Laboratorium - metoda aproksymacji kwadratowej
Transkrypt
Laboratorium - metoda aproksymacji kwadratowej
Matematyczne Metody Optymalizacji Metoda Aproksymacji Kwadratowej Marcin Lefik Metoda Aproksymacji Kwadratowej (MAK) Metoda aproksymacji kwadratowej zakłada, że w otoczeniu minimum w kierunku, funkcja celu może być aproksymowana wielomianem drugiego stopnia. Jeżeli znane są wartości F a , F m , F b funkcji celu f x w punktach a , m i b , przy czym amb , to funkcja celu może zostać zastąpiona wielomianem interpolacyjnym Lagrange'a: x m⋅ xb xa xb xa⋅ xm F x =F a⋅ F m⋅ F b⋅ am⋅ab ma⋅mb ba⋅bm Pochodna funkcji F ' x=0 dla punktu x : 2 2 2 2 2 2 1 F ⋅m b F m⋅b a F b⋅a m x= ⋅ a 2 F a⋅ mbF m⋅ba F b⋅am Wypukłość funkcji celu badana jest przy pomocy drugiej pochodnej wielomianu interpolacyjnego: F xx = F a⋅bmF m⋅baF a⋅ ma bm⋅ ab⋅mb Jeżeli F xx 0 to funkcja jest wypukła i punkt x jest minimum. Zamiast badać drugą pochodną można badać mianownik wzoru na wartość punktu x : 2 2 2 2 2 2 1 F ⋅m b F m⋅b a F b⋅a m L x= ⋅ a = 2 F a⋅ mbF m⋅ba F b⋅am M Jeżeli M 0 to funkcja jest wypukła i punkt x jest minimum. Algorytm Dana jest funkcja f x . Poszukiwane jest minimum tej funkcji w przedziale 〈 a , b〉 z żądaną dokładnością . Krok wstępny: a 1=a ab m 1= 2 b1=b F a= f a1 F m= f m1 F b= f b1 Krok 1: Obliczyć potencjalne minimum funkcji aproksymującej: 1 Matematyczne Metody Optymalizacji Metoda Aproksymacji Kwadratowej 2 2 2 2 Marcin Lefik 2 2 1 F a⋅ mk bk F m⋅b k a k F b⋅a k mk L xk = ⋅ = 2 F a⋅ mk bk F m⋅b k a k F b⋅a k mk M Jeżeli M 0 przejść do kroku 8. Jeżeli M 0 podstawić F x = f x k przejść do kroku 2. Krok 2: Sprawdzić czy punkt x k znajduje się wystarczająco blisko jednego z punktów próbnych: a , m lub b (kryterium „bliskości” jest żądana dokładność ), czyli: Jeżeli ∣x k a k∣ lub ∣x k mk∣ lub ∣x k b k∣ to przejść do kroku 7. Jeżeli wszystkie powyższe warunki są niespełnione to zbadać czy x k leży wewnątrz rozpatrywanego odcinka, czyli: Jeżeli a k x k b k to przejść do kroku 3, w przeciwnym przypadku do kroku 9. Krok 3 Jeżeli x k m k to przejść do kroku 4, w przeciwnym przypadku do kroku 5. Krok 4 Jeżeli F x F m to redukowany jest przedział 〈 a , m〉 : a k 1=a k m k1=x k b k1=mk F b=F m F m=F x Jeżeli F x F m to redukowany jest przedział 〈 x , b〉 : a k 1=x k m k1=mk b k1=b k F a= F x Przejść do kroku 6. Krok 5 Jeżeli F x F m to redukowany jest przedział 〈 m , b 〉 : a k 1=mk m k1=x k b k1=b k F a= F m F m=F x Jeżeli F x F m to redukowany jest przedział 〈 a , x 〉 : a k 1=a k m k1=mk b k1=x k F b=F x Przejść do kroku 6. 2 Matematyczne Metody Optymalizacji Metoda Aproksymacji Kwadratowej Marcin Lefik Krok 6 Test zatrzymania – sprawdzenie długości przedziału po redukcji: Jeżeli b k1a k1 to przejść do kroku 1. W przeciwnym przypadku przejść do kroku 7. Krok 7 Jeżeli F x F m to minimum funkcji f x jest punkt x k , w przeciwnym minimum funkcji f x jest punkt mk . KONIEC przypadku Krok 8 Koniec optymalizacji z komunikatem błędu: "Optymalizacja nie powiodła się - znaleziono maksimum lub punkt siodłowy (punkt przegięcia) funkcji aproksymującej" Krok 9 Koniec optymalizacji z komunikatem błędu: "Optymalizacja nie powiodła się - znalezione minimum funkcji aproksymującej znajduje się poza badanym przedziałem." Bibliografia ● ● Findeisen W., Szymanowski J., Wierzbicki A., Teoria i metody obliczeniowe optymalizacji, PWN, Warszawa 1977 http://eduoptim2.studio4plus.com/ 3