Geometria różniczkowa

Nazwa przedmiotu:
Geometria różniczkowa
Differential geometry
Kierunek:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
Poziom kwalifikacji:
Semestr:
obowiązkowy dla wszystkich
specjalności
I stopnia
V
Rodzaj zajęć:
Liczba godzin/tydzień:
Liczba punktów:
wykład, ćwiczenia
2W, 2C
4 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C 1. Zapoznanie studentów z teorią krzywych i powierzchni w przestrzeni euklidesowej przy
wykorzystaniu rachunku różniczkowego i całkowego oraz pokazanie kierunku, w którym
podąża współczesna geometria różniczkowa.
C 2. Kształcenie umiejętności posługiwania się językiem matematycznym.
C 3. Doskonalenie poprawności rozumowania i wnioskowania logicznego.
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1. Student posiada podstawową wiedzę z zakresu analizy matematycznej, geometrii
analitycznej, algebry wyższej i topologii.
2. Student posiada umiejętność logicznego myślenia i wnioskowania.
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 – Student potrafi zbadać styczność krzywych, a także obliczyć ich krzywiznę i skręcenie.
EK 2 – Student potrafi wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej i wektora normalnego do
powierzchni.
EK 3 - Student potrafi wyznaczyć pierwszą formę kwadratową powierzchni.
EK 4 – Student potrafi wyznaczyć drugą formę kwadratową powierzchni.
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
Liczba
godzin
W1 – Elementy analizy wektorowej.
2
W2 – Przedstawienie parametryczne krzywej, parametryzacja łukowa krzywej.
2
W3 – Styczność krzywych i krzywej z powierzchnią.
2
W4 – Trójścian i wzory Freneta.
2
W5 – Krzywizna i skręcenie krzywej.
2
W6 – Okrąg i sfera ściśle styczne do krzywej.
2
W7 – Ewoluta i ewolwenta krzywej płaskiej, obwiednia jednoparametrowej rodziny
krzywych płaskich.
2
W8 – Powierzchnia regularna, punkty osobliwe powierzchni. Równanie uwikłane
powierzchni i jej punkty osobliwe.
2
W9 – Płaszczyzna styczna i wektor normalny do powierzchni zadanej parametrycznie.
Płaszczyzna styczna w przypadku równania uwikłanego powierzchni.
2
W10 – Symbole Kroneckera.
2
W11 – Pierwsza forma kwadratowa powierzchni i jej zastosowanie.
2
W12 – Druga forma kwadratowa powierzchni
2
W13 – Zastosowanie drugiej formy kwadratowej powierzchni.
2
W14 – Rachunek tensorowy
2
W15 – Rozmaitości różniczkowe
2
Forma zajęć – ĆWICZENIA
Liczba
godzin
C1 – Obliczanie granic, pochodnych i badanie ciągłości funkcji wektorowych.
2
C2 – Badanie styczności krzywych.
2
C3,4 – Znajdywanie wektorów i prostych stycznych, normalnych i binormalnych do
krzywych.
4
C5 – Znajdywanie płaszczyzn ściśle stycznych, normalnych i prostujących do krzywych.
2
C6,7 – Obliczanie krzywizny i skręcenia krzywej.
4
C8 – Znajdywanie okręgów ściśle stycznych do krzywych.
2
C9 – Znajdywanie ewoluty i ewolwenty krzywej.
2
C10 – Znajdywanie obwiedni jednoparametrowej rodziny krzywych płaskich.
2
C11 – Wyznaczanie płaszczyzny stycznej i punktów osobliwych powierzchni.
2
C12 – Wyznaczanie pierwszej formy kwadratowej powierzchni.
2
C13 - Wyznaczanie drugiej formy kwadratowej powierzchni.
2
C14 – Kolokwium zaliczeniowe.
2
C15 – Podsumowanie wyników nauczania i zaliczenie ćwiczeń.
