o parametrach
µ = 70, σ = 6. Obliczyć udział w populacji mężczyzn o ciężarze:
a.) mniejszym od 60 kg
b.) z przedziału od 70 do 75 kg.
c.) wyższym niż 85 kg.
18. Niech zmienna losowa X ma rozkład normalny N(3/2; 2).
Obliczyć prawdopodobieństwo:
a) P(X<2,5);
b) P(X>-0,5);
c) P(0,5<X<2);
d) P(|2X-1|<1);
e) P(|X|>0,5).
19. Masa pewnego towaru ma rozkład normalny o parametrach µ = 1.5; σ = 0.5.
Towar uznawany jest za dobry jeśli jego ciężar nie przekracza założonego xo.
Wyznaczyć xo , jeśli wiadomo, że takich towarów jest 15%
20. Wiedząc, że średnia z bardzo dużego zbioru ocen studentów - mieżona na skali od 0 do
100 - wynosi 66,3 a odchylenie standardowe 13,7. Określić najniższą możliwą ocenę w
grupie A, jeżeli w grupie A ma znaleźć się górne 10% studentów, a rozkład ocen
odpowiada schematowi krzywej normalnej.
3
21.Czas spalania paliwa w pewnej rakiecie jest zmienną losową o rozkładzie normalnym
z µ = 3,685 i σ = 0,036 sekundy. Jakie jest prawdopodobieństwo tego że czas spalania
będzie: większy niż
3,700 sek.; mniejszy niż 3,600 sek.; z przedziału od 3,650 sek. do 3,750 sek.
22. Zakładając że długość życia w pewnej populacji ma rozkład normalny N(60;3),
określić prawdopodobieństwo tego, że długość życia w danej partii losowej tego szczepu
wahać się będzie w granicach 58 - 61 lat.
23. Zmienna losowa X posiada rozkład normalny N(121,8; 5,9). Obliczyć: P(X<127.6);
P(X>113,4); P(124,6<X<125,90)
24. Pewien rozkład normalny posiada średnią µ = 45. Wyznaczyć wartość odchylenia
standardowego, jeśli 10% obszaru pod krzywą znajduje się na prawo od wartości 50,5
25. Wyznaczyć wartość odchylenia standardowego, jeżeli wiadomo, że 60% obszaru pod
krzywą rozkładu normalnego znajduje się w przedziale (-∞;15.5], oraz µ = 14.
4