43. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 15). a

43. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 15). a

Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
43. Rysowanie wykresów w dwu i trzech wymiarach (zob. 15).
a. Otwórz panel okna Wykres 2D i zapoznaj się z nim.
◦ Wyrażenie(a) - tutaj wpisujemy funkcję (bądź kilka funkcji), które chcemy narysować.
◦ Zmienna:x - podajemy przedział, w którym chcemy narysować wykres funkcji.
◦ Zmienna:y - podajemy zakres osi OY , która ma być widoczna na wykresie. Jeżeli zostawimy wartości
domyślne (tzn. od 0 do 0), wtedy zakres osi zostanie automatycznie dobrany do wartości funkcji.
Uwaga! Gdy funkcja ma asymptoty pionowe podanie tego zakresu jest konieczne.
◦ Znaczniki - określa liczbę punktów, z których tworzony jest wykres (im więcej, tym wykres będzie
dokładniejszy).
◦ Format: domyślny - wykres pojawia się w nowym oknie, wbudowany - wykres pojawia się w oknie
Maximy.
◦ Opcje: set size ratio 1; set zeroaxis - jednostki na obu osiach będą zgodne.
b. Zdefiniuj funkcję f (x) = cos x. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f w przedziale [−2π, 2π]:
— bez określania zmiennej y,
— z określeniem zmiennej y (podaj przedział [−2, 2]),
— z określeniem zmiennej y (podaj przedział [−2π, 2π]) i opcją set size ratio 1; set zeroaxis.
Czy widzisz wpływ poszczególnych poleceń na kształt wykresu?
c. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = tg x w przedziale [−π, π].
d. Narysuj w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = arc ctg x w przedziale [−5, 5].
e. Narysuj w oknie Maximy na jednym rysunku wykresy funkcji: f (x) = sin x, g(x) = sin x2 , h(x) = sin(2x)
w przedziale [−2π, 2π].
f. Narysuj w oknie Maximy wykres rozety siedmiolistnej danej równaniami:
x(t) = sin(7t) cos t, y(t) = sin(7t) sin t, t ∈ [0, π].
g. Narysuj w oknie Maximy wykres krzywej danej równaniem uwikłanym y 3 + 8xy − 8x2 − 4y 2 − 8y = 0.
h. Narysuj wykres funkcji f (x, y) = cos(x2 + y 2 ) dla (x, y) ∈ [−3, 3] × [−3, 3].
44. Narysuj w oknie Maximy na jednym rysunku wykres funkcji f (x) =
1
x−1
w przedziale [−3, 4] oraz jej asymptoty
pionowej x = 1 (by narysować wykres prostej pionowej x = a należy ją przedstawić w postaci parametrycznej,
czyli x(t) = a, y(t) = t).
45. Znajdowanie miejsc zerowych funkcji poprzez aproksymację (zob. 17).
a. Znajdź miejsca zerowe funkcji f (x) = e sin x − x2 .
W tym celu:
— narysuj wykres funkcji f ,
— określ liczbę miejsc zerowych, a także przedziały w których się one znajdują,
— skorzystaj dwukrotnie z funkcji find root. (odp. −0.719326970337148, 1.646369953612774)
Uwaga! Jeżeli funkcja solve nie zwraca rozwiązania dokładnego równania, wtedy znajdujemy rozwiązanie
przybliżone korzystając z funkcji find root.
46. Macierze (zob. 18).
a. Znajdź macierz A
· B − 3A, gdzie


−1 1
0
−1 2 , B =  1
2 0
2
−1

0
b. Niech A =  1
47. Listy (zob. 20).
1
T
[
]
[
−2
0
,B=
1
−1
]
[
2
1
. (odp.
1
2
]
7
A=
)
−2



−1 3
8 −3
3
3 0 . Znajdź macierz B T · A−1 . (odp.  13 −6
5 )
1 1
−9
5 −2
1
0
a. Zdefiniuj dowolną listę, a następnie znajdź jej najmniejszy oraz największy element.
b. Na przykład, by wygenerować listę [2,4,6,8,10,12,14,16,18,20] możemy użyć makelist przyjmując
5
c KZM 2012/2013
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
ak = 2k, wtedy wpiszemy makelist(2*k,k,1,10).
Wygeneruj za pomocą makelist listę [2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024].
c. Znajdź pierwszych 10 wyrazów ciągu an =
2n−1
n2 +2 .
5
7 1 11 13 5 17 19
(odp. 13 , 12 , 11
, 18
, 3 , 38 , 51 , 22 , 83 , 102 )
48. Wykresy punktowe oraz liniowe (zob. 21).
a. Narysuj wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, k2 ), gdzie k = 1, 2, . . . , 15. Listę z punktami
wygeneruj za pomocą makelist przyjmując ak = [k, k2 ]. W miejsce l, m, n wpisz dowolne liczby naturalne.
b. Narysuj wykres liniowy łączący punkty (k, (−1)k ), gdzie k = 0, 1, . . . , 10.
49. Pakiet draw.
Rozszerzeniem funkcji podstawowych plot2d, plot3d związanych z tworzeniem wykresów w Maximie jest
pakiet draw. By funkcje tego pakietu działały musimy go załadować wpisując load(draw). Na przykład
polecenie
wxdraw2d(explicit(sin(x),x,-2*%pi,2*%pi))
narysuje w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = sin x dla x ∈ [−2π, 2π] z formatowaniem domyślnym.
W ramach formatowania możemy zmieniać m.in. zakres, wygląd oraz opis osi, kolor, grubość oraz rodzaj linii,
itp. Wszystkie opcje formatowania, jak i opis funkcji w ramach pakietu draw wraz z przykładami znajdziemy
w pomocy programu. Na stronie przedmiotu znajduje się przykład powyższego wykresu z różnymi opcjami
formatowania.
Zadania do samodzielnego rozwiązania
50. Niech f (x) = sin x − 2 sin2 x. Narysować wykres funkcji f w przedziale [−6, 6], a następnie obliczyć pole
między wykresem tej funkcji, a osią OX od x = 0 do x = x0 , gdzie x0 jest pierwszym dodatnim miejscem
zerowym.
51. Obliczyć pole obszaru ograniczonego krzywymi: y = x2 − 9, y = x − 7.
2
52. Niech f (x) = (2x3 − x2 − 2x + 1)e−x . Narysować na jednym rysunku wykresy funkcji f , f ′ , f ′′ w przedziale
[−3, 3].
53. Narysować na jednym obrazku wykres funkcji f (x) =
x = −1, x = 1.
x2 +1
x2 −1
w przedziale [−6, 6] oraz wykresy prostych: y = 1,
54. Narysować wykres krzywej danej równaniami: x(t) = 7 cos t −
55. Rozwiązać układ równań
{
2
7 sin
√ t,
2
y(t) = 7 sin t cos t, t ∈ [0, 2π].
x2 − 4x + 3 = y
x2 + y 2 = 4x,
w R2 , następnie zobrazować to rozwiązanie graficznie.
56. Narysować wykres:
a) stożka z =
√
x2 + y 2 ,
b) paraboloidy z = x2 + y 2 .
57. Narysować wykres funkcji
 2
x
2

 (x + 3x + 2)e
5
2
x − 2x + 2
f (x) =

 4 sin(x−2)
x2 −4
w przedziale [−4, 4].
dla x < 0,
dla 0 6 x 6 2,
dla x > 2
58. Narysować na jednym obrazku wykres okręgu x2 + y 2 = 4x oraz prostej y = x − 1.
59. Narysować na jednym obrazku wykres okręgu x2 + y 2 = 1 oraz ewolwenty tego okręgu: x(t) = cos t + t sin t,
y(t) = sin t − t cos t dla t ∈ [0, 2π].
6
c KZM 2012/2013
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
60. Narysować w oknie Maximy wykres powierzchni śrubowej danej równaniami:
x(r, t) = r cos t, y(r, t) = r sin t, z(r, t) = t, r ∈ [0, 2], t ∈ [0, 3π].
61. Narysować na jednym obrazku wykres funkcji f (x) = x2 − 1 w przedziale [−1, 1] oraz wykresy okręgów:
x2 + y 2 = 4, x2 + y 2 + x − 2y + 76 = 0, x2 + y 2 − x − 2y + 76 = 0. Wskazówka: wszystkie krzywe sparametryzować.
*62. Narysować wykres walca eliptycznego 4x2 + 25y 2 = 100. Wskazówka: wprowadzić współrzędne walcowe.
*63. Narysować wykres sfery (x − 1)2 + (y − 2)2 + (z − 1)2 = 4. Wskazówka: wprowadzić współrzędne sferyczne.
64. Znaleźć rozwiązania równania ln(1 + x2 ) = cos x.
2
65. Znaleźć miejsca zerowe funkcji f (x) = x2 
− x + e−x − 4.

4 −1 2
4
1
0 1
1
.
Znaleźć macierz A−1 oraz A5 , gdzie A = 
3
1 3 −1 
1
0 1
2


1 2
1
1
Wyznaczyć rząd macierzy D =  −1 1 −3 −2 .
1 5 −1
0


4 −1 2
4
[
]
1
0
1
1
−1 2 0 3


, B=
. Znaleźć macierz A−1 · B T .
Niech A = 
3
1 3 −1 
1 4 3 2
1
0 1
2
Rozwiązać za pomocą macierzy odwrotnej układ równań 1

x1 +x2 −2x3 = 1



x1 −x2 + x3 = 0



2x1 −x2 + x3 = 1.


