pitagorejczycy-wykład_Teodorosa

Matematyka pitagorejczyków
Liczebniki kamyczkowe
Rozumowania oparte na
spostrzeganiu symetrii
Odkrycie niewspółmierności
Gnomon
znaczy cień
w Grecji słońce jest wysoko
wyżej niż u nas
i cień jest krótki
Tu tygrys
Patrząc na liczebniki kamyczkowe
pitagorejczycy wyróżniali
liczby parzyste
i
nieparzyste
liczby pierwsze
Liczby kwadratowe
liczby prostokątne różnoboczne
Liczebniki kamyczkowe
pitagorejczyków
Matematycy prowadzą swoje dowody
na konkretnych figurach.
Jednak ich dowody nie dotyczą tych, co właśnie kreślą
lub widzą patrząc na cienie lub odbicia w wodzie,
ale tych pomyślanych form,
dla których te konkretne są tylko krzywymi obrazami.
Ich dowodzenia dotyczą tego prawdziwego
pomyślanego kwadratu,
prawdziwej pomyślanej przekątnej,
nie tej, którą właśnie kreślą.
A widzą takie formy, które żaden człowiek
nie może inaczej zobaczyć jak tylko myślą.
(Platon, Państwo Księga VI, 510 DE)
Symetrie
osiowe
środkowe
obrotowe
przesunięciowe
Tygrys, tygrys
Zanim skoczy
Ty zobaczysz jego oczy
Spirala Teodorosa
Zagadka historyczna
b
b
b
b
b
b
b
b
b
Teajtet, 147, V D
„możnościami”
To jest niedopowiedzenie
słowo dinamis
Διναμις
znaczy raczej
nieokiełznana siła
Przekątna i bok kwadratu
dawała procedurze taką siłę
takiego kopniaka,
że ta procedura nie mogła się zakończyć
Czy była to wada procedury,
że nie mogła wskazać
wspólnej miary dwóch odcinków,
chociaż
dla dwóch liczb
zawsze musiała się zakończyć?
w najgorszym przypadku na liczbie jeden.
Ale gdy dwie liczby miały jakiś
wspólny dzielnik,
to ta procedura kończyła się na
największym wspólnym dzielniku
NWD
rysunek
był przekonujący
dla przekątnej
i
boku kwadratu
Ale dla przejkątnej i boku kwadratu
Przekątna miała taka siłę,
względem boku,
że procedura naprzemiennego odejmowania
nie mogła się zakończyć
Διναμις = siła, dynamit
Można rozumowanie Teodorosa odtworzyć na
prostym kalkulatorze
2Ѵ¯
1.4142135
-1=
0.4142135
÷=
2.4142135
-2=
0.4142135
÷=
2.4142135
÷=
0.4142135
-2=
2.4142135
÷=
0.4142135
…
…
Naprzemienne odejmowanie
Daje rezultat NWD
dla dwóch liczb naturalnych,
ale dla odcinków?
Uruchomione dla odcinków,
czy daje wspólną ich miarę?
Tu proceddury nie wystarczą.
Trzeba mocnego dowodu.
Eleaci:
Pierwsza zasada logiki:
nie może być jednocześnie
prawdziwe
zdanie i jego zaprzeczenie
Pole = 2
gdyby 2 = p/r
2rr = pp
(Ile razy dwójka występuje po lewej, a ile po prawej?)
Pole = 3
Gdyby 3 = p/r
3rr = pp
(Ile razy trójka występuje po lewej, a ile po prawej, parzystą czy nieparzystą liczbę razy?)
2
p
q
po lewej stronie
czynnik 2
pojawia się nieparzystą liczbę razy
po prawej
parzystą
Czy takie rozumowanie Grecy mogli w tej epoce
IV wiek pne prowadzić?
Nie!
Nie znali ułamków!
Ale jest źródło pokazujące inne rozumowanie
w dialogu Menon
Gdyby przekątna i bok miały wspólną miarę
i ich długości wyrażały się liczbami naturalnymi,
ile razy czynnik 2 występowałby
po lewej i po prawej stronie
2bb = pp ?
?
Czy takie było rozumowanie
Teajtetosa i jego przyjaciela?
Zadanie domowe
Spróbujcie uruchomić symulację
naprzemiennego odejmowania
na prostym kalkulatorze
dla √5
Gdy przebieg tej procedury narysować
to widać, że dla √5 ta procedura nie ma stopu
(÷= znaczy branie odwrotności)
Widać?