Zestaw 6. zadań z Matematyki Finansowej1

Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach
Zestaw 6. zadań z Matematyki Finansowej1
Spłaty długów2
Zadanie 1. Kubuś zaciągnął dług u Prosiaczka w kwocie 1 200 zł. Umówili się, że po pół roku Puchatek
odda Prosiaczkowi 400 zł, po roku 600 zł a po półtorej roku całą resztę. Wyznacz wartość trzeciej raty
zgodnie z zasadą równoważności długu i rat, jeśli półroczna stopa procentowa jest równa 5%. Ponadto
oblicz wartość długu bieżącego po drugim półroczu (po zapłaceniu drugiej raty).
Zadanie 2. Tygrysek pożycza 10 000 zł od Krzysia. Umawiają się, że Tygrysek spłaci dług w 4 ratach:
2 000 zł po trzech latach, 2 000 zł po czterech latach, 2 000 zł po pięciu latach i resztę zadłużenia po sześciu
latach.
a)
Wyznacz wartość ostatniej raty zgodnie z zasadą równoważności długu i rat, jeśli roczna stopa procentowa jest równa 9%.
b)
Oblicz wartość długu bieżącego po zapłaceniu trzeciej raty.
c)
Wyznacz schemat spłaty długu (w formie tabelarycznej).
d)
Po 5 latach po zapłaceniu trzeciej raty Tygrysek widząc, że trudno mu będzie spłacić resztę długu
zgodnie z umową, prosi Krzysia o restrukturyzację długu i wydłużenie okresu spłacania pożyczki
i rozłożenie spłaty ostatniej raty na trzy równe raty (w odstępie rocznym). Krzyś dodatkowo oferuje
od tego momentu obniżenie rocznej stopy procentowej stosowanej w rozliczeniach do poziomu 7%.
Wyznacz wartość owych nowych trzech (stałych) rat.
Zadanie 3. Homer kupuje w systemie ratalnym ogromny telewizor LED za 3 800 zł. Pożyczka o tej wartości
ma być spłacona w 5 kwartalnych ratach o stałej wysokości (na koniec kolejnych okresów kwartalnych).
Kwartalna stopa procentowa jest równa r 1 = 3%.
4
a)
Wyznacz schemat spłaty długu (w formie tabelarycznej).
b)
Oblicz łączną wartość wszystkich odsetek zaktualizowaną na moment 0 dla wyznaczonego planu
spłaty długu.
c)
Sprawdź uwagę podaną na wykładzie, że kolejne części kapitałowe tworzą w tym schemacie ciąg
geometryczny o ilorazie (1 + r).
Zadanie 4. Rozwiąż ponownie zadanie poprzednie (ratalnej spłaty pożyczki Homera), tzn. wykonaj polecenia a) i b) z poprzedniego zadania, przyjmując tym razem, że przedmiotowa pożyczka ma być spłacona
w 5 kwartalnych ratach o stałej części kapitałowej. Ponadto:
c)
porównaj łączną wartość odsetek przy planie ze stałymi ratami z łącznymi odsetkami w planie o ratach ze stałą częścią kapitałową
d)
sprawdź uwagę podaną na wykładzie, że kolejne raty oraz części odsetkowe tworzą w tym schemacie
ciąg arytmetyczny o różnicy −∆D · r
e)
dokonaj restrukturyzacji schematu spłat długu (przelicz na nowo pewne wartości w tabeli przedstawiającej schemat spłaty długu) na okoliczność, w której Homer tuż przed zapłaceniem drugiej raty
wygrywa na loterii 250 zł. Za porozumieniem stron bank przyjmuje jednorazowo drugą ratę powiększoną o owe 250 zł a dodatkowa kwota ma skrócić czas spłaty lub przynajmniej zmniejszyć wielkość
ostatniej raty.
