Wstęp Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych

Wstęp
Ruch po okręgu jest najprostszym przypadkiem płaskich ruchów krzywoliniowych. W ogólnym
przypadku ruch po okręgu opisujemy równaniami:
gdzie:
— dowolna funkcja czasu.
Ruch odbywa się po okręgu o środku w punkcie
i promieniu .
co sprowadza się do równania:
jeśli środek okręgu znajduje się w punkcie (0,0).
Ruch po okręgu w kartezjańskim układzie współrzędnych
Ilustracja do znajdywania współrzędnych
punktu P, poruszającego się po okręgu w
układzie kartezjańskim.
Współrzędne punktu P poruszającego się po okręgu można wyrazić w następujący sposób (patrz
rysunek %i 1):
Wprowadzimy teraz następujące wielkości:
Prędkość kątowa
Przyspieszenie kątowe
Ruch po okręgu — opis
Dla ruchu po okręgu mamy więc:
Współrzędne punktu P:
Prędkość wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:
Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:
Ruch po okręgu w biegunowym układzie współrzędnych
Biegunowy układ współrzędnych. W układzie biegunowym położenie
punktu P określone jest za pomocą dwóch współrzędnych — odległości
punktu od początku układu współrzędnych oraz kąta jaki tworzy wektor
wodzący (wektor skierowany od środka układu współrzędnych do
punktu P) z osią poziomą. Wersorami w tym układzie współrzędnych są
wektory
— skierowany wzdłuż wektora wodzącego oraz wersor
prostopadły do wektora wodzącego (w kierunku przeciwnym do ruchu
wskazówek zegara).
Czasem wygodniej jest opisać ruch w biegunowym układzie współrzędnych (patrz rysunek %i 2).
Zanim opiszemy ruch po okręgu w tym układzie, zauważmy związki jakie zachodzą pomiędzy
współrzędnymi układu kartezjańskiego i biegunowego:
,
Wersory
sposób:
układu biegunowego, w układzie kartezjańskim można zapisać w następujący
Wektor położenia punktu w płaskim układzie kartezjańskim można wyrazić w następujący sposób:
Podstawiając zależności pomiędzy współrzędnymi kartezjańskim i i biegunowymi dostajemy
następujący wzór na wektor położenia:
Z kolei wektor prędkości w układzie kartezjańskim:
Podobnego przejścia z układu kartezjańskiego do biegunowego możemy dokonać również dla
przyspieszenia:
Zauważmy, iż w przypadku ruchu po okręgu w układzie biegunowym wektor prędkości ma tylko
jedną składową, prostopadłą do wektora wodzącego :
natomiast przyspieszenie ma dwie składowe:
składową styczną do toru, nazywaną przyspieszeniem transersalnym:
składową równoległą do wektora wodzącego
, nazywaną przyspieszeniem radialnym:
Ruch jednostajny po okręgu
Rozważymy teraz ruch po okręgu, który odbywa się ze stałą prędkością liniową . W przypadku
ruchu jednostajnego prostoliniowego, wektor prędkości zachowywał stały kierunek w przestrzeni
oraz stałą wartość. Ruch po okręgu jest przypadkiem ruchu krzywoliniowego, w którym wartość
wektora prędkości (długość tego wektora) może być zachowana, zmienia się natomiast jego
kierunek. Mówiąc zatem o ruchu jednostajnym po okręgu, zakładamy, że nie ulega zmianie wartość
prędkości w tymże ruchu. W poprzednim rozdziale pokazaliśmy, iż w przypadku ruchu po okręgu
opisywanego w układzie biegunowym prędkość można wyrazić następującym wzorem:
Skoro z założenia wartość wektora prędkości ma być stała
, to widzimy, że również
wyrażenie
musi mieć stałą wartość. Stały jest również promień okręgu , w związku z czym stała
jest także prędkość kątowa . Przyspieszenie kątowe jest pochodną prędkości kątowej po czasie:
Jak wiemy z kursu matematyki, pochodna wektora stałego jest równa 0, a zatem w przypadku ruchu
jednostajnego po okręgu, kiedy to
, przyspieszenie kątowe
. Wiadomo, że
przyspieszenie w ruchu po okręgu w układzie biegunowym ma dwie składowe, (równania (%i 17 i
(%i 19)), jednakże z uwagi na zerową wartość przyspieszenia kątowego , składowa styczna wektora
przyspieszenia (wzór (%i 17) znika i pozostaje tylko i wyłącznie składowa radialna (patrz
rysunek %i 3).
W przypadku jednostajnego ruchu po
okręgu, przyspieszenie ma tylko składową
radialną, nazywaną również składową
dośrodkową. Składowa dośrodkowa
powoduje zmianę kierunku wektora
prędkości, ale nie zmienia jego wartości.
Ruch jednostajny po okręgu jest przykładem ruchu harmonicznego, co prześledzimy powracając z
opisem ruchu do układu kartezjańskiego. Analogicznie jak w przypadku drogi pokonywanej przez
ciało w ruchu jednostajnie prostoliniowym, w przypadku ruchu jednostajnego po okręgu, w którym
stała jest wartość wektora prędkości, przyrost zakreślanego przez punkt P kąta można zapisać
następującym wyrażeniem:
podstawiając powyższy wzór do wzorów (%i 8), (%i 8) i (%i 9) dostajemy (przypominamy, że we
wzorze (%i 9 na przyspieszenie liniowe, przyspieszenie kątowe ma wartość 0):
Przyspieszenie liniowe wzdłuż osi x i y kartezjańskiego układu współrzędnych:
Jak widzimy zarówno położenie punktu, wartość i kierunek jego prędkość oraz przyspieszenie
zmieniają się periodycznie z okresem: