Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna Jak odpowiesz na pytania

2016-11-22
III Zasada Dynamiki Newtona
Wykład 5: Układy cząstek i bryła sztywna
1:39
• Ciało A na B: • Ciało B na A: 0
→
0
Matematyka Stosowana
Jak odpowiesz na pytania?
Przykład
• Honda CRV uderza w Hondę Civic – jak będzie wyglądał wypadek?
• Niewiele wiemy zwykle o siłach
• Układy zachowawcze i dyssypatywne
• Zasady zachowania są niezwykle ważne w fizyce!
• Strzelec trzyma swobodnie karabin o masie
.
z prędkością
Strzela poziomo pociskiem o masie
względem ziemi. Jaka jest prędkość odrzutu
karabinu
?
Pęd to bardzo ważna wielkość dla układu oddziałujących cząstek!
≡
• Druga zasada dynamiki: • Ciało A na B: ∗0
Przed: 0
/
Po: ?
Przykład – Ocena wyniku
•
/
 Spodziewamy się odrzutu w kierunku przeciwnym do strzału
 Jednostki się zgadzają
 Gdyby masa pocisku była bardzo mała to odrzut też mały
• Ciało B na A: UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
1
2016-11-22
Jak rozwiązywać zadania? – Analiza • Suma sił w układzie 0 → pęd zachowany ?
• Każdy obiekt potraktuj jak punkt materialny
• Narysuj sytuację przed zdarzeniem i po uwzględniając siły
• Zaznacz na rysunku odpowiednie wielkości (kąty, składowe, itp.) i podpisz • Narysuj układ współrzędnych • Zidentyfikuj poszukiwaną wielkość!
Środek masy (ciężkości)
ś
ś ś ś
Zderzenia – pęd zachowany
Zderzenia sprężyste:
energia kinetyczna zachowana
1
M
1
M
Analogia: średnia = środek ciężkości
Zderzenia niesprężyste:
straty energii kinetycznej Zderzenia doskonale niesprężyste:
końcowa prędkość obu ciał identyczna
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: Zderzenie niesprężyste (doskonale)
Środek masy (ciężkości)
⋯
ś • Co się dzieje z energią kinetyczną?
• Przykład: początkowo B w spoczynku
,
⋯
∑
∑
1
M
1
ś 2
2016-11-22
Stabilność i środek masy
Ruch środka masy
Stabilność wzrasta:
Niżej położony środek masy
Większa podstawa
1
→
ś
ś
1
ś
ś
ś 1
ś
http://www.schoolphysics.co.uk/age11‐14/Mechanics/Statics/text/Stability_/index.html
Środek masy (ciężkości)
⋯
⋯
ś Ruch środka masy
∑
∑
1
Jeżeli na ciało (zbiór cząstek) działają siły zewnętrzne to środek masy porusza się tak, jakby skupiona w nim była cała masa i jakby działała na niego siła wypadkowa.
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ruch środka masy
ś
ś
1
ś
ś ∑
→ ∑
Równanie Newtona dla środka masy
ś
ś ś ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
3
2016-11-22
Fizyka w sporcie
Prawdziwe obiekty fizyczne
•
•
•
•
Można przesuwać (punkt materialny też!)
Można obracać (punktu materialnego nie!)
Można ściskać, rozciągać, skręcać, wyginać, …
Mechanika ośrodków ciągłych …
Fosbury Flop (Flop)
Bryła sztywna
• złoty medal na igrzyskach olimpijskich w Meksyku, 1968 (rekord 2,24 m)
• Model prawdziwego obiektu fizycznego
• Elementy obiektu nie mogą się przemieszczać względem siebie
• Co może robić bryła sztywna?
– Przesuwać się w jednym z trzech kierunków
– Obracać się względem jednej z trzech osi
• Punkt materialny – uproszczenie bryły sztywnej, założenie – ruch obrotowy nie istotny
Dick Fosbury, 1947
Co jeśli oś obrotu się porusza?
4:53
• Ruch postępowy i obrotowy
Obroty wokół osi
• Ustalona oś
– Kurczak rożnie
– Wiatrak
– Wskazówki
1
2
ś
1
2
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
•
•
•
•
Jak opisać ruch obrotowy?
Śledź punkt P , ?
OP jest stałe Wystarczy UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
4
2016-11-22
Jak zmierzyć kąt ?
