Wykład 4: Powtórka + Praca i Energia Powtórka Inercjalne i

2016-11-06
W inercjalnych układach odniesienia nie ma siły odśrodkowej i bezwładności!!!
Wykład 4: Powtórka + Praca i Energia
Matematyka Stosowana
R . DOUGLAS GREGORY, CLASSICAL MECHANICS
Classical_M.pdf
Równania parametryczne
Powtórka
• Kinematyczne równania ruchu ,
• Otrzymujemy z definicji ,
,
,
,
,
,
,
• Skąd znamy ,
,
,
,
?
• Z drugiej zasady dynamiki Newtona ∑
• Prawdziwa tylko w układach inercjalnych!
Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia
(inercjalne definiuje I zasada dynamiki)
0,
kinetyczne równania ruchu
(parametr to czas )
tor ruchu – eliminacja Równanie parametryczne okręgu
,0
Jestem w układzie nieinercjalnym!
Jestem w układzie inercjalnym
Podstawmy:
Pomocy!!!
Tu są siły nieczyste!
Czyli:
1
2016-11-06
Pamiętajcie o wektorach
1
0
0
0
Tor ruchu i zasięg (jak policzyć?)
0,
0
0,
,0
0,
,0
0,
,0
exp / ,
1 exp /
1
,0
Zasięg ,
,0
, 0,0
0, , 0
0→
1
,
,0
Siła oporu aerodynamicznego
,
związany z lepkością
(tarcie płynu), proporcjonalny do:
• lepkości płynu
• rozmiaru liniowego obiektu
Komputer lub rozwiązanie przybliżone
1
| |
związany z przyśpieszaniem cząstek, z którymi się zderza obiekt
proporcjonalny do:
• gęstości ośrodka • przekroju poprzecznego obiektu
Rzut ukośny z oporem liniowym
→
1
exp
/
,
czas charakterystyczny (relaksacji)
• Ruch pionowy:
→
1
exp
/
0
Jeśli opór nie jest duży to ten czynnik mały
1
1
⋯
2
3
• Fizycy zawsze szukają czegoś małego lub dużego!
• Rozwijamy w szereg potęgowy i zaniedbujemy wyrazy wyższego rzędu
ln 1
Kolokwium nr 1
• Ruch poziomy: Gdzie 0
• Znasz definicje prędkości i przyśpieszenia
• Potrafisz z tych definicji wyznaczyć • Znasz zasady dynamiki Newtona – Rozumiesz co to jest układ inercjalny
– Potrafisz rysować diagramy sił
– Wiesz co to jest siła tarcia i oporu • Potrafisz ułożyć i rozwiązać równanie różniczkowe z II zasady dynamiki Newtona
2
2016-11-06
Praca w codziennym życiu
Całkowita praca
• Czynności w codziennym życiu:
• Kilka sił działa na ciało
• Możesz policzyć niezależnie pracę od każdej siły a potem zsumować
• Alternatywnie możesz policzyć wypadkową siłę (sumę sił) i wtedy policzyć pracę
– Podnosisz pudło z książkami
– Popychasz zepsute auto
• Co dokładnie robisz?
– Działasz z pewną siłą – Ciało się przemieszcza
• Pracujesz ciężej jeśli:
· ̅
– Pchasz mocniej (siła!)
– Przesuwasz dalej
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Definicja pracy w fizyce przy stałej sile
• Bazując na codziennych obserwacjach:
Iloczyn
skalarny!
≡ · ̅
• Siła i przesunięcie to wektory!
• Praca to skalar!
Działasz siłą skierowaną wzdłuż
• Jednostką SI jest joule:
kierunku przesunięcia s: W=Fs
1
1 ·1
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Praca potocznie vs. fizycznie. Praca równa zero?
• Siłacz działa z pewną siłą ale nie podnosi dalej sztangi – przesunięcie =0
• Siła potrzebna do zrównoważenia ciężaru sztangi
• Siłacz nie wykonuje pracy?
• Czy to się zgadza z potocznym rozumieniem
pracy?
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Co jeśli siła nie jest równoległa do przesunięcia?
Praca „potocznie” nie zgadza się z definicją fizyczną?
• Pamiętaj, że praca to skalar!
· ̅
• Opierasz się z całej siły o ścianę, a ona ani drgnie …
• A ty się pocisz!
• Rozłóż siłę na składowe
• Wkład do iloczynu skalarnego ma tylko składowa równoległa do przesunięcia!
Włókna mięśniowe pod mikroskopem.
Mają one możliwość kurczenia się i dzięki
temu nasze mięśnie (szkieletowe) mogą
działać z pewną siłą na ścięgna. Ta siła
jest szacowana na ok. 0.3 /
• A może coś się jednak dzieje?
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
3
2016-11-06
To nie jest prawda, ze nie wykonałeś pracy!
A teraz „ilościowo”
• Praca po zamkniętym obszarze = 0 tylko dla sił zachowawczych (potencjalnych)!
• Tarcie nie jest zachowawcze! Opór też nie!
• Cząstka (punkt materialny) porusza się pod wpływem stałej siły wzdłuż osi • Z drugiego prawa dynamiki Newtona: • Szybkość zmienia się od do przy przesunięciu z do • Policzmy czemu równa się ?
• Szukamy z informacji na rysunku …
Czy Syzyf nie wykonał żadnej pracy?
Tarcie nie jest zachowawcze!
Opór też nie!
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Pracę wykonuje ktoś/coś nad kimś/czymś!
• Siłacz opuszcza sztangę
• Siłacz działa siłą skierowaną do góry – inaczej sztanga upadłaby z hukiem na podłogę!
· ̅ 0
• Siłacz wykonuje pracę nad sztangą Ruch wzdłuż osi z →
→
(1) →
→
→
(2)
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Praca i Energia kinetyczna – jakościowo
Energia kinetyczna
→
2
2
Pomnóżmy obustronnie przez :
2
2
Z drugiej zasady dynamiki Newtona:
∑
→∑
,
2
≡
2
2
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
4
2016-11-06
Twierdzenie o pracy i energii
Przykład • Praca wykonana na punkcie materialnym przez całkowitą siłę równa się zmianie energii kinetycznej cząstki:
• Na początku oba bojery są w stanie spoczynku
• Działa na nie taka sama siła wiatru
• Który bojer będzie miał na finiszu większą energię kinetyczną?
• Czy potrafisz odpowiedzieć korzystając z definicji:
• Wobec tego jednostką energii kinetycznej też powinien być joule, sprawdźmy:
≡
·
2
≡
·
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Energia kinetyczna
Przykład: Rozumowanie z def.
• Energia kinetyczna jest skalarem – nie zależy od kierunku ruchu ciała
•
≡
2
• Użyliśmy II zasady dynamiki
Newtona do wyprowadzenia
• Ale
2
→
≡
→
?
→
→
2
?
• To jak to rozstrzygnąć? • Równość prawdziwa tylko
w układach inercjalnych
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Znaczenie energii kinetycznej
Przykład – skorzystajmy z twierdzenia …
• Na początku ciało spoczywa tzn. 0→
0
0 Jak to odczytać?
•
Pamiętaj, że 0
Na obie łódki działa ta sama siła wiatru
Obie przebywają ten sam dystans Siła wiatru wykonała w obu przypadkach tą samą pracę! • Na finiszu obie łódki mają taką samą energię kinetyczną!
• Energia kinetyczna obiektu jest równa całkowitej pracy, która została wykonana aby przyśpieszyć, spoczywający początkowo, obiekt do jego obecnej prędkości.
•
•
•
•
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
5
2016-11-06
Twierdzenie o pracy i energii dla zmiennych sił w ruchu prostoliniowym
A jeśli siła nie jest stała?
• Zacznijmy od ruchu prostoliniowego
• Obliczmy pracę na małym odcinku
W
F Δ
• Całkowita praca (przybliżona): F Δ
F Δ +F Δ +…
• Dla stałej siły mieliśmy:
• To samo twierdzenie jest prawdziwe w przypadku gdy siła nie jest stała
• Jak to pokazać?
• Czyli w granicy:
⋯
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: stała siła
Zmienna siła w ruchu po krzywej
W
• Dotychczas mieliśmy:
→
Czyli otrzymaliśmy faktycznie naszą „starą” definicję!
• Teraz siła zmienia długość i kierunek:
·
• Twierdzenie jest nadal prawdziwe!
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: rozciąganie sprężyny
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ogólna definicja pracy (wzdłuż ścieżki)
• Żeby rozciągnąć sprężynę trzeba zadziałać siłą:
·
→
·
Empiryczne prawo
Hooke’a (1678)
1
2
W
stała sprężystości
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
6
2016-11-06
Przykład: Całka krzywoliniowa – wzdłuż pewnej krzywej
Oblicz pracę wykonaną przez siłę 2
1
od a do b wzdłuż ścieżki (1) i (2).
≡ lim
b
2
(2)
1
a (i)
·
Z definicji: Moc – definicja
→
(ii)
·
ś
≡
F∥
,
Hania Zosia
·
(1)
12
Co to jest ?
Infinitezymalne przesunięcie: , , →
,
Δ
Δ Δ
Δ F∥ Δ
Δ ś
̂
Sprzątaczka Zosia ma dwa razy większą moc od Hani ‐ tę samą pracę wykonuje w dwa razy krótszym czasie.