2
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład
2. – ćwiczenia audytoryjne
3. – literatura
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności na zajęciach
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania postawionych zadań – zaliczenie na ocenę*
*) warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest uzyskanie co najmniej 50% punktów z kolokwium,
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącym
30W 30C → 60h
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
10 h
Przygotowanie do ćwiczeń
15 h
Przygotowanie do kolokwium zaliczeniowego
10 h
Konsultacje
5h
Suma
100 h
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS
4 ECTS
DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
2,6 ECTS
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym
2,4 ECTS
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
A. Birkholc, Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych, PWN, Warszawa 2002
I. Gancarzewicz, B. Opozda, Wstęp do geometrii różniczkowej, Wyd. UJ, Kraków 2003
A. Goetz, Geometria różniczkowa, PWN, Warszawa 1965.
S. Gołąb, Rachunek tensorowy, PWN, Warszawa 1966.
O. Karwowski, Zbiór zadań z geometrii różniczkowej, WNT, Warszawa 1971
R. Sikorski, Wstęp do geometrii różniczkowej, PWN, Warszawa 1987
T. Trajdos, Matematyka, cz. III, WNT, Warszawa 1983.
P. G. Walczak, W. Waliszewski, Geometria różniczkowa w zadaniach, PWN, Warszawa 1981
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. dr Jolanta Lipińska [email protected]
MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Efekt
kształcenia
EK 1
EK 2
EK 3
EK 4
Odniesienie
danego efektu do
efektów
zdefiniowanych
dla kierunku
Matematyka
K_W04
K_W07
K_U10
K_U12
K_W04
K_W07
K_U10
K_U12
K_W04
K_W07
K_U10
K_U12
K_W04
K_W07
K_U10
K_U12
Cele
przedmiotu
Treści
programowe
C1, C2, C3
W1-7
C1-10
C1, C2, C3
W8-9
C11
Narzędzia
dydaktyczne
1, 2, 3
1, 2, 3
C1,C2,C3
W10-11
C12
1, 2, 3
C1, C2, C3
W12-13
C13
1, 2, 3
Sposób
oceny
F1
F2
P1
F1
F2
P1
F1
F2
P1
F1
F2
P1
II. FORMY OCENY – SZCZEGÓŁY
EK1
Na ocenę 2
Na ocenę 3
Na ocenę 4
Na ocenę 5
Student nie potrafi
rozwiązać najprostszego
zadania z teorii
krzywych w przestrzeni
R3.
Student potrafi
rozwiązać
najprostsze zadania
z teorii krzywych w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
trudniejsze zadania z
teorii krzywych w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać trudniejsze
zadania z teorii
krzywych w przestrzeni
R3, a także szczegółowo
zanalizować
rozwiązanie.
EK2
Student nie potrafi
rozwiązać najprostszego
zadania z teorii
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
najprostsze zadania
z teorii powierzchni
w przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
trudniejsze zadania z
teorii powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać trudniejsze
zadania z teorii
powierzchni w
przestrzeni R3, a także
szczegółowo
zanalizować
rozwiązanie.
EK3
Student nie potrafi
rozwiązać najprostszego
zadania dotyczącego
wyznaczenia pierwszej
formy kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
najprostsze zadania
dotyczące
wyznaczenia
pierwszej formy
kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
trudniejsze zadania
dotyczące
wyznaczenia
pierwszej formy
kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać trudniejsze
zadania dotyczące
wyznaczenia pierwszej
formy kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3, a
także szczegółowo
zanalizować
rozwiązanie.
EK4
Student nie potrafi
rozwiązać najprostszego
zadania dotyczącego
wyznaczenia drugiej
formy kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
najprostsze zadania
dotyczące
wyznaczenia
drugiej formy
kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać
trudniejsze zadania
dotyczące
wyznaczenia drugiej
formy kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3.
Student potrafi
rozwiązać trudniejsze
zadania dotyczące
wyznaczenia drugiej
formy kwadratowej
powierzchni w
przestrzeni R3, a także
szczegółowo
zanalizować
rozwiązanie.
Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia
wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej.
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego
przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl