92 pkt - szkolamatematyki.info

ARKUSZ IV - Funkcje - Praca domowa 3 p.p
..................................................
... /92 pkt
Imię i nazwisko
... %
5 pkt 1. Dana jest funkcja f (x) = −x2 + 6x − 5.
a) Naszkicuj wykres funkcji f i podaj jej zbiór wartości.
b) Podaj rozwiązanie nierówności f (x) ­ 0.
1 pkt 2. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej, określonej wzorem f (x) = (x − 2)(x + 4).
1 pkt 3. Wskaż równanie osi symetrii paraboli określonej równaniem y = −x2 + 4x − 11
A. x = −4
B. x = −2
C. x = 2
D. x = 4
1 pkt 4. Wskaż równanie prostej, która jest osią symetrii paraboli o równaniu y = −5(x + 6)2 − 7
A. x = −7
B. x = −6
C. x = 6
D. x = 7
1 pkt 5. Wykres funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku W = (−1, 3). Wówczas prawdziwa jest
równość
A. f (2) = f (4)
B. f (−2017) = f (2015)
C. f (−98) = f (100)
D. f (−20) = f (21)
1 pkt 6. Na rysunku jest przedstawiony fragment wykresu funkcji kwadratowej f . Osią symetrii paraboli
jest prosta o równaniu x = −2. Rozwiązaniem nierówności f (x) ­ 0 jest zbiór
A. < 0, −2 >
B. < −2, 2 >
C. < −6, 2 >
D. < −4, 2 >
1 pkt 7. Dana jest parabola o równaniu y = x2 + 8x − 14. Pierwsza współrzędna wierzchołka tej paraboli jest równa
A. x = −8
B. x = −4
C. x = 4
D. x = 8
1 pkt 8. Pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli o równaniu y = (x − 1)(x − 9) jest
A. 0
B. −5
C. 5
D. 10
1 pkt 9. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = 4(x − 5)2 + 6 jest punkt
A. (−5, −6)
B. (−5, 6)
C. (5, 6)
D. (5, −6)
2
1
pkt
10. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = 3(x + 4) jest punkt
A. (−4, 3)
B. (−4, 0)
C. (0, 4)
D. (4, 0)
1 pkt 11. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = −6x2 − 6 jest punkt
A. (−6, −6)
B. (0, −6)
C. (−6, 0)
D. (0, 6)
2
1
pkt
12. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y = (x + 2) + 5c leży na prostej o równaniu y = 10. Wtedy
A. c = −10
B. c = −2
C. c = 2
D. c = 10
1 pkt 13. Dana jest funkcji kwadratowa f (x) = ax2 + 6x + 2. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem tej
funkcji, leży na prostej o równaniu y = −13. Oblicz współrzędne tego wierzchołka.
1
pkt
14. Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f (x) ma współrzędne (3, 3).
Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x) = f (x − 3) ma współrzędne
A. (6, 3)
B. (0, 3)
C. (3, 0)
D. (3, 6)
1 pkt 15.Wskaż fragment wykresu funkcji, której zbiorem wartości jest < −2, +∞).
1 pkt 16. Funkcja kwadratowa, której zbiorem wartości jest przedział (−∞; −3 >, może być określony wzorem
A. y = (x + 2)2 − 3
B. y = −(x + 3)2
C. y = −(x − 2)2 − 3
D. y = −x2 + 3
1 pkt 17. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej y = −5(x − 3)2 + 7 jest
A. (−∞; 7 >
B. (−∞; −5 >
C. < 3; +∞)
D. < 7; +∞)
1 pkt 18. Zbiorem wartości funkcji f (x) = 3(x − 3)2 jest przedział
A. < −3; +∞)
B. < 0; +∞)
D. < 27; +∞)
C. < 3; +∞)
2
1
pkt
19. Zbiorem wartości funkcji f (x) = −x + 8x − 1 jest przedział
A. (−∞; 4 >
B. (−∞; 15 >
C. (−∞; 22 >
D. (−∞; 60 >
1 pkt 20. Zbiorem wartości funkcji kwadratowej f (x) = 12 x2 − 3x + c jest przedział < −4; +∞). Zatem współczynnik c jest
równy
A. 12
B. − 12
C. 2
D. −2
2
1
pkt
21. Funkcja f (x) = x − 4 jest malejąca w przedziale
A. (−∞; 0 >
B. (−2, 2)
C. (−∞; 2 >
D. (−∞; 4 >
1 pkt 22. Funkcja f (x) = −2(x − 3)2 + 4 jest rosnąca w przedziale
A. (−∞; 3 >
B. (−∞, 4 >
C. < 3; +∞)
D. < 4; +∞)
1
pkt
y = a ma dokładnie jeden punkt wspólny z wykresem funkcji kwadratowej
23. Prosta o 1równaniu
f (x) = − 4 x2 + 3x + 2. Wynika stąd, że
A. a = 6
B. a = 11
C. a = 1
D. a = 2
1 pkt 24. Wykres funkcji kwadratowej g(x) = x2 − 100 ma dokładnie jedne punkt wspólny w prostą o równaniu
A. y = 100
B. x = 100
C. y = 100x
D. y = −100
2
1
pkt
25. Wykres funkcji kwadratowej f (x) = 2(x − 1) − 4 nie ma punktów wspólnych z prostą o równaniu
A. y = −5
B. y = −4
C. y = 1
D. y = −1
1 pkt 26. Do wykresu funkcji y = x2 − 4x + 4 nie należy punkt
A. (−12, 16)
B. (−3, 25)
C. (4, 4)
D. (1, 1)
3 pkt 27. Podaj miejsca zerowe funkcji określonych dla wszystkich liczb rzeczywistych x
f (x) = x(x + 2),
g(x) = (x − 5)(x + 2),
h(x) = (5 − 2x)(2x + 1).
5
2
1
pkt
28. Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f (x) = 2x + 5x + c jest liczba − 2 . Wówczas
A. c = 0
B. c = 1
C. c = −25
D. c = 25
1 pkt 29. Funkcja kwadratowa określona jest wzorem f (x) = 2x2 − x + c. Jeśli f (2) = 1, to
A. f (1) = −4
B. f (1) = 0
C. f (1) = −5
D. f (1) = 4
2
3
pkt
30. W tabelce podano wartości funkcji kwadratowych f (x) = ax + bx + c dla wybranych trzech
argumentów.
Rozwiąż nierówność f (x) ­ 0.
1 pkt 31. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .
Funkcja f jest określona wzorem
A. y = −(x + 1)2 + 2
B. y = −(x − 1)2 − 2
C. y = −(x − 1)2 + 2
D. y = −(x + 1)2 − 2
3 pkt 32. Funkcja kwadratowa f , której miejscem zerowym są liczby −1 i 3, dla argumentu 0 przyjmuje
wartość 3. Uzasadnij, że wykres funkcji f nie ma punktów wspólnych z prostą y = 5.
3 pkt 33. Wykres funkcji kwadratowej f przecina oś Ox w punktach x = −5 oraz x = −1 i przechodzi przez
punkt (0, −5). Wykres ten przesunięto i otrzymano wykres funkcji kwadratowej g(x) = f (x − p). Wierzchołek
funkcji g leży na osi Oy. Wyznacz wzór funkcji g.
5 pkt 34. Na rysunku przedstawiony jest wykres funkcji kwadratowej f . Na podstawie tego wykresu
a) zapisz w postaci sumy przedziałów liczbowych zbiór
rozwiązań nierówności f (x) ¬ 3,
b) określ i zapisz największą i najmniejszą wartość funkcji
f w przedziale < 0, 3 >,
c) zapisz wzór funkcji f w postaci iloczynowej.
2 pkt 35. Wykresem funkcji kwadratowej f (x) = 3x2 + bx + c jest parabola której wierzchołkiem jest punk W (2, 0).
Oblicz wartości współczynników b i c.
2
pkt
36. Funkcja kwadratowa, f dla x = −2 przyjmuje wartość największą równą -3. Do wykresu funkcji f
należy punkt A = (1, 3). Zapisz wzór funkcji kwadratowej f .
5 pkt 37. Funkcja kwadratowa f określona jest wzorem f (x) = ax2 + bx + c. Zbiorem rozwiązań nierówności f (x) < 0 jest
przedział (0, 8). Najmniejsza wartość funkcji f jest równa -8. Oblicz współczynniki a, b i c funkcji f .
4 pkt 38. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej f w postaci ogólnej, wiedząc, że zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
< 2; +∞), a wartość -1 osiąga dla dwóch argumentów: 3 i 7.
2
1
pkt
39. Funkcja kwadratowa y = x + bx + c jest malejąca dla x ∈ (−∞; 2 >, a zbiorem jej wartości jest < −4; ∞).
Postać kanoniczna tej funkcji opisana jest wzorem.
A. f (x) = (x − 2)2 − 4
B. f (x) = (x + 2)2 + 4
C. f (x) = (x + 4)2 + 2
D. f (x) = (x − 4)2 + 2
2 pkt 40. Funkcja f jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f (x) > 0 jest
przedział (2, 3). Rozwiąż nierówność −f (x + 2) < 0.
1 2
2
pkt
41. Dla każdej liczby rzeczywistej b równanie f (x) = − 4 x − bx + 9 opisuje pewną parabolę. Wyznacz wszystkie wartości
parametru b, dla których wierzchołek paraboli leży pod osią Ox.
2 pkt
2 pkt
2 pkt
3 pkt
3 pkt
4 pkt
1
46. Wyznacz wartość najmniejszą funkcji f (x) = x2 −6x+3 w przedziale < 0, 4 >.
wartości, jakie funkcja kwadratowa f (x) = 41 x2 − 2x − 5 przyjmuje w przedziale
47. Różnica największej i najmniejszej
2
< k, 5 > dla k < 0 jest równa 3 3 . Oblicz k.
42. Wykaż, że jeśli c < 0, to trójmian kwadratowy y = ax2 + bx + 1 ma dwa różne miejsca zerowe.
43. Oblicz najmniejszą wartość funkcji kwadratowej f (x) = x2 − 6x + 1 w przedziale < 0, 1 >.
44. Wyznacz wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej f (x) = 2x2 − 5x + 3 w przedziale < −1, 2 >
45. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f (x) = (x − 2)2 . Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f
w przedziale < 0, 5 >.
2
4
pkt
48. Najmniejsza wartość funkcji kwadratowej f (x) = a(x + 1) + 3, gdzie a 6= 0, w przedziale domkniętym < 0, 2 >
jest równa -12. Wyznacz największą wartość funkcji f w przedziale < 0, 2 >.
2 pkt 49. Funkcja kwadratowa f przyjmuje w przedziale < −1, 2 > najmniejszą wartość dla argumentów -1 i 2.
Uzasadnij, że w przedziale < −3, 4 > funkcja f przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentów -3 i 4.
2 pkt 50. Największą wartością, jaką funkcja kwadratowa f dana wzorem f (x) = ax2 + bx + c przyjmuje w przedziale < 0, 3 >,
jest f (1). Uzasadnij, że a < 0 i b > 0.