c 2016 Michał Trzęsiok
Copyright 1
Zestaw dostępny pod adresem: http://web2.ue.katowice.pl/trzesiok/zestaw6matfin.pdf
2
Ten zestaw jest sponsorowany przez LATEX’owy symbol [\Burns]:
Matematyka Finansowa – Suplement
Do oceny efektywności kredytu lub pożyczki stosujemy mierniki efektywności inwestycji. Dla kredytów i pożyczek najważniejsza jest wewnętrzna stopa zwrotu (IRR) (liczona z punktu widzenia banku) nazywana w tym
szczególnym przypadku rzeczywistą roczną stopą oprocentowania (RRSO)
Założenia i oznaczenia dotyczące RRSO
Przyjmujemy bardziej ogólne założenia niż wcześniej. Zakładamy, że mamy dwie strony:
a)
wierzyciela, który przekazuje w pewnych momentach czasu tα (może być wielokrotnie) środki pieniężne Aα
dłużnikowi
b)
dłużnika, który zwrotnie przekazuje w pewnych momentach t0β czasu (może być wielokrotnie) środki pieniężne
Bβ wierzycielowi oraz:
c)
momenty czasu płatności wierzyciela i dłużnika są wyrażone w latach; nie muszą się pokrywać i nie muszą
następować w równych odstępach (są dowolne)
d)
za moment t = 0 przyjmujemy moment przekazania przez wierzyciela pierwszej płatności
e)
płatności dokonane przez dłużnika obejmują nie tylko zwrot otrzymanego kapitału oraz należnych odsetek, ale
również prowizje, koszty manipulacyjne, koszty ubezpieczenia itp.
Definicja 1. Zasada równoważności długu i spłat
Dług dany płatnościami Aα w momentach tα jest równoważny spłacie danej płatnościami Bβ w momentach t0β , jeśli
kapitały wzajemnie sobie przekazane przez wierzyciela i dłużnika są sobie równoważne, tzn. aktualizując wartości
kapitałów na moment 0 będący momentem przekazania pierwszej kwoty przez wierzyciela, można tę zasadę zapisać
w postaci:
k
m
X
X
−t0
−t
Bβ (1 + r) β
Aα (1 + r) α =
α=1
β=1
Zasada ta jest konsekwencją zasady równoważności kapitałów.
Definicja 2. Rzeczywista roczna stopa oprocentowania (RRSO)
Rozwiązanie r powyższego równania przy danych pozostałych wielkościach nazywamy rzeczywistą roczną stopą
oprocentowania (ozn. RRSO)
Uwagi:
a)
Dla dłużnika RRSO stanowi rzeczywistą stopę kosztu spłaty długu
b)
Od 2002 r. w Polsce obowiązuje ustawa nakazująca każdej instytucji oferującej pożyczki i kredyty obliczania
i podawania wartości RRSO.
c)
Obliczenie RRSO czasem nastręcza problemów natury numerycznej
d)
RRSO nie jest wolne od wad (np. RRSO faworyzuje schematy z długim okresem spłat), ale wydaje się jednym
z najlepszych narzędzi oceny kredytów i pożyczek
Zadanie 5. Prosiaczek pożycza z banku 800 zł na dwa lata. Pożyczka ta ma zostać spłacona w jednej racie po
dwóch latach. Dwuletnia stopa procentowa jest równa r2 = 18%. Oblicz RRSO.
Zadanie 6. Prosiaczek pożycza z banku 800 zł na dwa lata. Pożyczka ta ma zostać spłacona w jednej racie po
dwóch latach. Dwuletnia stopa procentowa jest równa r2 = 18%. Dodatkowo bank pobiera prowizję od udzielonej
pożyczki w kwocie 30 zł, którą Prosiaczek musi zapłacić w momencie otrzymania pożyczki. Oblicz RRSO i porównaj
z wartością otrzymaną w poprzednim zadaniu.
Innym ważnym miernikiem służącym do oceny decyzji inwestycyjnych jest wartość bieżąca netto (NPV )
inwestycji
Definicja 3. Wartość bieżąca netto inwestycji
Wartość bieżąca netto (ozn. NPV ) inwestycji jest sumą zdyskontowanych na moment t = 0 nakładów i dochodów z inwestycji przy ustalonej stopie procentowej
NPV =
n
X
j=0
c 2017 Michał Trzęsiok
Copyright −tj
Aj (1 + r)