Przyśpieszenie kątowe
• Mierzymy kąt w radianach
• Wartość kąta w radianach:
• Średnie przyśpieszenie kątowe:
Δ
ś
Δ
• Przyśpieszenie kątowe :
Δ
lim
→ Δ
• Czyli:
Iloraz dwóch długości bezwymiarowy („czysta” liczba)
• 360
2 ,
• ,
?
2
•
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Prędkość kątowa
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Prędkość obrotowa i liniowa
• Średnia prędkość kątowa:
ś
• Prędkość kątowa:
lim
→
Δ
Δ
Δ
Δ
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Kąt i prędkość kątowa mogą być ujemne
→
• Im dalej oddalony punkt od
środka tym większa prędkość
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przyśpieszenie liniowe i kątowe
• Konie na dole karuzeli przebywają dłuższy dystans niż te na górze
• Konie na dole karuzeli mają większą prędkość liniową niż te na górze
• Ale kątową prędkość
mają taką samą!
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
5
2016-11-22
Przyśpieszenie obrotowe i liniowym
Moment bezwładności
→
• Przyśpieszenie dośrodkowe:
gęstość
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Energia kinetyczna
1
2
1
2
1
2
Moment bezwładności wydrążonego walca
1
2
⋯
2
1
2
2
1
4
2
Moment bezwładności
1
2
1
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Moment bezwładności zależy od osi!
To będziemy liczyć na ćwiczeniach
Moment bezwładności wydrążonego walca
Objętość walca:
Masa walca:
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
1
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
6
2016-11-22
Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał
•
•
•
•
Takie same masy Bez poślizgu – tarcie nie wykonuje żadnej pracy
,K
0
Na górze wszystkie ciała mają 0,
?
Na dole Toczenie się bez poślizgu
• Koło obróciło się o kąt θ
• Środek masy przemieścił się o • Zróżniczkujmy po czasie
• Warunek: Physics for Scientists and Engineers by Serway and Jewett
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał
1
2
1
2
ś
ś
1
2
1
2
U
ś
ś
Złożenie ruchów – postępowy i obrotowy
• Ruch postępowy – wszystkie punkty poruszają się w prawo z taką prędkością jak śm
• Ruch obrotowy – wszystkie punkty poruszają się po okręgu z prędkością kątową UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Wyścigi toczących się (bez poślizgu) ciał
1
2
1
2
ś
1
2
ś
ś
ś
1
2
1
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Twierdzenie Steinera (osie równoległe)
• Moment bezwładności zależy od osi obrotu
• ś ‐ moment bezwładności ciała o masie dla osi przechodzącej przez środek masy
• ‐ moment bezwładności dla osi równoległej oddalonej o :
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
7
2016-11-22
Przykład: pręt 1
12
ś
Dowód twierdzenia Steinera
2
2
1
12
ś
1
12
1
M
4
M
4
12
2
1
3
2
ś
ś 2
1
M
2
ś
ś ś
ś
1
M
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Ruch bryły sztywnej – ruch postępowy + obrotowy (analogie)
Dowód twierdzenia Steinera
• Dwie osie równoległe:
– Środek masy – Punkt P
Ruch postępowy
Masa Prędkość Ruch obrotowy
Moment bezwładności
Prędkość kątowa
Przyśpieszenie Przyśpieszenie kątowe Siła Moment siły ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Dowód twierdzenia Steinera
2
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
2
•
•
•
•
•
Dyskretyzacja: ciało składa się z cząstek
Obrót wokół osi Cząstka nr 1: , (odl. od osi z)
Cząstka – ruch po okręgu
II zasada dynamiki:
,
2
2
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
,
,
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
8
2016-11-22
II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Przykład: prymitywne jojo
•
To samo dla każdej z cząstek:
⋯
⋯
ś
•
,
0,
ś
ś
ś
1
2
1
4
ś
ś
3
4
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Co jeśli oś obrotu się porusza?
Przykład: prymitywne jojo
• Ruch postępowy i obrotowy
•
ś
•
,
0,
ś
• Zasada zachowania energii:
•
•0
1
2
ś
1
2
ś
•
ś
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przykład: prymitywne jojo
ś
2
0
Tak by było
dla masy
punktowej
UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
Przeczytaj
• Założenia:
– Nić nieważka, nierozciągła, bez poślizgu
• Jaka prędkość ś
po ?
• Bez poślizgu ś
• Początkowo energia kinetyczna
0
• Moment bezwładności UNIVERSITY PHYSICS, Copyright ©2012 Pearson Education, Inc., publishing as Addison-Wesley
9