Przykład: Całka krzywoliniowa – wzdłuż pewnej krzywej
2
1
2
·
1
• Definicja pracy nie odnosi się do czasu
• Chcielibyśmy mieć jakąś miarę pracy w określonym czasie
• Moc średnia:
b
(2)
a (i)
Moc ‐ definicja
(ii)
(1)
̂
≡
12
i 0,
,
• Moc:
1
,
·
1
Przykład: Całka krzywoliniowa – wzdłuż pewnej krzywej
2
1
2
̂
2 0,
1
,
b
(2)
a (i)
(ii)
(1)
12
·
2
3
2
1
10
2
1
ta siła nie jest zachowawcza!
≡ lim
→
Δ
Δ • Jednostka watt: W=J/s
Energia potencjalna
• Pływak skacze na główkę do basenu i uderza w wodę
• Skacze z wysoka – K duża
• Siła grawitacji wykonuje pracę, • Można jednak myśleć o tym inaczej …
• Koncepcja energii
potencjalnej
http://www.elipsa.at/dla‐ochlody‐skok‐do‐wody/
7
2016-11-06
Grawitacyjna energia potencjalna
Zasada zachowania energii (siła grawitacji)
• Wykonujesz pracę, żeby podnieść kamień
• Magazynujesz energię w kamieniu
• Może być ona potem uwolniona przy spadku
• Koncepcja energii związanej z położeniem ciała
• Praca wykonana przez siłę grawitacji przy spadku ciała z do • Przesunięcie 0
• Bardzo użyteczna zasada
• Możesz wybrać poziom zero tam gdzie ci wygodnie
• Ważna jest zmiana wysokości
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Grawitacyjna energia potencjalna
Δ
• Kiedy ciało jest podnoszone praca wykonywana przez siłę grawitacji 0
W 0 → Δ
0 bo • Kiedy ciało opada praca wykonywana przez siłę grawitacji W 0→Δ
0 bo 0
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Potencjalna energia sprężystości
• Praca wykonana na sprężynie:
1
1
W
2
2
Δ
• Zasada zachowania energii działa:
2
2
2
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Zasada zachowania energii (siła grawitacji)
Czy energia jest zawsze zachowana?
• Z twierdzenia o energii i pracy: Δ
• Jeśli działa wyłącznie siła grawitacji to pokazaliśmy, że:
W
Δ
• Wobec tego: Δ
Δ
• Siła oporu wykonuje ujemną pracę na skoczku
• Prędkość graniczna – energia kinetyczna się nie zmienia!
• Potencjalna energia maleje
• Całkowita energia maleje!
• Jeśli naszym układem jest skoczek
to energia nie jest zachowana!
• Całkowita mechaniczna energia układu jest zachowana!
•
Δ
dla układu inercjalnego!!!
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
8
2016-11-06
Czy energia jest zawsze zachowana?
to zawsze prawda w układach inercjalnych
Δ
,
,
,
,
To nie jest prawda, ze nie wykonałeś pracy!
• Praca po zamkniętym obszarze = 0 tylko dla sił zachowawczych (potencjalnych)!
• Tarcie nie jest zachowawcze! Opór też nie!
Czy Syzyf nie wykonał żadnej pracy?
,
,
Praca wykonana przez siłę niepotencjalną (niezachowawczą)!
Tarcie nie jest zachowawcze!
Opór też nie!
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Siły zachowawcze (potencjalne)
• Przykłady: grawitacji, sprężystości
• Praca dla takich sił:
– Jest odwracalna
– Może być wyrażona jako różnica energii potencjalnych stanu początkowego i końcowego
– Nie zależy od drogi tylko od stanu początkowego i końcowego
– Jeśli punkt początkowy i końcowy jest ten sam to całkowita praca jest zero.
Siła i potencjał w 1D
• To już było: Δ
Δ
Δ jeśliΔ małe
• Ale również • Wobec tego dla małych przesunięć:
Δ Δ • W granicy nieskończenie małych przesunięć:
d d UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Siły niezachowawcze (dysypatywne)
• Przykłady: tarcie, opory
• Praca dla takich sił nie może być przedstawiona przy pomocy potencjału
• Jest nieodwracalna (zwykle straty energii)
– Zależy od drogi
– Nie jest równa zero po pętli
• Nie ma zasady zachowania energii
• Trudno sobie z nimi poradzić!
Co jeśli siła jest 3D?
• Pole sił jest zachowawcze jeśli może być przedstawione w postaci:
•
‐ potencjał ≡
→ ;
, skalarna funkcja
≡
̂≡
,
,
9
2016-11-06
,
Czy siła zachowawcza?
,
jest 2 →
,
2 →
,
2 →
,
Czyli istnieje potencjał:
Można to zrobić łatwiej …
Jeśli pole zachowawcze to …
• Możemy stosować wygodniejsze formalizmy
– Formalizm Lagrange’a: – Formalizm Hamiltona: • Chcemy otrzymać równania ruchu
10