z
1
2
Rozwiązać w zbiorze liczb zespolonych równanie det −1 z − 1 2  = 0.
0
1
z
Narysować na jednym obrazku wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, sin k2 ), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 25
66.
67.
68.
69.
70.
71.
oraz wykres funkcji f (x) = cos x2 dla x ∈ [0, 8π].
72. Narysować w oknie Maximy wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, k 2 − 1), gdzie k = −4, −3, . . . , 4.
73. Narysować na jednym obrazku w oknie Maximy wykres funkcji f (x) = x3 − 9x2 w przedziale [0, 10] oraz
wykres punktowy złożony z punktów postaci (k, 3k 2 − 18k), gdzie k = 0, 1, 2, . . . , 10.
74. Obliczyć pole obszaru ograniczonego wykresami funkcji f (x) = −2x2 + x + 1, g(x) = e2x − 1.
*75. Używając pakietu draw i korzystając z pomocy programu Maxima narysować wszystkie wykresy z zadania
43 (c–h).
76. Niech an =
n2 +6n
2n2 −5n+1 .
Napisz algorytm oparty na pętli w funkcji block, który znajdzie najmniejszą liczbę
naturalną n spełniającą nierówność
|an − 12 | < 0, 005.
77. Napisać algorytm oparty na pętli w ramach funkcji block, który znajdzie liczbę naturalną n spełniającą
równość
√
( )
√
3
n − 2 cos π3 n = cos(πn) + 14 2n .
26
∑
78. Napisać pętlę typu for ... thru obliczającą sumę
n = 4
n parzyste
siętnej.
arc tg(n+3)
√
.
n2 +1
Wynik przedstawić w postaci dzie-
79. Napisać algorytm oparty na pętli typu for ... while, który znajdzie największą liczbę naturalną n spełniającą
nierówność
(n + 1) sin
1
(
1
n+11
)
< 0, 9876.
układ równań Cramera AX = B ma rozwiązanie postaci X = A−1 B
7
c KZM 2012/2013
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
Odpowiedzi do zadań
50.
4
0.5
3
f
2
7*cos(t)*sin(t)
0
-0.5
-1
-1.5
1
0
-1
-2
-3
-2
-4
-8
-2.5
-4
-2
0
2
4
6
8
7*cos(t)-7*sin(t)2/sqrt(2)
-3
-6
P =
-6
-4
− π6
-2
√
3
4
−
0
x
2
4
6
55.
+ 1.
{
x = 0.4825
∨
y = 1.3028
{
x = 3.5175
y = 1.3028.
3
x2-4*x+3 = y
y2+x2 = 4*x
2
51. P = 92 .
1
0
-1
52.
6
-2
f
fprim
fbis
4
-3
2
-1
0
1
2
3
4
5
0
-2
56. a)
-4
-6
sqrt(y2+x2)
-8
-10
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
8
7
6
5
4
3
2
1
0
53.
6
4
-6
6
f
y=1
x=-1
x=1
4
y
2
2
-4
0
-2
0
-2
2
4
-4
6 -6
b)
0
y2+x2
-2
50
-4
40
30
20
-6
-6
-4
-2
0
x
2
4
6
10
0
6
4
-6
2
-4
0
-2
0
-2
2
4
-4
6 -6
54.
8
c KZM 2012/2013
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
57.
60.
2
Function
1.5
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1
0.5
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 -2
0
x
0.5
-0.5
-4
-3
-2
-1
0
x
1
2
3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
61.
2
1.5
1
0.5
0
58.
-0.5
3
y2+x2 = 4*x
y = x-1
-1
2
-1.5
-2
-2
1
-1.5
-1
-0.5
1
1.5
2
0
62.
-1
Function
-2
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-3
-1
0
1
2
3
4
5
-6
59.
-4
-2
0
2
4
6 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
63.
4
cos(t), sin(t)
t*sin(t)+cos(t), sin(t)-t*cos(t)
3
Function
2
1
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
0
-1
-2
-3
-4
-5
-1
-6
-7
-4
-2
0
x
2
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
4
9
c KZM 2012/2013
⃝
Informatyczne podstawy projektowania, IŚ, 2012/13 – Maxima, część II
64. x = −0.9158576591 ∨ x = 0.9158576591.
72.
16
65. x = −1.5386991407 ∨ x = 2.5612093104.
 1

1
− 72
1
2
2
 0 −7
1
4


66. A−1 =  1
.
11
1
 −2

−
−2
2
2
0 −1
0
1


7813 −340 5503 5351
 2502 −110 1760 1709 

A5 = 
 6137 −274 4313 4202 .
2937 −128 2067 2003
14
12
discrete data
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-2
0
x
67. rz D = 2.

− 92
 −2

68. A−1 · B T =  11
 2
1
−10
−17
16
−2
69. x1 = 1, x2 = 2, x3 = 1.
70. z1 = 2, z2 = − 12 −
√
3
2

2
4
73.


.

150
x3-9*x2
discrete2
100
50
i, z3 = − 12 +
√
3
2
0
i.
-50
71.
-100
1
cos(x/2)
discrete2
-150
0
2
0.5
4
6
8
10
x
74. P =
6891
8867 .
0
76. 853.
77. 512.
-0.5
78. 1.59938.
-1
0
5
10
15
20
25
79. 795.
x
10
c KZM 2012/2013
⃝