ĆWICZENIE 3 Wykresy sił przekrojowych dla ram Zasady graficzne

ĆWICZENIE 3
Wykresy sił przekrojowych dla ram
Zasady graficzne sporządzania wykresów sił przekrojowych
dla ram
Wykresy N i Q
• Wykres sił dodatnich może być narysowany zarówno po górnej jak i
dolnej stronie elementu
• Znak umieszczamy pod wykresem
• Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
• *Wartość ustalamy z lewej i prawej strony
charakterystycznego w następujących przypadkach
punktu
1.
gdy w danym punkcie na danym kierunku przyłożona jest siła
skupiona, lub
2.
jeśli w tych punkcie schodzą się wiecej niż dwa pręty, lub
3.
jeśli schodzą się dwa pręty pod różnym kątem.
Wykres M
• nie umieszczamy znaku
• wykres rysujemy po stronie włókien rozciąganych!
• Wartości określamy w punktach charakterystycznych*
• *Wartość ustalamy z lewej i prawej strony
charakterystycznego w następujących przypadkach
punktu
1.
gdy w danym punkcie przyłożony jest moment skupiony, lub
2.
jeśli w tych punkcie schodzą się wiecej niż dwa pręty.
Na każdym elemencie ramy rysujemy wykres jak na elemencie
belkowym.
dQ
= −q
dx
dM
= +Q
dx
dN
= +n
dx
n składowa obciążenia ciągłego równoległa do osi x układu
związanego z osią elementu ramowego (kierunek podłużny)
q składowa obciążenia ciągłego prostopadła do osi x układu
związanego z osią elementu ramowego (kierunek poprzeczny)
Postać funkcji sił przekrojowych wynika z obciążenia w przedziale
charakterystycznym ( obowiązują związki różniczkowe )
∑ M ( 0 ) = 0 ⇒ 2 ⋅ 3 ⋅1.5 + 2 − 2 − 3 ⋅ 7 + R ⋅ 5 = 0
∑ M ( C ) = 0 ⇒ R ⋅ 5 − 2 ⋅ 3 ⋅1.5 − 2 + 2 + 3 ⋅ 2 = 0
∑ X = 0 ⇒ 2 ⋅ 3 − R = 0 ⇒ R = 6 kN
Sprawdzenie: ∑ Y = 0 ⇒ 0.6 + 2.4 − 3 = 0
1
E
A
F
F
⇒ RE = 2.4 kN
⇒ RA = 0.6 kN
Układy własne w punktach charakterystycznych
cosα = 0.6
sin α = 0.8
Obliczenia pomocnicze do wykresu sił podłużnych N
N ( A) = − RA ⋅ cos α = −0.36
N ( L B ) = − RA ⋅ cos α − WII = −0.6 ⋅ cos α − 2 ⋅ 3 ⋅ sin α = −5.16
N ( P B ) = −6
N ( DC ) = −2.4
N ( L C ) = −6
N ( P C ) = −6
N ( G D ) = N ( D D ) = −2.4
N ( F ) = −6
N ( E ) = −2.4
WYKRES N
N ( A) = −0.36
N ( L B ) = −5.16
N ( DC ) = −2.4
N ( G D ) = N ( D D ) = −2.4
N ( L C ) = −6
N ( P C ) = −6
N ( P B ) = −6
N ( F ) = −6
N ( E ) = −2.4
Obliczenia pomocnicze do wykresu sił poprzecznych Q
Q ( A) = RA ⋅ sin α = 0.48
Q ( L B ) = RA ⋅ sin α − W⊥ = −0.6 ⋅ sin α − 2 ⋅ 3 ⋅ cos α = −3.12
Q ( P B ) = RA = 0.6
Q ( LC ) = − RE + 3 = 0.6
Q ( DC ) = 0
Q ( GD) = Q ( DD) = 0
Q ( PC ) = 3
Q( F ) = 3
Q( E) = 0
WYKRES Q
Q ( A ) = 0.48
Q ( L B ) = −3.12
Q ( DC ) = 0
Q ( GD) = Q ( DD) = 0
Q ( LC ) = 0.6
Q ( PC ) = 3
Q ( P B ) = RA = 0.6
Q(F ) = 3
Q(E) = 0
Sprawdzenie poprawności wykresów N i Q (łącznie)
Wycinamy węzeł wraz z działającym obciążeniem!!! Zastępujemy
przecięcia ukłądami własnymi, na których z wykresów nanosimy
wartości sił przekrojowych a znaki uwzględniamy w zwrocie sił (+
zgodny z układem własnym , -przeciwny do wersora układu własnego.
Sprawdzamy równowagę węzła
∑ X = 0 , ∑Y = 0
Sprawdzenie dotyczy warunku koniecznego, a nie wystarczającego.
Węzeł B
Węzeł C
Węzeł B
Węzeł C
∑X =0
⇒ 3.12 ⋅ cos α + 5.16 ⋅ sin α − 6 = 0
∑Y = 0
⇒ 5.16 ⋅ cos α − 3.12 ⋅ sin α − 0.6 = 0
∑X =0
∑Y = 0
⇒ 6−6 = 0
⇒ 0.6 − 3 + 2.4 = 0
Obliczenia pomocnicze do wykresu momentów M
M ( A) = 0
M (F ) = 0
M ( L B ) = RA ⋅ 4 − W ⋅1.5 = −6.6
M ( L C ) = −2 − 3 ⋅ 2 = − 8
M ( DC ) = −2
M (E) = 0
M ( P B ) = RE ⋅1 − 2 − 3 ⋅ 3 = −8.6
M ( P C ) = −3 ⋅ 2 = − 6
M ( G D ) = −2
M ( DD) = 0
M ( A) = 0
M (F ) = 0
M ( G D ) = −2
M ( DD) = 0
M ( L C ) = −8
M ( P C ) = −6
M ( L B ) = −6.6
M ( DC ) = −2
M (E) = 0
M ( P B ) = −8.6
Sprawdzenie poprawności wykresu M
Wycinamy węzeł wraz z działającym obciążeniem!!! Zastępujemy
przecięcia ukłądami własnymi, na których z wykresów nanosimy
wartości momentów po stronie włókien rozciąganych.
Sprawdzamy równowagę węzła
∑M = 0
Sprawdzenie dotyczy warunku koniecznego, a nie wystarczającego.
Węzeł B
∑ M ( B) = 0
Węzeł C
⇒ 2 + 6.6 − 8.6 = 0
∑ M (C ) = 0
⇒ 6.0 + 2 − 8.0 = 0
Przykłady na kartkówkę
1)
2)
Wykres momentów
W każdym węźle schodzą się 2 pręty i nie ma momentów skupionych .
Wynika z tego że nie ma potrzeby rozróżniania prawostronnego i
lewostronnego otoczenia punktu. Jednak do obliczenia wartości
momentu trzeba wybrać jedno z otoczeń i narysować w nim układ
własny
jak np.na rysunku poniżej (gdyż w samych punktach B, C, D nie ma
zdefiniowanego
układu
własnego).
W
celu
przypisania
znaku
momentów i następnie odniesienia do wyróznionych włókien, musimy
zdecydować , które włókna wyróżniamy. Rezultat jest obiektywny tzn.
nie zależy od wyboru tych włókien (wybór pełni tu pomocniczą rolę)
Zapis zgodny z oznaczeniami na rysunku:
∑ M ( A) = 0
∑ M ( B ) = + P ⋅ l ∑ M (C ) = + P ⋅ l
∑ M ( D) = −P ⋅ l
∑ M ( E ) = −P ⋅ l
Obliczone wartości odnosimy na wykresie tam gdzie rysowane były
układy własne
Na niebiesko
A następnie przenosimy na drugie otoczenie.
Wewnątrz naroża węzły B, C
na zewnątrz węzeł D
Uwaga : takiego przeniesienia nie da się zastosować do wykresów N i Q
Teraz możliwe jest narysowanie wykresu
PRZYKŁADY Z PODANYMI WYKRESAMI
Przykład 1
Uwaga: * obciążenie ciągłe działa na tą część, na którą spada jak śnieg i tam się
zatrzymuje, nie spadając na części leżąc poniżej. (z tego wynika ,że obciążenie ciągłe
dotyczy poziomego elementu, a nie dotyczy ukośnej prawej części belki leżącej poniżej.
Dotyczy natomiast lewej części ukośnej )
** przecięcie na dwie rozłączne części przechodzi przez tylko jeden punkt konstrukcji
Przykład 2
Przykład 3
Przykład 4