Twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa
i jego uogólnienie...
Twierdzenie
Pitagorasa
Suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych
trójkąta prostokątnego jest równa polu kwadratu
zbudowanego na przeciwprostokątnej tego trójkąta :
Uogólnienie
twierdzenia Pitagorasa
Jeśli na bokach trójkąta prostokątnego zbudujemy trzy
figury podobne (np. Półkola), to suma pól figur
zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu figury
zbudowanej na przeciwprostokątnej.
Figury podobne
Figury podobne, które można wykorzystać w TP, mogą
zastąpić kwadraty. Są to figury, z których jedna jest
obrazem drugiej przez podobieństwo.
Jedną z figur, które
można zastosować w
TP jest półkole.
Półkola - dowód
Jeśli równanie wynikające z tw. Pitagorasa obustronnie
pomnożymy przez Pi, a następnie podzielimy przez
osiem, to otrzymamy, że suma pól półkoli, których
średnicami są przyprostokątne jest równa polu półkola,
którego średnicą jest przeciwprostokątna.
Uogólnienie twierdzenia Pitagorasa =
Twierdzenie figuralne
Wersja przestrzenna
W czworościanie prostokątnym (tzn. takim, gdzie 3
krawędzie wychodzące z pewnego wierzchołka są parami
prostopadłe) suma kwadratów pól trzech ścian
przyprostokątnych (tzn. leżących przy kącie prostym
czworościanu) jest równa kwadratowi pola ściany
przeciwprostokątnej.
Dowód twierdzenia
Pitagorasa
Podsumowanie
Zauważ, że suma pola pierwszego kwadratu opartego na krótszej
przyprostokątnej i pole drugiego kwadratu opartego na dłuższej
przyprostokątnej jest równe polu trzeciego kwadratu na przeciwprostokątnej
trójkąta prostokątnego. Widać to właśnie na podstawie graficznej układanki,
gdzie pole drugiego kwadratu na dłuższej przyprostokątnej jest porozcinane i
umieszczone na przeciwprostokątnej, gdzie na środku pole kwadratu
przeciwprostokątnej jest wypełnione polem pierwszego kwadratu z krótszej
przeciwprostokątnej.
Bibliografia :
Interklasa
Matematykam
Womkat
Msn.ap.siedlce
Prezentacje wykonali
Arek Jędryszek
Maciek Kowalczyk
Kamil Górecki
Klasa IIc