matematyka_6_1983_WSiP

Komentarze

Transkrypt

matematyka_6_1983_WSiP
O klrfU . o p r ^ w o *
Wsti'p
M ko*
Lircry zamiasi liczb
RaJakior w hw cm y JW '"™ W " 1
Korckior Hjnnu Pl*lr:jk
I’om ytl iobie i.tk.iN lic/b? I’nmyUniia lic/h? pomno) pr/iv ilu.i PomnnJylc%’Odc|mi)d/»fM^v Wymk pml/icl p r/c/d w a.a poiem d(nU| iKdcm I >•kI t,
j c h / . c / c tr/y. u potcm odrimij lic/bv, kloru sohic pomytUM na poC7*tku I /v
donulc* pm Ik?? SpiSir/ mi if uforlkf
Podrjcrnik M.w.crd/onv do u*«ku uk olncfo
l. i c / h u (X 'tn v iljn u
1
3
i
in
0
l«
r.i/v ilw a
J
4
*
50
(I
?!»>
m in u « il/irM ft
-H
-*
- 4
10
- 10
1*1
J / k ' I n n c p r / c / ilwii
• 4
- 1
\
.1
p l u t t i r d i ’fli
»
4
j
1?
)
I0J
p lu * i r / v
ft
T
N
in
1
in -
m i n u i 10, c o p i > n i \ > U l r t i u p t K / q l k u
i
5
*
1
]
J
«t
Tu tabclka tylko potwirrtl/a to. co mo>na pr/ypii'./c/aC. po<Mnicnc' /.i<*\/e
dosluwac same pi.|lki Nic wyiaAnia icdnak dlacccgo.
Aby to bli>ei wyiainii. iprAbuj o/nat./y£ tf lit/b?. kiom pomysLilc* n*
poc/i|tku lukimkolwiek /nakicm MoJc 10 by£ |nki«. obra/ek. ulc ndiwygndmci u>y<J jaltiej* litery, wvy<tko rcdno c/ego. bylcby in hylo r<Sinc od /naki'w
litvb. Zobacr.
r
C o p y r ig h t h» W y i U v i u c i v t % / i n l n t i H w U f i . p c / n c
W an /« % > IW I
LVBN
A
P
P
X
X
K
5
5“
p+p-» r-s
^5 r
Ef
P*5 5“
*P Jtw
* iX » Xr #* X f 5
£x Zx-10 x-5 **%**5 r
AA A A*
5Ur
m m
3
O blhvcm r to mo/emy /apt***! u pomocti *r ^
t, A ip,-./ odpnwicdnic w\r.i/cinc k-,
e^eA€)jB J3iJPlJ>
:2
+1
*3
“ /*
lub >» mny »po»ob
..............
.d o k ,h > ,
I r " ^ ’ w>n,k Pw */l*l Pr/>v ir/y 1 dodaj do n.« mo h u b * b '
7. Dla: 11 - 10, /> - 8. r • - 2 oblitz wario*c wwa/en
b)
d + fr+ f,
c) a - A - c ,
el u -
b> J d - u .
d»»-»,
X. Dla: x • - 2 . - 1.0. I, 2 oruz j •
<+>'. x - y . |x +)•)(.*->').
fr.
g|«-Vf*
0 )r-r.
h>,-V
2, - 1 . 0 , 2 oblicc
W yniki zapi-./ w rabclcc. » mottiwic przeirzysty »pu%ob
( ( l - x - 10) : Z ) +
R dwnania
( n - i o ) ' j
+1 * b - x * x - 5
+ 1 °-x
- .5
W starym /b io r/c / /adaniam i Olck znalitzl /a d tmc. ku>rc p r/c c /y u l Gapciowi:
Oblit^crua wykony^anc na liczbach w tabcli s«i rn.ilo przcirzy>te. N ic m o ic my zobacyyi w tulvrli. dlaczcgo /aw s/c dostaiemy ton sam wynik U m icjftn e
u>ycie innych »ymboli. obok zwyklych znakow lic/b. w p ro w ad za pcwn:»
przeir/yMofc do ruchunkow NojUiwici, gdy pcwne liczby zapixzem y za
pom<'C3| liter
Piqi razy tylc k(H, t o uut b\lo w pt‘* n \m n»c<<(r w e m 'to J w n J .i f b ij
P n n itd x Siybko, 1If bylo kol, a lie aut'*
G ap cio p r/ec/u w n l jukiA pod<icp Zae/nl 'i f /uslanawuui. O lac/ego piei
kicdy k a /d c a u to mu /wyklc c/lcry kola. aha. pr/ccie> /apaxowc, nn to
dobrzc. T c ra / uwupa. U loi? ostro/m c r<Swnanie: . . P i r a / y tyle k»). to bui"
5 Jt»
1.
Pomy<l »obie jakj»n liczbe dodaj do mcj dwanaicie. wynik p o m n 6 >. p r / c /
trzy ‘ Czy m o M / podac d ah/y cwjg icj sztuczki. lak aby n iwszc wyszlo
czicry'’
2. PoniZvy cutg opcracji moJcs/ zapnac jednym w y rairm em
odpouiednia /ajiadkf 1 zagrat / kolcga.
© i**,
0
3. Z obaor
(3
6 - x. UI6>
a ,©
- - x - » - 2. UI6> na tej podxtawic nowq zabuw ?
4. Te wyrazrma opuuja zugadki lypu:
„Pomy*l v»b.c jak«i liczb y J a k , k v b c b*lzic*z o ir/y m y w a l?
^
“
*,
b)
< 2 t- « - * + l 0 0 |
a
drugic rAwnante ,.ra/em sto dw adzjekin". ra/cm kot 1 aut oc/y wi<(.ie.
h+a »
120.
Z am iusl a w drugtm r6wnaniu. in6wil w b ie Gapcio, \ ^ ta * ic tak. iak tnowi
picrw<izc, 5k. Jc<t( k t- $k • 120, to /n a c /y t>k - 120 S k a d i - 20 Kol bylo 20
a aut? Aut wychodzi mi »to Troche mi w y v lo /a malo tych /apaxi*wy«.h k.»t.
m yili G a p c io .. Dlaczcgo? Prz.ecie> d o b r/c /api-ialcm rownamc, pice ru/v tyle
kol. co aut. 5k m ti . k + a - 120 Czy w icv. gd/ic Gapcio zi.'bil Wad C zascm tekst icst tak /apixany. ic mo>CNZ pi\ac rownamc. w auarc lego iak
czytasz. cz*4ciei jednak trzeba prtcczytaiJ calc /adam e do kortca 1 dobr/c mc
zastanowni. czcgo jest m m ej.czego je>t wiccej Mo>na ie> ip ro h o w rt naiy\ownc‘. to co m 6w. r6wnan.e 1 por6wn«<l, czy zgadza m« to / tckticni
c » »2.<- « —jc-f 100) 25,
^
(j) J *
"
,H n "
‘1 ? d'A '>rtt/0nym Z“ f'l%cm « « * d k i. ..PomyAI ,o b ic jaki<«
o .rzy m * Meat* ^
1
£
0
^
c) fui—4a,
kjr
* Wyra>Ch' *by W k o A tow y m w y " iku
2b + 8f>.
5a •A
1
9.
. S p r . ^ . >c J l . v - I. J.
« S -J .O ,
D o nastcpujaccgo xchcmatu n a p iv ukfad rAwnart . , Pr 6 bu, uklad ten
rozwujzad:
h jJx -x -2 x -»
II
2. Z ftdm j. ciy ir i«
i
. 18- k - O ,
31
x
b )--l.
c)x J - 9
i W pcwnci i/kole uc/mow , « t d z .« * c razy lylc. co nuuc/ycicli. R a /c m
u am o w , nauc/ycidi j « t 264. Ilu je«i u a m o w , u ilu nauc/ycicli?
4. II Kowalikich jest dwa ra/y tylc dzicwczynck. co chtopc<Sw. R a /c m jest
ich H/cteioro lie jcm d/icwczynck. a ilu chlopcdw'?
5. a) Marek ma x /I.a Mirek ma y /I. Murck ma o 5 zl wifccj. K t 6 r e z rAwnurt
opisujc lyiuacje?
I. x + y ■ 3,
II. x - y ■ 5,
III. x ■ > + 5.
b) Marck i Mirek ra/cm majq 99 A Marck ma o 5 zl wivccj. K l 6 ry u klad
rownari dobr/c opisujc tc sytuacjc?
I. (x + y m 5
II. f x - y - 5
11
10. N apisz uklnd r 6 wnart i sprAbuj go rozwia/ad. gdy
S
III. fx - y + 5
|x + y » V 9
) * + > • ■ 99
} x + l» 1 0 0 -y
lie picmjdzy ma Marck. a dc Mirek?
6. Wyobraz >obie pcwicn czworodcian. Ma on cztcry iciany. K a id a Acinna
jest tr 6jk«tem i ma (rzy kraw^d/ic Kraw^dzi byloby trzy razy tylc co
teian. gdyby me to, *e kaida z kraw^d/i nalciy do d w 6 ch scian. K t 6 re
z tych wyraicft podaja liczb$ kraw^dzi;
L 4 4+ 4 ,
IL y .
*uanr p it m y rxmy mmc) ntf
12 5 lie la bryfa ma wier/..
cholk6 w. a tie krawpdzi'*
6
to
—
-- 10 --------11. N apisz uktad r 6 wnart, ktory optiuje modelowo na»t?pujaca tytuacjn
iX +91
A
i
12. * )
L 10ttl
A
12. W starym kalendarau ro ln io y m znalcfltfmy taki wtenryk:
*■ Do na»icpuj,ce*o »chcmatu napiw
*
v
--------
y
III. t ? 7
C/y r 6 wname 4 3 - 2 * dobrzc opuuje hczb$ kraw$d/.i w czw orofcianic?
7. Saany dwunaioofcuum forcmnego h picciokatami forcmnymi. Liczbi krawpda
w i*j bryte jmt dwu razy
mniciua ntf lic/bu 12-J.
Wier/uholk6w w dwuna.no-
■■ — ■ 1
-—
P lot trey lata,
P » 3
K ot trzy ploty,
K - 3P
Czlck trzy konie,
C - 3H
Kort tray koty.
W - 3X
S pr 6 buj rozwi^i*^ ten uklad r6 wnari.
13. O pow iedz iiwoimi alowami. co to j*»t r 6 w n o « . a co to Je»i rOwnanie.
He l>7ek cukru. na tie kom potu w o a lo k i a He na v k lan k * nP „ u „ Mk,
ubm ki
Proporcje
Nobo /uptim e inac/ci ro/w n/y* *! zadama O lka o .ujtach i koiach (t. 5 )
fVwwdZMl od razu kN >c»i «*\io\unku do aut tyle. co p if t do icdnego Trzebu
n a p iu tt
4
*
11 w culoici. a w wklancc *
>;
:
Tc ulam ki wyra>uu» tt tam a l.c/bc. bo kompot byl dobr/e wyrmevany
I
, M , p c n .n o * <*« .cro n, « l M n o H i p r « , > » « »
10
*
n
V-
Jakq lic/b a iett x? Jak ro/wn/a<i takq /agadke"*
A gata od r a /u powicd/iala, ie *ypada po 1 ly>ce cukru na %/klanke 1*e to
T e n / pore n4 *kracamc
t \ - „ 5.
musialy b y i jakie* kwaine owoce T o p rm te 2* litra tod/ie\ieC v/klanek. na
/
k • a 5 - 5<i
jcdnq \/k la n k ? - jedna lytka cukru
Ale W u - 120. wkC zamiast k witawiam 5a i do*iaj<. tc 6a - 120. Z atcm
Zadanu-. A gata pr/yn io ila babci zapteki ro/tw 6 r kwi«u borowrgo w wod/te
a - 20. * - 1W. Dwad/iekia aut. »to k61. Zgadza *•?.
W driwnytn zbiorze /adah Oik# /nalrfliiniy jei/cze takie /ad an ie.
J t:th
»
p o i t o r a k o t a z /a U u p o h o r e j m y s z y
r u M u p o ito r a ly y t id n io
uedem
»
e u ig u p d lt o r a
d n u t. to
lie
m y s z y Z jt
k o t d w ’’
Co tA /adam «. povMcd/iala Agata. ja me b*d? kraja* kotbw na p 6 j. naw et
w myili. Jeby to ro/wia/ac Wcale me m u « « k rajai kola, powiedzial Olck..
ki6 ry ma bardzo ladncjto kota, to chodzi tylko o pewne proporcje. Jc ieh
poitora kola /|ada poltorej my»/y w ciagu pewnego czatu, lo r 6 wnie d ob rze
mofna po*icd/tcc. >e tr/y koiy /ja d a n w tym \am ym c/asic trzy myszy. albo
losam o./e jcdrnkoi wtymczaMc /jadajedn* myvc. Nie mu%t\z k r a ja i k o t 6 w.
to »cm lylko pewMn *po\0 b opiiu pcwnych proporcji i nic wi^ccj. A ja w og 6 lc
me lutMc koUii*. po»icdzial Nobo. ale tc koty zjadalyby w cuigu tym>dnia 49
mywy, gdyby ka/d> / mch /jadal icdna m y v d/jcnm c Ale one /jad aj*. kaJtdy
kot *wo(a m yv. w ciagu poitora dma. to /nac/y proporcjonalnic d o lego, 49
mywy » ciagu poitora tygodma T o ch o d /i oczywikie u ja k ic i fikcyjne koty,
takie. co me muvz* uintod naprawd? M 6j kot. n a przyklad, wcale me ja d *
myvry
W lym um ym /h.or/e /adah kt 6 ry jak 1* okazalo. Olek do»u» o d d o a d lt* ,
bylo jev c/c bard/o duZo d/iwnych /adah. Agata wybrala u k ie;
L»,
fHir.’ u d . c n u Jw.H-h I pM h „ u k o m p o tu z u t y t n d z if, l< S l y t r k s t o lo w y e h
■ukru l U
y U k c ukru prz yp u d u nu „ d m , , : k l a n k < k o m p o tu . J r u l , p r : v , 4 . U
* / " * • > ■ U ,,T r
I
l o k h d m , , z itr y ,z k la n k r
N a butelcc bylo n apnane
nc id 1 b o n d IJ>
aquae dext ad 50.0
T o znaczy: kw aiu borowego 1.5 (. viody deMvlowanci do 50 g. inac«i mowvji.
50 g r o /tw o ru /aw tera 1.5 g kwa»u borowego Jak m yilii/ iloprocentowy byl
ten roztw 6 r?
G d y nie m o i e v odpowtcdzie*: bez pisama, m o*ev /robtC takie obbc/eme
gdyby w butelec/ce bylo 100 g takicgo plynu. w6 w c»n m o/na by narywwac
taki schemat:
„
it9t------- ^
£
a
cUr
tU T ty
k l 6 ry proiciei m o /n a /apito«: /a pomoca r6wno4ci tak u h ulantkow
i.J
soil
_
« .
tiw.0
O p ow icdz«* oim i ilow am i.co lo jeit x ’C /y potraHlbyt ro»nk-> o p ow icd/nv
co w tym k o n te k k ie mo>e jc%zc/r /nac/yc
I. Do kivrnu o|6rk 6» potrwbny )ttt ro/tw6r *oli w wod/ie R o /p u v c /o n o
5 Ja> »oli kuchi-nnei w rdnym liirre wody (litr wody wa>y jedcn ktlolirum) JaI i proccnt voli ictt w lym ro/tworw?
1 ai Jedna d/ietiaia - ilc 10 pcoceni?
h) Ik to proccnt - jedna c/warta?
.V Vk d/icnmku /apnanych jeti 30 uc/mow T r/cch |C»( nicobccnych. lie 10
proMOkqio. o d p ow iadan m g o pojadync/e) karicr
tc/cli p»d/t«limy
k.irikc A5 w p opr/ck na pol. to do tu m rm y d*h- kunki / ku.iych k iM.i
bed/ie rnu'c kv/talt podobny do talci kartki. ale hfdsic /mniris/rnKrin
w pcwnci tkuli kartki A5 Obic m m cn/c kariki I’eda nnal> format \<i
prooent?
4. a) Na poc/aiku roku wkolncgo Olck woJyl 50 kg. Po micsujcu wagn jego
\*/ro\la o ft"„ Olck
lym /amepokoil i poflanowil %i$ o d c h u d /i 6. Po
dwiKh tygodniach *padl na wad/e o t>"„ C /y Olck wr 6 cil d o swojej wugi
/ pot/a tku roku i/kolncgo * lie waiy?
hi W trodku wakacii Agata way via 30 kg. Z ara/ po wakacjnch okuzato
'if. >« w*>\ jci/c/e mniei, mmej o I 0"„. To /a malo. p o iu n o w ilu pr/ytyd.
Po duoch tygodniach nauki waga jej w/ro*la o 10°„, He w aiy?
5. Zgadmj. iaka lic/ha jc m x:
•
«
b i4 t
lc,
«
c ,»
X
*
X
d ) - ; . . 1.
/j
t
6. al N* ry\unku ai w id/it/dw a tr6 |ki|ty podobnc Jcdcn jc « zmnicjszenietn
drugicgo » tkali I 3. Ohlicz x
b) Na rytunku b) w id/iv kwadrat. ObJicz x.
G dy figura gcomctryc/.nu jest /m niciuona w pewncj %kali, wtedy k i/dy |Ci
wymiar limowy jcM /mmejs/ony w lc| tamei skali, c/e*io mowimy * lym
samym stosunku.
G dy figura geomctrycrnu j « t /.mniciwemcm lub powivkvcmem w prwnci
ikuli innej figury, wtedy m6 wimy. >c figary te v| |
Zalo^ym y lern/. *e mnieiwy bt>k kartki A5 ma dluyov. j . uieki/s b»>k
natomiiiHt. dlugofc! x Gdy pod/iclimy lc karikf M , w pupr/rk na p«l
dosuiniem y prosiokni podobny, Aft Stoiunek kroiv/ego boku di> dhiit/egn
boku powinicn byi‘ dla obu pro»tokqlow jednakowy Moiemy /jpivm. lo
u>ywajnc ulamk<Sw.
Figury w skali, fig u ry podobnc
Pojedync/a karika / /c\/ylu ma ks/talt p ro tto k 'ta M 6 wimy. te ta k a rtk a m a
Inrmii A5 Gdy dwu lakic kariki polo/ymy obok webic i zlqc/ym y je dlu*\tym bokiem. wftwe/as powtianic wickx/y proMokat. o formacle A4. Ten
k*'y proookat j o t dokladnym powickt/entcm w pewncj »kah mn»ci*ze|0
10
M 6 wimy wtedy, >c ulo/yliimy propoixyc
Wiemy |u i, jak ro /s/c r/.iC i jak tkracaC ulamki ale tera/chviclihv ni> mam.
dana d lu g o tt kn>i»/cgo boku. u. obli«./yc dlu/»^> buk, t W lym win poduJtyII
m> mc na»trpiimca. bardso po>yicc/n( « pottfpow aniu / proporcjam i re-
L^ywojuc znaku pierwiaiikowtmia:
x - 0 ^ / 2.
fuika
ili>cr>n
\kmjn\ch rownj nv iloc/ynowi »vr«/A» srudkowvch.
Teraz m uiim y zinlerprelowai, co ten wyntk /nac/y, najlepiei na rytunku
a /z
£fc:w=& 3* **
Cidy /atiotuiemy if rcgulke do mu/cj proporcji:
ii * « ’ ii.
Jeteli d lu g o k k ro tv eg o boku knrikl opwuje ltc/b» a, to dlugo-u. dlu/s/ejo
otr/ymumy rAwnok taka
boku opiiuje Itc/ba a N/ i
A tern/ konfrontacju / doiwiadc/cmem Znucr/ dtugoV bokow kartki
7 /CH/ytu t nprawdi, czy to w uyilko, ehociai w pr/ybli>eniu *i? /gad/a
I f ri*wnok. row me dobr/e moglibyimy otr/ymac be/ tformulowanej rcgulki. mnota|c po pro*tu rAwnok ulamk 6 w
I. U/upelnij if tabelk? Dane w piv w pr/ybliienm Od c/cgo zac/mm/?
Wymiary pupicru formitu
mmcji/y hok w mm
wi^kvry bok w mm
pt/e/ iliK/yn mianowmkow x •ci:
«
\
if
•
•
2
■
* <J
A0
At
A2
A.I
At
A^
A«
2. Wedlug defimcji uiywanej p r/c/ poltgrafow, forma (cm AO na/ywatny
prom okqtnynrkun/papieru. ki<*>rego pole wyno*i I m^.c/yli 10000cm* c/yli 1(XX)000 m m 1, a »io<unek dlugoki boku dluKrego x do diugo4o
*
PiMkruceiiiu do«iajemy nowe wyri>enic /c /nakiern r 6 w noki, w k l 6 rym po
.cdnri <iromc /naku rnwnoici icxt „iloe/yn wyra/ 6 w ikrajnych". a po drugtci
ttronic _iloc/yn wyraafrw trodkowych”
/ propurciami. wym>onymi riYwriokui pewnyvh ulamkow bfd/icm y mifcli
tak e/*vu do c/ymema, >e to mno>rmc p r/c/ iloc7 yn mianowmkAw oplitti m?
rum /.ip.inii(iaC w formic wymicmonc.i rcgculki.
Jf/eli u rn / wroumy do kariki papieru A), to mofamy n ap u ai
kr6(s/xgo y wyno«ii J Z . - - J 2 Kor/y»iaj*c / lego, be * » - 1000000
v
m m 1 o ra / p o w y iu rj proporcji oblicr.jakie wymiary w milimeirach icorelyc/nie ma arkuw papieru formatu A0 Nantcpnie oblicr wymiary papieru
forrnaiu A I. A2. A3. A4. A5. Czy obliczema teoretyc/ne /gad/aja <*
/ pomiarami / /adania 1?
3L Ro/wiit> r 6 wnani«'
. 2
X
b.
“ > ,
dJ " ^ , c/yli 2« J » ,<(J.
*
12'
. i« ► :
t
e) 4 " j -
P r o rr--iu n a »
k■
p jr re b n c n«m * d « t e w prm lm ioty r6 lnych k iztaltrtw co n.jm n iej trzy o U w kt/tnlcie szeicianu, co* w k v .a lc e kuh. np p d k . . cos w f a m i n e
kola np ,.k ,* k r« M l> w p « rw « e przedm.oty mam nam w yobrazrf figury
tKrrrv.4.n
t
7
pranirrcnne. kr**ck ma p r n h i . " * Hgurc p t a * . k o la ^
* * .e r a ,
,b,<L,c .ak. a r t r /u e .j, re Pr/edm,o.y na * .a n c lub na podlogc. lubjaka.kol.
wick mnii p»a*czy*nf . gdv i r 6dlo *wi»tlu jett dostatcczme ©ddalonc. M oicmy wicdy powicdzici. >e w pnrybliicmu prom.cnie 4w.ctlnc tq do nicbie
ro'wnolcglc Takim bard/o dobrym /rixHvm *wiatla mo*c b y i w pogodny
d/tcn Slcmcc Z p*wnofeu» potrafi*/dobr/c o p is ii wszysikic ks/lalty pow siaijcych cicm i odpowiadJiacc im figury geomctrycznc, z wyjtitkicm ^cicni
owalnych kwlall 6 w r/ucanych przc/ kul? i krqick
,
l »
y
Figury geomctrycznc odpowiadamcc lakim cicniom poznam y znacznic p 6 znicj. \q in clipsy Ale ju> tcra/ mo/cmy sic nauczyi jc rysowai, pr/ynajm niej
w przybliiemu, od reki
1. JO d. me chcesz rywwac el.psy od rCki, m o ic v to zrob.d w na*t*puWcy
ip o ^ b . Naryiuj dwa okrfg. wspblirodkowc. Wyh.crz na w ^ k jzy m okr?gu .0 punkt 6 w. tuk |ak chcev. Naryiuj nuitcpmc dla kaid cg o z tych
punki 6 » tak. punkt, kt 6 rcgo rrcdna jest w tak.m ito iu n k u zm niejizona.
jak n u m? prormcri malego okr?gu do prom.cn.a d uicgo okr*gu. Sp 6 jrz na
f mnK:'v e *0 okr« u J»* d w i razy m niejizy od
promiema okrfgu wifkizego
o u . ^ L ^ i ' 4” ° L ' " “
*) I 3.
14
b) | ; 5
P ^ k w l c i l i l m y wkjc
pu nk t
— * —-
2. Zobacz, jaki cicrt w iwicllc d/icnnym rzuca na <eianc widclw.
a) Czy moie*z ink uitaw il widclec.iebyjcgo zjbki mudy ciemt uiuium m
nicr 6 wnolcgle?
b) Jeieli zjjbki widclca vi ro/mici/czone w r 6 wnych ixJ^iepuch. io c/>
m o in a tak ustuwid widelcc, >cby cicnic zj|bk 6 w uloiyly sic w merbwnych
odxtcpach?
c) Jeieli /j|bki widelcu majijjednnkowi) dlugosO. to czy mo>mt lak usiavbk
widelcc, aby cicme jednych zjjbk 6 w byly dluiwe. a innych kroi v c ”
d) Jeieli widelcc ma cztery /qbki, to czy m olna go tak ustawit. lc by
zobaczy^ na cieniu jcdcn zqbck? A dwa zqbki'? A trzy zahki-’ A c/irry’’
3. W ei do r?ki dwa jednokowej dlugoiki patyczki i ustaw jc tak. irby twor/vly kqt pro«y. Zobacz. jaki c ir t tc patyczki rzucaja na fcianc C/.y ino>« v
tak uttawid tc patyczki, ieby:
a) cicrt jednego z mch byl o pdow v kr 6 twy od cienm drugn-go.
b) cicrt jednego z meh byl cztery razy kr<St«zyod cicma dnigiego.
c) cicrt icdncgo z. mch byl punktcm,
d) ich cicme tworzyly kqt 45 .
c) cicnic ich byly punktami,
0 cicnic ich byly idwnoleglc.
g) cicnic ich byly icdnakowo dlugic 0
( ii'M tiapcl* nil K s ifiy i'u
flwpegodm . /.pow.ed/.ano w ga/ctach /atfmtcnie Ks.f>ycu. Poc/„tck mill
hyi ,u/ po /achod/ic Slortca W dniu laimlcma.
Gupcio. N obo i Olck
/chrali MC na v/kolnym podw.Srku, >eh> ohcir/ci. jak to wygliidu. Nikt / mch
H-v./c it|ic me og.Ut.UI Olck movul. ic 10 bfd/ie lak: ukn>c ii? pclna mrc/a
K .if/yea. a .-ara.- potem kawalck lc| tarczy bfd/ic wcicmu i to corns wi?ks/y.
Nie wicd/icliimy jednak. lak lojcii.gdy kawiilek Kxic/ycti icit wcirniu. Nobo
mowil,/c 10 po |>ro«iu jcni cicn Zicmi i |ak 10 nary\owatf, lo chyba wiainic len
kaualrk Zicmi. gd/ic my itoimy r/uca tuki okragly cicrt...
Cdy p.ur/ymy na KMf/vc w c/asic pclni. lo Slortce jcil /a na\/ym i plccami,
a ponicwaJ wlaime /ac/yna m? /acmiemc Kuctyca. to jc\l dokladnic luk, )c
k.uphc, /icmia i SKmcc \a na jednej linn pro«tc| . Agata wtcdy /auwafyla,>e
Ciaptio gd/x-i mc pod/ial i /ac/rliMny go wolac Ale Gupcia me bylo widaiJ,
pj/>e* /mkl Za elmilc uu)yveli4my jego gins / dachu- „M 6 j cicrt widatl na
K'.if/ycu, m6j cicrt ie\l na Ksif/ycu"
5. Wyobru> nobic. H narysowale* pcwlcn krtjobrw / i.crpcm K ^ i y c . na
przyklad.
W yobrai sobic oit symctru Kutfyc* na tym ry<unku. W jakim poloicmu
w stoxunku do tci oti i c m Slortce?
Metoda drzew
W burd/o. bard/o dawnych c/a*ach, kirtrych ju> nikt me pamicia. w Bagdad/ic, byl tnki /wyc/ai. Jic /lod/icja /laponcgo rm gor*cym uc/ynku wirncano
do cicmnci piwmcy. / ktrtrc) byly tr/y wyitcia. memoJIiwe do ro/po/nanm
Jed no / nich prowad/iio nu wolnok. Drugie prowad/alo do lochu. /. kiorego
po dw 6ch dniach wracalo sic do Icj samei cicmnej piwmcy. Tr/ecte wyi.icie
prowad/ilo do lochu. / ktArcgo tel wracalo nc do cicmnci piwmcy. ale dopicro po tr/cch dniach Wiraconcmu do cicmnci piwnicy /lod/ieiowi dawino
lylc tylko jcd/cnia i plcia. >c m6 gl pr/c>ycl pici i P«!>1 dma i am chwili wiCcei
Jukic s/an%c pnrc>ycia mial taki /Jodwej? Naryiowalitmy tchemai « kv/talcie
„dr/cwa", kt 6 ry mini mdwi. co «if moJ’e pr/ydar/yC nicMC/^nikowi. »lc
narysowaliAmy tylko tc odgalc/iema. ktArc dam »/an«? pr7c#ycia.
I . S p r A h u j w y n m i c . c o m y l l a l G » d c i o . <11
1 J U . l v U , ma nieh Ztemi
” <’“ch
u k lad u m n a n x h o c m e .
X
W
p o lo /rm u
Z ic iu i
W r f d w ic p ile c /k l I / n b a c / .j a k .if
sio ru --
SMca. a * lakim do /airnienia
tt
t
d°
j
»•
Zrobimy tcra/ tak.ic •ymulownrw do^wiidc/cnic. \Vc>my 27 klock 6 w, kaidy
klocck hftl/ic ud.iw.iJ icdncgt' /lodzieja i bfJ/iem y patr/.c^, jakic bfdq loiy
tychklock.Sw wlahiryncio.uk jak topr/cdntawiadrzcwo W ka>dym punkcie
ro/gulc/icnia mu\imv wybrac jcdno / tr/cch wyjic B^d/icmy wtcdy r/uca<J
ko<ukj(. <tlc hfd/icitiy /wracai uwagf tylko na to Acuinki, na kt^rych jcsi jcdno
lub dwa, lub ir/y oc/ka. Jcicli jedno oc/ko wypadnic na sp M , ulbo nu g6 r{, 10
wybicr/cmy picrwvc odgalc/icmo, ic/cli dwa oc/ka wypadnq na *p6 d lub nu
jtorv. to wybicr/cmy drugicodgalfZicnic.gdv ir/y oc/ka wypadnq naxp<Sd lub
na (<Src. wybior/emy ireecic odgalf/icmc nary\owancgo dr/cw a.
Sprobuj tcra/ ro/lmo««d tych 27 klockAw, tak jak w \ka/uje drzcwo. B$.
d /icv nuigl wtcdy / grubva occmc, j.ikie byly i/anse wyjicia na wo Inoik
Myimy tef /agrali. ale lakg kotikq
L
W kaJdym ru/io 16 to wifcci ni>. polowa 27 Tak hylo. gdy r/ucalMmy
w knf.dym punkcic ro/gulc/ienui dr/cwa. Zamiait r/ucama kovkami. moglihy*my r/ec/ ro/watyd tcorctyc/nic. Bcd/ieroy teru/ klocki ro/d/iola£ dokladme tak, jak w tka/uja »/un*c wyboru. Tcoretyc/mc, mamy takie wymki
(w/dluJ! ka>dc| galf/i pr/c\uwamy dokladnic 1 tych klockAw, co dovly do
321 -112233
i takic byly lewy navych 27 kiockow
i
I. Jaki /wiij/ek ma ponibay whemat rachunkowy / dr/cwcm opi»uj*cym
tcorctyczne »/nme pr/ftycia „/lod/icjn / Bagdadu
________
I
"4
i
27 klockrtw., 16 klockAw wyvlo na wolnoii Jak m yilii/, CO »iC *l**°
iNa
poxottaiymi.
18
S8E
1 W problemte ,,/lod/icja / Bagdadu" /alo>yli*my. >e / a kuidym rttWtT)
/arowno /a purwi/ym.jak i /a drugim. i tr/ccim. j/a n sc w yhoru dr/wi Xj,
takic wmc. Ale gdy /lod/iei /a pierwtzym ru/cm wybral /te d r/w i i Wr6c„
lymi Mmymi. to moina zalo/yd. h w naslcpnym swym ruchu j u l ich me
wybierrc Pr/y tym /aloicniu narysui ichemut w ks/talcte drzcwu. *yiuuc,,
M ktorri /lod/icj pr/eiyjc Pr/canali/uj syluacjc teorctycznic
A R/ucamv kostk* 113233 Wynik dodajemy do sumy p op r/cd m ch wym.
kow. Prxerywamy ro/grywk?. gdy wypadnic jedynka lub gdy sumo wym.
kd» pr/ewyiuy 5. To jeit dr/cwo icj gry
JcJch 0» |t"*l /biorcm ws/yslkich d/iclnikow lic/by oticm
/). - (I. 2 .4 .8 |.
a I)i j j«»l /biorcm wszystkich d/ielmkow lic/by 12
/ ) , , - (1.2. 3.4. 6. 12).
lo czc*<i wspAln.i lyth /biorow
jc»i /biorcm ! I 2 . 4 |
Z um uut c / f 44 »»|W>lna, mowimy tt> pr/i‘kr 6j.albo lloc/yn. ic/cli nir ma obai*.
>c pomyli sic to num / iloc/yncm lic/.b
Znue/ck r\ jest symbolcm opcracji bram a c/csci w»p6 lnci dw 6«.h /biofow
o /n ac/am y symbolcm A*j B\ na/ywamy /.Iqc/rnltm,uni*, albo sum* /bior 6 w
A i B.
Zliic/cnicm /bioru Dn i D ,, jest zbior (1. 2. 3. 4. 6, 8. 121 Znac/ek u icst
symbolcm opcracji /Inc/cma dw 6 ch /biorAw
C/ego moJcmy »i$ spod/icwa£ tcoretyc/mc na 100 takich ro/gryw ek, lie
proccnt /akortc/y \ic otngnicciem icdynki1
4. R/ucamy zwykln kosik^ 123456 Wynik dodajemy d o \u m y poprzcdnich
wymkow Pr/erywamy ro/grywkc. gdy wypadnic jcdynka lub gdy *um»
wymkow pnrewyi»/y 5.
Nary>ui dr/cwo ie| gry. C/ego mo/cmy si$ \pod/icw ac Icoretycznie nu 10()
lakich ro/grywek. ilc proccnt /akortc/y osingniccicm jcdynki?
Zbiory
C /? k w»p6 lni( /hiorow A i H o/nac/am y symbolcm A r ,B N a lym ry»unku
/•krcskowano c/pti w\p.'»lna /biorow A i H
nu/ywumy r6/nici| /bioriiw \ i fl i o/nac/nm y symbolcm A \ f l Znac/ek \
jest symbolcm branui rAtnicy dvv.kh zbior 6 w
Zbi 6 r Dt \ D {J jest /biorcm {H}, sklada sic tylko / icdncgo clcmcntu, lic/by 8
Z bidr 0 , j \ D mjest innym /biorcm, sklada sic / innych clcmcntiiw mZ /bior
Mamy D l3\ D , - (3.6,12).
Listu 3, 6 , 12 wymienia tylko lic/by 3. 6, 12 w pewnej kolejnosci Symbol
( 3. 6 . 12)o /iu ic/a/b io r,k to ry sklada sicdokladnie/iyshclem cntftw.kinre »a
na (cj ItAcie, /osialy na nwj ch»cla> rar wymicnionc
ic»t r<.'i>niiui H \ A Je»i lo mny /b i 6 r m> A \ B .
21
N» iawmc nwhrniy po«Ja* l*»'f wvynikich elcm ent 6 w zhioru. o ki 6 ry BOm
lhoJ„ n , prryMud ibioru l«c/b Par*y«iych me mo>emy okreAll,* p,*,
h,if w vym U h lic/h parryitych. |e*i ich /a duA>. m cskortc/enle wide, JcdnuL
mimo lo moJcmy dohiw len /brtr. /buSr lu sh pur/ystych. okrc*),c Okreil,.
my fo pr/e/ pod*me *la*miAci. kl6 r« maja lylko lic/by p«r/y«tr , nic
'
>adn« mnc lic/by Oio kilka mkich spoioWiw.
I. |%» JV 2 | v)
Ten symbolodc/yiujemy naitcpumco: ,./bi 6 r lychclcm entow
ktrtre naleJji
do /bioru lic/b naiuralnych, x« /V, i majq if. w lainok', >e dwu d/icli x"
II. { jc < /V. \ ie»l lic/Ki par/yitj||.
.ybior lyeh licvh naiuralnych \. ie v icsi lic/hq p ar/y stj|"
III. ! v i N. x (Uieli nif p r / e / 2 be/res/ly),
,/bior lyeli lic/b naiuralnych. kiore d/iehj
p r /e / 2 be/ re s/iy ”.
IV. j x <N x ma * ro/winifeiu d/ieucinvm oxiainm cyfrc 0 , 2 . 4 .6 lub 8 1
../bior rych lic/b naiuralnych x. tc t ma Oilatnut cyfr? 0. 2 ,4 . ft lub 8".
Wt/yukie /biory opuane w punktach I, II, III, |V ^ r 6 wnc. bo tkladaia me
i lych wmych clemenlow
Dwa ,h,ory A i B m rftwn,. ^ y »kladaja
Te /biory mi rftwne
? I>ch w m ych clement ftw.
/le t.
Jcdnq / d/iwnych wlm noki /bioru puilego je»t io. /e
w kafclym /bior/e,
icm
on /awany
O c Z, dla kuJdcgo /bioru Z
Po/nnhim y do lej pory rAine /biory i po/numy Je»/t/e irochc wiftoj Obok
figur geomctryc/.nych. klftre uwaiamy /a /biory punkltSw. po/nali*my /hiftr
lic/b nuturalnych.
zbi6 r lic/b calkowitych
/b i 6 r licrb wymiernyeh
f * t J V 2 |jc) * jx l N . jjjfj
lakic lic/hy, klore . . l i .
druja«lo
* 0 JC<Jnc»° * lych /b io r 6 w. u me nalc>4( do
Do /hioru
x -
,/2 )
me n*le>y
jfc .
Rriwnir> icn /h |^r
<J .
' u,r nic ^ la d a
m?
/ >adnego elenientu.
- j j
ffla ladnego vlementu, >*dn* l,r k
,no>r h>* fft*na in,,,,,
. w * r'« c /y w u u podnietiona do kwadratu
’•« I " " M y K * * i '- i y i » k m u r w i x . * » » » '“ <»
22
mc/iile>mc od lego erym jcii /h ftr i Nie ma bowivm l a U h elrmeniftw
kt 6 rc me bylyhy rftwnc »ohie
Ws/ystkie te d/iwnc /hipry H rowne Pod w/nlcdem lego / c/c|N. .if .kl idaia
sfl jcdnuknwc / >adnc)to elemeniu, / niL'/eyo To icdcn i len u rn /bior. kinrs
na/ywamy /blorem puNiym i o/n at/am y tymholem ()
JeJeli WN/y\ikieelemenly/bioru -I nalc/,1 rftwme> do/hioru fl, io mowimy. re
A jcnt pod/biorem U i /apisujemy io lak
C * (0. t. - 1 . 2 , - 2 . 3 . - 3 . . . |.
7e/biory S4 rft/ne
{*' *
|x< i x / <)
N - j0. 1.2. 3, 4,. |.
x< s 2 l*| - [ x c A x |« i wielokroinoicui dwAjki).
lxrN
Rowmc> ten /.biftr me mu hidneito elemeniu
W m jx « R x - r . gd/ie r t C . i t «. N \ | 0 ] ;
11
i zbi 6 r lic/b r/cc/ywislych R. kiftry /wykle pr/edtiawiamy i«ko «>* lic/Kiw«
Po/naM m y tc* ro/maite pod/biory lych /biorftw Pod/btory byly /aw ve
wyrftlnlont w lych /biorach p r/c/ fn>danie pewne) i»la«iofcl Jl v elemcntftw
/ wyrAlnloncgo podzbiorv>. 7b,or puny. O. moiemy wyn*>nrf i-kakolwi.k
w lu n o k u t. kiora jeil memo/liwa do «peimenia
punk to w nailfltwkj m? o k rc ila /n poinoc*
hfurv (comftr>c /n t-w
ukMu ^>fKMt-'Cdnych
C o to jest /a figura’’
6. W uklud/ic wxpolr/fdnyih w /c\/ycie n.irv*ui /bior ivch punkinw dla
, h rn.nkt.Sw plot/c/y/ny. din kMSrych p i e r w u i w«p6 i n ^ .
^ d ' 1 1 Z u u rownolcflu do » i >. / W6 r tych p u n k l 6 w p t a u c / y w M k
W»p6ti7cjn* . - » ' « * « *
5. W tiklad/ic wip61r/$dnych » / o / y c i c nmv>iii /bior lakich punk to *, lila
ktftrych hc/w /glfduc w artoki w^piMr/cdnych me pr/ckrac/aut lic/by I
J ° 0,1 *
ktorych >umu wartodct bc/w/glfdnych obu usprtlr/cdnych me p r/ikm c/a lit/b y 3 Co to
jcm
/a fi|iura’
7. W /adam u (> /asiqp lic/bc ■' lic/bu (> Jaka tcru/ nir/ym .iv figur?1
8. W /adam u 5 /a ila p lic/be 3 lic/bn <V«XM)1 J.ika otr/ym aM figure’
9. O pow icd/. co pr/cdstawiaui tc /biory
.i| {*« A/: x
5),
b) | x i N 5|«!.
cl | \ * M «J
10. Na poniA /ym rysunku /u/nuc/ylitm y /biory A II i C
I )•
Pr/crysu| ry^unek do /e v y tu i /a/n u iv na mm /biory
a | (,4 n B ) n C .
c)
c) I / I u O \ A
b | A n(D nC ). dl M t J 0 ) \ C .
ft I ( \ j H ) \ A
Spr 6 bui /a/nnc/y«i |c*/c/c inne /biory.
•I lU .y l : * - - J ) ,
h| |<t , y ) . y - 5).
1 Yirvsuj uklad wsp6 lr/cdnych. Z xrnac/ w mm prostc:
!i' >l * - «|.gd/iea«- | - 5 , - 4 . - 3 , - 2 . - 1.0, I. 2. 3 ,4 . 5j.
n .X ) :* - l>|,gd/iob« 1 -5 , - 4 . - 3 . - 2 . - 1. 0 , 1. 2. 3 .4 . 5).
V N»ryiuj n.t knnkowanym papicr/c w /ci/ycic uklad wipAlr/fdnych
Ao jedmmkc pr/yjmi) I cm. dwie mule kraIki w y/niic/um odcinck
mv.|ki>wy Za/tmcz w tym uklud/ic wiptSlngdnych /b>6 r tych punk<v' «l»ktAiychobydwicw«p4lr/Cdnes*| calkownc. [(«, yy. * e C . y * C )
nn J , °
tu |y <cn Zhi6 i"» C hybu me C /y p*>trafilby*
*■ N ir v v u iV ^ l'* o/hl0ru
u d n lo cisi? n ary v iw a t w /et/ycic"
•hy ilwi- >n i^l
' nym pol,lcr/l‘ w «»zycie uklad w ^ M r/cd n y ch . tak
«
« > « » * •« »
* * * « » * < « T.
‘ ,lk“ '■*k "-h P^nk.Aw.
hi SprOhu,,
w'f>,,|r'Vdn4 cnlkowiiq
kr>'>rr m il,
t ^ ul(*'1^ /,c /h lo r w%zy»»kich ta k ith p u n k tM
/.rob*1 Opiv i „ l 1 ni< w' p,i,*r / ?dnii culkowitu C /y udalo cl «>C 10
j,
" k,W" ' k ««■» 'htoru, k.ory c, >,C udalo n . r y « W
I I . T o jc it pic^ drcwnmnych klock6 \»
----------
**• \l> H U T -
r - ^
.___
Ka>dy kloctk ma n.t icducj /« *cianck napi^ann piwnq lic/h<. a na mnci
Aclanci* pi'wiii) lltrrc Mo/cmy it klockt na/wjcl. ra/ lic/bi» ra/ litrrn
Mo#cmy porOwnywac /e nobq » myili. pod/biory tfiti* /bioru klocko*
Odpowiod/ na pytania i u/a\adni| odpiiwird/
ai C /y \u.h] ■
11. To jest pi$c drewnianych klockow:
U
S
?
E
l
Kazdy klocek ma na jcdnej ze scianek napisan^ pewn$ liczb?, a na innej
sciance pewna liter?. Mozemy te klocki nazwac, raz liczba, raz liter^.
Mozemy porownywac ze sob^ w mysli, podzbiory tego zbioru klockow.
Odpowiedz na pytania i uzasadnij odpowiedz.
a) Czy {a,b} = {1,2}?
b) Czy \ a , b } c {a,b,c,d}'!
c) Czy {a,a,b} c {«,£>}?
d) Czy {b,d} c {4,2]?
e) Czy {c , d , e } = {5,4,3}?
0 Czy {e } = {5}?
g) Czy {e} = {5,5}?
25
Druiliiniu
s r „ K .i ,/y b k o o b lo y c . ,«k, lio b c pr/cd*tawia wyra>cn.c.
I « 3 + 2 - 4 - ( l - l O > 2 ) j.
/.iJam c 10 m o/nj wykenac na wide <po»ob6 w, mnici lub b urd /ie; zgrabnie
K1n/na icdnak bye pew in m. >e mc/aleJnic od lego, w juki sp o so b oblic/yt*
wario*. icjo wyra>enia. wynik otr/ym am y / a w v e ten iwam. jc*cli tylko
po«i<po»»li»my /godnic / prawanu arytmctyki Nic m ofem y pow ied/k*.
kuiiy /c ^'xobOw bcd/ie naiproitx/y. N a og»M nailcpicj jc tt najpicrw wykon \ u Jk d/ulam a w nawu*ach. tych naiburd/tei ..wcwnctnrnych", a potem
pr/cchod/K do po/by wama >ic naitepnych nauia* 6 w. Proccs ten pnrypomiri4 »\luviiv»anic cebuli ale w odwrotnym porz 4dku.
Jednak fd\by*my midi do o b k /c m a np takic wyraJcnic:
0 |J + 2 - 4 - (8 - 1 0 ) -H 4 - 4 (S O + 1001)1,
poiiepouamc takie byloby nicpoirrcbmj komplikacj*.
W ario* icgo wyraJcma i tak muu byd rbwna /cru . ntc/ale>nic od tcgo, jak*
w a n o k otr/ynumy w nawixvie. Wicmy o tym / praw arytm ctyki.
Prawa aryrmciyki <4 a na pew no dobr/c /none p rak ty c/nic, w ykonujcw
pr/k'cie/ oHicrtfiia od wielu lat Prawa tc m 6 wiq o tym. w jak i spo» 6 b
wykonuicmy d /a la n u na k v bach (lub podaj* pewne w t a i n o k i nick( 6 rych
luvbi Sinwiekvy /binr liczb, kt<Sre poznaliimy. to j « t zbidr liczb rzcczywi'lyvh Slormulujemy te prawn dla rbioru '
k / b r/cc/y w u ty ch
I. Prawo pr/cmicnno4ci dodawama
Dla dowolnych k / b r/cc/ywutych. u, b
U+h ■ h t-B
II. Praw.. pr/emiennote, mno>cnia
Dla dowolnych k / b r/ec/yw„tych u. b
V.
Pruwo ro/d/Jclnoici mno>.cma w/jtledem dodawama
Dla dowolnych lic/b r/eczywmych a. h. r
aib+r) muh+ac
oru/
(b + c)a - ha + ca
VI. W latnoici lic/by zero
W ir 6 d lic/b r/ccryw ntych ntn.eic taka wyro>niona liurba. Iicrba zero. 0 . te
dla dowolncj lic/by rzcczywmcj a
a+0 m a
1
0+ d -o ,
jak r 6 wnici
r*
0 •a ■» 0
1
a ■0 - 0 .
VIL WlainoAci jedynki
W ir 6d liczb r7cczywi»tych ixtntcjc u k a wyr6 *mona lic/ba, hc/ba jeden, 1, 1c
dla dowolncj lic/by rzcczywistej a
a l ma
1
la m a .
VIII. W latnoici liczb przcciwnych
W zbiorzc liczb rzeczywijtych kaida licrba a ma swoj* hczbe prreciwna.
kt 6 rq o/naczam y - a .
Dla dowolnej liczby rzcczywittej a
a+(-a) ■ 0
IX. W l u n o k i liczb odwrotnych
W zbior/c liczb rzccrywiitych kaida licrba <i r6in a od « r a ma »woj* odwrotn*. kt 6 r* oznaczamy
V
Dla dowolncj liczby r/eczywittcj a * 0
a ! - I.
ilb m ha
III.
Prawo l«c/nofci dodawama
Dla dnwolnycb k / b r/e</yw,.iych u. b. r
(« + A| + i m a > (/»+()
l y . Praw° U u a o k i mnojtcnia
Dla dowtilnych k / b r/ec/>wi»iyth 0 , h .,
lilbh m y lb tl
26
X. K aid a liczba rzcczywitta nWna od zcra jett albo dodatma, albo njcmna. Kwadrmt liczby rzeczywutcj r6 incj od /era je*t dodaim
Jak w idziu jformuh>walilmy prawa arytmetyki dla lu=rb r/eczywixych wymiemajac tylko dodawanie i mnoienie i nie wipom inajacod/ialaniu odcimowam a ant o d/iaJamu d/iekm a. Takic iformulowama M bard/iei pr/cjrzyntc.
*dy n a ra m y tie wypowiadad tylko te prawa. kt 6 re « komcc/me potr 7cb««.
1 / ktArych (nnc zjuady rachunkowc |u l wynikan Korryitajac / wy.
HOI
„ >n« h or .pytmetyki moiemy d/jalame odcjmowuma o k rc il.d . wypro.
; r ; r w U , n o V D,u,lan,c odc,mowanm w p o r^ w n a m u d o dziulania
I t d . w .n » . mnoicnta ma duia wad*. odcjm owam c me jesl d/.ahm .cm
lac/n\m. na pr/yklad licrby
( } - ) ) - 4 I 2 - 1 3 -4 )
dwxmu riSlnymi hc/bami.
IVxJobme )0»l / d/ielcnicm Dzialamc d/ielcnia me jest liic/nc.
Nutomiait ro/d/ielnok' mnoiema w/glfdem odejm owania m o ic byd sformulowanajakopraworachunkowcdlaliab r/cczywistych: d la d o w o ln y c h liczb
rmrzy wwtych j, b. c
J{b-c)
[h-c)a
• ab-ac,
ba - ra
Wprawdzie prawo to jcut kon«kwencjij prawn rozdzielnoAci m noicnia
wzglcdem dodawania, wygodnic jest jednak przy w ykonyw aniu ra ch u n k 6 w
pamifiac je w mezaleincj povtaci.
I. Oblia:
a) (2+7) ( !- ')+100.
Cl 1 0 0 + ( L L ) .< 7 + 2 )
b) 10024.3-24.51.
1 Obiter.
c) ( 5 + 4 + 3 + 2 + 1 ) * .
■b,(,+ivs)*"■(uS+M*s)
4. Oblic/.
a, Lr> * '? . I ■
I\
'U
ui t + WJt.7**
b|
23
13'-5).
i Oblicy
d) (0.007 + 0.025 + 0.001)-1000.
W wyraienm ch tych w ym pujn Iiczby, litery 1r 6ine d/ialama. W yraienia t«
nazywamy wyraienlami algcbraleznyml.
W zapm e wyraieA algcbraicznych wprowadzamy umow^. ie /nak mnotenia,
krnpkf, , opu\zczamy jcieli tylko me prowadzi to do m cporo/umicnw I tak
piizerny:
2cl
3 (a+ 6)
(x + >) x a
ax3
a l c x - x J.
b b.
zamiast
zamia»t
zamiajt
zamiait
a n te
a nic
2 0.
3-la+fc),
Ix+y) x 1,
ax*.
xx*.
bb
P r/ekv talccri wyraicrt algcbraicznych dokonuicmy rnwsrc w pewnym wybranym celu. m uum y jasno wicdzicd, 0 co nam chod/i, gdy lakich pr/ekt/m lcert dokonujem y
Na przyklad wyraienia u(d + />) 1u J + uh majq rdinq potlad 1wydaje tif. ic ta
r 6 ine. W yitarczy jednak jedno jpojrzemc na ry»unck:
11
c) 36 ( . 1 6 - 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - ID.
d) ( 4 9 - 1 - 3 - 5 - 7 - 9 - 1 1 - 1 3 ) j.
'» '3 , 3+ 2 - 4 - ( g , 10);2) 2
20
B^d/icmy tcra/ Marali 115 odpowicd/ict na pytumc. co /nac/a w Mki tpo^oh
m o in a u iy wad 1jak pr/ckvtalcad wyraienia typu
x + x,
2.x + 4 - *.
x(x+ j),
y() + x|,
x x 1.
4- u -u .
b+2b.
|u + b) (<i - b)
d) 24.51 + 1 0 0 0 0 - 0.01-2451.
•) 2-11 + 2+3 + 4+5).
b) 1000 (0.001 + 0.025 + 0,007).
3. Oblicc
Iiczby, wyraienia algebraiczne, Junkcje
Wyraienia algebraiczne
b,((s"4i)!lHIJt3,'(6r ’«))
by
przekonad. ic a (a + b\ - u* + ub
Zinicrpreiowaliim y tu iloe/yn jako polcproiiuk.jta Moicmy irtlnak ntr/alcinic od tcj intcrpretacn, ttule pamictad. ie litery o/nuc/aia prwnc lie/by
1ito w w ad te i«me zaiady rachunkowe. ktiSrc Ho»owali*my do lie/b
Prowa rachunkowe na lic/bach iformulowalUmy w caJei ro/ct^gloki na
atronicach 2 6 - 27
Sp 6jr/m y |cw c/e raz na wyraicnlc «i(a + 6 ) i a ^ a b Aby pr/ckonad
tr
wyraienia te uj r 6 wne, wcale me mu»imy rytowad pro«tokaia o boku u i u f b
, /a < ia n a « * *K. jak.c J " ' K l° P<* Mofcmy rAwn,e d o b r« “ ‘or/y,,* ,
/ pr»«» ro«i/*lno»ci mno/cma w/glcdcm doduwama
4U + b) •
^
<• ♦ a
^ *
a 2 + ttb
Mo/cmy. ale me munmy Nicki6rry »ol« »t*lc intcrprctacjc ryiunkowe. ,nni
»cl* od»oty»ai ik do praw rachunkowych dla lic/b I jcd n a i d ruga meioda
k-xi dohrm Najlcpici jednak. ply nabicr/emy wprawy w obu G d y chccmy
vryhko rjchowac. lepicj me odwofywad »i? co chwila do ryiunk6w . c/usrm
nawci trudno jc wykonai, a c/a»cm nawci je»t to /u p d m e memoiliwc. np
narytnuame prmtoknin o ujemnym boku. chyba ie pnryjmicmy pewne tpe.
cialnc umowy
J. Przerytuj labelke do /M/ylu i u/upclmi ja W micitw ' wpiv/ lo*c"fc‘
pcwna Uc/bf catkowiia \poir 6d lic/h 1, 2. J .4. 3. A
a
h
t
-1
0
2
-1
I
4
0
1
5
1
)
J
7
7
7
T
7
1
----------
I. Pr«ry\ui labelkc do /cuytu i u/upelmj ja:
«*»
4
-1
-j
-I
-i
•]
0
-J
i
-J
j
• b
a'
j
X Pr/ti\Mij labclkf do /ci/yiu i uzupclnij ja
Licrb? r wpiu na podttawic rzutu kontka.
ali/* M
+ j*
Juk myiluA c/y a ( b - r) » a h - a t '1
4. Przeryiuj labclk? do /c*/ytu i u/upelmj
m
W mwj*ec * wpi'/ lovm n
wybranc lic/by.
h
(
0
I
0.1
4
J
0.J
*
5
0.)
10
«
0,6
12
7
0.7
7
7
7
a
(a-*|r
in -ht
Jak mylliM. cry (a -b )c » ae-be*
& W m kjice x i y wataw pewnc lotowo wym i cone koitka lic/by Doiwiad— •*- • - k .i t.
h Wvprlnii » /r</\c* uhelkf
9. Pomyil »oht€ pcwii* lk/h< dwucyfrow*. iak« >rcyta *<1n..ui *»i wi<k ./a
od cyfry d/icuqick Dndaim* rnfniic inicdrv tymi cvframi pnmno/ pt/<. /
d/icwifC i wvnik dodaidn tcgo co pomytlulrt na pm/^iku O v /au**i>v
lei c o i d d W K |0 ?
C/y um irv wyift^nid. |itk lo nc d/ic|*'’
W«ka/ 6 wLa JcJeli lic/ba t ma i il/ic.iairk i i icJnoio n> < ■ lilt * ,
Ohlic/ 9 ( y - i\+ IOt + )
10. W')pelni| » /et/ycie tahelkf
1, 1, 1 ,- p - p | v i ; i^T T T zrazi
I
I I
C'0 /auwajjlrt'’
7. U/upclni| tabclkc
r~
I1
2«>*.
i
1
i
j_____________________ ____ I
J*1*
-i
(i
i
:
10
II. Kor/yMaj*c / /aUanw 10 ohlic/
Jak ohlKvaki o»iaint« kolumn? lahclki'
#• Wypclnii » /cw)cic labelkf:
• 4■
iV t
» ♦»
h
»* Vi
a
J* » h
h t JO/.
Jflu
u U
b-lb
a) 2 5 2.
b) 2’ 2J;
ct 2’ 2*;
d)
e) (-21* | - 2 | ' ;
0 ( - 2 ) ‘ ( -2 ) J.
|) 7’ 7*.
j| *»«*.
h) V I4;kl K*8 \
i) 7* T*li
Upuszczanie nawiasow.
reJukcja wyrazdw podobnych
Pr/cdtUw w mo>liwio n«|pri»n/ej po«iaci. naticpuiacr wyrt/enu
~ { a - h i-2r+ I - * - > !
- ( 2 - .m - 8 » .
- ( * -
S,«U| \i*. )*k n:iimnici |Kf^
y\
Gdy /nuk
wyitfpuic pr/«l nawuvm , w klArvm ir*i mma prwnvch
wyru/ow, dodalntth. Iut> ujemnyeh. w6 wcmi wy»ixlnic uti p*m*l*»'. >r
mo>cmy opuicn' nawia*, /mirniaj^t pr/y lym fnaki wvra/ema * Irudku
r .t i , r-iulki rachunkowe pomagaj« c/nscm w obU c/eniw h, mo *n«
;;“ ‘l J,3
’i”o“d0p,"w
*
5. Z apuz motllwie krAlko na<mpu|4cc wyraienia
lic/h r»fcry»wrych
a) xJ + 2 x - 2x J,
b) xJ + x - 2 + x,
c) a J + a ' 3+<i.
1. OMitt
*D)
6. Zapis/ mo*liwic kriSlko na«tcpuj|c( wyru/cnui:
a) a+ —2(—<«i4 /»)).
b) a+fc —2 lci—/»>.
1 Wvr.i/enui /api\/ he/ nawu»6w
,1 -(fe+e).
d) - l - l * - v ) + ( 2<j + M),
j,)
e) - t( 2m+ l ) - ( 6k + I)),
c) - | - 2dh+ 6*|.
0 H - l - l x - M - : - ! ') ) )
Niekl 6 rc pr/cjicia rachunkowe ink c/?iio
powiur/ujq. I t wario jc »ohir
/apum ifiad i uiywud w poslaci gotowej. Pokaicmy. /r dla dowolnych lic/b
a ih
a - / > - 1- f + 2 « u - h - c + I
al lu+ k- l ) - | 2 +*l.
(I)
t)
- ( ( * + l) + t > ' + 3 ) - ( : - 4 ) ) .
cl
0
-(2 * ifc + 5 )-(8 x -7 )+ (c + 5 ).
-(J « f l | + l * - u - D ) .
P r /« i» u w
•*
- ( - ( 5.x + l) + | 8 - ( * - l ) » .
(ll+h)* m </J+ /»*+ 2oh,
(o-fc )1 - a i + b, -2ah.
a1 - b * m Ia + h)(a~b).
mo/liwic naip ro \ive i poitaci rust?pui 4 cc w yra£cm a:
K aidy / tych skrAl6 w wyprowhd/imy / praw ruchunkowych. a / t t i u poiem
podamy imerpretacjc gcomciryc/nn. i tak po kolci dla ka>de|fi> r mch
.V»-w + So+ |a,
aJ -2 fl4 U ,5 u -V .
»+ « + +
jy.
Ol+ 2> + 3y);y
l r ' r r , in^
wvra>enii' i
?
l° d ' lci' ,ym wyrtt*cmem cheemy /robid. lnatvel
° " J ":<:/r'yrn celcm J* '1 PonSwnante dw<Scb wyra-
kaJkulatom
j
h> x-0 ,«.j*.
d| x -3 x + 5 x -7 x .
,,
*> «-*-3« + 5a + 7u + 9«.
i ,
Z praw ruchunkowych
(a+ b)J - (a^ b){a + b) • (*i+ />)</ +(« + &)<> m oJ + /Ia + u/I+^, •• a, + 2ub+h1 •• u3+bl + 2<ib
W intcrpreiacji jtcometryc/ncj oblic/amy pole duiego kwadralu
ir
a.
a*
CL’ ir
U
4*
f P*w*e l,t/b y * wykonod obltc/cnia na
al <+ I h+ ) k_
,
01 , » ,U O “ + 5“ +7u+9 tt+ n
M
ft
pro%m<1/l do “P ^ w n a n ia lego typu wyraieri na/ywaP'rtubnych. To. w jaki «po»Ab upra*/cwmy
bed/iem\ unr* > ^
>ert lub p., protiuo-/
f) (16« —7<i —i n -
Pewne skrdty rachunkowe
- (I —a ♦ /*+11—I ~c* 2)1 ■ —|- < j + i n 1)+ | —f + 2 ) »
hi - l 2 * * 2 « / » + 6 | - ( 2 r - 8 ) .
d) - r - 2i - 3* - | 0J j + 1.5:).
e) ai + h>- a b - u k +Aab.
c) «/+3a+ 5u-(u+3m +5m +7u|.
.V. Opuik nawiany i wykonai dm lania Skor/ynaj / tcgo pr/yklfldu:
m
d| x 1 2x + 2.x3,
c) (x + 2 + l|x.
0 J - V + ji1
'•
0 7 '( IO y -2 y -y )
J o t ono rdwne *umic p<MW c/iercch c /c k t
(u+ b)} - uJ-t b* + ab+bn » u *+ b + 2<ib
7 praw rachunkowych
I* -* )1 - {a-b)[a ~b) - { a ~ h ) a - ( a - b ) b - u’ - b t i - l a b - b 1) " u 1- h a - a h + h 1 m
m a, -2 a b + b 3 • a 3 + h 2- 2 a b .
W micrprcuwii geometrvc/nc) oblic/amy pole ( a - h ) 1
I. Pnrcrynu) lu bdkc do / e v y iu i u/upelmj j«b
a
a‘ b‘
-1
10 1 100
-1
II
1
10
I
II
2
-5
2
5
101
2dA
u‘ >b‘ * ?,ib
l«4 M*
- 2i>
II
II
1 Przerysuj tube Ik; do /eizytu i uzupclnij j«:
X
-1
W+y1
*>
'
2i f
2»)
1
-1
Jc\ione rownc polu du/ego kwadratu o boku a m inus pole dw dch pro%tok»101* o bukuch j ib plm pole malcgo kwudratu. k lo ry jc sl c / c ^ i y wnp 6 lnu lyth
prcxiok«io»
2
3
2 -3
2 -2
iu -h ): - «», + fcJ - 2ab.
I pr»w rachunkowvch.
I<i + Ml«i-6| « (a+t>|«-(a + b)b m
» a ^ b a - l u b + b 2) m
• a3*-hu-ub-t>3 •
■ a1-h*
10
1
X P r/cry iu j u b elk? do zcizytu i u / u p e l m j Z* x i > w u w lic/by w>loto w i­
ne ko*tk«.
« y
»■*
(»-/>*
♦y‘
W mterpretacji jeomctryc/nej mumy Ukte rysunki:
___ _______ —
7. O blic/ pole duiego kwudratu.
Prrcry^uj i u/upelmj:
(1,+ IJ1
V«' + 6 «+l
X*
Sx
6*
5x
\H
H. R/u<i kontk*. Loiowy wynik r/ulu w»iaw w m te|*e x i o hlit/ pole duiego
k w td rttu :
Jak mjiliw, dlacago * pouczcgolnych kolum nach n* poziorme tego
umego wicrwa otr/ymalci takie iame liczby?
X1
Pr/er>iu) i u/upelni|'
Pow t 6 r / doiwtadc/enie u e i i ra/y. C/y
m o in a ohliczyd pole duiego kwadraiu k
w /o ru ( x f 3 ) J7
9. Dla: x - 10. 20, 30 oblic/ pole duiego
kwadratu:
*
rachowu^
Z jakiego w /oru m oina oblicryi pole duiego kwndratu'*
ix
3x
Id DU a - U.
am I I
11 “ l0'
Duze liczby , male liczby, notac/a wyklaJnicza
* - 10.
G d /K ia jexiftn 1
„ - I),
b - W.
oblia pole prvwtokaia
jak* mcioda obliczeh jc*t najkr 6 iu * ?
II. Oblia i ir tb lywndt:
■) 15J-<14^y»;
c) 31*—30*;
0 101*—100;
bi 30>-<lt.Sft
d) 503 - 49: ;
0 4 - ( >/ 2 ) J.
I I Ro/«in»edh»f wrorula+fr )2 - u 3+ 2^J^+b, :
*1 ( * ♦ l^ .
cl (y+ ^ 2)*.
b)(f*jy>,
d) (2rf-t->/ 3)*.
«) <2r + 3) \
n (O ^ C .S ) ’ .
I I Ro/»m *eJlu| *voru lu-fcl 5 • a J - 2 ub-t- bJ'
• I 'u - lr * .
d o -J i)\
e) (2a - 3)*.
a — Jl2
d | ( 2J - >/ ) | J.
ft (0.5 6-0.8 )1.
14 Pr/nJsiai* « poutci rOJ>nicy kwadraiow
•i I <+ III.* - Ik
c H 2 x + 3 M 2 x -3 k
fcH2»*3l(2x-Jk di (2*-fv '3 ) ( 2 x - v/3). 0 (0 . 5 x + 0 .81(0 .5 *
15. Zohau. |tk o bk/jun\ kwadrjin pcwn>ch ltC7b:
I’ ' •I 2 0 -I » J - 20J - 2 20 1 + 1* - 4 0 0 - 4 0 + 1 - 361.
J l ' * (30* li* • 30**2-30 1+ I* > 9 0 0 + 6 0 + I - 961
Obliu • podohft) »poW.b
»l l» '.b | 2* 4.c | 2SJ. dl 101*.e| 999*. ft 23*
6 km do irkoiy
26 km do najblLhzego m iaiteczka..
75 km do najbliiwefo miaila.
' ;-V
275 km do W anzawy...
6370 km do irodka Ztcrei.
384000 km do K .itfyca..
149504000 km do Slortca
‘?
40397616000000 km do najbli>»rcj gwia/dy
500000000000000000 km do frame GaUkiyki..
2000000000000000000OO0000 km do najdalt/cj pn/nancj m^awicy
G d/tc ja je*icm7
lie |c«t gw u/d? Tych wul/unych jolym ok tern Kit okolu MOV ale laktch.
ktore m o/na /obuc/yc' lunct* lub tfotogra/owac na kli*/y jctt p r /n /l« mu
miliardAw. G » ia/d y *4 lak bard/o od na« odlcgfc. i t Irudno 10 ie*i opi%a«.
N a|bli>\/a Zicmi jc*t fwia/da, kiora iiaj->»a
Proxima C enunn. ic»< od
no* odlcgla o 4.27 lal iwieilnych Gwia/da PoUrna 101 od na» odlcgla o 270
lai twjrtlnych, a naijatnici Iw iw na nocnym nicbie Synu»/. odlrgK otl n u
o 8.8 lal iwKllnych
Co /nacry 4.27 iai iwietlnych’ lie 10 jctl kilomeirAw?
Rok Iwictlny jc*i 10 odleflaK. jak* pokonui* *»iaik> w e m u roku
W ttagu tckundy 4wia(lo pr/ehy»a odleglott rdwna okolo 3OO00U km
W jednym roku je»i
60 60 24 363 - 31 536000 wkund
-• * *
1 rok 4wietlny - 31536000 300000 km
41
r .
Iu>. lu-yby wygodn.ei jcii pr/ed.Uwia< w formic w y k la d n k ^ „
* ■ ■ ■
r< w « i to b y
“’ lc d ' \
l
'
****
10
t o h ,
Gdy pnryjmiomy uirnm?, }.e
„
10*
i
-
10
•
r
mam> S ' W,f)T}36000 300000 - 0460*00000000.
W r i l “ roku iwiailo pr/ebywi 946080000001)0 km.
J.
.
i o
&
/
-
io*
o r a / dla d o w o l n c i lic/by naiuralnej it
Do ruiNi}trci gvru/dy mam>
4 27 4460800000000 - 40397616000000 kilom etr 6 »
Do CwMzdy Polarnq mamy 270 9460800000000 kilom cir 6 w. tJ.
2
}39620000000000 km
Zobac/. lak «pisu*my ukic duic liczby w potlaci wykludntc/ej:
9460800000000 - 9.4608 10'*.
40397616000000 - 4.0397616-1 0 '\
2539602000000000 - 2.539602' 1 0 '’
Srednu od leftate Ziemi od Slorica wynoxi 149504000 km.
Odlrgloi^ re Slonca na Zicidk iwmilo pr/ebywa w ci«gu okolo 8.5 minui
1 i(f
10*.
w t c d y m o i c m y u l o > y 4 i a ka u b e l k ?
10000.0
-
1 0 * *
1000.0
-
10*
100.0
-
I0J
10.0
-
10‘
1.0
-
10°
0,1
-
10 —
0.01
-
10-
0,001
-
10
1
I. W cugu lakicgo uiamki wkundy iw u tlo pr/cbyw a o d k g l o k 1 meira1
1 W em u lakiejo czatu twiatlo przcbywa drop? i Zicmi na Kticiyc’
W naju *akicgo cra»u iwutlo pr/rbvu.i drogc / Zicmi na Ksicfyc i i po•rotem?
*
•
0
0,0001
miejic w prawo.
Lic/b* 10 ’• otr/ymujemy / lic/by 1.0 pr/c/ pmanaifri* pritclnka o \/t<
micjK w Wwo:
10*- I000000.
10*- 0.000001.
Aby orr/ymjtf lic/b? wyraJajaca. ma«c elekironu * gramach. irreha hy
B jrj/o m«l| liaha jett. na prryklad. Iiczba o pitujaca m a x elekironu. Elekiron wa>y
w /upitic 9,0 pr?eiuna<! pr/ecinck o 28 micjic w lewn
0.0001JOGOOQOOl>0000000000000009 a.
p r/c a n k a . moJ’cmy /rob«! w ten
X Pr/cdiU w w formic wyklodmc/c) Itc/b? wyraiaiaca m a< elekironu
4. Lic/hu 6.023 10J* /nana |e«t |ako lic/ba Avogadm lak na/waiu od
na/wi«ka /nancgo fi/yka. Wyra>« ona lic/Nc aloniow w irdnym molu
| a / u Co /nacxj tc tujemnie/e na/w>. dowievr <ic na Ickciach ihemn
w a u n s y c h klasach. me powimcnei jednak micv klopotOw / pomJ»/vmi
lK7hyh[it/,e,ny pr/cc,ntk Prmu*'k » prawo. otr/ymamy kolejnc p o W
/adaniam i
a) P r/editaw lic/bc Avogadro w /wykly apnaAb
b) M ata |cdneg>> mola (lenu wynoti 31.9981 g jak* m a s ma icden atom
iak< ma ma«c
7 *k* n u k lic/h> ^ byloby wygodmej pr/edti.w ,« * w formic wykladmcicj
MW,b ,JiPI’le ll0by )Cdefl chcfmy
1.0
Gd> pr/fvin,,,-^ °
~
llenu Wykonai pr/ybliionc oblic*enia
5. Z a p u / odlegioil Zicmi od Skutca w ecmymciiach 17yt noiaiji wyklad-
10,0
l(X),°
10000
10000.0 .
* kw o- 0,r*ymamy lakic lic/by:
0.01
0.001 0.0001
0 .00001..
mc/cj
I
41
iemy umow$, ze:
l
=
10 -2
1 =
103
I O '3
10*
_ L = i o ~ 4
104
#
wolnej liczby naturalnej k
—
=
I 0 ~ k,
10*
my ulozy<5 tak^ tabelk?:
= IO4 £
10000,0
= 103
1000,0
= IO2
100,0
= IO1
10,0
= 10°
1,0
= IO-1
0,1
= 10"2
0,01
= 10" 3
0,001
= IO'4
0,0001
otrzymujemy z liczby 1,0 przez przesunifcie przecink. o szeSd
a
j.k a.W « I«. Od nu. Wm ein*, do fw «/dy Proxim . Centaur,,? lle I
dil|e, i»t do Gwia/dy Polarnci
I
3. W w y raientu a2 a ' w miej*ce luery a podMawut kolemu lk/hy.2. J •»
- 2 : - 3; 0 . 1; 200
7 pod«| • milimd rach. jak> odlefJoft dx c h na» od SloAca.
1 Podaj w pr/>bWen.u. w metrach. dlugofc prom iem a orbiiy Ziemi
NaM fpnic w ykonaj pr7ck*/lalcenu i oblic/ Dl.» - 2 /adanie iu> wykonn
liAmy:
q lie kilometf6w w cmgu icdncgo roku pr/cbywa Zicm ia wdrod/edookol*
( - 2 )l ( - 2 )* - ( - 2) ( - 2 ) ( - 2) ( - 2) ( - 2) - ( - 2)’
4. U /u pclnij labelled
Slone*'’ Il« to milimetrow?
10. lie ccntymetriw jeit od cicb.e do K u tfyca? lie ccn ty m e triw pr/ebyw,
w ruchu wok6l Ziemi od pclni, d o pelni?
a
11. Oblic*
2J 10* » 0t IO'*’ C 7 IO11 5.35 IO11*
<
ioTicT14 2.u V io rt' i j i io*'
i..
i
I I Korzy*uj*c / tablicy poteg Iic7by 2 podancj na s. 49 znpuz w nottcji
wykUdnie/fj naitcpunce liczby;
n>
2>°
2
f,
I
1
Pr/>kl*d. 2'* - 524 288. itqd 2** - 5.24288 • 105.
13. K or/w an c / przybltfonej rbwnotei
2 ‘* - 1024 a 10*
1
oblic/, ilc co najmmej cyfr wyitfpujc w /a p isic d/Jcsi$tnym najt$pujqcych
lic/b
2»« 2*o 2'**
Pr/ykbd 24(>- 2 ' # 2 , ° 2'° 2 '° * 10* IO3 1 0 M 0 J - lO ^ .sH d ltc/b i
24"ma co nairnmei 13 cyfr.
5
OJ
0.3
j?
f
4
3
3
<r «-
<*•*
i*
2
y
3
2
x* x“ - X*"*.
S3 m
x " :x " •
j*
r/ec/ywiMci x * 0
( ,!,) ' •
:
(OS)* -
.
<0,3)*
l0 ‘ "
, ' IJ m
*( IO
1 Wykonui obhcania wedlug podancgo
2’ 24 - 2 2 2 2 -2 - 2 ’
:
1 0 . 5 ) '-
,
(03)*
2* V .
2
«*
II. Dla lic/b naiuralnych « i m lakich. >c n > m ora/ ill.i dowolnei lic/by
podancgo w/oru
I0J *
2' - .
3
n* m
To sq podstaw ow e prawn rachunkowe dla poteg
I. Dla dowolnyeh lic/b naiuralnych n i m o ra/ dowolnei licrhy r/ecn wi»ici \
Poi«|ow«ni* io |c*i ikrocony /upis mnofcnla. C o to /ruiczy?
2‘ * .
m
Co /uuwu>ylc4?
5. Narysuj tabclkf. takq jak w /adaniu4./artfpuncc7warta kolumnc pr/< /
n —m. kolumnc si6dmq pr/e/ u" tim, j kolumnv *»ma pr/cr
“
Z kolumny d/iewiqtej /re/ygnuj. Co /auw»>yle4?
I
Mnozenie i dzielenie p o tty
L ^ k0rU| oWlc/en“
2 • 2 J 5 ■ 8•
n
- x* ".
III. Dla dowolncj lic/by naturnlnej n o ra /d la dowolnyeh lic/b r/ecry w m uh
J* .
*
i V1
(*•).)"
,* / .
IV. Din dowolnei lic/by natu raln q n o ra/d la dowolnyeh ln /b r m /> whim h
10* I 0 J . .
10*". I,," -..
(b)‘{»)’ -:
('J C S -:
M'lWI****»
x i )•. p r/y c/y m i # 0
\ . DU dowolnych lic/h n*iurjln>ch it i m o ra / dowolncj licrby r/ec/y w „(cj,
1.0 “ * <’ ’
IV prawn m irvdnc do n.tpisjma i do odc/ytania. ale ich sen* jC*t pr0My
Z o h a a w lo ro/wi+/uiac /.idaniu
II. Dla juktch lic/b x > 0 liczba 2* dneli |o ‘°7
11
T T T — »*
r i *
f.T y ,
rv T ‘ ‘
po-
,
Pr/cd»taw w nujpro<u/.ej po*uci:
Zgadmj ink.4 lic/bn icii * S u raj -ue.jak nujmmcj lic/yd.
; ■ . 2 1.
f* J*
2" 4 * » 2 *,
2 * 3 J - 2 *- 3J.
2 '- * .
3* - 2 7 .
3**J - 3 4.
2* 9 - 8 9 .
11.1
l3i -'l" _- 3*.
M
r■v -_ 2•»!».
3* 2 -- «27 12.
2 * nV - 72.
7. Sptyr/:
, ,
(2 3»* • 2 3 2 3 2 3 - 2 2 2 3 3 3 - 2»-3 5
VSykonaj podobnc pr/ckvtalccnia
,2 5 t» - ;
(3 1 3 )* - :
(2 -3 -5 -7 )1 ;
,: 7 |‘ .
.
13 17)’ ;
12 1 3 1 7 ) * ;
,7 II)'
(11-17)’ - :
(13 1 1 1 7)3 ;
8. Sp*'ir/
(2*)* -
2 J 2 ’ 2*
- 21*1*1 - 2’ *;
(21 V |’ - 2 ‘ 3 ’ 22 3* 2 5 3* Wvkoiui podobnc pr/ck\/lalccnu
(2*)i < )V (5V -
:
.
|2 J - 3 V (5*• 7*)* 14' 11)* -
3 * ‘ >‘ J - 2* J -3*
;
;
;
I2 M -7 )3 ;
(3a 5 7)J — ;
<7J - S M l ) * -
2 3 9 - 2 3-3 3
2' 3J
24 ’ 3* * - 24 J U
Wykonai podobnc pr/eki/talccma r lic/bami
12’
33* •
100’ ;
24*
M>' - ;
100* ;
28'
4 4' - ;
100’ 10. JOeli i . ) . i n dowolnymi lic/bami, lo
wyra>cme
*yra>ciwe
c/cm u r 6 wna u c naitcpuj***
(« ' yJ r ,lj
U
*•
13. Sp 6 jnt.
a &
« y -n fff.
« r n ” ’1
•
u?
2 , (2 , + 2 ’) - 2 J - 2 , + 2, - 2 T - 2 ’ + 2*
W ykonaj podobnc mnotenia.
a) 3* (3*+ 34);
d) 5* (5*-5»);
g) <(x+ I);
b) 4* (4, + 4 4);
c) T4-(7J— 7*k
h) r*(t*-5fc
c) x a ( x * + x 7);
f)
14. P r/c d iU w w pottaci iloc/ynu potcg:
a) (2■ 3 2)*(2• 5);
c) a [a />);
d) x V y d
i) (x>)J((*x)4+(*y>’l;
cl </>\i) IhV);
0 (»V ) (»'«*•'»
Prryklud: (2 3• 5*) (2 5 7) - 2 2 3-5* 5 7 - 2* 3 5* 7
;
» na*i?pnic
M4 - (2 ' 3 V
t» 7.
b) ( l l J -7) (7» 11*);
9. Zohac/. ink latwo pr/cdMawia
poicgc dowolncj lic/b y w potiaci
iloc/ynu poi(|hc7hpicrw\/ych Mamy lo/robid np. r lic/ba 544. Ro/klidimy 54 na c/ynniki pierwvc
34 - 2 27
. 2‘ » 5
■» ? 7 i :
15. W ykonaj m noicm a
a)
a * (tih + 2 a );
b) h \ 2 c b + b ) - ,
c) lxy(.x + y);
e) xy.*(x+K+rfc
d) 3f«(»-»n).
f) xV(xv+y+H
O ra ,.2 0 p y l a h "
Gra polcga na (ym. *e jedna lub dwic o»oby wychod/* / pokoiu, a revta
umawia, jakic wybrad tlowo Powinien to hyd r/ec/owmk. na pr/yklad
o/nacrajacy jakiol Jtwierrc, albo na/wa jakiejl r/cki. albo po»u< hnior>c/na
Gdy j u t wiudomo. co ao iu Io wybranc. te dwic o»ohy wchod/a r. powrotem
i m o w /adawaC p yu nia. ale tylko lake pytania. na kiOrr je»t odpowiedJ
- ta k ” lub ..nic" i tylko 2() lakich pytart Jeteh udaw cna pod»ia*ie me wiccei
n ii 20 takich pytart /gadnad. to /gadujtcy wyjrali W prwclwnym wypad u.
wygrali cu co wybrmli takic trudnc do odgadnifcia ilowo
,
G ra je»t b ard /o xabawna C /a « m wydajc »!«. >« '•>
^dn,d. a tymczuem i | ^ c ) julpo kOk«
wal Nobo imielUmy wybrad coi / matcmaiyki Wybraliimy ..P*
*
my. U Nobo b«dzie m.al dulo Uopotu i uiukniem m«|K po Pr/eonk
47
no e/wartym pytamu. Innytn ru/cm
. ,ym c ^ ^ w y b r a l M m y »<owo ..g*eg*6 »ku" G i e t f t f k a ,0 h .rd/Q
w vbrk A * * * " 7 . ' A G a p a o, o c/y w tto c n.c /g ad l, ale pow,ed„«|, >(
irudne \lowo. ™
. . ^ 0|ka w weale nie /w .cr/?. lylko ptak ,d o tcg(,
on sic
puUpk- or
ly|ko *>wa.. ki6
Tc skalc moiwmy /upi%.ic /.i pomcti.4 rx'Kif dw<>iki
4 4 0 -2 " 4.
440 2 *.
440 2 *.
4411 2
4 4 0 -2 '.
440 2J.
a m .v
440 •2 ’
Zj.od/.H*my hi; wtcdy. >e hplziciny wyblerj<
j>ko hn#la w cncyk|0pcdl) Nast^pncgo d ru
popularnq PW N . p o w .c d /m U c m oiem y Wblt
c te m y . a on ju* * podejm uje jg u d n jd . W icd/,ciumy
i
Olek du>o wie. ale ieby >.C nauczyi cncyklopcdu n a p a m j* ,0
“ X a . /atkoczylo Po namy*lc wybralUmy ,lo w o „ k s /y k " i zawoldUmy
n L o i e k ^ « eil wcwlutki. wn*l do rcki cncykiopcdic. otworzyl mniC)
w L j * po)ow,e. mpvul: - Czy to stowo jcm w pierwwtj cafici? Mu,tcl.imy
Jpowicdriec tak" Teraz Olek oiworzyl encyklopcdi? mmej wt?cej w polo. I
w* lego eo bylo p.cnvs/, czcio* . za p y u t - Czy to slow o je*t w p.env,„) I
a«icT Muuel.imv odpowicdz.itf ..nie" i wtedy /.rozum.cliimy podst?p. Ale [
Olck pytai dale), ai ustalil do konca, po tr/ynastym pytuniu. kuSrc to slowo f
1 Czy m av w domu iakaA encyklopcdic? Ja k a liczbu pytaiS nu ..tak” i „nie‘
wyittrczy do odgadmccia wybranego *lowa?
-
2
iJio n
-
<
m
«
16
32
64
2 '* 2J" «
21' m
2J1 -
m
.
524 28«
1048 576
2()971J2
4104.104
2] "
128
2J>
*3*8608
2
256
2 34 16777216
2 " ''
512
2 11 .
3.15544(2
2 " '1024
2J* »
67108864
2 " - 2048
2,T ■ 114217728
2 W - 4096
2“ 268435456
2 , J - 8 192
21" •
536 870912
2 14 - 16 384
2 ’° - 1073741 824
2 ‘5 - 32 768
2 JI - 2147483648
i 1" - 65536
2“ ■ 4294967296
A tu podajemy worto*ci kolcjnych ujcmnycb poift lic/hy 2. od - I potcgi do
- 12 potcgi
[
A nad »rodkowym C na forteptantc pow inno p r / y d o b r /c nastrojonym *
invtromcncie mied dokladme 440 drgah na ic k u n d ;. M o ie tn y sprawdzuS lo
’
kamcnonera. Ton A o okuw ? wyiej ma dokludm c dw u rnzy tyle drgaA n»
,
wkunde Ton A o oktaw? ni*ei ma o polow* mmej.
?
;
* *
2 ”
2* -
'
I
|j
Przyklady poing o wykladnikach calkowitych t
i ulamkowych
i
44,, 2
O to wartotei kolcjnych potCg lic/by 2. od I do P no*,,,
.
^
I. Gapcio ici /gudywal /a pomoc« encyklopcdii. Pytal jedn uk troche »ynematyc/niej. Czy to iJowo Jest na pierwuzej stronicy? P otcm : czy je»l ni
drugief> A potem czy na trzecicj?... 1 na dwudzicstcj stronicy pnxgral. C/y
potrafuz wytlumaczyi mu. na czym polega zasuda O lk a?
*
2 ' 1 - 0,5
2 ’ 0.0078125
2 ' 1 - 0.25
2 '*
0,00390*25
2 ' J - 0.125
2“
0.001953125
2 ‘ 4 - 0.0625
2 ‘ 10 0.001)9765625
2 ’ -- 0.03125
2 ' " - 0.0004K828I25
2 * - 0.015625
2 ‘ 13 • 0,tHX)244140625
Jc<li uw a/nic p r /y jr /r t hic tym tablicom. molna /auwaiytf kilka ciekawvth
ich wlusnoici.
Noho /wrrtctl uwiigc. 27 i 2J ’ mu 14 dwie otiatnir cyfry takie »ain« Dalwr
pnry potcg Itc/by 2 o tc| wlainoki 14 na«cpuj4 C«- 2* 12 i ". 2 ' i 2 J'1. 2 11' 12 *
- Wiem - c ie v y *t? Olek - takie «4 dww w u in ie cyfry dowoln*) pot«gi
lic/by 2 Na prryklad 2” ma takie *anw dwte oatutme cyfrv eo 21' 12'' S410
tyfry 6 t 8
- Tr/y onatnte cyfry' 'c* mu« 4 »t« powlaraaii - zauwa/yl Nobo. Olai/ego? N o bojc»t lylko 1000moiliwofci: od000d«999. wi*c * kortcutak.rtdw.c
mu»/j) 11c pow ior/yi I od lej chwili |U /»(? mu»/a w k^ko powutrzaC.
4
t
49
Rommowanic Nobo ,cM dobrc C/y re/om,«Wj c 7 O . u . n , , cyfr,
l,czb> 2 Kt. albo 2. albo •». #lbo *. albo 8 N.c m oic byt na kortcu an, 0. an,
iadna cvfr* mcpar/yv*
C/> potrafStf u/4«adnif. dlac/ego Uk jcii.
- / ubltcy uK-mnych poteg lic/by 2 mogc o d c/y ud dodntn.c pot?gl |ic, hy
5 - uuvti/yl Oipcio - Na pr/yklad
5* - 39062J,
5 " * 48 828 125.
1. Za»lan<!>w ■* i op,w slowami. iak« lic/N jest 2i0 ■2 ' J. Wykonnj oblic«nie.
2. Oblic/ i /.ipi\/ w /cvycic » poiiac, lablicy 20 kolejnych poteg lic/by 3, od
J ' do J ”'
.V 7.i pomcm Ublicy / popr/ednicgo /adania oblic/ s/ybko.
V* J*»,
J 10 3*.
27• 3i t .
4 Oblic* kolfine poifgi lic/by 5, od S10 u>.do 5 " ’ Kor/y*taj / kalkulaiora.
Wymki/apiv » po«taci ublicy w /ewycic. Powied/ v y b k o , jakq pot$ga
J M lic/by
m
i ’
^ 125 0.0000128.
5. Zap,*/ naviypumcc wyra>cma jako pojcdync/c poicgi lie/by x:
* j ' 1,
.I
*
i* 1? ,
——
Sprawd/. cry dla » 2 iwoia odpowiedfc jeti poprawna,
6. Pcwien maiemMyk. ktAry <>< urod/il w XIX wicku m 6 wil: ..mialetti x l*1
w roku x*” W ki6 rym roku »ic urod/jP
7. CdybyimialupiMul ^ 2 w po»uci 2*. v ^2 • 2*.jak my*li*/ co nulcialob)
n«pi»*t w miei\cc
& Zachod/j rfcvnott
- 5. Wynika to /. definlcji pierwia.lka. Jciell
pr/yim wm y./eys - 5 '.topair/acnar6w noid 5’ 5* * 5 ' odpowicd/na
pytaiiK, jakj) lic/b« powmno by* x
*. JcJtli dobr«
/ lym. I t JJ 50
/.adanie poprrcdnic. to pcwme /god/i*/
Jcteli ma»/ do utp do dobrego kalkulaiora,,
. »pr«wd> to.
10. Oblic/.
(jfy -
I*1)' -
;
|I3 1 )* .
1101 f('
(51)* -
(101 I f
Tablice poteg 1pierwiastkdw
Tahitca kwadraid* liezb od 0,0 Ju
l
3
0
1
3
0,110 0.01 0,04 0,0*
0
1,00 1.31
1,U
1.
, 6V
4,00
4 41
V,
2,
■'
1.00
10,34 10.W
3,
1600 8i l
*
17,64 IH.40
35.00 2601 37,04 : k.(w
J,
16.00 37,21 3H.44 W,(W
0.
7
49.00 50.41 M.H4
X.
64.00 6.1,61 67,24 6H,n
«,
HI.00 H2.HI H4,64 H6.49
9.9
4
0.16
I.M6
1
ig
331
6
0,1*
3.3*
6.7*
II 16 13.31
I* 16 30,31 31.16
3«,I6 1031 11 16
40.96 43,31 4116
*4,76 Vi.33 37,76
7016 73,31 71,*6
«?,!*
HH.16
1
a
n,4v fiM
2.H9
'J4
?,«4
v*
| 1M 1444,
J3IW
4J-4V 1164
44*4 4* . 4
11^» *11,14
71,M T7.44
*4JN 96 IM
■t
All
y»i
>4,
I1J,
’4 01
UHI
4»6I
63,41
T».2l
MjUl
Aby /n a lc il kwadrat lic/by 8.7 nalc/y odt/ukad 8 wlewej tkrajnci kolutnnic.
a 7 w picrwjizym wierx/u W pr/ccifciu wicrx/a wy/nnc/onego pr/e/ 8 i kolumny wyznnczonej pr7e / 7 odna|du|cmy lic/b? 75,69 Jcii |8,7>J - 75.69
'luhlica piemia.stktiw hczb od 0.0 do 9.9
4
i
1
0
2
0,33 0,63
Q,(M) 0,32 045
0,
1,
100
1,10 1,14 1,1*
1,03
lr13
I.4N 1.5)
1.41
2,
Ml
I.M
1
7V I.H3
1
7
b
1
71
r
--\
—
L■ * —
4.
200 102 2,01 2,117 3.10
J,
3,31 3.W
1J2A 3,7ft
M i
6. . V 5 V 7 3.4« 3.11
2
,6
1
1
m
:,
m
i
3,63
V
S
.
—7!
3.H6 J 1 L . - ■ M _
3,13
t l i - __1 i.m
vm ~ r 1,02
1,03 1 V»L
i.oi I V1.0?’ _ I 1 ,0 7
3
0,71
1,33
M,
l,«7
m:
3.11
A
0,77
i>
i .»i
i,yn
3.4
V1
X57
•'"■I
."6
■” 4
7
I
UN
V
0,«3
(,*4
16?
It«3
3IJ
,,70
.,*7
:n
3.r*
3”
*'«' .
3.61
,,M
V* 1.11
■ 3,«_
.7 .1
1.1>
VII*
1,0* I M
<> I VJ... I m
111 .1 .M’ i
Po«tcpujnc tak ••mo. jak w wypadku poawkiwiuiu kwadratu lic/hy, t po-
wV*»«j ublicy motemy odc/ytai. ie ^ l.7 * 2.95
, TiNici pwrw»»il*w na o f * p ^ a j c tylko przy h l./o n c w«n o ,
» u.iko* VHUi iik*« l»crhy. dl » ktrtrych n a v a tahlnrn p o d a j c d o k u "
W c/warick rano / pickarm wyiach«iy < In,,, m-u,
m r io k pier*M«ika
1 Odczyiai / Wblk
Jtl*
b.6\
v ’A
„ l «w.
>/*•?•
y /V ;
9 ,*J;
V Z000 ;
VU0
J, Zohacz. jak oblic/amy kwadrat liczby 38:
3d’ - (3.8 I0r* -
I0J
Odc/ytuicmy / i*M»cy, (3.8)J - 14,44. wicc:
Tabclka objainta dokyd pojcchaly po»zcJX|61ne furgonetki To <*mo ort«J.r
graf iirzalkowy.
|3 «(J H>J • 14.44 |0 J • 1444
Simujqc podobnc przckuu lcrnia oblic/:
39» - ,
12(H - .
56' - .
lflOJ - ;
77* - ;
3V0J m ;
4. Tak oblic/atny pierwunki:
I800J H900J •
93001 -
N 2 1 6 - v X H o 1 - y i T i - i o * I.4J. 1 0 .
;
;
| 4.3;
v 90 " v '9 ‘0 - 7 0 .9 10J - j i t f . I0 * 0.95’ 10 - 9,5.
Ohlitz » przybliicmu.
v 20:
v 10;
v/80;
x 220;
yno.
V 1000;
v 40;
/I S O
10,031*;
v o.oii
N 2000,
Czy wicw, d o jakich \klcp6w /awio/ln pi«c/v»o drujm furnonfik*’ Ki ic
furjionctki pojcchaly dotklcpu nr 31 ’ Lalwo/ro/umwtf ci>/r>4c/«tcry«unki.
prawda?
■Irtli chcemy proilo 1 kr6 lko opuaf podobnc iytuai.ii', to *y|i«lni# i« i
pomyilcd 0 odpowicdnjm przyporz^dkowamu Oraf 1ubrlk* ilu»iruja pr/v-
5. Oblicz:
•ci.oi i r*:
(ira ly
1
v '0 . 0 0 2 .
la b c lk i
Pirkarnu /jopatrujc 6 okolic/nyth tklcpOw. S* to - »k.lep nr -o.
iklep nr 29, «klcp nr 31. iklcp nr 45. »klep nr 46.
k ic p * *
por7.|dkowanie na»lcpui*ce
furgonclcc picrw»/«j przyporz^dkowanc mi «klrpy 2V 31.46.
furgonctcc drugiej pr/yporzadkowane 14 »kkp> 26 1 2*.
furgonclcc irzcoci przyporz^dkowanc *a tkkpy 26.29 i 46
Pfvypor/ndkowaiuc 1 0 |C»l/czbiorufurgonclck (I. II. I ll! do/bwro >ktep«"»
(26. 28. 29.31,45.461
Je*li k aid cm u ekm entowi zbioni A i« i pr/yporr*dkuw»n) iwkii M '
clcmentOw /b io ru B. 10 mOwlmy. >t mamy p n y p * ™ ^
•• " " " • 4 *
* fen B
1)
I. v u n k i k«»ik< pp«d»i»*ionej na
ryMinku o/njc/>li»ni> » m_\ili
fc/hami 1. 1 .1 *. 5 1* » /ak>no<ci I'd lep’. ile oc/ek ioI n.i wiancc
N* wvytlku teianki
widoc/nc wwmyjednak. ilc oc/ek ic%l
tu mc» idoc/nych iciankach,
|dv> Minn oc/ek na pr/cco* le|rIvch kiunkuch tci kotlki j» f /«*\j< ro»nj 7 Napr/ccmko I
|mi 6. napr/eciwko 2 jeit J. a napr/co»ko 3 je\t 4
Wierrcholki kmiki o/nac/>I»my litcrami a, h, c, d, e. f, h. Tylko |cdcn
/ « irr/cholkCm m l nicwidoc/ny. w.cmy icdnak. i c icnt io wicr/cholckT
Tabclkj mo»i o pc»n>m pr/>por/j,dkow aniu / c /h io ru tcianck
11.Z y A. 5. 6 , do /hioru wicncholk 6 w (j, h, <, d, r, J, f/. I, j
- k /hioru wicr/cholk 6 w v ekiam i do /h.oru jr»o kra*rd/.
_ /c /b .o ru wicr/cholki.w >,ck,«.k.,.a lorcm* * . .jo
,„ n pr„ .
kainych
NaryMii lahclki lych pr/ypur/adkowafi
I pr/ypo r/^dkow anic mo>c by< n /hioru A do icVo ,m C |u /h.oru 4 C/y
p o irafu / odc/ylaC / grafu co /o,talo prTypw/adkowjm p.. a ,c,nln)m
clcmcniom '1 NnryMii odpo\nedniii tnbclkf
c
. *
V
^
*
*
VSw/
<5
3. Zblor -4 ma .1 clemcnly, u /bior rt ma 4 dcmrniy Ilc. co na|wv/r|
kr/y>ykdw rrWew>%upic wiabckcpr/ypor/adkoiMiiiii/ 4 do ff’ IK to
najwvicj ntr/alck mo>c mict jrral pr/yporradkowama / A do fP Narv.u
odpowicdni graf
Ciapcio narynowal graf pr/ypor/«dkowama
Powicd/ num. co o /n ac/a twiSj graf
-
■
—
j
D / m a i p r / y tk tr y n k a c h na In ly w n a v y m dom u «poikalem liiio n o w a
l.u i o n o s / w r /u c il
6
linlrtw d o tk r/y n c k N a ry io w a k m <ohic
$ r» l
Pr/ypo-
•^H dkow n nic (csl / e /h io r u Ii»l 6 » do /h io ru «kr/ynck S ir/a tk i poka/uja. do
a) Pr/yjr/yj «k ryiunkowt koviki i lahelcc. a polem opowie I/. wcdlul
jak it i /«vad> j« i nkrcUonc lo pr/ypor 7 4 dkowanic
hi Nuy'uj grat lego pr/ypor/«dkownma t polic/l j)de<°
ik turafek wych.xl/i / kaMci ictanki. ilc \ir/alck dochoci/i do
wicr/ihoik*. ik ic<i wvytlkich vnralek JA ic u | /a le in o W mi?dO»
teianck. Iic/h* tir/akk i lic/K* wicr/cholkbw?
c| Obmy*l podohnt pr/ypor/ndkowamc
lakich tkr/ynck wr/ucsl Iwlom**/ kolejn* Inly
I'r/yjr/yjcic m; ryvunkowi C liyha icdnak Gapcio cot pokrvol
G r«f(ntpcw mOglhy patowa*.' do opowiadania <<ro/w< >/cniu picc/ywa. JnJna
furgoncika m o it ro /w tek picc/ywo do kilku «klrp*W • *iedy / (adncjii*
l>unktu urufu m o/c wych.nl/id kilka «lr/alck. *dy/ pr/ypor**lkowa.uc mi
wtclo/nac/n<
U
j^nofO H.tu IM rno*n« icdnak w r/u u i jcdnoc/cln.e d o kilku »kr/yn .
-^n ep 'p u n k iu » ra fu m O e »>chod/K tylko (cdna xtr/alku P riy p o ,* ,dki.
tunit icm Jfdno/nii/nc - j« t ono funkcj*
jn l! ki>drniu elementowi /hn<ru I ic%i p i/v p o r/j)d k o u u n
element /hioru P to mowimy, tc num> funkejf /c /b io ru .4
Zhior •<
diicdz/nn funkcji, a /b i 6 r /f pr/i-ci«d/icd/li
a) /c /b iu ru A do /bloru A.
b) /c /hioru A do /bloru H,
7, To .icsl (ubclka pcwnci funkcii
4. Ktorc ! grafow n« rysunkuch pntediluwlaj* funkejc?
KiOf} /czbiorim
* ■
t
U l p .m .n .o ,q , r j
|C«I d/ied/in* tej funkul1
• unkt|« \y a iv i Olka me In la /b>t miercinnaca
Nobo mu cos cickaw vcyo do poka/ama To toil jjrat funkcii. ktor* utolyl
Nobo
K, Rysunck pr/eiUi#wm graf funkcii t
M^ * ,N ,‘b0
.
W y M trm
n. o 1
. 1 1
* '< " l , c / h A “ 1
'
v
'
' 4'
\
|
/5 » m
V
’
’
'
'
r * funkcx /< /bioru A do /bioru {uk. " « )
,Cm V j • » /.i'/vfrow*lcm w ten npo»Ob?
kW( I K ^ « k K h h u b wymicrnych » / h » r / e A w y ch .n l/, „ r « l k , do ,|n * .
j a - . M b «i.wym.erny*h wychod/, t.r/a lk . d o l o w . ..me -
Noho wyiataia 7 ai/yfrow»lcm pewicn pod/bi 6 r /h .o ru A ..Tak lub ..nic1
t0 odpowicd/i M pyonx „C/y l*oba naltfy do /ax/yfrow ancgo pod/hioruT’ Wiecie iu> i«ki pod/bi6r /ai/yfrowalcm 1
Oc/ywikm1 T»*i pod/btfr io [ - 2 . 0 . y 6 ). »vy%tkie lic/by wymiernc /c
/hioru 4
Wskii/. cicm u icst nSwnr
/(*»).
./*<)•
/M
/(/(O k /IMcM
Poda) /b i6 r wartoki i pr/eciwd/icd/ine funkcn /
9. a) C /y pr/ypor/,<lkowanic
bl C/y pr/ypor/jdk.-w.im,•jcitos mow m am a”
,.|eite4 moim d/ieckk-m"
mo*e okrcilnd funkcic?
mote okrr-.l n. funkc* 1
10. k to rc / gr.tlov. prm Uiawiaj* (unkeje:
Funkcic o/nac/amy c/?ito malymi lilcrami /, (j. h,
/amavi mo» id. /c funkcia I elcmcntowi a pr/y p o r/ad k o w u ic element
b /jpu/emy krGtko
/la) » b
Mo/na ukie /apiuC. w—*/>. albo po protlu
je 4Ii wiadomo. o j*k«
funki* thod/i
Jetli/ta) - h, to powicmy. >c h |eit wartofclq funkeji /'dla argument!! J
Zamu>t mowic. te funkeja / jest /c /bioru A do /b io ru B. /a p iv e m y krdlko
I A -B
Zhior -t to d/iedima funkeji /. Zbior B to pr/eciw d/icd/m a funkcii /
/nior wamikich w.rtoAci funkeji jeit pod/biorem jej pr/ecl»d/ied/iny. MoK
(cdnak / d a n * . te
mI, pnecm dziedjun,
t>la tych grafow. ktorc pr/cdoawmi* funkcic po»icd/ o> tc*i io d i>d/i
n.|, pr/cciw d/icd/m a i /hmrcm wartofci
II. Slovvu ..Agatu" mo>na pr/ypor/jjdkownc tak* funktte
JH
'
t
o
ih \lowo ..tonkcm" wy/naczji taku funkejc
VS poJohn) 'po *1
NaryMj frif funkcji. ki 6 ra wyznacza slowo ..K on'itantynopol".
I I KirJti liable nuiuralncj n pr 7>porz*dkowuiem y rcszt? z dzielcnia tei
liob> n pr/cr 7. Na przyklad:
33—3.
4 9 -0
Cry io prryporzadkowanic o k reilj funkcic”’ ic*li luk. lo podaj jcj dncdzine i /bior «anoiCi.
Tcra/ tylko I*czy >>19 tc punkiy w moiliwic rozMiln> »po»nb. tu po pi
mctfna przez me poprowad/id lime provia 1goiowc
* Mroviki"
pcwncgo gaiunku mr6-
Aiuu *>c/>taU
u p rcdkok p o r u v a n ia
wek w icn ipotoh n lc ); od icmpcr.ilurv.
—--' predko»< mrv»k.»
1
ru tckund«
2
1
4
5
[inap-mhjM » f
Ik
22
2m
J4
Im itnipcr»iur4 ,e„ w .
h»fvl/o riKMdowoloni, /
rnr,’* lt- p o n i v *
v y h cicj A p r* by**
fry »*m forjmux /c
*' n 0rm as,,
/ n <«/y. pow icd/iala. I* libdk*1
k o , r i nir » 0|ao u n n P r / y
%,<>Pni»ch. w tcm pcratu rzc pokojoweJ. mrAwP,‘dohr»t|o powfcd /li,UL
' 'y[ ko d l* lc* °. >« “■•((«> me ma w '•belt'1 Nit
* uk'*d'* *»p6 t n t d nvch '
' lych d j n ych r<>b.
wykrw. najlep*J
Jru*J«l i«np(ratUfc
n>! |et*ncJ 0,1 o d m ier/a %i< prfdko*C mfA*ki. M
mr"* kl PV> rw nHh . „
‘ lm,a- k, 6 ra pokayu,c, jak */ybko ip**™ *
num- P*l'*ifd/ia| Nobo
U u r « "«»Wf '« ki " > k r n , t f
, . ,v,k0 model <e|0 . j«k wybko po r u t/a n s * mr6 w kl Mo>e„
T„ K«| o c t ) * * u '■
k h(fgaw mriNwki w dowolncj lempcratur/e Tak*
Ka>d> P“nk‘ ,CJ lin"' k ,6r* wyWrc4l,lem m«
M7oro«e
>iin
j k ^(Sw v „ „ o s , ig r c k o w .
u t l ■ tpr^dkoW mrowki. icmpcraiura).
2. O pow icd/ swoimi slowami. co myil4| Capcio?
3. ja k m y ili./. c /y na p od .l.w ic lego. jak Mybko p o ru * .* .« mr6wkl
mo>na co* powiedne* o tcmpcritur/e oioc/em S
4. Jak m y<lu/. co m oJna by powicd/ied o mrAwkach. <JU ki 6 rydt wyfcrn
hylby inki:
jwolony / if*", co wykrcilil N oho. Ty wwyMko robiv u
0 k u nlCT k narvv^alci. jakby to lempcratura /a leia ta od (ego, jak wybko
mf twki Na picrws/ym micj»cu wym icm a sic /wykle ten
S i,
l .„mmm «*<*•••**• wci“'»
5. C /y wykret Olka dobr/c opisuje.co sic d/Jcjc/ mrbwkami w tempera tur/c
pontfcj /era? A wykres Nobo?
6. Narysuj i wypclmj tukq tabelkc;
f»iur> p^r ' 1 l f,ICl * l‘^ ,J:,k P*>dHkakuj4| m r 6 wki, w /alcJrno<ci od lempca u .ij V 0 ' <UMl,pnu,ch' r«w y»i< cie w ysoko s k a t / 4 . /auw a> yla ironic/me
1tylkodTTIv"h< Vk11 ° lck' ‘° JC' ‘ lyll‘0 mfH,el' lukl ,/ k l c lcg0 60 t><!
ukrtsie 1 islko id 1 1 U'mpcra,ur k‘*rc podann.a pflrynajmmej lylko w tym
ptm/c. pr/v wl... C*° l<J,unku mrowck A co ly ro h is/ fiapciu? J«, 'y*110
c/ur«ch tcipm , h 'n,Xr-llur/c ,c mriWki wol* zo*lad w domu l»k pW
m -|c pi wnic wcale me chcc w y c h o d /k / ffifOwl*li*
Olka? A wyC /y wyroicm c *
"•
S i l * 1' ° hu wykrf' rtw' N o t x ,, O lka, jak «/ybko pow'»fl>
k» «c»k.*uk
. ! * ,tmP « “iu r « 20 C7 Jak m yilis/. c /y lu>da mr**'
'l<'il«e?
c ,*lk- l*k m6 wi wykres? C /y i f oba wykreiy *
raJenie >
A
4 m a j a k i i / w
i 4 M
/ ^ kf" * m ' N o b ° '
p , « , y . U) , » T l . . u W k . i l . lunlc,,
1
, in; fUchl^ok m r^ck .k «ld e,lM 3 b « w y r ^ « I,empcril,1|.
Crtly‘' r '
!
„
I>k SOWWVW"/
a --dkofci mrOwki.rown.c* wyra>ana I k / b ,
% >e prc<]k0K mrowki je.t funkej, icmpcra.
lur> 0 ,,h l nn. m l icJnvm / my*A*niCj«ych p o t f m t.c n u iy k l
pr,ypor/.dkv>w.n«. ustalonc m * d /y d m
! T
al v • x + 3
,b i„rtim.
i i i w B d r t d / i m funkc" ■ /b,orcm w u n > m Pr/cc,wd"«Ui«4
Mr k .< * pr/ypor/«dkowan.c mi^d/y d w o m . /b.orum i na/ywa llf
b) > ■
.
«
0
y
J
X
1
2
1
4
0
2
4
6
II
1
2
j
4
5
)
4
3
6
7
2
3
4
5
6
y
Illk.1funkcw na/y*«my tylU u k .c p r/y p o r/.d k o w u m c . wcdhigki6rt,o
i t t k m clcmeowwi / d/.cd/.ny odpowmdu jcdno/nac/nic d o nicgo w y m .
crony ctanwni / pneciwd/icd/iny
Oirjmcysmy Mr tuiaj do funkcn pr/ypnr/adkow um cych liczhom liwhy
Jcdnyin /< »p.noW>» pr/cdilawiani» lakich funkeji |C%1 labrlka. laka |*ka
rrobiWmy dla mrowck (» Ml) Innvm -potobem p rm U lu w itn u i jc\l p.Hlamt
w/nru.
N.i pr/vklad.aby poka/ai. >c dla mrowki lic/ba wyra>.i|i|ca p rfd k o it wem \
If> Jvka r.r\ »n-k'/a od lic/by podajatci tem perature w C, mogliHy»my
pr.xi r u/nac/yi pnrdko\c. pr/c / 1 temperature t napm ic po pro\iu
X
C) V - X1
y
X
d) y ■ x’ + 2 \
y
M
W5 .
c ) > " It
y
r - 2i.
I
11wry u lym w/or/e na/yw:i|i| tic /miennymi / - /miennsi nir/alir>nq. p .•Ttitnn^ /alt/ti*. Je *11I sic /micnia. lo /rmcniu
lei /* Na pr/yklad icili
1 ■ 10,10 p ’ III, a icsli 1 m J. to p » |()
Lai* *tpmir/ct re wrot ion. porAwnujqc go / dan y nn / tabelki (* WM. /It
>krc\1j /u tt/tk mi;d/y prcdkoicut mrowki a icm pcraturq oio u x n ia Natomuii w/or
r
1-4
- V
2. Napw/. jakim w/orcm mo/na okrcilid funkcj® pr/edtta'*.ion< /a pom o n
labclki:
n)
X
b>
f t okrvila. jak i/ybko chnd /4 mr 6 wkl (pof /aid 6 ,» 6.3).
c j* ic <i
r
/ |" J r u / a , W j * ia c
/u
pom oc,
•Cfunluc dl ^ P° mOCM
'
* f ’ 10
* "ickiorych a r g u m e n t* moglaby w yg^dad n a n if p u j^
d)
3
4
5
II
12
13
14
13
M
4
5
6
7
8
y
• 8
10
12
14
16
X
10
12
14
16
17
y
J
7
*
II
12
X
0
1
2
3
4
V
0
1
4
9
16
l L 1J 4
* k t 7.
2
y
c)
labclki. Nu pr/yklad jcAIi f“nk'
1
Q Q 0 0
0000
@ 0 0 0
B uaoe
65
(1
i
n
it
i
f
4
II
%
0
1
y
J
6
X
y
hi
4
>
22
t
y
6
J
7
6
13
4
1) “
8
Na pr/yklad. jrtli funkiiu pr/cd«ia»i*»u k I r*
it "
X
3
4
1
14
21
4
J
6
32
42
52
62
3
4
6
12
3
2
1
4
3
3
3
6
8
4
6
7
>*
n,.in i iN iki
lo nunov/ac punkiy (2. H |V4) I'S.f.i ih.7|. i* «)i na uklad w .p..lr^dnwh
otr/ymamy wykici lei funkcn WygMa on n.nifpiiu n
.V. Ohwod kuadralu /alc/y oddlu|to*ci hoku Ohwod kwudralu jexi funkcm
dlugota.i hoku
a) I'/upcInn labclke pr/cd»u\na 14d if funkiif
X
2
y
8
3
4
10
100
h| Zapi*/ * / 0 r okrc»b)*cy (? funkc*
4. Pole kwadralu jcii lunktu dlugonci bokbw Wykonuj lubclkc tcj funkcji
dU nicktorych arguments* i /api \7 w/Ar ji| okrcxlujacy. N a o/nacrcmc
poto u>>j hiery p. na o/nac/tmc /.:» dhigoAci boku litcry b.
5. Pule po»Kr/chm t/cwunu. a tak>c oh^totd x/cicianu |O l funkcn <MU*
go^ci hoku
nl Q /n iu a jtc pole pouirr/thm pr/x/ t . dlujtok hoku /a* p r/c / x /apiw
w«-r okreilawcy funkc*
hi O/nac/M c c h ^ io * pr/c/ V, dlugott hoku /a* p r /c / a. /apis/ w/Ar
okreiUncy i« funkvjc
*• OhKio»<:./>. prtntopadioicianu o u»lalonym polu podslawy wyno«/<|cym
ic»i funkim wyxokofci, m Lic/ha p je»i funkcm lic/by h Z a p i^
lunkcit /a pomocti w/oru
MU •
fUnkkKm° * m> W
* <*k « ■
lk*
na Uklad • t o d r / e d l f h ^ * * 10 Wl^ * nr^ ne PU'>kl6w. lo n»no»/*c punkiy «
p Ir/^dnyth oii/vmamy * y k m funkcji
M
7. Nary\U| wykrety funkvii pr/i-ililawiiinych tiihclkumi w /ail tmu I
Ji. W uklud/ic w\pofr/ednyih pr/edtiawionc m wykrc*> funkiii Spor.-aJ/
lahclk■ pr/ed«tawia| 4 Ctc lunki|c i ill i kn>dei / tych funkcji podai m/hi m
okrcilancy
r»/i c vl/ > n4 i
funkcji okrrflo**J i»br!K«.
n i o / « p r/> i! i d w u u w y k r v t u l u r i k i . i l 1
„ , u 5 i p r/eciwd/ied/in»| m ote by t dowi.lny /b i6 r lics-hovwy
|M
/M r
j I.* .
/i*tcr«wo
J -6-
'
J * j j i n o k . pr/eciwdiiod/ma mote pokry» « ! «k f c /b.ortm w .n o k ,
Powytw (unkcK okrvila wrAr v - * *2 MAw.my. >e funkcja dana w/orcm
Vm \ + 2 okrolona |« t na /bior/c j 1.2.3.4.5 J
«. N.O'Ui »>kr« funkcji v - 10-
jeili d/icd/m^ lej funkcji jcit /bi,Sr
t | .4 - |0 I 13.4.5.6,7.8,9.10).
bt
b
- |o ,j. ij. i j . 4 j - 4 - 5- 5? *■
7- 7? » • » ? g- 9j i o [
Cl f . 1-10 - 9. - 8. - 7. - 6. - 5. - 4. - 3. - 2. - 11.
Jl
4wB
W prrvpadku u |-d i napiv. i.iki /bior
io i
/biorom w irtiK ci funkcu
10 . W y k r c .
Slid □
!:.tt
m E £:
Rozne przykladv funkcji
Przyklait I Pr/ypor/adkoaam e podune pr/iv Agut? pvnlaiacc prcdkov.
m n m ki w /ak>no«a od icmptraiury I* 60| ie*i I*} funkcM
Ka>dc| lic/bk’ wyrntemcrj K-mpcruiur;. odpowiad.i dukladmc wwna«./ona
icdnu warintc. iidna lic/ba wyrftJauca prcdknu. mruwki Jtdnak i* furiktia
okrcilonn jc»i lylko na haid/o malym /bior/f. /lotonym r crirr«.-h la /h |fc.
22, ’K, 34 Hu* mote l>Iko dla lych icmpcrulur wykomino pmmarv prcdko*t
me ir%l wyklcvro (uriktjl. pomc*aJ me k.i/d«l Wc/bic ' odp***11'1 ll j ^ K
rnacimc do n*i wyjnac/on» lic/ba i Ola x - I w y k r o WS*‘" /U ^ i '
'•rarui^.i v Dla iakt<i j n / t n wartoici < w y k ro *\ku/ui<r dw if * * r
wt
poruwanta *if mr 6 wck W«Sr lej funkcji jetl natifpuiaiy j -
*ykif«/a»
ictl laki
ov
W /or ,ej po/ottalby ,c„ ,im . .................. ...
bylby /biOr J x c R-, It. « , « M;
ulc„l,, v
p r ty k k d 2 . JOcl. .ymbol / » o/nac/ulby d l, na tak, hc/N ktora pndn.e
siona do kwadrutu xtawalaby
l,c/h,
wtedy k iidri k , b , r l*dain.ri
odpowiudalyby dwic lic/by. icdna dodalnta. druya uiemna
Takic pr/ypor/qdkouam c me |csi funkcji I*r/ypor/ndkow.amc ui nit ie»t
jcdno/nacznc Lic/bic 4 odpowiadai i dwic lic/by - 2 i 2 I ic/hie ') townie/
wmo'li n.1 iL -in .il p r f . l k t n c i mriSwek « tcm pcrn iu r/c wy*vcj od
\A C N J / nu /ct od 16 C m ry/ykownc Dla lem pcralur po^redntch. a wi«.
l«mpcraiui mifdA 16 < a 34 <■' " 'P 29 C. 25.5 C). byO mo>c mo>na funkcj*
tn>chc ro/»/cr/y<.. tak at>y tcmpcraturnm piHrcdnim odpow iadaly posredme
prfdkoici V1i>|»lih\<iny wtedy nary-towmi wykres podobny d o wykrcsu Olka
•x ('., i nlcoyranK/ony tylko do lempcralur 16 34 C Bylhy lo wykres nowci
V k v c lltK
(u n icji
dwic lic/by - 3 i 3 ltd Dlaii'po symbol v \ okrcilumy inuc/ci u k al-\
/agwarantowad jego jedno/nac/noW Umawiamv uc.^cdla i mv mnicn/rno
od 0. / dwoch lic/b. kt<Src podmcxione do kw.idratu d.iia * te okre«lam\
symbolcm v x, ktOra jest me mmc|s/a od /era W ten »p**\6 b okrctlone
pr/ypor/. 4 dkowanic x— J x t jest ju> iedno/nac/nc tidv pr/yimicmy i* um.«.
wf. w6 wc/a< pr/ypor/qdkowame to na /bior/c luvb r/ec/ywisiych meujcmnych text funkcn
Wykrcn funkcji > - J~x nax/kicowulwmy uiywtijnc kulkulatoru
Dla lic/by x obliaaliHmy v * i /a/nac/aliimy * uklad/ie ws|*Mr/cdn\ch
punkt (x. v x).
Wypudlo nam to tak.
Naitcpnie starulUmy <i? ro/xudnte poluc/yC te punkty
,v nxra/cntc i - *>- xJ okreiln num funkcic Lic/hic \
f r x . t b i l Zha,Un.y.,/>
lic b ,
<Jt a runkci« p.»* ion a
dla danej wipAlr/fdnej % wip6lr/Wln« >
oblic/iiniy *■ w/uru i
x
W len ip o tf.h p r/c h irg wykre-ui m .v , my r>.,>* n. ■ t.r.i/ di'kl.idltin. ,
» r » V - v'
w m u calo teio w o /o h aivyi! ..pr/ebi«n funkin'
Dltt ku>dej luvliy. Ix v o t ’r,niic/cn vlliuluuiilnr^i< \ m<vt-n.» iH kyvi • • >
•
•1
m2
•1
0
1
2
.*- •-*'
0
J
1
9
I
5
l ) /ic t l/in ,| i c i w ife ilia t«j funkcn culv /h im lu./b r /c c /v « i n-.h . .I.i
|
pr/fciwJ/ioU/iiK
wurtoicn tci funkeji
/a
0
p r/y im u m v ial.|
dla Jadneyo
»
<v* 1
mimo
h
np h w i'j
l*r/e c iw d /i*d /in a me mu i
■<
\
in n K .
bye rdnak
taka iak /b io r w ir t o ic i funkcii. m ate hw /hiorcm w i$k*/ym N ir th i niv '. it
w lym m om cnetc/aim ow uC dokludnym w w ii.ii/a m c n i /bio ru w .im kvc I funk-
Mo/emy 10 p r /e d x u w iC lakim «/kicowym wykrc*cm
c iu
W y » ta rc /y n u n wtadomoM /i-w iirio.<oic|luitki.ii 'n i o i . w m r j
lic /b y r/e c /y w is ic V1nii"|%/a o to. kittle / mch
hunkq a > - 9 - «J ma pewnq hnrd/ocickaxM ulatnoU o kiorn mn/rnn i<
pr/ckoni»i w na .tepuHC) .povih Natahluy ./kolncj nar>Mi omy mu; hvc
nuwet rcc/me. kratkc. nu ktiSrej nai/kicu|cmy rei/mc kredu pr/ybh>ony
pr/cbicg wykrc\u j - 9 - t J /a/nac 7 >m\ dokladmr na in kiatvc vntriotci
funkeji dla x rdwneg© kokino -V - 2. -1 .0 .1 .2 . J 7n*id/icmv odpowwd
me punkty wykrtiu i M/nac/ymy |« kroda a natifpme polm/ymy \iaium«.
»if nailadowaii troche. pr/ynuimmci w pr/yhh>eniu. k'/ialt u-jjo *>kr.:«u
Wlaiciwie pr/enieiicmy na inblicc »/kic. /e » 7’. tic « du/ym powifkv. mu
A tcru/ ur/^d/imy /awody. klo n*|lcpicj potrafi lak r/uut ku» ilek kredv.
>cby pr/clcciul on rowniuicnko. iu> pi m l tahlua. nn-mal doklidnie )"■
wykrcMe funkcn » - 9 - *'
Tr/cba naipicrw /n»bi<: kilka proh i dobra*, dobr/e kierunek i ale wvi/um
Gdy to /robimy, kreda poleci tak. |.ikh> byIn dokladmc poprowHd/oiu pi /> /
>/kic wykretu na tablicy Ten wykret ieM wud\ bard/o dobrym nn d. Lin
poku/U|,cym. ink poleci kawalvk kivd\
Mil III
« •
il>H __
» i:k «
m r
■
r! ■ ■ ■ ■ !
kalkuUlora n io ^ h ^ m
^^O.hUMtMmcohlwymy
72
’■
* |CW" ‘ * P U " 0 , P ° o w X o r # / # u>yOC"'
PUnk'y"*
,ttnkC"-
I
I)
ll.irJ/o v /o lo (unkcic . ith wykrcty do -uart/au nain informncji o talo Xlo.
w%m pwbicKu ukieiio*/lawnk* i pair/ni na sfXK/^d/ony w ykrci U/y,kU|f.
my iiko«cio»o/vpclnK inn.| infom uticod lc|. k lo rj duia wyru^cma okrcitJu.
late. h utki ipos.ih dla dancgo arjiumcnlu funkcji. \. o hlic/y t H'l wurtoi£
rr. \ iU J 4 N.irv'Ut ukl.id w polr/fdnytli nu pla\/c/y*m c i /u /n a tv w mm
dw i punk in punk I (0.2 1ora/ punk 11 4.0) P r/c / ic dwn punkiy w ukUd/ic
»«polr/(dnych p.'pruwad/ linif proM<i:
f
I*rivkluJ y I empcralura » imaty poniwmiu k * |/i.|h /in m w/ra<i.i IV. %
p o w ie r/ch n iZ k cm ilem p eraiu faw y n o .in k o ln C W Mkw.i. kiUuk.l, n»
irow pomJci powicr/thni Zicmi ttmpeimuni * n m.i ok i . p> i <>.> k > h
kilom cu glchokoid (rOwnomwrnir) Mo/cmv « pi/yMiKiiin i«■ ■>■ • •*
na«tCPUJ4C4 labclk 4.
w km
MnprrilHii " i
(i
1
J
|
4
J*1
M)
40
Mi
Ml
1
Dla argumcnlow \* /ukrcne 0 - } inoK-my i; /ali7 m>.i i>-mprMiur\ od
glehokoxti pr/cd\la\*ic r«Swmc/ wykrevem
Sprobui %< icfj/ pr/ekonnC. >.c naryunrana p r/c / Ciehic lima proMu |«%»
dokl idmc wykrewm
- funkcn i - \ * 4 okrcilonci na calym /hior/e lic/h r/cc/ywixtych.
funkcn. ki^ra dowoln<| lic/btc r/cc/v\*iMci x pr/ypor/fldkowU|C tic/h;
- funkcii *—'* * 4
Mo/c -ic /d /iuisr . u po»ur/am y wtatciwie ir/y ra/y lo tam o. Nie m okm y
<*yhrat
lylkt. )ednc|io / lyth o/nac/crt. ho muximy \ic nuuc/yC ro/umioC
row me/ lo. to pi»/« inm w mnyth k ^ / k n t h
Ahy pra»d/K. ih o tu / dla kilku wariniti ». Jc narytowunu p r/c/ na% lima
pr.Ma icm wykrevm uymwnioncj (unktn. wypelmamy tabclkc:
«C w/dlu> n.iryiowuncj pro»l<l
Spinwdi, >e wyrajeme i - ll)\ ♦ 20 dohrA' ok red.i pr/>por<iidk OU.M i;
okrcilone p r/e/ /altinoM leropvraiury od glebokotci Podant « w a . ni.'
wprowd/ic okreila lunkcn na calc| o*i lit/howei. todnak /»k/m>*«. n-inp , ,.
tury od glchokotcijnt i|o d n a / (4 funkcn,y <• lii\ + M.dla v » pi/id/uU-od
0 d o 5 Brukujc nam informacii >ehy coknlwirk mowk o /yndn >'0 n t h
funkcji p o/a lym pr/cd/uil»m
{‘rcykluJ6 Do pewnyth cclrtw thtirmy «ohir «snhi«/u wk mn^.i M>^li|d.u
nS>nc pro»oki|iy. kl 6 rc ictlnak mam »inlc pok uS*r»v imm n r ly.m . m>irony k wadrniowykh. 10 ju> jcxi duiy ladny o^n'nlck. air ini</c on hv^ Jlum.
wydlu/ony, ulbo prkaly. ink kwadral Tidy dany ic%i l»drn / hoki>w u kir(o
prosiokaiiKKo 0 |ir(Sdka. lak dlugi ic*i po/i>iinlv l>ok'
JO rll dluyoiu: icdncyo/ hok^wo/nat/ym v Incr* « adlum>^. drunnai
• 10
m oiem y napiiaC. pr/yimu|ac Ic dlugoki w mrirath. .'v \ 1 Hum
.
Il««>
K „ , p J l r u K n . > « ^ , - r / y P ‘ > r / « J k o ^ n , c d a n c w . v r a > c n 1c m
(
.
ium
x^ a
Tak naryxowany wvkre* wprawd/n zmieiul >if n.im « vyci«- ilc n u pou m
wady Nn oxi X pr/yjelixmv innij pod/inlkf m / na 0*1 > To * p u * d /ic -ic
/mie<cilo. .ilc wyjdiida meladnn. Zrobimy ten wykrev ,rx/t /c r.i/ lie i«k /rhy
pod/ialki nu obu o\iach byly lakie \ami*
/ ,y,u»o. »ynik«, > c tnteiw iu na> lylko Lkte Itc/hy a . k lo rc v , dodum .e To
tlohr/o ho wyraienie
dla v
0 po proitu me je*l okreUonc. me ma leniu
Ale rownfc* u iym wypadku me ma dla mu »eniu ..uiemny b o k ” pro»tok*u
OUicfo ro/pairujemy lunkc* <
na /b io r/c liczb dodatm ch Mo>em>
naipierw /rohic \ohie uhelke. a polem wykrex.
P « r » u y tv k 1
ilr u f i K )k
IQOI
- •
J
MO
10
too
15
M
66 ,7
JO
JO
40
3J.3
40
: k .«
25
l m d l u > \ / v le d e n z b o k 6 w, tym knM x/y p o /oxialy bok To w ictf/ieM iiiy
od p o c /« tk u . W y k r r x
thy .
n«m to w l.in ie . ale troche d o k la d m e l. p o ,W. , l .
jo d n ym r /u te m o k a o b „ d /m ie n n o K Amkcj. » m U -re.u w .ym n a. ,*k re ..c
/m icnn oA ci v
„ ,
drug) hok ma okolo 13 m
r. >mua / 1 r/>pu«. 7 «
lylko /u pr/epineoNvnne p*lne (Ofl/iny
/ulcJy
»h1c /a iu ?
w ,«ib wyiokoW /aiohkiSw
V
SpinKuimv io jv/cditawk1 na wyk retie. N j osi X h ^ d /iem y o /r tJIC/ ,
c.-.mu * foJ/iiMch. nj o«i > iIoh' /.irobionych piemcd/y w lalurach^
Spr»»hui mv /aiunowui. dlacrcjEO w>s/cdl laki d /tw n y wykrcx w kvtalcio
tchodOtt ora/ co /ruc /4 c/arne kropku a co puMc G d y funkcja osugnic
pcwn.( * ariose w6 wc/ju do nasifpnci pclnci godziny ja k b y st^ zair/ymal*
1 ic\t xiaU me /micma i*oiei wartosci Dopicro / wyhicicm nnstfpncj pctnei
irod/in) >kac/c najflc o 20 laUnSw w gdr?. Stqd b icr/c sic k*/lalt wykrenu
Za d/icd/.iny pr/yjmij: a) N. h) C. c) J?
4. Jcieli m as/ hrau, naryuuj wykret funkeji
'my ijuvJl
1. N»ry*u)» uklad/ic wxpolrrcdnych wykre* funkeji:
Qj +Z
lr) -z
*) *
x —+x*2 x —*2x
.v W uklad/ic W»p6lr7«dnych narysui wykres funkw,. danc, |.m pr/vpor/adkowunicm
4JU^t’ 'rrv3i/Up* ^rcda
A f Lotiouch
+1
J»ko d/icd/inc pr/yjmij /hior lic/b r/ccrywuiych
2. Wuklad/ic wtptfracdnych naryiuj wykrcx funkeji danej pr/ypor/»dkowanicnr
^
Jc<h me mas/ brata. 10vmo>e hyi «io»ira albo kolega
5. Naryiuj wykrc* funkeji
, h)wv) - j*.
’»
a) y - 2x,
e) y «■ 2x + I,
c) I
f) ) - J*+ I,
J*>
st
dl ) *
$) >- J*-*- I.
h| t » j* ♦ I
Jako d/ied/inf ohierc /hiGr K
Narysuj wykic%funkeji okrcilonej na /bior/c R
«) V■ - 2x,
d) y - - 2* ♦ 2.
e ) y * - y +
c) y
W y h .e r/
7«
wcdJug u^nunu*.
lo jtcuah.
m - Jx,
f) y -
-
2.
3« »2.
7. N jpi' ■ uvr.iAnu ilfi-hmkvnc. ki»>i*opiiuic naMcpumcc pr/ypor/Mdk'a.
II. Ntryiuj wykrc, funkcj, dancj pr/yp0rz,dkow.nlen.
7.a d /icd/m ? przyjmij /b i 6 r A
12- Nas/JcicuJ wykre<y funkcji
a) x *-»•-.
»
13.
*■ N « « U li j * >kre.lunkt„ , .
*• N* ' / u UJ * ykrc% (unluji ( rJ
10. P o r t e d / / v h i „ *
.
.
.
*;rc
..
,u ,h w r " *•
14.
krtvlonv i n a / h i o r / c R .
* i«kidk punkiMj, wyfcrc* ftinkcj.
» * ijtfj
pnocina o* a i
15.
04
> r»o,u
P " " k ty ru ry su j w ykrc, t a r t ' * * * * ' 1” * ly c b P u n * “ -w M a j« c lo d w a
<lohry wykr s
Ml ’
•1* f
2
Nprt»wd>, c / y
n a r y .o w a lc *
(•>
16.
bj x » * 4.
x
c) t -> - ' *
»
Jako d/ied/in? pr/yjmij c»ly /bior lit/b r/cc/ywi»iy\.h / wyli^/emem
/era.
Gapcio / ro/p.ic/i| vtwicrd/il. te nic me umic / muicmaiyki i po*tano»i|
w pr/yx/lym tygodniu potwiccic na matcmatykf 5 minui. » na»tcpnym
tygodmu du o ra/y lylc, t co lyd/iert chcialhy podwajal c/a» na naukf
matematykt. >.cby nle mied poiem /hyt wirlkich /altglo-ci t / y mop»hy»
spor/^d/id wykrev kl 6 ry poka/ujc, lie Gapcio ma /amiar c/a«u poiwifch.1
na m alcm aiykf w lym loku'’ lie mmul Gapcio po^wiccilhy na maicmaiykc w 11 tygodmu. jaka to c/$ k tyfodnia-’
Nary^ui wykres funkcii. kiora poka/iiK. 1*1 /al«:J> obwod ki*l.» i>d illuyoitci promienia
Nury\ui Wykrc* funkcji. ktrtru poka/uir. tak Mlrfy dlugoU pr/«k«inei
kwadraiu od dlugofei icgo boku
Nary»u| wykre» funkcii. kliNra pnka/uie. jak talc/y irednica kola od
dlugoici jego promiema
SI
Konstrukcje geometryczne
W lym ro/d/iak hfd/tcnn
/aimowac wylrv*Unien> figur geometry c/nych
na plav/c/y/nic D» »ykrrilanu hcd/iemy utywai?cyrkla i llnijki. no i olrtw.
ka piorka do luv/u lub miKK" pr/yr/adu do rytovk.inui Rozwuiiemy ucdcm
podiiawouyvh /.idiri koiwirukcyjnych. I - VII
konst mow anie odcinkow, kqtdw i trdjkqtdw
II. WykrcMitf konMrukcyjnte k*t o danym wier/cholku i ramwniu o ro/warlotci rownci ro/wartoici dancgo kaia
Z aoitr/ony no*kc cyrkla itawiamy w wier/cholku k*ia dancgo i /akrellamy
okrug o irodku w wtcr/cholku lego kata Na»tcpnic cvrkiel pr/anoumy
w nucjHCC, gd/ic jc»t dany nowy wicr/cholck i rami;, nlawiamy nAJkc cyrkla
w tym nowym w icrrcM ku i nic /tnienumc ro/wariotci cyrkla ponn^nif
/akrcAlamy okrug.
I. Nu danci provici t»ykrc*k‘ konstrukcyjnic odcinck o dlugoici rnwncj
dlugoWi dancgo odcinka
Dana jrti proM.i i odcinek
N a dancj prc*\tci /.Lrnac/aniy powicn punkl
R o /w a tu n cvrfcla u\ta»um y tak. aby n6 /ki cyrkla doklndmc odmier/aly
dluyi"«. dancgo odeinka Na\tcpnic /aCKtr/orn n o ik ; cyrkla ttuwiamy do*
kladnic v* punkiK /a/nac*onyrr na proMcj, rysujcmy ok rag
T cra/ ro/wurtoic dancgo Mi a m icw n a po luku /akreiloncgo okrcgu pr/cnoum y cyrklcm w micjicc. gd/ie konxtruutemy nowy k«i Stawuimy /aostr/ona n b ik ; cyrkla w micixcu pr/tctccta t * dancgo ramienta i /akre*lonego okr^gu t krcilimy okrug
Otr/ymujemy dwa warianty ro/wia/j»nia
Obydwa tc k«ty t* priy»ta«c«. teden \cti odhiciem dmgtcg**
HI. W\kre*li<kontirukcyjnif ir 6 |ltj*toboluch r 6 wnychodpowiedmo i,7em
danym odcinkom.
Ryiujcmy ImijU lime proit*. Na tc.i linii prostej oznftczumy pcwicn punJct
-------- *---- --------------------
|V. Wykrcllul kontirukcyinie ir6jk«( maj.c danc dlugoiu dwftch bokfw
i ro/wartoW k .ta micd/y nimi /awartcgo
Rytujcmy Uni? p ro ti, i jeden / odctnkftw, najlepiej wicki/y / nich. jc>eli nt* w»
jednukowe, wykfcilumy na te| protlf], |ak w /adamu I.
Naitcpmc korntruutyny na dancj prottcj jcdcn 1 danych odctnk6 w, u k jak
npna!iAm> 10 * /adamu I.
Z koficov. (ego odcinka /akrciUamy okrcgi promiemem o dlugodci wy*n*cxonei pr/e/ po/o^Ule dwg z tnech danych odankbw.
Oir/ymuirmy dw» lr6 jk«iy. ktAr* maW tic do nicbie Uk. jak l«wa I prawa
rjlij Jnlcn (eii luitr/*nym odbicicin drugicgo Tr 6 jk^ly lc t . pr/y<U|,u<Uw«ga Wurunkiem powod/ema icj komtrukcji. icti io, »hy lu m i dlugofcl
dowolnyeh dwiSch bokww hyl* wit k v a od dlugoici boku ir/«cl*|o
Pr/yjm uj.c /a wicr/cholck kit la i«den /. kortc6 » wykrcilonego ode ink a,
wykrcilamy dany km, jak w zadantu II, w taki tpai 6 h. »hy wykrcilony
odcinck leial na jednym t ramion k«ta Na po/o«t*lym ramicnlu wykreilonego ki|ia wykrdllamy drugi bok, Uk jak w u dam u I. Konce narytowaoych
dw 6 ch bok 6w wyznaczaj. inteci bok. Otnrymutcmy dwa tr6jk.ty
Jcdcn / nich jmi odbicwm drugicgo Tc (rAjiuly m wt»v pr/y iu j.ee,
Uwuga! TrAjk.i da ii« ikonnruowatf. gdy mtara k . u |ttt mnicjuo od I HO'
83
\ WykiWl*.' kon«irukcyioJe ir0ik.it
dlugok jcdnego / hok6 w 0ra/
,0/wnnokt k«tA» wtwnctrenydi ir6)k*ia do lego hoku pr/y|cg|ych
Rwnicmv lime pro»U. « nu met cyrklcm. iuk w Andtntu I. odcinck o danei
dhigoio. Tak jak « / a J . i n i u II wykrrilamy k.(i.v o w.cr/cholkuch w kohiach
wykreilonegoaddnki Tr/oci wierrchotek irdjk«t« otr/ym ujem y n« pr/ec^.
ciu r»mjon wykrrtlonyeh k^t6 w
I. Nurynui pcw.cn ode.nek. K o r / y ,u „ i , «d«n.n I wykre»l k,»o..r.ikcv ,n.e
odcinck. kiorcgo dlugo*. (e.l (K|
..ary„>w4n€go r-r/c/ tirb.odcinka:
a) d w a ru/y wickvu,
b) c/tcry ra/y wicki/n.
c) tr/y ra/y wickn/a.
Czy dlu dowolncj lic/by naturalnej n potrafflbyi wykre«l* kontirvkcyinw
odcinck n ru/y dlu>n/y od dancgo odcinka-’
Z Nary»u| /* pomoc* kaiomlcrca k*t o ro/wirio*ci 4S . K.ony»wjnc / /*•
dam* II wykrefl konitrukcyjmc k*u ktdrego ro/warioi; jr.i od rorwtrtoici nary\owancgo pnrc/ ciebic k*u
a) dwa ru/y wifkwa,
b) trzy ra/y wi?k»za.
c) c/tcry ra/y wick»/«,
d) pi?£ ra/y wifki/a.
C /y dla dowolncj liczby nuiuralnej n potrufilhyi wykrcilic kontirukcyin.c
km o rozwartolci n ra/y w.ckn/cj od r<vwurio4ci dancgo k«t*7
3. R/ud koilki) do gry Ltc/ba oc/ck, jak* wypadnic. n.ech o/nac/a dtugok
odcinka w centymetrach. R/utf ko»tk* fr/y ra/y. O tr/ym av w icn ipouM
dlugotici tr/cch odcink 6 w. Wykrcll konntrukcyjme tr6]k«t o hokach rownych odpowiednio tym tr/cm odenkom Pr/cdynkuiu| wykonalnott
konitrukcji.
4. Wykreil konatrukcyinic ir 6jk<». ktrtrcgo w vm ik* kaiy wcwneir/ne maja
jednakowe ro/wurtoicl. lie wynoi. miara ttopniowa jych katOw'’
5 Wykrwtl koniirukcyjme kqi o mirr/e »topniowc|
a) 120 .
b) x •60 , dlu a - 3. 4, J. 6
6. R /u i irry ru/y kontk*. Wymki r/ut 6 w o/nacz x. y.; Wykrcll kon»irukcyime tr 6jkai o bokuch dlugotei y cm i / cm ora/ o k«cte wrwnfir/nym
mi(d/y n.mi lakim. te jego miara «iopmowu wynm. x W) Pr/cdynkutui
.
*
> rvymuiciny Own tr6|katy./ kiorych icdcn icm odbtcicm drugtego. fr6)k«iy
** »■*.. pr/yii»n«
ijju
*
l a l ( C , n *,ruowai 1gdy tunria miar k*t 6 w jenl
wykonalnok kon«irukcji.
7. Nurynuj dwa kmy o micr/c «iopniowc| wlckn/t) od W i pew ten odcinck.
SpriSbui wykreiltf koniirukcyjme tr«S|kitl. w ki6 rym dlugott icdncgo
7
Itokow |( » rdwna dlugoki nary«owanego pr/c» cwbic odcinka. a ro/wadoici kalAw wcwn^ir/nych ir 6 jk4 >*<l° le*o hoku pr/ylcgly*.h 14 rvWiie
ro/w ariokiom k^t 6 w pr/c/ ciebw nary*owanych C /y »iv udaK*1
*. Naryiu) (rftjk^i <itx Wykrcil kon«irukcyjnic ten lrA(k«l po pr/«*um«ciu
o wcklor a/>. a potcm po pnretunnciu 0 wekior
2nd, )u f, - ufi. - 2*l>
87
Kaem^ o m ‘
h i pros,yd,
.M l< k o m in jk c y jf iic p m . n to .io p .d l,* , ^
Mora bvd ilwa prrypadki
•) tUny punki nalely do dancj prwtej.
hi d»n> punki me nalcty do danej proiiej.
a .)
b)
Pnypadtk j). 0/nicrm> dany punkt liters *. WykreiUmy okr*g o dowolnym
pronucnju i o irodku w punkcie j Okrug pactnie pro*u w dw6ch punktach ,
Oznacnny je a i b 2 tych punkt 6 w wykrdlam y okr^gi o Jednakowym
promtcniu r wi;k»zyin od dlugoici odcinkn Ja. Okr?gi le przeini) si; w dw6ch
punkuch c i d. prt a kiorc prowadzimy proita. Prosta to przechodzi praez
dany punkt i jest prottopadla do danej proitej
o t*kim Bfom,?n n* T * y d*ny punk’ l,ler* I Z punkiu i wykreilamy okrag
<«punkiy, , j n m' y Pr/” 'Al dlm | P' 0 "14 w dwAch P ^ k u c h . O/nac/my
i'kr;gi. Okrtai 1'W n * rU“J,,ero,w*rlote,cyrkk/punkiAwri</wykrrtl«i»»)'
pron* |»roiu u
w dw^=h punkuch, prze* ktAre prowad*«ny
prcxtcj
?r<
1 pr/w c**ny punkt i je«t p ro 'to p id l* do danej
VII. Wykrcilid konstrukcyjnic prostq r 6 wnolegl< dodancj proitej i pnrachod/ijcu p r/c/ dany punkt.
W pnrypadku t/czcgblnym. gdy dany punkt lely na danej prottei zadante icn
ju> ro/wiijzunc. Gdy dany punkt Icty poza prost*. o/naczmy go liter* i
prowadzimy prtez ten punkt dowolna proita do pr/eci?cia i pro»ia dan*
Odcinck prostej od dancgo punktu p u id o pricctccia / proit* dan* odmier/amy cyrklem i wykre*lamy romb ubcp. jak na ryxunku
PfOfU pi ie»l M o n a protU
89
1. OpUAinkwykreilickoniir.ikcyintcromb.OkuSrym m»'.wnny w n v w i„.a .
mu /adania VII.
J
1 Wykreil koniirukcyjnie romb o danym k*ctc onirym i dunym boku
hi i f f y s r o d k o w c i k < n \ w p i s u m T o mi
M«> wpi«n*' *
opartc
n.i
luku ,i, h
3L Wvkreil konitrukcyjnie r6 wnoleglobt>k o danym kticic onrym i danym
boku
A to
kqty irodkowc opitrle na luku ueh
4. Naryiui pewten odcinek Wykreil konitrukcyjnie kwadrat o dlugoici
boku rftwnei dlugoici naryiowancgo pr/e/ ciebie odcinka.
5. Naryvij pcwicn odcinek. Wykreil konitrukcyjnie Jcgo irodek.
fc, Sp6j r / na ryiunek przcditawlajncy konstrukcjc /. zad a n ia VI dek a) |« 88).
•) Umadmj, te c/worokjt achd j« i rombcm
bl U/avadnij,
1.
«.
9.
10.
11.
i t
pr/ckQtnc w rombic
u c M
p r /y p i-
U/ielq ii? nu polow y.
C/y tak jcti w ka/dym rombie?
c) IVaudnij. >c pr/ckqtne w rombie d/iclit jego ki(ty wewnftr 7 nr na
polowy
Naryiuj pcwicn luit i pod/icl go konitrukcyjnie no polow?
Wykrtil konitrukcyjnie k«t 30
Wykrtil konitrukcyjnie k ,t 45
Wykreil konitrukcyjnie rr6jk«t majnc duny jcgo bok. ki|t do tego boku
pr/ylegly i wyiokoi* opui/c/oni) na ten bok, tak jak na podtliiwp
Niiryiuj w/cvycieokrigidowoln* jegoci?awg Wykreil konitrukcyjnie
p r o ^ pro»iopadl« pr/echod/qc* pr/c/ irodek c*ciwy, C /y irodek okr*gu lc*y na tei proitei-'
I I Obruzcm punkiu a pr/y pewnym ndhmu »ymetryc/nym jc»t punkt n'
wykreil kon.irukryjnit pro,!,, w/Ulut kWrej nalc*y uitawui luaterko.
90
I. Na okr?gu /n/nuc/yliimy punkty n,f*,< Wykomi)podnbny rviunt w /c
i/ycic.
Nuryiuj kqt wpimany i kqt irodkowy
opurly nu luku
n) ahi. h) m b.
c) bM,
d) hen, c) i <ib.
H cha
1 N*ry»uj odpowiednie odbicli punkiu.»I
' P*'wtAr^ («,«/« u / dow6d (wind/cnm o kocie wpiwuiym i irodkowym <
opirlym na tym umym luku dla
nttitcpuj^cych tytuacji:
£>ok.V Ten ry»un<k przcdilavua syiuae* O p u a n q w /aloJcmu iwicrd/eniu.
Zwrte uwanc nil k.|( trodkowy a \b
opan> na luku iirh ora/ oparty nn lym
<amym luku k«l wpivany aqb.
Mamy poka/ac. >c kql a q b jc*t przy»taHO, Jo polowy kata ih b Najpierw /najd/icni) odbicie lymctryanc irodku ko­
la ^ * proitcj aq.
k
Odcinck iib jchi irodmcH. Podai miary ki»i6\» uh. i hue
SkonrysUj / /udnnia 3
7. Punkty a, p. h Ie*« na tc| -wmcj proitej. RiSwmcJ! na jednej promei Ic>j»
punkty c. r, b. Odcinek ph je»l iredniai pewncgo okrfgu Wytlumac/
dlaczego ki»t pm |cst proily
& Co m oie*/ powicdzicdo romhie wpinanym w kcrto1Je/eli nic. to pr/cc/yiaj
/adanie 5.
9. Naryxuj dowolny odcinek. Wykreil konitrukcyjnie trAjk,t pn*»iok,iny.
kifSrego pr/edwpro*tokijina ma dhif»4l riw n , dlugotei nary»owan«|ci
odcinka.
4.
P rzesu n kcia ro w n o le g fe
Zastosowanic
wektorfiw
od godziny 1680. * odatcpach u cicio m ln u to w y ch , na uklad
« S r » d n y c h nanouono poloJcn.c dwbch »taikAw. K .crunek o il X pokry.
wii*i«xki<runkteit> wachodn.m. a k.crunek o .i V /k .c ru n k ic m p6lnocnym.
Jednoiiki na obu o»iach byly takie iam c I odpow m daly 1 mill monkiej
<- 1.852 km) 0 god/imc l« ,n rysunck wygli|dal na.UjpuJaco:
k K n .
Nary»u.l uklad wuptMr/ednych o jcdnouc* n« obu on»U. r.'wnci o_\ , m
Nary»uj * ir/a lk f wckiora [1.1] /ac/epion* » punkon I - ?
i|
u r/u lk c w ckiora [0.2] /ac/cpion* w punkcie |7. - 7 ) Oblic/ d l u * *
ka>dcgo / tych wckiorrtw
Wyobru> xobie. >c ttatck p»yni»cy wybcie) lo prom, a ty plymci/ n« tym
promio P rom p o n i v u
w kicrunku polnocnym r prolkom .i 2d * ?/Id*
O g o d / 1me 16"° /auw nJy lei / lewej burty drobnicowu-c Drobnkowin p,.rux/al u c w kicrunku pAlnocno-wtchodnim / pr*dknfci« 14.1 we/low O lo
godzinie w /ajem ne poloJtenie itatkbw bylo namtpuiacr.
)f A)k
ta c k
Hi!
/
/
y
■L l
/
t
1 ?CdL
16 1*
✓
1i i
/
16* /
/
/
/
k
-}
1fit
.7
*
<<; a
i /
woln,CJ P °rui,/i* '*C w kicrunku p<Mnocno-w«hodnim
141 mill U|T ’ n*
** w ci^ g u ftm jn u , pok on ujc o d lcglott okoto
C**°^ * rn,,Mch n»r»kioh p oko nu jc w cmgu 6 niinut
" t,e k p o ,u ,* M C y , ^ , / y b c (CJ?
W ’t">dym ' P ' * ' u rtd»t?p 6 w K/eilcieminuiowyth
uir/y,n,n«. lie mil' mn2""h
(Xj,cglo*<1' Cid>'by P ^ * 10* “
Pr«dko*
,
lthlt*>‘, y / e»<uikiWpokona»hydugo<J*iny i7
M rty
7
e U c b v L c o tu u c L l
-3
15 *
i. C/y potrafiu wtkaaui .taick. kiAry ma wic k t/* p rcd ko K ? W jakim k»runku on ii( porui/a7
uttek n o r / *
)
*
/
-1
x
*
/
/
W^
h 1 "*"* - «
m o rtk - /h ’ J“ “
Pr’dkoW k* ^ | 0 ;< M.tkAw w w ^ la c h ?
fj^dkaU ftronut
►—
to wyttb*
5. Pr/crysuj w pow ifka/eniu o<latni ry»urwk do/e»/yiu prryjmuwui.i* I mila
morska ura* jcdnoilkl na owach m a n dhigott I cm. Na»i»pni« fen iwoi
ry^unck u/upclnij nano»/j|c potoienia drobnieowca i promu u god/imc
1 6 ' 1 6 " . 16J4, 16"’. 16'*. 16**, 16**. 16’*. 17"" I'r/yimu, iv
icdnoilki na obu cwiavh 14 takie w n u I >r odptiwwdnj* I inili mor»kwi
<k JcAli ryuunck d o /Jidanla 5 w ykonaM poprawnla, lo m o t » / odc/y «»4
1 niego, m ienmc odpowicdm c odcinkt, tc odl»gk>*i promu ihI dr**bntc«wca wyno«iln 0 god/inte 16" ° ok 4,8 null, 0 god/m * 16"* ok * . * m»li.
o (o d h n ic I 6 ' J ok. 7,4 mill.
Wifr.vK odpowtadnie odcinki na rysunku do zudania 5 odpowied/,
* priyhli/eniu. ilc wyno*i odlcidek w miluch m onkich mifdzy drobru.
oo*vem a promcm o godzinic
16". 16**. 16’®. 16“ . I 6 4i. I 6 4\ I 6 W. 17*.
Ovacui. o kusrri god/mie odlettloif byln n.ijmmejvza.
Je*li dohr/t wykonalci zadame 6 . io w icv tc ttatki b ed, najblitej iicbic
mied/\ pod'imi 16** a I6 4J
SpA|i7 )C\K/e raz na ryxunek do /adania 5. Zobacz, iak m otna podal
dokladny c/a». » kiorym xtaiki
nnjbliiej ucbic
W\obrai \obic. tc prom 1I01 menichomo w mici>cu, a calc morzc pJynic, ty
•touz nu promic, drohmcowicc pr/cxuwu mc obok Slr/alki wy/nac/.ij^ wcklory prmuni?cia JeJeh iwoja prcdkok 1 je»t zero, to «(owz w miejncu. to
rnaczy. te do »ekior* pr/ounifcia na ryiunku mu\>\z dodatf taki. teby
dottal zero, m um / dodai wck lor pr/cciwny. Ten wcklor przeciwny muunz
dodaf let do wcktora przwumecu drobmcowca, teby wyznaczy*. jak przetuwa tif on wzgJcdem promu
,r/eba / punktu. gdzwieM prom. n«fy,owtf pro.iop.di, do pn„,r, k
«,
torcmdrobmcowca Kywnek moZna zrob* cyrkkm , U .jk , |uh
mdimetrowym. Mak.ymalne zbhtcmc na,u,r ,. * * ! „ , ,(fn t ) ^ u ^ J
m inutach
Wyobrai u>bic tera*. te k lo iu o i nadrobncowcu i tak m b a my Ui , . k „ i ,
jego *uuek Htoi w micjKU. a p o ru u a ,iC calc m o m , a po mum, pmm Ter./
»ytuacja wy*l,du. tak jak nu tym ryiunku
bs
d * o h ic o tv i€ C
m
-3
Is
s
Ib d o L v i
5
Ry»uj,c odpowtcdme itrzalki motemy dodat odpowiedmc wckiory pr/ctumeciu promu, potem naryiowad pru»ta, po kuirei po»uwa mc prom, opuku*
na m , p r o ti, protlopadU t punktu. krtry odpowiada polotemu drobnicow>
ca. Strznlki /.iznucz.iuj przeiunifoe co « e k mmui Wypada. /» mak»ymalnc
zblitenic promu i drobmcowca naatapi po W mmutach i>d ro/poc^pi*
ob»crwac)i. Zgadza lie
7. W ukladzie wipOdr/cdnyvh zaznac/ wekior j J | Opi»uit on iak w cmiu ^
mmut przctun^l lie drobmcowiec. Zaziuic/ »*klor
.ohacz, jak Iera/ %yi*l,du <yiuacia Twfy prom itoi w miejM-u. poru»za »*
mor/t, pr/cchod/i pod tobij, a po mm prrciuwa »i* drobmcowiec. Twojf
po«’>rnie mutna /aznaczyt |ednym punklem Str/alki p rm u n .ccia pr/e»u»a««go
dri.hmtowta ukladai, t * w ,dlut linn prottei I'rzenuwa tic on
*i proticj iak. jak pokazujq itr/alki Aby o k ro lic muk*ymalne zbli^<nl*<
VH
13jOpuuK on pr/«u-
nifcie promu w lym lam y m cza«l*. Ody jcit«* na promic i pa»/y*/ «a
pr/cuw iij^cy »if obok drobnwowiec. ie|0 wektor prreiuni^ia wr*lfdam
eiebie je»t luki:
n u kogoi kio 1101 nu drobnlcowcu i patr/y nu prmuwamcy mC 0 bok
prom wtktor pr/c<umccia promu w i/eiciominuiowym ryimic icit takt
O blia dlugofc1. wcktoriSw [ ' 11[
ten trtyk^t / o t u l obrAcony o 90 / | 0dnit / ruchem *\k*/o*«k
punktu ( 1. 1).
* 0^,,
j
Jak m y*li»/. co wyra>a o tr/y m u n a lic/bu?
H.
G d>by p o c /u ik o » J
syiuiicia
prom u
i d ro b n ico w ca
w pcw nym
uklud/ie
wtp 6tr/cdnych byla naM?pu«cu:
Pr/y pr/ekn/iaJcuniu fipiry pr/c/ odhicir ir/tba
prnua »Mlu>
klbrcj nuleiy uiiuwii lunlerko. aby /obac/ytf pr/ek’. m k an a fi*urv w nowym
poloteniu.
j|“
y
r/i fT<tfl
*-
1
N
X
i
4
f
7
J*
1
s>
Ten trbjkjtl prwkvtalciliAmy tak. i*kby4my unawili lu\t«rkn «/d(u> pto«i»i
narynowanci gTubq lmu|. Ta prntia jcii o»ui odbicu
Ten t r tjk tt pr/cks/talciliimy pr/ci pr/ouniccie. Aby okreklic
tr/cbu powied/iei, wjakim kicrunku pi/c»uni?iu i jak dalcko
kicdy n»«npi|ohy muk>ymalne /bli>cme?Slr/alki wkku/ujq wckiory pr/clunifiia co u c tt minul
Przesunivcia i weklory na plaszczvznic
M
ju/ du)t> pr/yklulow p r/ck v u lccn figur u r o m e t r y c / n y ' - ' ^ ^ ^
ptav/c/y>nic i'r/etlc wirysikmi hyly 10 obroty, odbkiu i prw»uni<*- »
ohruiK ir/eh* w\ka/«£ irodek ohrotu 1o jaki k*t iic obraca dan* figure.
l* o /n .ili» m y
100
piA>unif«.i«,
O p r o a tych ir/cch typow pr/eks/ialccrt poznaltAmy jetzcze po w ick v cnia
i ponniejK cnia w duncj skull
-
/
s
>
- —
...
* -
-
—
.
-
—
- -
—■
I
/_
/
/ n “
/
-- • -
__
'21 1
' i-jz u
□ ’ i—
i*
'
.
z
LJi?
L
i r ~
W" . .. .
I]
r
L-r
> s '
✓
L
l\
r
— .....
—-i
...
— —_
■
A
zJ ■
s i .*
r~iI "
n p
i
V
I
:
—— —
~
f fJ
J
n
> J
■
L 7 '"TP
1. J
j
I
l /i l
V
75
r. m l H
m m vm
LUUU
-- ■
_
"
_
Ahy w y /n u c /y i. r » , . U p u n t , p w c h o * , pr, y pr
li.u r ,. ? . » , < « > * l h o . j r t r i w h , konoruujem y. p „ , „ t6wn„,£ “
ki pr/csuntecia. pi7Whod*i|C« pr/c* ten punkl i nu m
00
d lu g o * Mr/ulki. Str/alku poka/ujc nam te* zwrot * lewo c/y w ? Z 7 Z
/u w*/e m oicm y u*yd .16w „w lewo" c/y ..w prawo". b<> Mr/alka mt» , by
poloJona ro/m aicic, ale mummy uwa>u*. iehy odle^oic Pr/c*,mf uu
prostcj r6w nolcglcj odmierzyd /-godme zc zwrotcm Mr/alki
Jcieli na ptu.zczyinie mamy uklad wtptir/fdnych, to motemy go wykor/y
,ta i . /ardw no przesuwane punkiy. jak r6 wmc> .trzalk* pr/csumea* m o/c
my opm u‘ / a pomoctj w ip6 lrzcdnych
II
Teraz zajmwmy ** troche dokladm ejs/ym opixumem tylko jedn eg o z tych
kilku rodzajOw przckuzialcert. zajmicmy m? p rz o u n ic d a m i.
Pnnuifcit punktu na plas/cry/m c najproiciej z a /n u c z y i je»t xrrzalk*:
1 - 1 - 1
0
.i
i - “■ — “
2
I
d o r r U y x a (Z .
& v r J d (-1 ,-1 )
l gdy to potrzchne. mo>na zaznaczyt punkt, k i 6 ry je*t poczqtkicm i punkt.
kt<Sry jc*l koAcem \trzalki
G dy powicm y przcsuniccic o wektor
— -------- " - * —
" ----- /< /'
wtemy jui. jak nary*owatf nrralke
prv-csuniecia, ulc me wicmy jeizczc, w klArym punkcie jq zac/ept^
Znptj
-C
G dy wyzruiczynjy ttrzalkc przwuniecia dla jedncgo lylko pu nk tu , wdwczaa
potrafimy te> wyznac/yi, jak d/iula to przcsuniccic nu duw olnij figure
|j |
je»l u>ywany cz?tto wtedy, gdy je«i wwyilko jedno. w
/ac/cpi<; str/ulkc, hyle lylko miala wlaictwy kierunck i dlugok
Punlu
Znak j j | o/naczM d la linn wektor o w«p<Mr*ednych 2.1
W ektory o danych wupAlrz^dnych bedziemy /apiaywali prze; podamc ly
w%p<Mrvednych w nawiasach proitokqinych- c»»ctn w k °'ucnn
« c /m em w w ierw u, np. 16,71.
102
P h f
103
Z adanu Da ay (e<i uklad wvpolrccdnych na p las/c/v /n ic W tyro uklnd/ic
wNfWvJr/fdnych dany je*t pcwicn punkt. np p m <-•** 1 pcwten wcktor np
Znale/c wxpolr/f dnc punkiu. na ktdry pr/eid/ic punki p P« pr/csunicou
0 wck lor hR »:h ,i,:anu Nary>uj uklad wsptfr7*dnych v. /cs/yeic. w mm punkl /> Str/alkc wcktora w mo>es/ nuryxowaC w dowolnym punkcic. narysuj j , wt$c
../ac/cp ion ," poc/atkicm » punkcic p Tcra/ kontcc str/alki wska/ujc ci
punkl. na ktory pr/y pnrcsunicciu o wcktor w pr/cjd/ic punkl p.
(2. I) I L z i L
(5. - 3).
WspoJrrcdnc punktu po prm uni'ciu o wcktor dostajcmy dodajiic do sicbie
odpowicdmc w\p<Mi7cdnc punktu i wcktora.
1. Narysuiw /cw y cieo k n (g o p ro m icn iu 3 cm .a o b o k n icg o p ew n , itrralkf,
kt6 ra wy/naczy pr/esumccie Wykreil konitrukcyjnie okrug, nu kt6 ry
pr/ci«i/ic naryvowiny p r/e/ cicbic o k r,g po wrykonamu pr/csum?cia
w\ka/ancgo tir/a lk ,
2. Zxrnacr w /cvrycic pcwicn punkt i narysuj obok dwic xtr/alki, k(6 rc nie
pr/cctnaia »ic. nic przcchod/, p r/c/ ten punkt i me s , rbwnolcglc. Punkt
o/naar liter, p, a ttr/alki odpowicdmo litcrami w i s.
•I Wykreil konitrukcyjnie punkl. na kt6 ry pr/cjd/ic punkt p po przeiunicciu najpicrw o w. a potem o s.
b)
Wykresl konitrukcyjnie punkt, na kt6 ry pr/cjd/ie punkt p po przesu*
nicciu najpicrw o j, a potcm o w
G dy dla pew nego P r / . « u n ^ c » na plawc/y/nic n .ry tu jtv
w \k a/uj 4 . jak p r/csu w aly ** punkty pcw„c , f(|ury pfA ,ym
W6 WC7UXtestrzulk. w ,/a w s /c rtw noleglc Wt/y»,kK ic M rralk,n..n iaJ, ,kl.
W, dlugoȣ i /WHKonc x, w icdnym kicrunku
5. Prze>uwa<i n a p U s/c zy im c im »em y dowolne figury C/y p..ir*l„/ pod*
p r/y k la d tak icgo /b io ru na pU»/c/y*me. klAry po pr/nun*<.iu o prwim
nie/crow y w ck to r wygludu u k . jakby po/o*tal w tym lamvm mieiscu1
6. P r/y p o m m j xobic /u d am c 3 /c xirontcy 24 Je»i iBm im.»a .. /K.-r/c
p un k lb w p la s /c /y /n y , kt 6 re rnajn ohic w ^lr/vd nccalkn w itc wpewnym
u stalonym uklad/.ic w jp 6 lr/cdnych P r/etun ten /hi 6 r o urkior [ i | ° >
/b i 6 r ten. iako culoiit. p r/e\u n al m? w innc nuci'ce’O p i'/ tytuacx *wi>uni
nlowumi.
7. Prcw t, p n r c c h o d / ,c , p rac/ punkty ( - 1, - t ) i (l. I)w usialonym uklad/i<
wsp 6 lr/? d n y c h pnrcsuA o w c k to r| ‘ j Naryiui /bior na kmry pr/c*/U u
prosta po pnrc*unifciu
8. N ary suj w u k la d /ic w*p6 lr 7cdnych wykres funkeji y * 2»+ I Pr/r«un
ten w y k r o o w cktor | ” j C /y /bi<Sr. kiArym \ k '<■! icn uykre* po
p r/csu n ifciu je%t / n 6 w wykrescm pcwnci funkeji"’ C /y m o>n/ w.ka/a*:
jakicj?
_
9. N ary su j w uk lu d /ic wsp 6 lr/cdnych wykre* funkeji > * 2« + I Pr/nun
ten wykre* o w cktor J ^ j C /y o ir/y m a k i /hi(*r. kt 6 r> ten »>krc<ni
funkeji? C /y mo>cx/ oaiculK.1. taka to j o t funkcia. lakim in mo/na wyrn/ic
X Naryvuj w /evrvcie uklad w\p61r/ednych. /a jcdnoitkc pr/yjmij 1 cm.
Narysui c7w orok,t ub<J .a - | - 1.0). b - ( - 2. - 2k c - (0.0). d - (—2J2).
Nary*ui ten c/w o ro k ,t po pr/csuni{ciu o wcktor j ' J. Pr/csum cty c/wo*
rok,t pr/csun jes/c/c ra/ o wcktor | * | Podaj wspolr/ednc wtcr/cholkAw
oir/ym ancgo c/wi>rok,ta
4 Narysui w /c v y c ic uklad wipMr/cdnych. W ybier/ dow olnie
punk low i narysuj itnralki o p oc/,tkach w tych punktach /godnic
/ wektorem J"j |. C ry te unralki t , r6 wnolegle? P o l,c / 10 wybranych pr/«/
ctebK" punk low liniq lam an, Otr/ymales pew n, figure na p ltw c/yfn ic.
Nary»ui tcra/ pr/csumccie tei figury o wcktor P 1
104
ki6r,
'
10.
w /o rem ?
N arysuj w u k la d /ic w»p6 Jr/cdnych w /c*/ycic pic'k.t,a iu»icpn*'
k - 2 o r a / p r o s t , x - U . Narysui odhitK
M o i c u pom oc lo b ie luslerkiem. u»t«wiaj4C K w; u pr
-
1 1 1 I I I IJJJ I 1 H
_ ;
11.
12.
1.1
14.
Naxtfpnic, lo co iMr>«own)ci p n rc k v ta k prw « od hK .« » proxici x • | |
Nuryxui. 10 co otnymak-4 C /y poirafixv opixaC » jakim polo>emu icm
(era/ pn-xck ’ C /y m afna opixoC nowe polclcnie picxka pnrc*uniccKm7
Jaki bylhy wekior lego pr/cMjnicua ’ Lxxcntualmc nurysui xtr/alkc ic*o
pr/cxuniecu O dhn tcra/ picxka w proxtci x « - 2 . a naxicpnic, to co
r>tr/\nialcv odhn » proxicj x - 2 ^ jakim polodcniu icru/ jc»l p io c k ’*
Cry m o/na lo otr/ymuC praeaumcaem.’
C/y m i taki obrot. kuSry test r 6 w m d pr/exunicticm ’
C /y »exi laktc odhicw. kitSre jexi pr/c\uniccicm ’
Na pta »/„.•*/me dane \< d*ic pr/ocinu acr *ic pr»’«k C/y >c%t I ikic
pr/(^ume<ic. pr/y ktorym icdna / ntch p i7tid/ic na druf.t"
Pr/y ir/xj \tf ic mu ryxunkowi
Tf ukladank* m oina hy pr/cdlu/ac he/ o p a n ^ m a
,po»Oh/Jnicn.ad me lylko .cdna pare hokow r*wnotc#ych »\c rrin o u n
n,c obic pary bok.Sw Olr/ymamy /awxyc
kl6rc, pr«,un,* ,a na
plax/c/y/nic wypctniaw cal* plax/c/y/ne
N « r> \o»an\ /oxial naipierw pcwicn rownolcglohok. Naxicpnic /micmo*
n> /<’%ial » pcvncn xpox«.Sh icdcn )cgo hok. /umiuxt odcinka naryxowano
(am pcwri* lm< Tc lime pr 7c<un<to tak. iak na ryxunku na pr/cci*legly
hok Pi'w <ial » (eii xpoxdb pcwicn k x /u l( podohny d o koiu. Naitcpme
«)ck < o n o t y a k a a i kom ur kota i « cdlug lego ko nturu wycieio k ilka lub
kilkanaxcw takich kx/lalldw Z obac/. w taki xpoxob tymi kot.imi wvpurk Kiowa no kawalek pla\/c?y/ny
SpriShui. w podohny ipo« 6 h. p r/cr prr*»unicc»roimniac inn* /aha»n<
k w u lty . k( 6 rych p r/«u nicci* na plax/c/yinicpokrywa*. l*k paikcixm
c»U piai/cryync
107
Spi>)n na ry«i*ek tr6jk«l4w wypelnia«cyeh pU»zW>/.n,
„ C /y m c rte w u /a Md n | d . t e « , m t « « r k , r t w , rAjk, ae
b, u m tdn ij. *e m,*r. k ,u «wn*trxnc,o « * * ,„ m,
^
lumit mur
ltni6 » w ew ncim iych do n n |o me pnryleglych
2. lie wyno*. »uma m iar wvyitkich k«t6w /rwn«im>ych i^,k 4U’
Uklad wspdlrz^dnych w przesirzeni
ac.
2ac.
)Jc,
4u<"
ltd
-•c.
-2 5 ?.
-3 a?.
-4*u\
ud
Wyobra/ »obie x/eician, kl 6 r c |o krawed/ m# dlugo* o cm Wyobra/ *»♦**
uklad wxpMrafdnych w prrwtnrcm o oxiaeh .V. y, Z Cttfc *xpoln« *>(h
je*l poctqlkiem ukladu wipo<r/cdn>ch Je»t to punkt o »-*piS|n«invchO.O 0
Bed/icmy m 6 wtli krdtko, punkt (0. 0. <H Wyobra! whte. Jte ten punkt km
*rodkiem creicu n u . natomiaxt o i 7. pr 7echod/i prre/ irodck ioany r>rne;
i irodek dolnej, p r / e / Arodki podtUw »/e*eianu. gArnej i dolnei Oi X pm chod/i p r /e / irod ek lewej i pr 7e / irodck prawe) fciany %/efcianu. a oi Kpr.-cchod/i p r /e / irodek pr/edm ej i p r/e/ trodek tylnej tciany t/etoanu Spro^.n
lobic wyobra/id len v/eician i uklad w%p6Ji7cdnych. a dopiero potem ip*>irr
ai.
2a£.
3 a&,
4 a t.
nd
na ry\unek i p or 6 wn.i| go / lym. co *obte wyohra/ilei
-3 .
- 23 .
Taki p»rk<> powitaic naxtcpunco Trojkat ubc pr/e»uwamy o wektory
- * L t . ltd
t naiicpn* pr/c»uwamjr 0 wektory, np u k ie
5a** la£.
- ) a c + Ba£
Na pr/yklad tro.ikai /.amalowmny na e/am o pow val / p r/o u n ic cia tro|k<ia
ah* o wektor
\fc v y a lk < »kresko »»n e trojk^t) <| prrviUiace do Ir6 )k«ta ufcc Wymka 10
/ u m r i kon»irukcn R«y»mci hiatc tr 6 ikaty \a p rry iia n c e do irOjk*ta ube
Ich Niki n uia JIugoKi row nc odpowxdm m dluguiciom hok 6 w ir 6 jk*la ahr
Na »y%unku boki lei vimej dlumnci o/nac/yliim y tym \iunym numerem.
A \ e t u /.»hac/ Te k*iy na/ywamy kqiami
trojkala:
10*
w M t; k ,
ifi i i l i '
N. rrml«, _ 3
- 3, 3),
J - 3 . '- 3 . - 3 ) .
( 3 .- 3 .3 1 .
1 3 .-3 .-3 )
v7
Y
N . tylnei ktanM leM wer/cholki:
( -3 .3 .3 ) .
<*• 3- -1)*
( - 3 .3 .-3 k
( 3 .3 . - 3 ) .
y\
7
C/y iauwaiyle< tc na pr/cdmej iciam c w»p 6 lr/e d n n V jc il /awure
natomuut na tylnei fcunic. j o t ona /aw% « r 6 wna 3. C /y w id /iv io?
Cdv wypnahimy ci.igi wspiMrzcdnych dla w icr/ch olk 6 w na pr/cdm ej tetanic,
*owcra» jutomatycznie otr/ymalismy / nich cujgi wnp 6 lr/$dnych dla wi«r/.
ch o M * na i\lncj teiantc, wy*tarc/y irodkow jj w ^polr/pdnq - 3 zamienrf ni
»<polr/*dn4 - 3. C/y wid/isy to 0 JeJelt nic m o>es/ sohic tq jo dobrzc wyobra«£. io «c/ do rfk.i laktkolwick model s/cician u M o ic lo byti k oitka do gry
lub ko»tk.t Rubtka. lub cokolwick w k*/lalcte »«4cianu.
I w»lt»! NV /adantach 1 -6 m 6 w itc o s/ctetam c /a w s /c mam y na myili
i/ncian opuany na poc/ijtku tcgo paragrafu
1. To »a *ip 6 lr/cdnc wicr/cholkow na lewej iciantc t/e ic ta n u :
< - 3 .- 3 .3 ) .
( - 3 .3 .3 ) .
1 - 3 .-3 .- 3 1 (-3 ,3 .- 3 ).
Napu/ \/ybko wipolrzcdnc w icr/cholk 6 w na praw cj k ia n tc w fcian u
1 N»pi%/ ladnic. w odpowicdnim p o r /,d k u , w spoirz^dnc wicrzcholk 6w M
dolncj iciame ucteianu. Gdy to /ro b is/, napm / w y b k o wupAlr/^dne wier7cbolknw n« gnrnci tetanic i/ctew nu
3 Napiv wxpolr/edne pr/cdmcgo lewego dolncg o wierzcholka ueteunu.
C/y potnliv/ vybko napiute. me \pogl 4 d a 14c ani na rynunek. ant na
model. wspotr/fdne tylncgo prawego gorncgo w icr/cholka?
01/4lck uUadu * 'p 6 lr/cdnych. c/yli iro d ck v e k u n u , jest wicr/choltcm oiiroitupa. kiorego p o d ita w , jcm p raw a k i a n a . a kraw*d/iaflii
K.-/n>mi sq c/tery poi 6 w>ki pr/ekqtnych t/c te iu n u C / y w id /it/ len oitw*
* up ego wicr/cholfk \kierowany je»t w lewo, w t iro n c ujemnych ik*6».
a podsuw i jett pionowa.
oitroOupu''CV P° w,ed7je^' ,ak* ,ic/ht» w yroi* oie d l u g o k wyaokoki Mf>
I Id
b| W y ob rai lobic p unkt. ktdry ,ctt poloiony w t ^ h m
„ tm
dupa »ym etryc/m e d o jego wier/cholk*. M i e w p * # " m
k|>
He wynoai jego odlcglote od podntawy otiroilupa?
c) W y obrai nobic tera/. >c ..wymlei" ,en o»trn,lup, , / c * „ nu , w u w iin
yo ro « n o PiHlsta«.| na w.amc. pruwci boc/nei Wwnir t/eteunu uk >r
icgo w ier/cholck test te ra / w punkcie | 6. 0 . 0 ). /.rob podobmr dia kwr,
tetany x/cictanu, t/n. /b udow any na me), mk nu p o d iu « k-. mir,»*(up
0 wicr/cholku w poc /41 ku ukludu uktaw w tcr/ch dk rm „na /cun^tr/"
jjkio wvpolr/cdnc te ra / ma ten wicr/cholek1
d| K aidy / punktow.
( - 0 . 0 . 0 k (6 . 0 , 0 ). (0 . - 6 . 0 ). (0 . 6. 0 ). (0. 0. - 6 ), 10. 0 . 6 |
polac/ odcinkam i / c/tcrem a na|bli>./>mi wter/choikami »/< wi<inu W nn
ipovSb na k a/dej k ia n ie »/c«nanu /budownlc* otiroxlup * kwtalcic puamidy o wysokonci 3 cm P ow su la nowa bryla. \/c*cian oNo>on> pirumidami.
Jaka test o h ie lo k tej bryly 0
5. Wyobra/ sobie lcr.u. tc do x/ekianu o irodku w poaj|lku ukladu doitawionc >>a mnc pr/y>'aiucc »/e*ciany. iciana do kiany r*Sg do rogu. iak, lc
wypelniona jc«l nitni cala pr/cstr/eA. A tera/ u»urt » myili te >/c*<iany.
ktore ..dot> kain" icumami n/ew-ianu. kt«l*ry ma irodek * poc/4tku ukladu
Z<”>t.i» tc \/eician y, ktbre ..dotykain go".alr tylko kra»e<l/i4. waja t nim
wspohiii k rawed/ IlcjeU tak ich x/tficianiSw'’ Opw/. |ak m «>nt uumwioik
IVidai wspolr/cdne pr/edmego lewego dolncgo wier/cholkj pf/cdniego
dolncgo / lych »/c*cian<Sw Podaj w»p6lr/fdnc lylnego gi'rnego praw« |0
wicr/cholka tylncgo gorncgo / tych doitawionych wctoanA*
6. W , udan.u 4 pytal.im y o o b K 'o k bry»y. ktAr, otnyoialun.y / •/e«c«nu
doM uwtajncdo nicgi) o»ir»nlupy w kuialcie piranud. tak >epow»ta a no
bryla. s/cician o b lo lo n y ptramidaml o kwadratowt)
sanici kraw cd/i podxtawy jak ma %/cician, 6 cm. 1 wy»° “ '•
mnieiwei Jakim i wiclokiitami 14 fciany tei bryly1 He >»
He ma k raw ed/i? O p it/, |uk v | u»tawione te kraw^d/te w* «
d/i i / cm;uinu lie la bryla ma w ter/ch dk ow ' lie krawed/i
,,
kraw*-
w wicr/cholkach?
Ill
rrcM m cia i ^ektory w przvsirzeni
a wierzcholki podstawy praesuncly sic tak.
Wvobrai vobie uafcian o boku 6 cm . one ukladu wsfHMr/tfnych X . Y, 2 .
ktorc pneehoda P " « fcodki Jego teitn. Cz?K wspAlna tych o « jet! punktemil', O.Okjcsi pocntkiem uktadu. Ten punkt jest *rodkiem szeteianu. !eiy
na pr/cci^iu *K KB0 pr/ckqinych.
Wyobrai sobic. J-f punkt (0 . 0. 0 ) jest wierrcholkiem ostroslupa. ktfircgo
pod«ta»4 ie»t kwadrat o wierrcholkach, dla ktArych p i c r w m w sp tfrztfn a x
,,-m round J IV J. 3k(3. - 3 . 3 k (3. - 3. - 3 k (3. 3. - 3) Pr/exuA ten ostroslup
o wcktor m.
**[11
Spoir/ na jaki punkt. przy tym pr/ctunicciu. pr/eszedl wier/cholck ostroslupa.
10. 0. 0) -? * ( - 6. 0 . 0 )
Wier/cho(ki ic|0 poduawy pr/y tym pr/esum^ciu prres/ly na inne wier/choJki sxcfciany, po drugici stronie x/escuinu
(3.3.3)
(3, - 3 , 3)
“ - (- 3 .3 .3 1 .
— » | - 3 , - 3 .3 ) .
(-3 .3 .3 )
- 1 1 * 0 , 3, f t
( -3 .-3 .3 )
------ >(3, - 3 .3 ),
( - 3 . - 3 . - 3 ) ------> (3.
( -3 .3 .-3 )
------f (3,3, -3 ).
Czy widzisz ju i jak wyglttda ten oitronlup po pr/eiunifciu? Wier/chdki
podstawy tego ostroslupa po pt7e»unifciu o wcktor - a 14 dokladmc um.
gdzic byly wicr/.cholki poprcedniego ostroslupa p ra d przciumcciem. ale
wier/cholck sterczy na z ew n jir/ tzeicianu, w slron? dodatmch iktow Hrwd
pr/csunicciem o ba onronlupy stykaly lie wierrcholkami. miuly icden wipolny wierzcholek, (0,0,0). Oitroslupy po pr/esunicciu.jedcn 0 u, drugi 0
ustawily si? swoimi podstawami na fcianach v/cicianu, a ich wicrrcholki.
( - 6 .0 .0 ) i (6 ,0 .0 ) wystiijq w pnreciwnych ktcrunkacb ■ i - ■
Na ka>de| icianie s/eilcianu moAemy /budowaii w my4li taki o»iro«lup*kicrowuny do *rodka .t/eici*nu. Tak ich ostroslup^w jest %/tit. w?*cut wipblnq
tych N/eiciu ostro«lup 6 w jest tylko ich wspblny wier/cholck, punkt (0 . 0 , 0 ).
W podobny sposob przesuwnmy pozostalc dwie pary oilrotlup^w Ostroslup, kt6rcgo wierzcholkt podstawy maj* wsprtlnq wsptMwcdn*: - - 3 przcsuniemy o wcktor r •
1 3 .-3 . - 3 ) —► ( - 3, - 3, - 3).
Zobucz jak pr/csunql sic |cgo wierzchoiek:
<3.3 - 3 )
- > ( - 3.3, - 3)
(0 . 0 , 0 ) - P > ( 0 . 0 . 6 )
Wyohrai vihi* icra/. >e te w icm hnlki «i wier/cholkam i podstawy innego
iisiro'.lupa. kinrcgo wier/cholck, iest row nirt w punkcie ( 0 .0 ,0 ) Ten oatfo*
'tup przouhmy o wcktor - «
»•
Z o b a c /,
jak pr/csuncly aic wierwholki )ego podstawy
( - 3, - 3. - 3) - P f ( - 3 , - 3 .3 k
1*1
0
I«
Wfcrahpfaft lego o«ro«hipa
pr/esunql ^
w len ,p«„Ah:
(3. - 3 . - 3 )
-
(-3.3.-3)
— H - 3 .3 .3 )l
( 3. 3. - 3)
► (3. - 3 .3 k
----- * (1 .3 .3 1
IIJ
(»)
*
M>Mut>ka I
WfcncMk, pod*u»y
V tc u ly na prm .w lcgl, k , ,„ c v e k u n u .
:J * « h o tek M O »k*rowany jert w .ironc dod.rn.ch wapoJragdnych nu
/
Stowarzyuoay" / nun oatrcwlup /budowany na pr/cciwleglej kiam e. pr/c.
;unltmy 0 wtktor - r Jcfo w.er/cMck /najd/ie i * * pototeiuu (0.0, - 6>
, 6. 0 . 0 ) 110. 0. 6 ). wtcrKhoiki prrctumciych odrmlupftw, powimrn pr/eihnJ/ic p r/e/ irodck krawfd/j Uc/jcej wier/cholki (3. - J . ) ) , (J. l j k cryll
krawfd/l (3. - 3. 3) (3. 3, 3).
Zitdomt Jak /a pomoc* pr/e*um<cia /nalcid punki. kiOry je*t irodkiem
(0. a oj —
- 61-
a wier/cholki podtiawy pnretuna m? natlcpujaco
( - 3, - 3.3) ————
► C—3. - 3 . - 3 ),
( 3 .-3 . 3)
------ , hv - 3 . - 3 k
( - 3 . 3 . 3 1 --------* ( - 3 . 3 . -3 ).
(3.3.3)
--------i.(3.3. -3 ).
Porotialo nam jet/c/e preeki/ulceme p o /o tu lcj pary „»lowar/y»/onyclT
cutroUupow. ktore ir/eba prrcturujii o wcklor
odcinka ah'1
OJponieJi Tr/eba punki <i pr/cium»<! w kicrunku wckiora at. ale lylko
0 p o lo ^ c d lu g o k i lego w ckio ra . W yatarciy wi«c punki a pr/c»unac o w tktor
1J> Jc\li klo woll. mo/iia punki b pr/osun.ii o p o lo * *
wcktura
ha, o w cklor
•l*ba
Wyubra/ tobie lera/ \ir/alkc od punklu (0.0.0) - />do puoktua. Ta nr/alka
pr/editawia wcklor />u. Gdy do ic| »ir/alki dodamy ulr/alk? ‘ uf, jeaieimy
dokladme w polowie odcmka ah
*P I
r “ + .I ■
jetl n r/alk a. kl 6 ra trafia twoim kortcem dokladme w polowr odcinka jb C/y
i i .......
*
1 -4 ^
wid/ix/ lo?
Ohlu/ym y lera/ gd/Jc j « i w uklad/ie wip6 trx(dnych 4rodek odcinka
(6 . 0 . ii) (0 . 0 . 6 ) Kohcc lego odanka. lo 14 wicr/cholki o«iro«lup6 w, zbudo-
Po»ttala w ten ipov'b bard/o d/iwna bryla. ktoni ju> ra/ upoikal.Amy
Z kaidci fciany t/ekianu »yr 6il ouroslup foremny, o kw.idraiowei podtiawie i wytokokl rowuci polow.c kravkfd/i »/eki*nu. To wypwywanic \*«p<Wr/cdnych pr/c\un*[ych »ier7cholk 0 w cwirotlupow moJna bylo. /c w/gl«du
na %ymciric wykonywad meomal mcchamc/mc i rac/ci pr/yponnnalo kaliitrafic nv> geometric
Tera/ jednak uwajtai Poataramy tig ohlicryC. jakie wtpolr/gdnc ma irodek
odcmka o kortcach
(6. 0, 0) i (0. 0. 6 )
Tc punkiy xa to *i«r«hotki pr/e.unictych onroxlupOw. PokaJtm y. *e
dek lego odcmka K'l r6wmc* irodkicm kra«cd/i t/cicianu J«»( 10 rulB*
poir/cbnc. >cby iprawd/*. jak wyg^dai* k iany lej nowcj bry»y.kl 6 r» otr/ymaltimy / veicunu p r /n p rrcun^cw t/e k iu o»tro»lupAw Ka>da kurna U)
now*, bryty ma kn/talt rombu. i tklada u t / dottawionych dw 6ch k ia » boC7n>ch prretunniych oairotlupow Jetcli Uk pal. to odcmek U«./4 cy pu"11^
wanych na M|«icdnich klankach a/euianu. Wekior (6 . 0,01 (0.0 fo ma
w\polr/?dnc - 6 .0 .6 .
(6. 0 . 0 ) (0 . 0.
Polowa lego wckiora lo wcklor ^ « j
Ten wcklor powinnUmy dodad do wektora (0,0. 6) 16. 0, (J) 1 d<>*ianiemy
wekior, ktorcgo tlr/alka I poc/^lku ukladu powmna w»ka/y»ai iwoim
kortcem dokladme trodek krawvd/i
M -0
Sprawd*. a y lan |e»i naprawde.
113
T» d/iwrni bryla. ktora powiiala / »/c<citnu p r / c / pr/cnuw anic <>
o wicr/cholku * k*o *rodku ma fciany w k v ta lc ic ro m h 6 w Tych r"*,uW*
12 Ta bryla na/yua »«c dwiina.stofcitncm rom boidalnym .
*" S'‘l*n J'«i
rv n\
'
o
uklad wspolr/cdnych w p r/cstr/cn i. W tym ukladncdany
icn p u n k ,. uekior. np r - f t ‘ 3- 4 »* K ‘ l U 2‘ 3 ]' ZnalcW *«P *
,nLtu nu kiorv pr/e|d/ie p u n k t ,, po p r / « u m ?ciu o wek.or w.
! • Wyobraf "tobie punki p « ukladz.e w«ptfrz*dnych i ,tW |k,
*
zacW ion*" iwotm poczAtkiem w punkcic p. Koniec .inuUki
w»kixuje c. punku na ki 6 ry Pr 0 p r /c u n lc c iu o wcklor w Pr/c,dzie punkt p.
Wipflrrednc punklu po pr/»unifciu o wcktor dostajcm y dodujijc do mebie
odpowtedme wnprtr/ednc punktu i wcktora.
I. lie kiaufdii ma. /budowany p r /c / mis / %/eicianu dwunasto«ci«n romboidalny?
1 Ilc wicr/cholkAw ma dwurusiONCian ro m boidalny? Ilc kraw^d/i ichodn
m? w wier7cholkach lc| bryly1’
ticcia tcgo matcrialu. o p iv , ilc i jakich cicC w yvart/y «by / .<ir/ymanyi:h
kaw alk 6 w \ k l d i dw una»iokian romboidalny.
10. Dany |C<tl uklad w*p61r/ednych w pr/c*ir/eni i dwa punkiy a - (0. 6, hi
i b (6. 0 . 0 ). Poduj wspolr/cdnc irodku odcinka nb
11. U /upclnij labclke.
p u n k i <1
punkl b
12. J. J)
(.1.7.4)
0 . 2 . II
12.1,21
(». - 4 . 6)
IM .J )
•ro d tk nOcinka ah
Skladanie przesuniec a dodawiinii’ w c k i o r o w
Gdy mamy danq pewnq figure geomcirycznq i itrzalke wcktora. mozemy
>obic w yobrazii le figure po przenunieciu /godnym « itrzalk*.
..- V
\
,* 'V
\
..W
s' *}
3. O bkv »\p«)<r/cdnc irodka odcinka ( - 6, 0 , 0 ) ( 0 , 0 , 6 ). Oblic/ wtp^r/fdnc »rodka krawcdn ( - 3. - 3. 3) ( - 3, 3. 3) szckriunu.
4. Nrtpiv.jakic wspolr/ednc majq ic w icr/cholki nzefciunu, opiwincgopo»>?ej w tekucic. kldrvch drugu wspolrrcdnu wynost 3, y * 3. Pnrc»urt le
punkiy o uckior
pr/.c\unu\iu
-*
. °J
i nupiiz, w jukim polo>em u sq le punkty po
' **** ^ /ad anlach J - h muwiac o dwunustoicinnie romboidalnyfl'
« » v c mamy nu mytli brylc powiiulq t »/c4cianu o boku 6 cm.
*■ Oblia dluijok pr/ck^tnych rombu. kl 6 ry ttu n o w i iciane dwuna»toici»nu romKiidaJnc|o
7 o l E 'n'IC P" wicr/cfini dwurmitofcmnu rom boidalncgo
l ' 7. U,f s' krawcd/i dwunakiyicuinu rom boidalncgo. Czy w»/y*
kfa^d/ic
wdnnkowo dlugic*
fomh!)Kl»'i'^1^m*ln# od***lo4< m icd/y wier/choJkam i dwuna*i«’4c,,nU
^
V Y* mn| * r?ku V€ician n l(yro p |a n u | p o jg r/e w a n v druelk
o
W ka>dym punkcic figury mo>cmy «>bic wyobra/iC itr/alk;. klAra nam
poka/ujc, jak pr/ctu n al me punkl /oc/cptcnia mi/alki.
Sytuacja ten podobna do lego, co mamy. gdy |c*i okrcillonapcwna funkcia •
|Cft danc b ard /o wyra/nic pewne pr/ypur/qdkouam t Urakux lylko d/wd/iny i pr/«ciwd/ied/m y. Tc /bioryjednak mo>cmy okreiln! w ipo*ob po proilu
nar/ucajqcy sif mcmal naluruliiie: figure wyjiciowq pr/yjmijmy /a d/tcd/ine
« le. na klOrq (a d /ic d /in j tie ,.pr/«une<a". na/wicm> obra/cm flgury wyi*ciowej i przyjmicmy /a pr/eciwd/icd/me.
I igura nu pluvc/y7itie mo>c byi! w /a».id/ic dowolnytn pod/biorcm pt«*/czy/ny. np mo*r by< p la a c /y / 114. a w ikiainym pr/ypadku nkladait «»e
mo>e / pojedyntvego punkiu
J«Jnak jedli rile bed/ierny wupoimnali o d/icd/mic i hed/wmy ro/wa>all
pf/cxuniecie na plat/c/y /n ic jako funkeje. 10 rnac/y, >t Pr/y|mujcmy, i>
d/ied/ino 1pr/eclw d/ied/ina )c»l cala plan/c/yzna.
117
Aby u u n a a yi. tc wiryittic atrralkl /w i.|/nnc / dnnym prueauniecie
riwnokgle. c/a.*m mdwimy pr/« anifcic Mkwnolegle. My jednak nie , 0 " M
Umv wnych p r/« u n ttf i dlatcgo po/o«Ujemy p a y k n W c j ntt/Wlc
Abv tpriwdnii. a y danc pr/ckj/talcem e figury nu pJas/«y*nie lub *
ttr/eni icst pr/esunieciem. tr/eba wybrac dowolnc dwn punkty tci f ig u ry ^
j i b i <iprawd/i«. c/y ich obra/y. punkty a , b .
takic. ie ixlcmki no ,
riwnolr£lr i c/y maia jcdnakow, dhigote. Jc/eli (ak me jest. dla pc*
dwoch punktAw figury. to p rad u /tak em e me ten pr/c»umccicm Dl,i nr
nwcia jtmilki powinny raie<; me tylko rowmj diuaoit' ale
? U"
Powwny bw
jednakowo skierowane:
«
’
A tera/ / rohimy pc w ne doAwiadc/enic Wyobra/wb.c w uklad/ic v«p6lr/«d.
nych pew n, figure. nP kw.idrat INtaw len kwadrat tak. aby ,ego P m w v
dolny wicrzcholek hyl « punkcic n p .„
2. I| Nailcp.c, naryuij to na
p.ipicr/c krutkowanym w /cx/yoic. A tera/ p r/«u h w myili ten kwadrat tak
aby jego prawy dolny wienehotek byl w punkcic a - (I. - 11. Ohlic/ tera/.
jaktc wsp»>lr/vdne mu wcktoi pr/enunt$ua ,ia Spiawd/, tc
-■*
till
m
Wybier/ \obic tern/ dowolny inny punkl kwadratu pr/od pr/c«uni(Ciem.
na/wi| go p i /a /n a c /.ja k i to jest punkt po pr/ciunifciu, na/wij go p Oblic/,
jakic w sp dr/cd ne ma wcktor pp Wcktor pr/c»um«cia j>p powinicn mi«f
takie Mime wspolr/edne jak wcktor ua. Cry twojc ublic/cnia topotwierd/aja '1
Sprawd/ . tc dlu dowolnego punktu p. figura nap pjcit r6 wnoleglobokiem.
T era/ pr/esuri w myili kwudrut do naitcpnego poloiema, tak aby jego prawy
dolny wier/cholek znala/l mi; w punkcic u - ( 2 , 1 ) Narytui k wad rat w tym
poloientu w twoim uklad/ie Oblic/ tern/, jakie wxp&rzcdne m« wektor
prreiuniQCia ilu* Sprawd/. t.c:
Zami.-wt tych kolejnych pr/e»uni?<l, moiew wykonai jedno pr/wuni$cic,
kt 6 rc przeprowud/a prawy dolny r<Sg kwudratu wprtwl / a do a Wyobrai
nobic to pr/e»umccie kwadratu i naryiuj w twoim /etrycie itr/alkc la & o a
O blic/ tern/, utkie w*p6 lr/fdnc ma wektor pr/e»untfcia
C /y
tw o je
ihi*
Sprawd*. ie-
obltc/eniu to potwierd/aja?
na to, t c :
Z w r 6 i uw agc
CKK}
l*o pr/exumc<lu o wektor | * |, ft potem p«» prawunnclu o wrktor ^? J kwad
/nula/t xi? w takim poloientu. jakby /o»ta» prm unicty <> wektor j^J, ki 6ry
ten sunui wcktor^w wykmmnych kolejno pr/e»unif<
II*
T i-rii; /|U'» k»u» * mvili tvkOi kw.idrai. tak tcb> jego praw y dolny wrer/.
chokk bx I * purkcic «i » I - 2, - I •• P i w u r t te ra / ten U a d r a t , w myili 0 wcktor [ j j Za/nac/ jego
polo/emc * «woim uklad/ic m p 6 »r/*jnych
» rcxzyac Nmtcpnie p rm u n fOjcucze ra / o wcktor r
wy/nac/one p r /c / t< str/alkc na/ywamv /loitnkm ivch d*feh r r m n it f
wy/naczonych p r / e / *tr/alki w/dlu> bokbw rownolegloboku. •
J W lakim poloieniu
icr*/ /naidu* ik tw6 ) kvkiJrat” Powimen byt! w u k im polotcniu. ic jeg0
prauy dolny wicr/cholek icst w punkcic a ' - (2, 1). Cry twoje oblic/ema 10
poiviiefd/aja’
Oka/alo m<. tc jeteli dobr/c pr/ciuwaleA, to po w ykonam u prceiunice
w odwrotncj kolejnofci kuadrat dotari do tcgo samcgo polotcma. Gdy
dodam) wektorv pr/eiumccia » zimentonej kolejnoici. wtedy moiem y »i{
prrekonai. tc doiunicmy ten tarn wynik:
(KBl
IB
N* pr/vkladrie pr7etu»ama kwadratu pokazalltmy pewien w ainy ogblny
far
Skladanlu p rz n u n ift odpowiada dodawanie wektor6»
Motcmy to wypowied/iec krotko:
Wektor /io ien ia p rre* u n i^ jc»t iu n u wektorbw tych p n m un i^
^ ’l\tulkLk
^'wywac
nychicanym
dw6chpr/ciunicctcm.
pr/r,un^ * •+* *hkok'nok'
■
ry n a i P i r r * ^ ’
P^wuntcwa dla prwncgo punkiu p rm u w a n c j figuhub
^ nf| 0 ,eJno»c*. * potetn w drugicj. otr/ym arny rAwnokglo»un* ^ a ^ u / y m ' ,C,i b#ku w*k*/u J ' J*k *>nik d *rtch kolcjnych pf*tprw ,un,* “ « To *ypadknw e p r « .u n i £ *
H a/ana pr/C/
r^ w n o ic ^ b a k a . Pr/*ium<jc»
121
w
F u n k c je
lin io w e
k-.iu>cc
i>hvlugi m n J c j i o fiuta I2ftp si| pitdunc
w m x h o d u
J e n ia m
piij.inc, jukic w / n i c » i c n l e m o l n u p o k o m u . m u l y m f u i c m i u pox/c/egoln y t h
S i h ln lc n ic
hicjiach (/ p c l n y m o b c m l e m c m n a d r o d / r o d o brci nawier/thni)-
JeMi drotra ma uromc «/i\icMcme lub xtromy xpadek, o.xlr/cju
np ukim/ruikictn drojto*>m
na I bicgu - 24" m
nu 2 hicgu - 14%,
n;i J bicgu -
H",„
nu 4. bicgu - 4"
iu wsicc/nym bicgu - 3d0;.
Na c/wurtym bicgu. / pclnym obcuilcmcm. nw dobrci nawicr/vlmi. nvvn*
pokonui w/m cucm c do 4"tf. To w/niaicnic ma nuchylcmc 4
V. ma icin.il »ce nuchvlrnic wyruum y /wyklc hw/b.i Nuchylcmc ( o/nuc/a, Jc
r j 4 mcir\ .
lic/oncj w po/iomic ro>mcu po/iom<Sw wymwi I nieir
To wzmeiienic mu nachylcmc T„. Tr/cbn wlqc/yi tnreci bic*
•yr*>.n4C4 nachylcmc pr/eU\iawia »i< c /f lli' \n procrntach
tchylcmc rirn*i. * praktycc.
o/nac/ii
a* /*y klc mui/ei m> iu H "
'‘ irmmicr/vi dlug,.^ w/.llu> drot/i nl> odl<jtl»«i » P "'""
n-tcliyUnmch. m m t j k / y t h m> I'
l > M ir«l m c w i d k i
A to w/nic.xieme ma nachylcmc I J"„ Jaki bicjt tr/cha wlqc/yi
I. VliW wyhodcv*Juf (jaraJdla fiau )2f>p P odlo(a n.ir.Uu n u p,>„nm | mc|r
pom/fl po/iomu ulicy. W jakicj odlcplok-i »>d ulicy rud/llby* wyhudottnc
jantf?
Sumoch 6 d |cd/ic od a do 11 po drod/c, uk jak na ry.unku
Na odcinku ah droga hi? w/noM Nuthylcnic irsi 0.015 N,( odcmku >;l drng,.
<ipadu. Jukie jc»l luluj nuchylenic?
Zamiast mmvic. >c dro«a *p«dn mo/cmy mOwic', K- nachylrnir jeu i^Jcmnr. Na
odcinku cd mumy wipe nnchylomc -11.015.
2. Odlfglo\c micd/y miei*cowo*cmmi Kozia Wola i Paeanow w linii po/iomej*yno»i2 km Drogamicd/y tvmimiej<«cowo*ciami w /noii»iq rdwnomiermc i id/je protto he/ /akrciow, a r 6 >nicu po/iom 6 w wyno*l 20 m. Co
hy< napiwil na t\m /naku drogowym?
________________^
<
4. Podai nachylcnic prostych poka/anyi-h n.i rv«unku
\< j
.....
-
_
-
._,
*
...
i t
.
- -0,4
&
X Dla ka/dt* / tych projtych oblic 7 jej nuchyleme
± i
Pro\iu nu tym ry»unku mu nachylenie
/ -
\ N»r>'Ui * uklad/ic w.pAlr/cdnych.
k,|ka pnvtlvch o nachylcniu 5. bl kilk.i protiych o nuchyleniu - 5
cl WilWt prontych 0 nachvleniu
|
7, Pfinlc I . , . /.j. I 1 1 ».1-* h u m michyWmt odpowmJnio nittnc
I 2 >
}■ i f
d) kilk.i prostych o nachylcniu
Ciy poirafilbyt narytowa* pro.iii o ruchylcnm 0.95? A pro\U» 0 nachyl*.
mu 3.14*
ft. Naryvmamc pro\tej 0 nachylcniu 3,14 m ctoUu.jak, /apcwnc)to*owalei
M ro /w i'/in iu /aduma poprredmcgo. bylohy Iclopoiliwc W ptakiycc,
chcac n*ry»o»*i prcwty o >ud.mym nnchylcmu .stcwujc Mf luutcpujncy
pr/epi.
W uklad/ie w.polivcdnych X > prowad/imy prosUt L rownolcglu do om
V 1 pr/ccin.i|.ic«i oi X proiop adle w punkcic x - I Lic/b? wyralaucit
J^danc nachylcmc /« /n»o*m y na p rcitrj /.. luk jak na 0*1 V N t ry\unku
/A/nac/yliimy dvuc lic/hy 3.14 i
i odpowiudamcc im pro»ic. prosi*
o ruchylcnm 1.14
’
I
Nary'.ui ic pro.lc na papicr/r kraikow.invm. W\ka> pr.Mi., 0 na,mriic),/ym nuchyleniu W»ka/ proM» o nachylcniu rumifkvvvni Kioraprmu
i»t na|burd/i«j struma*
Pr/yklad ‘ < 7> proila 1 . ma /ulcm wi<kt/c nachyknte m/ poma / ,
H. GapciO narywwal kilku pro.tych 1mAwi c«i nu «vcluul/i.n>inimnuj
najiylona jcxt naihard/ic) 'troma Wyia<nl| klopol Gapt-ia
9. Protla Lpr/ccinu <>' V w punkcic I 1ma ntuhylciiio2, nuuimwl pin. 1.1
M pr/ccina <>\ X w punkcic 1 1 1 ma riychylcmr ? ( /> prmir tc u?
pr/ctni)7
IU. O ktorci god/inic wxka/Awkn god/inowu ma tuichylem* IMI'wa^i m
c/tcry ro/wi 4/tima) O ktorci god/imc m« nachylcmc - I'
II. O ktOrci god/inic vs*ka/iWka nunutowa ma nachylcmc I 'll 'waga. 101
duh> ro/wui/uft| O k 1Arc 1 |ixl/ime ma nachylcmc - V
Proporcjona Inosc prosta
Tak wygUdii wykre. lunkcn wyru/.imci illugok pr/ckmnci k»a.luiu » •.
Ic/noki od |Cfo ht'ku
1pfi>»i4 o nachylcniu —
W ukliU/ic w^pAlr/cdnych pr/yjm unc u jcdnottkv " • °bu 0 ,,*c^ * 0,11
narytui * p»/yb|i>cmu pr«*i, o nachylcniu.
•I 3.14. h| .0,9 5 . c) 1,41, d> y i
126
^
° lrc *ln !
u
14
I »nk>» . - ^
«•'
na calym / h i i » r / c l i i / h r/#e/y“ i' >
lc v l i n a i o n i i a . i
ih irtn y
^ y
U
a wyra7 * i» * J l« r > * p r « k « ln o * /n ta ln o k . od ^
..M * ■w*",Kb
'7"“ ’"
"p frt 0 in> wnv ■>* « • k* ad ra« iw « ujcm nych d lu g o k ,* Ch h .,^ *
na oil ) Pole podtlawy pclni role wtp 6 lc/ynnika proportionalnoici Oh|fl o k jc<t proporcjonulna do wyiokofci protlopydloicunu WipMi/ynnikiem
proporcjonalnolei jest pole podstuwy Pole pmUiawy wy/nac/a nachylemc
wykre*u.
r . ,mlttKmy pc*ne / . W n o k . /* p o m o c , funkcj. danc; pewBym Wl0f(ro
jr ^ n o K - *>«*<>» */orem I * \
2■ x ,e «
uc/cgiMnyn. pr/yp.dk.tm „ k.
7 ^ ! * ! - I x . f d / w - »nn»A V > ini) p r t . ^ r c i o n a l n o k u p f ^ . a h c / ^ g
krA a° ' >c ' lc" proporejoiiil*,
d , , C.ds >r r« v/uicm \. na laklej d /icd /in ie ro /w « i» m y if /nlefno*. *A».
c m - o p e rc o n a liK * P ~ * '* w>*M C» nam fu n k c * i u lei d/.cd/in,c
Punkiv »>kre*u h»Bkci» kusrajcii proporcioi«JnoAcu» pro»t« leb, na p n ^ ,
pr/tJiOd/ivf priei poc/*tck ukladu *xpolrrcd nych Ola propontfonalooki
^
le, * - uv » i « - f k > do «jeM »*lko«ci*
I. it) O dc/ytuj / powy/t/CRo wykrciu. jak* oh|*io« » pr/yhlilcmu ma
proniopudlotuan 0 wywikoici 55 mm Jak* ohjgiotc ma prmiopadlotcian o wynokoici dwu rii/y wigk%/rj'’ Sto ra/y wicks/ci'
b) K or/yiiuj^c / wykrc\u powicd/.jaku wy%okoit n u prt^iopadloncian
o ob|?io4ti 2.5 c m ' Jako wysokow ma piotloptdloici.iN o obiviowt mo
ra /y m ntejuej?
c) K orryiluinc t wykresu odc/yla). jakir jo i pole podxiawy n.i /ycli
pro»lopad low ta n6 w
l‘r:ykluJ 2. Ten wykres
i jc*» rowny lu/bie a.a - J
L,c/ha j jexi n*ch)ler\Km pr.nte), d o kt 6 rc| nalc >4 p unkty wykrcM ptopwoonainftci p»o«ici \ • <»'
p r i i i W I Obiciok pro»U>padk>*.ianu I icxi o k r d l o n a w/orcm I' » Ipok
pixb u*)! i»>«<'kcHCi luh * ikrocic V m p h G d y ro/»a> am y proitopwlk'*ciany o o»uk>n«i pcuhuwtc i /m iennej w y io k o k i. nio>emy t e r 1
•ytnactyt *k» furkejt *>u>ko«ci
pr/cdniuwia, ilc lilrow |y n /y in punnialo n-verc w /hiorniku pewnejo \.imo^hodu p*> pr/ctechaniu » kilomcirow Na p*>c/4 iku hnk ir^i pe^cn. 4 5 1 Jak
/ w ykrrtu tanHH'hoO pah v.NInr.i nu UK) km Paliwa w haku uhy*a Po
pr/c |ct ha nm 41Nt km v. haku /oiialo ju f tylko 7 In row C/y potr«filhy<
/hi 6f I
**' /l” " f
dodaintch, p r/c iiw d /ic d /in a .
* i <.h 0 /K-j/n^ fli wykr#»ic pr/r<|\iavuam y na i»»i •' p, / rU
121
i*
Pi'wicd/icO, co «if w lym micjucu wykretu vi*lo’
Nic/alc>nie od Ic^o co »i{ »(ak*. w\krc» len pr/cd»la»ia pcwnn funkcK
• unkiia la nW Jaal p ro po rqonalnokia pro^H. w ykr« ki air prttcboiii pi/c/
#
12V
rnx/mck ukludu w sp^r/^dnych Jtd n a k gdy h«d/.cm y pac./c^ nu ,lo ^ /u>
L o palma. a
W. «* p o / w u t o w b aku. o ir/y m u m y JU> funkc,, b* | '
preporetonalnoicm proiU Tak, hcd/.c W " > k r c i
g. Narysui wykres funkcn pr/rd»iaw.*)i|Cc) ,*\e>„,,^ poU k„U .*1 kwadr,.
lu dlugoici icgo promirni.i
•). Naryui) wykifs wyra>U|iHy t*'lr kw.idfaiu « /jiklnow i ..if kwadmlu
d lu g o ia jego boku Co loj««i
funkcm 7 J.«k .i |rit je| d /u d /m « '
10. SamochAd porusza .ic / t Mai* prcdkoio* s" km h NaryMii wykin
funkcji pr/cdstawui|iicci dlugntl pr/cbyiei dio|ii w km w /*k>noici ml
c/usu. Jak wyglnda podohny wykrc* dla samochndii jadaccgo / prfdkosciii 100 km h-’
F u n k c jc lin io w c
/tidunic I. Narysui oi A, a na*lcpnic proiiopadle ito mri 01 )' W uklad/uwipAir/^dnych X V mi pfa*/c/yintc wykresl cyrklem 1lint|k» kllka punkiow
ktorc hi jednakowo odlcgtc od 011 X 1od 011 V Opis/ iwmmi dowtmi. jaki
k i/ta lt mu /biiSr A. do ktArcgo nule^ii wwtyitkie takic punkiy
Na lym wy kreiie 1/ zmienia m? od 0 do 400 kilom ctr 6 w. a r /.micnia u ; od Odo
litrow D/ied/ma lei funkcii icst /biOr lic/b me m m cjs/ych od /eru, i me
wifkvych od 400 Zbiorem warto.ici |c\i /biAr liczb me mmcjszych od /era
1me wicki/yeh od 3H
W r/ec/yw u io k i 7U>ycie paliwa podlcga w ahaniom 1m c jw l xlale jednakowe
Tiki wykrei, 1.1k ten. kuSry pr/edjtaw iliim y. tylko w p r/y b liJrm u opiiuje
prnwd/iw i tytuacjv Fen wykre* 1 lunkciu. kt 6 ri| on pr/edntaw ia jchI-tylko
muddem mjicmaiycznym, ktory tylko w p r/y b liien tu m<>wi.jak zalc>y /u>ycie paliwa od pr/ebyiych kilomelrow
ZuJunii- 2 W uklud/ie wspolr/cdnych na plii'i/c/y/mc wykrcsl (.yrklem
1 linijktf kilkit punkiow. dla ktArych wspiSlr/edna v icil luku 'Jinm, iak
wspAlrzcdna y. O pw / swoimi »lowami, |«ki kvtall ma /bibr U do kiorcgo
nulciii w vysikie lukie punkty.
Wykonui oba le /adam a. C/y /buSr A rAwnu si? /hiorowi H 1 Tak. \ - R
Mimo ic le dwn /hiory mi mnc/ej okreilone. to jednak xkladuja
1. tycli
.■mmych punktAw, toje.stjeden 1ten Ham /biiSr W kaldym punkcie icgo/bioru
/ac h o d /i rAwnoiic: v • '
WnpAlr/cdnu \ jc»l row nit wsp<>li/cdncj y dlu kaldego punkiu lego /bioni
1 XulcMtoil - '),y<l wyru/a p ro p o rc ia n u ln o ii pros*to Jaki je*l wipolv/yniuk prwporcjonalnofci?
\ Sarysuj wykrei wyr«J»ncy obj^toid ontroslupa w /ulc>noici od icgo
wyyjkoWi, pr/y /alo/emu, /c podituw a jcit <ttalu i wyno*i 5 cm1. Wyzii.it/ w p«,le/y nnik proporcjonalnofci 1 nachylcnic wykrctu
aryiui wykrr-, wyra^aiqcy d lu goil iredm cy kola, w zaleJnoici od dlujtiitci prumieni.i podai wipolc/ynm k p ro p o rc jo n a ln o k i.
jfv,u, Aykrr, wyru>ujncy ohw<fc| kola w /alciriofkl od dlutf*»*c
mien.,, Poda, na.hWcm* w y k reu
7.
130
2 fc
If0
•,r,,P,,rc)Onalne do dlugo ic. prom iem a?
> u I wiiJrttu m i proporc)onalna d o icgo obwodu?
/
011 a
X km 45
Ml
I.
i
ukl«d/ic w.potr/f»ln>ch. na kraikowanym papier/e naryxui wykre.
funkcn « v (okre.lonei na /bior/e lic/b rnec/ywi»tych). Pr/e.urt len
»ykrw tak. aby oirrymju! wvkre* funkcn v - * + I
V iry.ui /bior lych p u n k l o w , u ukl-id/tc w.po»lr/ednych. did kU»rych
b) v - x< 1.
c) y - x - I.
d) jp • x—0 ,3.
f | y - * - 2.
7. N apiv, jiika r6 wnc*k mutl/) *.p,,ir/cj n.mi r .u M u k u r v -.r ,.
,
punktfm na liniach pro.,tyvh dam eh ry.unku.-m
O y - x - 0.1
* ijn ich punk inch rc protlc p r« ein * j, o*
.1 \ ar> >u i w uklad/ic wxpolr/cdnych /bior punk low. dla ktorych > - - *
4. Sjr> .ui w uklad/w wipiMr/cdnych /biOr punk low. dla ku'>rych:
«t • - 1- x .
d iv --x * l.5 .
b ) v - 2 -.x.
*) y m - * - 4,
c| y ■ - x + 3 .
0 y ■ - x - 0,5
O p i'/ .Ifwami. co io /a /biory C/y m;ij* punkty w.polnc / o»m V0 Czy
nm 14 punk t\ wxpAlnc / 0.14 V” Dla kn/dcgo / tych /biorAw /obac/„
(./emu «k ri’wn.i v. tid> '
I'. * potcm /obacz, c/cmu .if rowna x, gdy
i 0 Z a/nac/ to, co /atiwa/vlei na *ykrc.ie
5. C/> pr/>pirr/i|dk.'v. jiik
- I ino/e byi funkejj)0 Na jakim /bior/e?
b. N apiv. aka row note mic>l/y w»po<r/fdnymi je.t wlasnoicm charaktery>ivc/n« punktu* na liniach pio.tych danych na.tfpujqeym ry.unkicm:
*
1
f
rrT
\
T
L
«
>U I
f
I
-
g. Narynuj wykre. funkcn > - 2.x, naryxui wvkrw funkcn > - I ''arvu ,
wykre* funkeji y » 2 » •* I
9. Naryxui wykre. funkcn i
t
i
f
K
V ».<rx .u,
wykre* funkeji i - 2.x- 2
11. K.o«y»t«JV * wykre«« funkcn v ~ 2*+ I nary.u, wykre. funk.,.
r .
C/y * ku/uym / lych pr/ykladow udalo *i{ /nalc/c tuki| r6wni>4i? Kidre
/ I>..h rytunkAw m ug, by*. u>yte do okrc.lcnu funkeji?
132
- 0 .5 *. naryxuj wykre* funkcn i
wykre. funkcn r - - 0 ,5 . *• 1
10. Naryxuj wykre* funkcn >• - 2.x. nary.ui wykre. lunkci. > - - 2 "»r>*ui
a) y - 4 t + 2.
h| v - 20* + 10.
c )y -* fO J.
d | i " 5x +• 2.5.
el v - 0,5* • 0,25,
f) » - 1.5* *0.75
P is ltm y (e ra /
wl.isno-fl.1 funkcii i
•
x f
Wykrw funkcii ij a 4 h ichi Uni*
ku.ru m e icmir6 wnolc»la d o o m ),
. pr/cona o> \
u
punkcic • w . p M r / « d n e | »
/•. v/yliwpunkcte
t i d y ,i ■ 0 »arltncl I'unkcii i ro»m. »v mwtc \v/ro»IU v
(0, /,)
Gdy w uklud/ic w,polr/fdnyd, na pluwc/y>me .mry.ujemy |»wm' pm.ni
ki 6 ra me icM rAwnolegla do o»i >. wOwc/at dla puaktow na it, pr.>•ui
/achodxi rownotO t - <u 4 I
t
auc+i
T f t y n . - p M /n k tu
z a o h o d q i.
+ ik u n o * <
*<xx*/r
Moicmy wicdy okre*lii funkejc. kiofci d/ied/lna jcvi cala oil V pr/eciwd/i*d/mi| cala o» V. n pr/ypor/ndkowame wy/nac/orie ictl luiiiepuiaco
X»~UX + I>
Dla it - 0 wykrevm ic.i protia rounolcgla do mi X co o/noc/u, >c funkeja
pr/yimuie Male wjmok* rriwmt h
Takic funkcjc riu/ywamy llnlowymi. ho ich \vykre»y Iniuimi pro»(ymi
Wartofci v • ux+fc obllc/amy, gdy podana jeti »arto*c » Dial ego c/<no
mAwimy. >e .x icii /micnmi nie/nleinu, u > je%t /miennit /alc*n.| Wario*n »
nalc>u do /hioru lic/b rxec/ywutych K. co wy*|*wmmy c/cMo, mowun h >
przchicyo /bior lic/b rcec/ywiiiych. a w miare lego i • >i\ + /» te* prrchiega
/bk>r lic/b r/ec/ywwych, / wyjatkiem pr/ypadku gdy n « 0. w kiorym i ic*t
utale i Hale rowne b
Nicsleiy, jednak nS» kaMa proula w uklad/ic wipi’ilr/cdnych *yznac/a wykr*«
funkcji Prottc rownolejlc do on ) me w y/nat/an |*dno/nac/me >adnego
pr/ypor/odkowamn funkcyjncyo. Na tukicj pro«tej, no pr/vklad.\ ~ ' IC'I
untnlono, ulc > pr/chiega wvyilkie wnrioki r/ec/ywuie
Y ‘
(1 , 2 )
x»z
■
(2 ,1 ) <
(*., V )
-
d r 1) '
k
T o 'm e J *
M y J is-t* j
Promt x » 2 me |c«i wykrc«m funkcii »mu?nn«-| \
Ml
II
P o d .u * w muincc k 11 ink* iK/by.
Aby laiwicj bylo nam /« ad n ^ , jakq lic/h* jcv v upor/jjdkujciny trochf lo
wykw y funkcj*
, ■ t x > ? i * “ It - Id
hyls r<’*m'k>lv <ti’ »ykrc*u funkcji 1 • , x + I
I.V Pi •>•.• jak* yvn.irtki ukl.idu w\piMr/cdnYch pr/cchod/n wykrc«y funkcji
•I f m
K
ill y - J t t l ,
Kl y - - 2 m .
hi V -
- \,
c)
-
>
«) V -
s 2- ' - v
0.H00 U.
/J.
h» y- -> /* * -* .
0
(•
14. N jn \ui » ukldU/ic vnpotr/pdnych /hiory
\»»nm«k
ii
> .
0 di ) - 0 . yi x - y - 0. j)
hi i *■ i » 0, »i i •> I hi x - 1 • 2. k|
vi i + v - I, fi >* 7, i) x-> « J, l|
- > - l I)>■- - Jx + 3 ?
hi ii «■ J,
b
c)
Vhm I)
ii -
m |
dl a ■ - J.
ci
fi
a
j
- -3 ,
• 0.
Naitcpnic pod/iclimy ohic itrony pr/c/ 2, no i otr/ymamy
Y - .x. c/yli x -
2x ~ 2y ~ 0,
I x - 2y « 2,
2x-2.v » J,
I) x ■
I.
ml < • 2,7,
n) x » -5 ,5
kiorr t i\ch /huiruM okretlam funln.jc'*
b- - J
0 + 1-5) - 2x + (5+(-5))
- 5 - 2x.
punktow (x. >•) xpclnuijucych
15. N an 'in »>krn funken i « ux *•b dU.
il j - \
rownunic W»/.y«ikie wyra/y, gd/ic wyucpuw i _pr/cnic»irmy" na icdnii
Kiroitv. po/o»luls na drug* Takie pnvnicxicnic n.i»t4pi wicdv. gdy do pmki
po prawci mronic /naku r6wnodci dodamy iak< ln./hc. why la pi^ika /mkl.i
Jc»t taka lic/ha, lo jcxi - 5 Dt> Icwci xtrony rownotci mutimy wiedy dodai.
dla rV>wnowa(i, rownic# lic/b^ - J W rc/uliacic oir/ymuicnu
Nary»uj lera/ dokladme w /e»/ycie. na papier/c kratkowanym wykrei funkcji
y - 2x + 5 i 'prnwd/, c/y nai/c oblic/cnia \i| dohrc
Aby ro/wia/aii r6 wnanie 2.x + 5 - 0 motemy po«Hpi4 mac/ci
Wyraienic 2x + 5 odczytamy w ten aponSb' „pewn% lic/bf pomno>ono pr/e/
dwa i do wyniku doduno pifi"
b » -2
•1
X
b m 4
+ 5
Z
x
+5
b• 2
14.
vkrcvnt pewrwi funkui liniowcj jcxt prOMa o ruichylcniu - 2 . Dla
.iryunxntu 0 funkcu pr/yimujc »arto*i 2 Narytuj wykrcx tcj funkcji
i napu/ icj w/nr
17. Narv.ui »ykrn funkcn lininwtj. ktora dla amumenlu rero pr/yirmijc
rowrm lic/htc ■ J, a *»rtoV zero pr/yimujc dU argumcr.tu 4
Napiv/ */nr i«| funh«.|i
Aby /gadn«(i, jnkii lic/hu
je»t .x, wykonamy prtcdicm opcracjc odwrotnc.
Wicmy. jednnk. ie 2.x 4 5
jc»t r6 wnc /cru:
:Z
-5"
- 5
-5
^
:Z
-5
Row n a n ia \i o p n ia pierw s z e y o z j e d n q niew ia d o n m
/■id unu Okrt-*k »«polr/«dnc punklu w kiftrym pruMa > - 2 x+ 5 pr/cuna
o4 V
A *> m /w i4 r u lo /adarnr. /«uw *>m > naipicrw. >« gdy p u n ki le/y na o«i .V, to
it j o 'n p .r fr/c tlm > )«•.! i t r c i *
Poi/ukuxmy
*!<<.
ukm
lic/hy «.
A wi(x wyglndn na to, i f «/ukana lic/ln je»l - ,
Otr/ymany wymk n w i n traeha »prawd/ic pr*c/ pod.uiwienif w wyjtetowym r 6wnaniu otr/ymancj lic/hy w miejic* x
h
0 - 2* f ^
I Vi
117
P r/x u k tc h rachunkach r o w n n * i c i w yrafcm em . ktorc m dw i. /o pcwnc dwie
lic/h> o k a /a l\ vc tedn« i I.) xamit lic /K |
m nym
R d w n m if io >i /a iiad ka
Rowm tm c, iiatom iast. |c»t c /y im
MiSwiac o pcw nym w y ra ie n iu , lc jctl io
row name. M « ie r\1 /a m y .lc w tym wvra>cm u w yM fpuic pcw m i liir r a o /n a c /a j , d m e/natm nam l n / l y i pytam y, CO lr> /a lic/h a
Taki) pow uklw anq llc /b f
w row nam u. u /n a c /o n a litcra, na/yw am y c/c»to niew lado nn. l . l t r r f , /a kuSr,
m o iem y podxtawic r6>n< lic/b x. n a/yw am y naic/fscici /in im n q .
G d \ pi»/emy tow name. 10 tak iakb \ <mx c lio cli /n p v t a i
C /y m K 'l la m c/nuna lic /b a wyxtepumca w r6 w n »m u . ja k o m c w ia d o m u ’
\lc m o len iy tc> /apytai. inaca*j
Jakic lic/by w^awionedo rownama /amia»t /mienne), /umicninia to rowname w rt'iwnok' puwd/iwa’’
1. Jak* operai.* tr/cba wykonal na xvyra/rmu
al *>\.
aby otrrymai x.
hi |*.
aby otr/ymac x,
el
aby otr/ymat <i.
d) " .
aby otr/ymai ii
cl » - 8 ,
f) 9 a.
aby otr/ymac x,
aby otr/ymac u.
II " .
aby otr/ymai x 'dla * * 0 ).
hi - 7 i u
aby otr/ymac u.
i) 2 «.
aby otr/ymac 0
Jl 21.
aby otr/ymac 0.
kl ISw.
aby otr/ymai 15 Id la « *■ 0 ».
I| « ► 09
aby I'tr/ymac k'*
2. Zap\%r w>ra/cntcm alftcbratc/nym to co mowi, poiti>%/c /damn
at Lic/ba ktura dixJana do lOdaicwymk 17
b| I ic/ha, <h1 ki 6 rt| Ir/eba odiai 1. aby dr*»ta£ »
Cl Lnvha. do ktorci tr/el>a dodai H aby doitaO h
di I.K/hn. kiora tr/tbu pnmnofyc pr/c/ 8. >cb> doitac r.
c| I tc/ba ktora tr/cba piid/iclu. p r « / }, /(by dt>Mai 7
0 l.ic/ba. ktont lr/rbn p.xj/ula pr/c/ J, >eby duitac x
I) l.ie/ba, do kiorq ir/eh* do4a£ 7«. /rby dixlal /cro
hi U /K a
!.•✓> wurk
iKJ )u/by o ,cdcn wi9ktrci <«J
»
C/ y w>r«/criui pr/c/ ticbir <nr/ymanc \i|
r6wrto«ciAftii, c/y rftwnaniamr'
IM
X Z api'/ wyraJcmcm algcbraic/nyin
a) Pomno>yc < pr/c/ 5. do wyuiku dodai K
bl Od i od |<6 omeni, wymk pod/idU p r / c / '
c) LXkI«c‘ * do - t, wymk pomrio/yi pr/c/ c/trrv
dl Od x odmc v , do wyniku dodai tr/y
el x
potlyicln pr/c/ i
wymk pomnu/yO pr/c/ tr/y
fl »
pi'mixi/yt' pr/c/
tr/y. wymk pod/iclic pr/e/ t.
g) Jcden pod/tclic pr/c/ y , wymk pomno/yi pr/c/ \i
hi Pr/e/ 3* pomno/yc wymk d/iclcma pr/c/ > lie/by icdcn
4. Zupis/ wyralcnicm ulgchruic/nym
a) t
pomno/yt pr/e/
5, do wyniku dodaC 8
b) 5
dodui do X, wymk pomno>yi! pr/c/ v
c) Do v dodac 8 . wymk pomno>yi pr/c/ 5
dl \ pod/iclii pr/e/ V. do wyniku dodaii 4
cl Do \ dodac c/tcry, wynik pod/icW pr/e/ d/icwici
0 t)d a odut^ c/tcry, do wymku dodatf y
g| Do dodac' >. od wymku od|«0 4
5. Jc>elidobr/e wykonalci popr/cilnic/adanie,otr/ymalct luku wyia/rma.
jakic mipiittllAni) pom/cj Dla ka/dcgo / lych wyraAn p<Hla|, j ikini
opcracjom mile>y poddac |C. aby otr/ymai w wymku x
al 5\ + 8;
b) ( 5 + 8 )x.
c) t.x+81 5;
d) > 4 ;
0 l \ -41+ t;
y) (f-t >>-4
Ro/wmJcmy tera/ pr/ykladowo /adan« Dwir >r«h
Mtr. «> • M>rum\
t
full t iyll Ilf «**<> /rJnj i riilu '
Sytuacie opuanA w /adamu pr/cdxtawimy rywnklcm I rOwnanwm
=3
l)«
Nnstcpnic wykonujcmy uikic przckJ/iAlccriii, Jcby w ku/<Jym kroku /-uchowac rownvvfc obu Miron, .ilc by nytimqc troche uproicu.4:
6. N n p iv rownnme, opi«u«ce na»iepU|W *ytuacn:
3
0 0 0 ; & S sJ
3* = G
i laic, aby w koAcu ro/wia/anie bylo din na* oc/ywiite:
ssj
ltoleine r 6 wnania /apisanc p r/c/ na* po prawcj mrome ryiunlcu maja w*/y*tkic (• m ow rn z w ^ u n it. Tym ro/wui/*nicm jc«l lic/.ba 2. Lic/ba 2 witawiona
do r 6 *nam a «. miej»ce zmicnnci x /amiema kaide / tych r 6 wnari w r 6 w nok
Takic r 6 wnania na/ywoji) \ic r 6wnaoiami r 6wnowainymL Staramy ni? lak
pr/ck./uIcK; r 6 wname, aby r 6 wn»mc przed pnrckmalccniem bylo h iw h z c
rAwnowaine rownamu po pr/cki/lalccm u
Jett pronta /aiada, ktAra mowi. j«k pr/cks/ulcid r6 wnanie w pewnc innc
row runic mu r 6wnowa>ne
Pr/ck\/iakcnui, inac/e| opemeic. takic iak ..pomno*>« pr« / dw a”.
..od 14c po! ik\".pod/iclit p r/c/ tnty", ..dodiic minu« pice"
/a«to«owanc do lic/b. ku.rr *4 r6wne. mu-./^ due wyniki. klitre »n le> rAwnc
Do kaidcj / lych npcratj. dajc tie wykonaC opcracjc odwrotmj
Z m t f a ic m » n c nuttepujqea:
/a*t(i>u|io«am opr 7ckt/laiccnicdoobu*trori
3 X
S
S
fownunw, a dtntum cv r<V*numc mu riwnowa>ne
, I
I
3
1
J
z
Ta »ama oprracja po obu ttronach rrtwnama. me /rruenia ro/wlq/ania.
140
(proitokqty o /n a a a m ecgly, a kulki odwa>mki jcdnok.Iogramowci Nustcpnie, >pr6 buj /nalc/C ro/wi^zumc najpicrw ryiunkowo. a poicm pr/eks/iulca|;|c rownanic
7. Nas/kicuj *yuiacjs. kiAra odpowmda r6 wnaniu:
a) 3.x + 2 - K,
c) x - 2.
e) 4x+2 - 8 + x.
g) 2x - 6.
b) 2x+ 1 - 7 ,
d) x m 3,
I) 3.x f | . 7 + x.
h) l.Sx - J
W ikai w»r6d nich takic pary riSwnari. ktiSre *.i r6 wnowa/nc W%ka/ takic
pary r6 wnuri, kt 6 re mam lo *amo ro/wiq/unic.
K Juki) opcracjc tr/eba /asiosowai do obu iiron g6 rnego rftwnania. uhy
otr/ymaii dolnc?
a)
2x~$ a /
k)
U i?
Zx
£ + 6 ~X
4
-16
X
1?
+
4x
Je>.eli jedna /.c »tron r 6 wnania jc»t »umq dwiSch lic/b, np.
5x4-1(> - 20.
lo gdy dodamy do obu itron r6 wnama lic/bc pr/ectwna do icdnci / lych lic/K
otr/ymamy tak. wynik. jak gdybyimy pr/en.eili te licib,. /c /m.an., /naku. na
druga niron? /naku rAwnoicr
S'x
+ 10
-f tj
5x
*
Cto
|- ^
10-10
1 1o
lub
■= 1 0
▼
10
*
Z0
-Fx
141
T.i pro-iia uada iwa.vc<1«
c.-fiio *Ju>o pnuniny pi/y ro/wiii/y\*uniu
ri'wnuri Saddle m ona /»lin/c/a w Ivch pr/ypadktch. gdy po obu Mrnnuih
niwn.inu, kiore mamy ro/vnu/ac' wvitfpiiM i mewiadomc, i lic/by W tukicli
pi/)padk*ch. njipk-rw irA-t>.i lo, o/cgo \/ukamy „pr/.cnieW" nu icdnq xiron?
/naku rimnowi j to co /namy na dru|/ta 'troiif. Na«t?pnic pr/ckvtalcumy
daloi «> r6 wiiauic »iaiiir \if na txle pronlc, tc )C|{(< ro/uii|/amc jext widoc/ne
I R o / w ij/ t m
ro w n a m e
9. Ru/wiiii rownanm
U) 9 \ - 6 0 « 7 0 0 -x,
b) 2 x- 8 - x f 8 - 16,
0 6* - 4
10g) 5«+ III - x 2,
c) ‘ - 16 - x -
h) |x - J - 10,
,l| 7 .x - 10 - 70- \,
I) ] + H ' - J jt- I ,
c) ft.2Kx- I - 99.
j) 2+ 0.5v - - l-0.J«
10. UI6 i jukic* ikomplikownnc n'twnunie opiaujtee lakii xyluaiiv
Najptcrw robimy lak.Ahy mieinicwi«domepoiedtwi»ironic/iMkurdwno*ci. i .vnadonit'.a iac/01 calj fc»/'f. P^ druj/iot
T e n / mi’/na po/byc \if munowmkAw. mnoJymy wicc obic utrony pr/c/
tloc/yn 2 3
: J x - 2 3 j - 2 .V* - 2 3 12.
c/yli
6x - 3 * - 2 x - 72.
Niail^pnic redukuiemy »yra/y/awieranec x.
11. UI6> c/tery ro>nc rownumu, klorc <i| r6 wnowa>nc rownamu x • 4 C/y
ka>dc dwn / nupwunych pr/e/ ciebic rownurt »n tobie rAwnowa/ne'
Poduj ro/wui/Aiiiu lych r6wnan
12. Starofytm Lgiptjnnic umieli bard/o dobr/e rachowac Jcdnak me pottaTiii /.ipnywuC wyrufcrt ulgebraic/nych. tak jak my Nie umieli pr/enoW
■kladnikAw /e /mm mi /naku na drug# mronf /nnku rftwnofci, bo w ogole
me/nali tego/nuku,
Poidugiwali xif /amiaxt tegu tlowami. Nie umieli
tc# redukowal wyr«/6 w podobnych. lak jak my. np. ' v-t |.\ • \
. - 72
C/y lera/ iu/ wirx/, iaka k/ba |cil ro/x*u|/iinicm7
Molcmy jednnk powied/ict'. tc umieli /jtadyxta^ ro/wn/*ma proiiych
riSwnart, np. takich x t ' v • 12 Naipierw /gadywali na prob?, np « • 2.
P r u k l w l ' Ro/wia/cmy r^wnanir
Wtcdy v t j v bytoby rowne 3 PonicwaJ to jem c/lery ra/y /a male, lo
4* - 60 -
JUU - x
Pr/emwtmy /e /rni.inq /naku. co povukiwane na icdiiu »tronc. co /nune, na
druga
4<
m
• M W i 61)
Nancpmc reduku^uiy u y ti/y / « i obie xtrony d/irlimy pr/e/ )
-
160.
< - 72
*ti|d pr/yimowali. ic wlukiwr ro/wu(/anle powmno hytf t/tery r*ry
»icki/e to |c»t puwinno bye' r6 wn« M. \ - K 1 r/ec/ywi»cie 8 I , H • 12.
SprAhuj /.giidnui* lukq meioda. jnkte i«*i ro /» n/am r lOwnama
x + ' » - 16 To ic*t H^/c/e (loaunkowd pnutc, ale in/ dla rcSwnama
4x - '
33 na«/e ohecn* metixly «« duio pro-i«/c od melody *iaroe-
gipiklej
141
14?
O j l l O O I I O O I I O O I I O O . . .
To je»t /hibr tych lic/b. ktore H mnie,we luh rowne
1
X ^3
IX a) Pod/iel w ukl.id.'ic dwoikowym. pucm n* luh iu wachownicy. 4 J,
b) R0 /U 14Z r^wname
« . (o.i 1001 10011 i,.
0
e) R0/W14I r^vkn.ime pr/> im u u c . Ie lic/b y w m m w y itf p u j q c e >4 MpiM-
1
3
l
4
To nalomiast >e>t /buSr tych l u b kti.it * mrue^/e od 1 / wy^c/erncm Ic/hy J
nc w u k ta d /ie J /ic \i4 tk
1000* - x - 11<W.11001100. - 0. 11001100..
t< l
Ro/»i*l 10 u m i' rowmime odc/ytui«c «ipi» w uklud/ie dwOikowym
0
\
1
2
3
*
u r a w n o s c i
Nierownok * < J ru/ywamy afar+waotei* o»(rq i c/yum> _* m l mnieiwe
od 3".
Nicr6 w nok x < 3 na/ywamy nkr<n>ao4cia nirmlra i c/yumy _x je»« mntej»/c luh rbwnc 3" Molemy rownicl m.>wic „» jeM nic vnfkve od J"
Te /biory lic/b ru oti lic/bo»ei
- ♦ - 3 -2 - 7
0 1 1
- 5 - 2-1 0
1 I
2. Za/nact na ov /bi 6r tych licrb, ktore tpeintait nicrownofc
a) x < 2.
c) x - 7 < 0,
e) 2x+3 > 0.
b) x < - 7 .
d) x + 5 > 3.
ft 7 x - 14 < 0.
mo/emy okreilic /a pomoc* wyt alert /e /.naktem < lub /e rnakiem >.
I. Napiv nierow nok. ktor* tpelmam lic/by nulrlocc do /bioru /a/iuc/onego iu ryiunku.
Gdy chcemy okrc*li£ /bi 6 r ro/wi*/art pewnej mer6wno4ci. wyjodnte jeit Uk
prrckn/talcti wyraienia po obu itfonach nicriSwnolci. aby po tednej ttronie
merownoici znalu/la «ic tylko pot/ukiwana niewiadoma. a po drupe] pcwne
wyralcme zawicrawce tylko liczby
Na prryklad nieriSwnok ( - 2 ) x +1 < J molemy prwki/iak*: uk. Ie do obu
ttron dodamy lic/b* ( - 1). aby po/byi »* jedynki
(-2 ) * + l + ( -l » < J*t-D
Otraymamy mer6 » n o k
(-21 x t 2.
Pomnolymy nicr6 wni*k pr/e/ .
UroOwimy >n tera/. te jctli t u r p anic/ajaiy punkl /a/nac/ony na «m /aJ*.•/*•
my do /hiuru, to /j/ru i/.im y |u peln, krnpka. w pr/actwnym wypadku
kmpLa hf«l/ic pu»ta
144
I*1
1otr/ymamy
-a ( I
14}
I'r/y na>i(pnym kroku tr/cba uwaia£ Gdy pomnoJymy obie Mrony nicrownowi pr/c/ Ix ibf njcama. - I. tr/cba jednoc/c*nic, aby me /micnuui ro/wm/an, /amirnic kleninrk merownofci \ * - I
1
0
1
1
3
U
J’r/v ro/wi^/yvkjiniu merAwn«*4ci re /nakiem C lub > poxlugujcmy »i? wi?c
lymi vimymi regulumi. co dla /nakow < i > , a ktbrc pr/cdntawiliimy
« kl.lVC V
U>> w jmc wx/ynikich c/tcrech / n j k 6 w < , > , < i > mo/cm v lal wo formulowai /ap r/e c /c n u
Ma pr/yklad. ic/cli pewna lie/ba me <pdnia meriSwnoici
* < 10.
/.nat/y, te .pclni.i merownoiC pr/eciwn*:
lo
x > 10.
ktora otrrym ujem y/am ieniaiac/nak < na > .
JL R o /w n i merdwnortci i ro/wia/amc pr/ed*tuw na o*i licrbowcj:
a) Zx < 3.
bi -4x4-2 < 5.
cl ( - ’ ) * > •*.
d M -0 5 )Jt> -12
/e </c/crego /Iota, be/ /adnycli domir\/ek podleit/ego kruwtu Cidy korona
byla gotowa, wygUdala wxpumale Krol icdnak miew.l Male W.le ulowy. <xt
icjio c/a»u C/y pr/ypadkiem /loinik go me ox/ukalT Kmunowil, w koiWu,
/uMCgnaii porody, /nanego |u> i xlawnego w lym c/aue. swoicgo poddanego,
Archimedevi Archimedes me chcial doiyka£ korony, b«i h»l <ie po<l*ir/liw*go krola. ale obiecal pomyAlcif i ipraw? /budac
W Syraku/ach. w tych c/axach. byly /upeliue innc od nax/yth tednuxiki miai
W pr/dlum ac/cm u icdnak na centymctry i kilogramy. Archimedes myilal
lak Jcdcn kilogram /lota mu oh|?ioK okolo 50 cenlymrtiow i/efciennyih.
C/cgo mbgl ten /lotmk lam domics/ac '1Wlatciwie. tylko trebra, a xrebro ma
dwa ra/y taki| obj?toȣ jak /loto Jcdcn kilogram urebra ma objflotc okolo
100 cenlymetrow x/eAcicnnych JeJeli lic/ba x wyra>a ilotd xrebra w korome.
a v iloii /.Iota, w kilogramnch, to x+ i - 2 7. drugici xtrony.je/cli korona m l
/ c/y*lego /lota powinna /aimowal obj?lokl 100cm1. Ale ic/eli madomicx/k? xrebra. powinna /ajmowaO wi?cct mieiwa Pouedl wicc do kr»ila i powicd/ial: tr/cba /wa>y<l koronc i upewmC >iv. c?y wa>y na pewno 2 kdogramy
Jeieli tak j« t . tr/eba j* wxad/iC do nac/ynu pdmutkicgo wody i /obac/yi. lie
wody wylcjc at? / mcgo do mcn/urki Oka/alo »ie. tie / nac/ynia wylalo u? me
100 cm ', ale prawie dokladme 130 cm ’ Archimcdc* /ac/ul wtedy kre*lk
cyrklcm xwojc kola na piaiku i r.Sine lime proxte i w koncu powicd/ial ..Twbi
/iotnik etc oa/ukal. kr 6 lu Ta korona pr/yprawilaby o NSI glowy /nac/me
gorx/cgo monarch?, korona ma mccalc pAltora kilograma /loia. a re«/U to
iircbro".
N > u/yuaw c pr/ccrenia n a p » //Ja m a :
a) Nicprawda. te a < 2
b( Nwprawda, te 2* < J
Cl Nicprawda. te - a < 0.5
£ R o /w iv m erownota i ro/wm/ama pr/rd»law na ow iic/bowej
4.
a) -1 < j* <
I,
c) - 2 < J* < 2.
b) - 10.* < 2* <
5.
di 2 < * < - 2
I. C/y w i« /. *kqd *i? w/tql ten uklad rdwnart.’
2
I k U u ly r o w n a n U n io n y i h
I |00 v ( 50 y - 130.
B ard/odaw no lemu. kr 6 l S y raku//am 6 wii wtbie now* koron? Dal /lotmkowi - kilogramy /loia i polrcil mu wykonanic korony wedlug nainowt/ej. na
6 w u c ,n * c/a%y- m°dy I'tMtti krolcwnki lednak wymagal, Icby korona byla
/lota, w korome?
14#
147
Olek c'vnczy dh»gody*ian«owij javdc na rowerze. OMatmo ic/d/j nnjch^tmej
t t/y bk o 4ci4 20 km na god/in* Gapcio woltjefd/ai troch* uybciej. 25 km ru
god/in? To jctt wykrca. kt 6 r> mowi. jak* drog? pr/cbyl Olck. a jak* Gapcio,
gd> /aloiym y. >e ulalc utrrymuj* tc MR14 i/ybkofcS, odpowiednto 20 km/h
t 25 km h
Mo>cmy jc v c /c tnac/e) opiiurt to. to »e d/ialo IV/chyta droga Olka. |ego
odlcglofc od Martu, gdyby techal proito, dana jett funky ia
y - 20 t
Droge Gapciu. odlcgloil Gapcia od linn ttartu podaie funkqa
y • 25 (x-0,5), c/ylt
> * 2 5 * - 12.5
G dy »tc spotkujn. wykre* Olka pr/ctnic wykres Gapcia W tym punkcie («. K
b^da ipd m onc jcdnoczctme dwa warunki
j y - 20*
{> - 25*-12.5
Gdy od drugicgo / tych r 6 wnart, odejmtemy itronami pierwA/e dewtamemy
0 - 5 * - 12,5
Slad
5* - 12.5.
x - 2.5.
Gapcio wyrui/yl JO minut p»i/mcj C/y potrafit/ odc/ytac / lego wykretu.
kicvJ> Gapcio dogoni Olka '1
PrzyklaJ I To j « t pewicn uklad r 6wna6 llnlowych
W ctagu » gxKl/m Olck pr/e>cd/j« 20 x km. Gapcio. w c /jijic tych x god/in,
najpierw p r /c / X) minut ttal w mici»cu. j doptero potcm w\iadl nn rower
1 po«chal Gdy i< .potkuli, Gapcio jcchnl o ptSI god/iny kr 6 ce| Po x
god/inach griy Gapcio dogoni Olka:
21) » - 25 I* -0.51.
Mutimy term/ dokonaC trudnych oblic/cn.
20 « - 25 * - 2 5 0.5
25 0J - 25*- 2<>*
25 0 J - J*
25 - 10*
W* - 25
.« - 1* - 2 1. 5•
M
C /y rachunck /g ad /a
/ twotm ndc/ytem / wykretu'’
Gapcio dogoml Olka po 2,5 god/inach Olck byl wtcdy » d rod/a 2,5 god/my.
a Gapcio lylko 2 god/my
14(1
x - 1+ l y
5 r
Wy»t9pujn w mm dwie mcwiadome * 1y Pon/ukujemy takich par lic/b(t. >k
ktore tpclmaii) icdnoc/cDmc obydwa rOwnama
Para lic/b (4.2). * - 4. >■ 2. me spclnia picrwt/cgo nSwnama Sprawdiio
Mi mo tc para | 4. 2) spelnia rdwnanie drugie, me m o h byi u/nanu /a ro/wi*/ante nat/cgo ukladu. Para ( *. 0). * - J. \ - 0, me ipclnia rownanm drugicgo
1cho<i «pclnm picrwt/e me mo/e bw‘ 11/nana /a ro/w u/anic nauego ukladu
C /y jcat taka para lic/h, ktora «pclma iednoe/c4nie obydwa rflwnama n*«/ago ukladu 7
Tak. Jcat to para
J) Sprawd> 10
Utmaj* k ilka metod ro/wivywania ukladu dwOch row nan liniowych. Po/namy je na pr/>kladach
149
PrrvkluJ 2 Ten uklad ntwnaft rn/wia/emy nwfoda pod»tawlania.
\ u
. y
Pnyklad S. Ten uklad rtSwnaA ro/wmlcmy mrtudq 4o4awania •iroaamL
fx+ y - 2
s,
( 100x + 50k - 130
| 5y - 3.x
Najpicrw pomnolymy picrw»/c rOwnnme pr/e/ - ICO, otr/ymamy wiedy
uklad
f-lO O x - lO O y - -200
( 100x+50y - 130
L drutpegu roMktunia wy/nac/amy r
i wiiawiamy Jo pirrwt/ego rownama
Jcldi para lic/b(x, y) upclnin pierwwy uklad, to tpelma r6 wnic> ten drugi i tut
odwr 6 t
Dodojcmy tern/ itronami r6 wnania do itebie i oir/ymujemy
,
J *J
2*m S i ?
Mamy
x »
+
*,
» }5
- 50y - -70.
7
smd
Aby oblicryi x, w wyjiciowym uklad/ic mnolymy pierwvc rtSwname pr/e/
-50
f-50x-50y - -100
jlOOx+SOy- 130
i po dodaniu r6 wnart itronami oir/ymujemy
Rivwi*/.*nicm ukladu jeni »iec par* lic/b (
^j
PontcwaZ * pr/ckvialceniach i rachunkach moJfna la two m? pomylii, powinnmmy m d w ro/wi*/amc «prawd/K
Sprawd/enir
Lcwa ilrona pierwa/ejo rownama.
JM
Para
ro/wn/aniem ukladu (/o h .» 147) Sprawdi, c/y ta para w»i
2. Znajd/ pare Itcrb (x, y), ktAra je*l ro/win/aniem ukladu rdwnart
Prawa »lfona picrw>»|o rtwnama.
1
10
ir
Pierwai t rownanw je»i ipclruotic
R6wrte \% rdwnw* Itc/hv
J 1I» ”
I*
5»•
drugw rdwnani* la* ,i«. i tprlnlen*
»»
J
XM i
r/.rc/y witae rozwiqnnicm
2 S7-
V
5
i ll*
30x - 30
fr
a) (> - 2x + 8
ly -3 * -l,
b ) j * + 2y»l,
Ix-2y - 3.
0 ( 2x - 5y ■ 10
d)
(0.lx+ lOy - 0,01,
0.J» + 7y-I
I' -y ■ I
1 W uklad/ie wp<Mrrpdnych w /w /y d e naryiuj p ro m 2* + ly - II ora/
p r o m - 3* ♦ 2 v • - S,
SprAhuj odpowied/iei na pytame, c/y J««i laki punkt |».y), ktAry naleZy
do obu tych proilych. Wy/nac/ / ryiunku pr/ybli>ont wiptMrsvdnr l«|o
punktu.
t 151
A le n t/ r o r w i* * uklad r<SwnaiV
P n y k la d 4
Wc>my lakiknlwick uklad dw «h rAw.urt l.mowvch. np
| 2* + l.v - II
\-5 * » 2 y « - 5
C/y pr/ybliionc ro/wi^/anie / ry»unku bylo di'brc'
4. N*iv\u| w>kre«y funkcii > ' 3» + 1 oriu v • -2.x *■ 6
Wv/imc/ t ryxunku pr/ybli>onc wrpolr/odnc punktu pr/co«\:ia wykrew * Nml^pnic ro/wtjJ uklad r6 wTUrt
( 2a+ 3y - |J
|3 x - y - J
Uklad ten mokm y rap iu t
w rk io ru w o
)’ “
Naryiujmy. co 10 /nac/y
fy - 3.x+1
1> - - 2**6
yt
/
C/y prrybliionc ro/wi 4/ame / ry\unku bylo dobrc"’
Si Wykrei funkeii > «• 5x + 1 mu nachylcmc 5. Takie u m o nachyleme ma
wykre* funkcii y - 5.x +13.
L /aviJnij tc uklad rownort:
/
1
f
““
V,
_w
"ft!
jj E
(jr- 5 * - I
| y - Sx+ 13
'~
a
•. Maw rowrianx » » - ,1 * I Dopiw ukic mwnunie, feby powtial uklad
rownah. kt 6 ry
a) ma jedno ro/wtt/anir.
b| me ma ro/wia/ania.
c> ma nie«kortc/cnic wwle ro/wiv.art.
SH
wcklor j”jj | pemnoiony pr/e/ *
plu* wektor
jm i
ma nmkoiW/cnK wiete ro/wiq/an Juki /bi.ir twor /4 punkiy (j», v) »pelnwjace len uklad'*
Ii
_l
Pos/ukujemy pary lic/b (*,)'), ,akicj. tc
A. L’/atadnif. dUc/cfu uklad rtVwnafV
\ l x +7 f m 62
J.5» - 31
t
r~
✓
j
n
6. L'/aMdnu. dlac/cgo uklad r6 wnari
J2jt+7y - 62
I |4*>4V) « 50 me ma ro/wu|/«ma
r-r/
_
nie m a ro/* 1 4 /a n a
( 2 * -4 y - I
12* - 4 * m 2 nie ma ro/wiq/ania.
7. L/aaadnn. dlac/ego uklad rAwnan
*
j
| pomnoJony pr/c/
1
r6 wny wekiorowi p (' |
Odc/yiaj / rynunku. taka lie/ha jem x 1taka ln^tba ic%t 1
Z ryminku widaC. tc
PJ 2
+
A le r a / tpr»«buj r o /w ia /a i uklad r6wnan
(2« + 3y * (3
|3 x - y * 3
ledna / popr/ednich meiod.
IS)
M.Vna na pr/yklad pom noiyl drugic rownanic p r/c / 3 i dodai' do picrwtxclfo, wtedy odpadntc \ i rn.irny
Sud
I \ x - 22
«- 2
II. Niipivc uklad r6 wnart. lub
icdno tfiwnantc wckiorowc do lego rysunku:
Mno>4C row runic picrwx/e p r/c/ 3. a drugie pr/c /1 - 2 ) i dodajqc jc iironam i
m an y
Siqd
11
y- J
v - 33.
Metndq wekiorowq mo/emv ludnie opivud dowolnv uklad. Je>cli wcklory:
m
maia r i t e kirnmki. lo uklad ruwnan
J « | X + /» ,> -
f,
h , y - rj
ma ra/wi^Male dla dowolnych r t. r ,, gdyJS kaidy weklor j ' 1 | daje si? pr/ed-
I I N a p iv uklad rdwnari Imiowych. kl 6ry odpowuida r 6wnamu wckiorowemu:
-R M -«
Mawil w formic
C K iR :]
Gdy wcklory [ ' ‘ | .
m a * tra u m kWrmck. a wekior ||* J ma iaay
kianmrk. wlady uklad ai t ma ro/wiqxaaU.
Uklad ■ ■ ainko*c/ralr wWir rw w lq /ai, gdy wwystkW ir/y weklory muja ten
MmkWraariu
i a R«/wi 4> wrkiorawo ruutfpujacy uklad rftwnah
f - I* «■ 1 k • V
* I 3* ♦ I y - 3
Naryiuj odpowicdnic wcklory na kratcc
IX Tynqc lal lemu. w Indiach. krtfyla taka /agadka <»<.7 iryn medcm jahlek
ko«/iuic mo Mcdcm rupn, ucdem cytryn i d/iewitf jublek kon/iuie iu>
icdcn rupn Powicd/- ilc ir/cha /aplacid /a »ko»/iowanic jcdncj cylryny.
a ilc /n laNkn 1
,
14. Olck ma kolcgc C/c%ia. / kiorym c/e*to ro/mawia o maiemaiyw. Mo|a
waga plus dwa ra/y iwoja waga, md>wi C/euo date ra/em 157 kilogram.\w Nicprawda. m.Vwi Olek. moja waga plus dwa ra/v iwoia daic Mo
piC«5d/J«m jcdcn kilogramdw Powicd/. pr/y n t o f m u . >t ob*| nuiwn
piuWdf. ilc ka>Uy / nich waiyl
ZrcVh na kraicc ryuinek wcktorow
(vn3i:r
I
154
wy/nac/. ixlpowwdm rAwnoleglobok
155
L ' k l a J y row n a n : w i f c t j n i z t l w i e m a
n ie w m d o m y m i
\fc >hnnei tiarochintkicj k\tcd/e „Dzicwi?0 D/ialou. Arytmciyki / lllw ic k u
p n e nuniy ro/wia/am e pcwncgo /aduma. klofc mo/cmy tu powttir/yC
» ukicj formic
Rolmk %pr/eda*al p vcn u* /c 'WicJego /bioru. p w n » v \. drugi i ir /e o gmunck. Za trr> miarki pienw/cgo gaiunku. d»ie miatki drugicgo gaiunku
i icdna miarkc tr/ecicgo gaiunku doilal tr/yiLricwid/ie\*icOli. / a dwic miarki
picrw %/cgo gaiunku. tr/y miarki drugicgo gaiunku i jcdna miarkc tr/ccicgo
gaiunku do\ial trryd/c«ci c/tery II Za jcdn 4 miarkc p icrn v cg o gaiunku.
dvnc miarki Jrugicgo gaiunku i irry miarki tr/ccicgo gaiunku do»ml dwad/rfvcu \rcM. Ii. lie koutow ala jedna miarka pierw i/cfo gaiunku. ilc drugic*
p i. a dc tr/ccicgo gaiunku pt/cnicy ’
/ i p i u c m y 10 pyianic lakim
ukladcm rownart:
2^ + i z * 39
2x + J if + 1 z =34
1 x *Zy + 3 z « U
®
^
W ic. «larej kticd/c. jednak. /apitano
to mac/ci. » form* lablic/.ki
3 2 1 39
Z 3 1 34
1 it 3 16
W w ny. co ir/cba /ro b*, >cby w pc*nej kratce «mkla napuan. um l,c/b*
T r/tb a do nicj d o d ai Ucab, pr/cciwn, Gdy » la b k /c c je.i pu.ic m,cj«t. .0
rnac/y.te lam je\t zero Wicmy tci. ie mo/cmy pomnofyicalc row name,obie
jcgo »uony p n e x pewim lic/bc. a opcracja la me /mieni ro/w w ania RimnieJ. gdy do rbwnania dod.iC Mroitami inne row name ukladu. ro/wit/amc
me /nucni. A tera/ /obac/, iak protlo moina /apiiac ciag opcracu prowad/qcych do ro /w n /an ia. gd\ mam> do dy*po/ycn lic/by uicmnc
Uiyliiray tu tr/ccicgo rownama do wy/erow an in culej picr>v»/ej kolumny / wyjqikicm ir/ccicgo nuc|\ca Dodalivmy po prosiu ir/ccic r6 wnanic pom nolunr p i/c/ - 2
do drugiego, a poicm inrccic pomno/onc
pr/c/ - J do p ic n w c g o
SpriSbuj icra/ domyvlii mc, «»
/robiliimy / drugim »icr»/cm
1
♦
1
1
35
1 5 1a
-7 4 0
*
A potcm. co /robilumy
/ (r/ccui kolumny
ptcrwt/cgn gaiunku k m /to »al*< / Ii miai-
miarka ir/ccitfpi gaiunku 2^ Ii
-4 -8 -39
1 S 11
1 1 3 26
a potcm / drugM kolumna:
Nortcpmr r n rtw ia k tw io i* lablx/kc wedlug pcwnyih regul, a / *y»/la laka
lal'lic/ka. kiAra ma piuie miepca. a na pr/ekamci tame icdynki
/ u-j laWh./ki »vmkaia m lpm ncU miarka
ka drugicgo gaiunku km/low ala V Ii. 4
-8 ■39
-1 ■5 -Ii
1 % 3 16
f
11
it
i
Z it) oiiainwj labhc/ki molemy iui i«lc/yiai x
1
I lf
1
1
£
<. 1
IJ7
15ft
Tak
irudna
rofW 4/ y * » n « ukladO* n /ech r 6 *man linio»>ch .• ir/ctna nwwiadomymi Niewwdome »>MCpui4 w tych r.Svwuniaoh
lylko » p i c r w c i poifd/c. \. v .:
Rzuty rownoleyle na plaszczyzng
Przyklady rzutu rownolegleyo
W .loncczny d/.ert Agaia , Olek r/ucah ccm c ro/nych p « d m .n , 6 w na
gladku ki.inc domu Ajaia mowi r/ucam ci cwA i«kie|<>i pr/edmmiu /Kiidmi. co io ia pr/cdnuot'’
I. Nupivr u h h c /k f I ro /» i 4 > uklad rown.m
« ♦ y- J • 0
2* - y * Ji m V
- jt+ v+ x - 4
C icrt buielki moie bye ro/inaity, ale me nuj/upelnicj dowolny
L N»p»v iablK/k( i ro /» i 4> uklad rrtwnaA.
2\ + \ ■■» i s - 7
* ►2 * * 2 : - 4
u ► m » f 4/ - io
.V F*>tanic »c/> * r k l o r | 4 | J j i c
f 1J P I [° 1" nM>/C,n'
/a p ita c
p r/c d « iaw ic ja k o k o m b i n a c i a w ek to rtiw
icdn>m r d * n a m e m
Spoirod kt/ialiiSw prredatawionych na ryiunku wybier/ le, ktrtre nto*a byi
cicniem butelki.
Olo kilku r 6£nych cieni drabiny
! |* J i l v f l u l r - | 4
/upi*/ lo rownanie w lormic labhc/ki i podai ndpowicd/
4 Tak ttopnmwk. io ChiAcrycy nie oir/ymali lahht/ki
1
1
1
II
4
J
2
1
1
1
17
4
V>
4
■I* laka laNic/kc
;4
to
N ap ii/ uklad rot*run. ktdry udpuwiada Ic-j u HIi«./m I ro/wia* go p r/r/
pudMa»ienic Najptrrw pod»ia» do d ru(tc|o rAwnanta
oblicWMic
/ u/pcicfo rownania ONiczyu wtrdy / dru«ter> r^wnama )
W *u» > 11 do pwr»v«gn rtmnania i obln./ <
i Spr6t>ui dot* do labk/ki innymanri napra»d< pr/e/ lhrtic*yk6w nie
ki>r/y«ia)«i, / lic/h ujenmych
UN
Wwystkie one m an wip6 ln« ccch<: cienie «c«bclk<Sw mi lej wmej dtafOtci.
Tulai / kolei (C'l kilka ro/nyth clem drucianego modelu isctcianu
WvyMkic kraw*d/ie modelu >« jednakowci dhigotei. *1* cienw krmw»d/i «4
rA>ne Jednak cienic krawvd/i rt*nalc*lyeh *4 lednakowei dhjjDici i wvwno.
Irgtc do «iebic
15*
T* obtcrwicjc ntiuuiM mvll. >eby do kIid mej /hudiw, jnk /nick t/talca ciert.
Do ukich had in nailepiej nidiic in* ciert idealny Na idealme glidk* i platkq
powier/chmc r/ucamy wn/ke promiem idcalnic r6 wnoleglych. Idculny ciert
nie mnicic. moJcmy icdnak gt> tobie wyobra/id W ten »po»6 b dochod/imy
do poiccia rrutu rOwnoleglejto no plav/c/v/nc
/jm i.m mi'mii ciert, btd/icmy mowili rent. /amiuii m<Swid icinna, na ki 6 rq
reucomy cicn b?d/iemy m<*>w»c plmucn rrti r/utowinii, pfet/c/ni m t n lub
krOiko r/ntnta.
Bcd/iemy Ukie mOwili o kirrunka rrotowinim. Jett to kierunek k aid ego
/ rux/ych idcalnych promiem Wt/y»ikie one maj* ten tim kierunek, bo u|
rOwnoiegle
B?d/icm> mo»K r/ui prwtopadb. 10I1kierunek r/utowania jest prottopadly
do pUvc/y/nv r/utowania
R/utowanic icti tunken / pr/eMnrcni do pla»/c/y/ny
Jak okretlamy If funkejc'*
I. Spoji/ nu ten podiuiny ry»unek ohok. najpierw /
gory. pod kiitcm protlym, a p.Hcm c o n / hard/ici
nuchyliiac kariky k%i^/ki C/y mo>cv odc/yiai
co lum /api-uino* Pod |ukim k,)Wm naiwygodmri
Ci ictl pair/ci /cby / 10/umieC ten napi<'
2. Na icdnym rysunku -..i pewne pi/edminiy,
T r/ch -i w>ka/aC pta»/L /y/n c r/u to u a m a I kierunek r/u to w a n ia
W tcdy o b r a / dowolncgo punktu u p r /c tir /r m w -y/nac/am y w «po*6b m u lf-
pu»cv
- prowad/imy pr/c; punki u proti* L rownolcglu do kicrunku r/utowania.
-
o h r» /rm punktu
ina ry iu n ku punkl
u
a
ie«i punkt w tp ^ ln y protlc j
L
i p U \/ c / v /n y r/u to w u m a
I
Dla ku>dego pr/cdmiolu dobier/ le figure, kloru
moJc bye icgo cicmrm.
.V Wci do rpki dwic *lomki lub dwa olowki i >praw\l/
na ticmu pochod/qcym nd dalekleiio /roilla Iwiutin, tc.
a) Prey reucie rrtwnoleglym wy/mc/onym tiemem, odanki. kiOrr m ucmem odunkow rownoItfglych. \n /awi/c rOwnolcglc. mc/nlc/mc od kir
runku puduma promiem na r/umic
b) Odcinkt kl<ire »a cirmem odilnkdw protiopadlych mopi wy/n»c/ac dowolnc kilv. w /alc/ni>Ki i*d utlawirma ndciitkd* r/ulowanyth w
•loeunkudo r/uml I kicrunku r/ulo*«nu Odcin­
ki protiopadlc nii'Kii dad cielk. klory wyiMCan
dowolny k*l od 0 do 1X0
cl Pr/y r/ucic rownolcglym wy/nnronym ik-ntrm, tiodrk ilomki prAJChod/l im 4rodck ocnui
ilomki
4 A g au, t i a p a o i Okk. midi wykonai n W cl o»i lic/bowej / /a/nuc/onym i
lic/hami 0, I, 2. Nancpme mieli /badnd cieme »woich o n i narynowai je
O to ich ryiunkt
C/y w vyitkie ry»unki m dobra-*
5> ZUc/ platielinq ir/y slomki ptostopadk do »icbie. Uk juk o»ic X , V, Z
ukladu wiptik/fdnych w pr/ciir/cm. Zamiast alomck m o p byd patyczki
lub okiwki. wykalac/ki lub kawalki druiu Sprawdi na cicniu, jak wynlqda
obra/ tr/rch o n ukladu w»piS|r/cdnych. Spr 6 buj na*/kicowad w zca/yck.
to oo wtd/i»z. uxtawiajqc w kilku roinych polo/cmuch «\v6j model tr/cch
oai X. Y, 2.
\
6. Wyobrai »obk. J* maw model d ruaany ukladu wxpblnrednych X, Y, Z
w pr/e»tr/cni N* modelu tym uw7 gkdnu>no tylko dodatmc pdloaic ora/
rrobiono u k . ic jednoilki ru wisyntkich p6 ioaiach maja jedruikowq dlugoii. Wyobrai tobie tera/, ie w modelu tym umic*/c/ono n/cician, lak ie
K*kn jego wier/chokk pokry wa »n / poc/qtkiem ukladu. a trry kraw?dzie
wvchodzqce i tego wier/chotka pokry w an
1 jednoatkami na onach. Te
rywinki pr/ed»Uwuin r/uty r6 w nokgk tego modelu ukladu w»p6 lr/*dnych. a k be/ t/c k ia n u
Tc ryaunkl pr/cd«Uwiajq r/uty rdwnolcgk %/eicunu, a k b*/ ukladu
wApAlr/ednyih
Micd/y tymi ryaunkami ukladu w»p6lre«dnych,o ryiunkami i/ekianu
m oina uatalid prtyporrqdkowame. u k aby odpowudaiqce tohtf ryaunki
byly wykonane w lym tamym r/ucic U iul to pr/yponrqdkowame
7. Jak ie r 6ine cienie i/eicianu m oiev wbie wyobra/k? Sprrtbui to narytowui. a potem opuai ilowme.
8. Te tr/y ryiunki pr/ed»lawiajq pr/citwenny uklad w*p6lr/$dnych X. Y, I
w muck proitopadlym:
a)
y ‘
1
6) z‘
<) X i
1
4
4
1
X
I
y
v —
V
*
Na kaitdym / tych ryiunk 6w brak jcdncj oti Powicd/, jak bylu uauwio*
na u o*. ktdrej me ma na ryaunku w atoiunku do kierunku r/utowama
i plawc/y/ny r/utowania.
9. Naryiuj w rructe proitopadlym do ptaa/cryroy ryiunku dwunaatoiaan
romboidalny opnwny na » 112- 116
H la sn o s ci r z u l u r o w n o le t /le g o
Rytunrk w r/ucic rownolcglym
I. R/utcm mwnolcglym odcinku mcrAwnolcglvgo do kicrunku r/.ulow*nn
jeat odcinck R/uicm r6wnolcglym odcinku rtiwnolcglcyuilo kicrunku r/uinwanin jc»l punkt.
R uunck * mnvm r/u c « , » r/ucic pcu pcktyw icvnym
II. R/.utcm r6wnolcgtym proiicj nicrOwnolcglei do kicrunku r/utowamu icut
pro»lu. R/utem r6wnolcglym proilej r 6wnolcglci do kicrunku r/ulowunia
jcni punkt.
W poTii»naniu , ryiunktrm pcr>pcktywic/nvm. ryiunck w r/tieie rAwrtoleKlym (Jii. mcn.iiur.iln> r«i/K/d/»ncy «* ohf*/
Wymicmmy in a / kilka w)«»nn»o r/uuSw rownnli-glyeh pr/ritrw ni nu P**‘
vc/y/nc WUtruitci tr p><luiit num juko M««dy ryv'wanin w r/ut*ch
kfglych prwnyih figur pr/*«tr/cnnych
1*5
III. Pro>ie rownolcgk *lc meri'fcnolcgk J o kicrunku r/utouania. n n j.
r/uly rownoktfk
et K/ui odcinka me n u w»cki/ci dlugofci m> tarn odcinek
(1 R6 wnokgle odcinki m.im row nokglr r/uly
g) R /u i odcinka m o le m ic i dJugotl «ic k v a m l cam ix k tn c l
lit
nie
1)
Jetli dow olna
H.
figure p r/rtu m rm y r6 »n o lc g k
Je»li odcinck
j)
Jetli u b
k)
Jeili t t h
cd
Dla
co on
1i i h \ \ t
h
1r
J
J
lo |T |o
r' ul
m id
lo odcmki
cJ.
-
ma. to odcm ki j
2.
polo/cnia A » potu»e-
jctl rOwnolcgly do p la t/c /y /n y r/utow am a.
ma tc Mima dhig o it
IV. R/ui fiirury p»*\kiC). IcUcei na pUvrc/y/me nlwnokgkj do plsa/czy/ny
rrutowania. m i pr7y»ia«cy do lej figury
t
to r /u t figury A i r /u i figury /I >4 pr/y»ia|iice
ab
1 c J m a)* mwitc r/u iy
1 odcmki
me >4 row nokglr do
m a u rovnne rruty, k lo rt .4
kicrunku
r/utowa-
rtiwnolcgk
k a > d e g o /e /d a h a ).c ).e l.ft | l / pop f/edm cgo /ad am a \pr..hui podnf
la k i prrykluil. k ( 6 ry twtadc/y.
ic /dnnie
me
jn i
praw d/iw e l a k i pr/y-
klad. na/yvia \ic kontrpr 7 ykladem
X
( / y w i d / i \ / na lym ry»unku gram atio«lup p rm iy 1 g r u iia iio tlu p pochyty
o podkiawic irojkatnei’’ Kiory / nich ma wick*/* ohjftcritf Ki6 ry / mch
ma wick»M powierrchmc *cuin boc/nych?
------------------------------ 7 -------- -
I.
|*rrepr»/do/evryiuiere/daniii- !i kKif«wy4jinci»<pr»wd/lwe, nawct
icXli me pcxrtfivf u/audnic dlac/cgp Sprohuj iformulowa£ Mpr/ec/c*
m a l > t h /d a A k t o t e
/ a p m/ * /ewyv*
a mc n i e p r a w d / i w t i i w o j c i f o r m u l o w a n i a
at Rrolcm printer <v prntlt.
hi R/uiem odcinka K«l ndunck luh punki
cl R/ui odcinka ma t( >ama dlufrvte co r/utnwany odcinek wtedy I iylk°
•ted} «d> odcinek k«i r6 » n o k ^ y do pUt/c/y/ny r/ulowanut
di R/ui odcinka pnxiopadlenn do ptawc/y/ny r/utowama ma IC »*rn*
dluf t * i CO r / u i i> * a n y o d c in e k w te d y 1 t y lk o w te d y , p l y jc«l t o r / u i p u d
k ^ ie m 4 5
4. Opt»/ twoimi ilowami. |ak ro/umievr /dame .rxuiowame rownokglr
/achowuic rownokglouc odctnkow"
5. Opic/ twoimi %lowami. lak ro/umie-/ /dame Mr/ulowanie rownokglr
/achowup wtpollimowoW punkldw"
167
fc. I /atadmi. ;c r/ui irodka odcinka pi/y r/ulow am u r 6 wnolcg|ym
«rodkicm r/uiu o d a n la / r o b « / o / y c i c por/udny ry tune k
^
7. Molna ro /p ain « u c \ct r/ui rownolegjy p r/rpro^ad M jq cy calq pi,
«A /\/nc n.i prwna proMq IcJqca » let plu»/c/y*nie.
11. Poditaw? pewnego w tkianu pr/vxio /a pod^iaw* otlrodupa Wtcr#(.hoick lego ovirudiip* ie»i
a| • ro d kicm ktany i/e n ia n u pr/eeiwlcg»ci do icg<> |**J « i*w \
b l jednym / w ic r/ih o lk o w
t n u i i u me n a le /« iy m do (*><' po«l»ia»y
N a rv »u | le oslfo»lupy w pewnyxh r/u laeh rownoleglyvh
12. Nary*u| kwadral i wpiuny w nicgo okrag Narvsui ircdnuf i < k « nkrriiu
I4 C/4 C4 trodki dwtxh pr/eciwlcirlych K>kow Jiicli / potncgo punktu
wewmitr/ kwudralu widac narynovkami sredmec pod kqlem pro»iym. to
punkl ten lc>y na nary«owanyiii okregu
P ro tlc . kiorc nary,»owah\my. pr/ecinaja »ic p*»d k 4 irin pri>*iym.
at Zinicrprciui wlatnofcri I - I V r/ulu rAwnoteglcgo na ptu»/c/y/n?
l\ l(«J- iM'idl.i r/utu rownoleglcgo pla«/c/y/ny nu pro\ta
bt Sprjwd/. c o / d j n u hi. dk R). ht. k) 7 /jd am u 2. odpowicdmo /interpretowanc *4 p u w d m e dlu r/uiu rownolcglcgo pla%/c/y/ny nu pronUt
8. Ntry»ui * /cv/Vvie kwadr.il i punkl me njlo>.ic\ do nicgo
Wyobra/ vibie. te kwadrat ten pr/editawia icdnq /e *cian pewnego
»/e«cunu w r/utic r*>wT\oleglym Narywwany p r/c / ciebic punkt pr/cd>ux*ia jeden / wicr/cholk»-w pr/eowleglci tcu ny icgo \/etcinnu w tym
r/ucic I /upelnii ryiunck lak, «by pr/cdituwial on culy x/ciciun w tym
r/ucK rownolcglym C/y |n i lylko icdno m /w ia/anie'’ Ilc j o t ro/wut/ah'
J. Virv\uj tr/y do*nine punkiy me legate nu linii prostcj. Wyohrui sobie,
te pr/cdujw ij j one pewne tr/y wicr/cholki pewncgo proktokqU
» r/ucic r * i 'lcglym I./upelnii ryvunck c/wariym punktcm u k . aby
pr/rriwawnil on prosiok^i «. r/ucie rownolcglym C /y jest lylko icdno
x i / H u / a n i c ’ Ik jo i rci/w^/an *
1
I » .ifj Srinlck proMcM'a to punki pr/eocvia pr/rku tn yth teii«'prollOkala
10. Nar> iU) pew icn rownolcglobok i ja k it p u n k l p o /u mm R o w n o l c g l o b o k
wicc punkl pr/ccifcia Ic/y na okregu wpiwnym w ten kwadraL Nick lore
punkiy okregu moiemy wive pr/edsiawn.1 jako punkiy pr/cciccia pewnych latwych do naryto»ama proitych
Mo>cmy to wykor/yita<: pr/y ry»ow«niu * r/ucie rownolcglym kwudutu / wpuanym w mcgo okrcgicm
i punkt mcch p r/cd M aw u m w r /u u c rtSwnoleglym o d p o w ie d m o icdnii /e
w lj
\
prw nrgo p ro tlo p a d lo K ia n u I tro d ek jedlici / p o /o »talych »Cian
lego pri'-.topu J|t»v ianu I /up cln n ry-.unek i n k , a b y p r/e d « lu w iu l on culy
p riH to p «d lo s.i*n w lym rcuoe C / y /a d a m e m a x d n o r o /w u t /a m e ’ lie
ma ro /w ia /a A ’’
IMl
.
Naryiu) leru/ dowolny kwadrui / wpiMnym okregiem. a naiiepnic naryiuj ten kwadral / okrrgiem w dwOch rOinych r/utoch r6 wiu>legtyih
160
I.V Narytui. w iakim» r/uue row aokllyin.c /* o ro * u n foremny up. laki „k
ten
Rysowanie i odczytywanir rysunko*
h rzucie ruwnoleglym
Opi»/emy k rtM ko , w jaki »po» 6 b m o / n a » > k o n a i r y iu n k i pew n y c h r /u i o w
rOwnolegfvch m e k i o r y c h bryl
We* do r;ki pewicji model v tk u n u . Moie 10 by< le*. gdy me mat/ mrnMu
t/eiewnu, pudelkn od /apalek Aby naryviwai: n ui rownoleglv lego t/e*cia<
nu na pUa/c/v/nc rytunku. obier/my naipierw uklad »\po<r/cdnych » pm tlr/cni. n*|lepiej iak. aby ihic X, V. 1 byly wy/naaone p r m wvhran* |
ciebic trry krawfd/ic t/eioanu o wipAlnym *icr/cholku
Narytuj terny w dowolny tpottSb
Itry piotic pr/echod/^tc pr/e/ jeden punkl
W \rinlku kaAlei krawcd/i /a/nac/ punkl. Srodki naicdnich kraw?d/i
p o l ^ / .>dcmk inn Co /obac/yle*” C/y /obac/ylei otaloAolan forcmny'’
14. Narysuj cnto ro tcu n forcmny « >akimt r/ucie rownolcjtlym Ka>d* kra*ed.f iegoe/woro*ci«nu na ry\unku pod/iel na tr/y rAwnc c/eki. Nuticpnic «yobra> *obtc. >e odc<lo _ rop“ lego c/woroicianu. cicctami pr/c/
ledna ir/ecu kraw*d/t Jaka bryk oir/ymano’ Sprrtbuj narynowac ic
Hr\lc Bryla la lo o»mio*cian IrdjkQlno-ucfcnokulny.
15. Z< ir.^dka kaidei loany uracunu wytlawiono pro'lopadle na /cwnatr/
■xleinck o dlugoici rtmnci polowic krawcd/.i veicianu. Oir/ymuno w len
vpov.it' v a c punk to* lc>4 cvch po/a t/eicianem K.xidy / lych punkwiw
polac/ono / na|hli/wymi c/lerema wier/cholkami x/ctoanu Powxljla
» icn tpo«>b pewtva hryla Mojsrv la Iwo naryv*wjc |ei r/ut r6wnolc(dv
Kr/cry»ui do /cv/yiu ten r/ul riSwnolettly v/cwunu i /A/nac/ na %woim
ry»unku lych •/?**. punku'iw Natiepnic polyc/ ic / wlaAciwynu wicr/cbotkami v/ctcianu C/y w id/n/ ju/ co 10 /a bryla’
0 /nae 7, kt 6 r( / nich wybralei
jako o i X. kt6 r , |ako oi Y, •
kiOra jako oi Z
Na kasdci / iycn on wy/nat 7
i/ut jednotiki.
Ody urtawlmy
p » a * /m /n <
)*/ r f m n o k g l r d o p t . w e v r n y r>M inku. rru t>
l y t h M l p r / e c i n a m » if p o d k q ic m p r o a ly m ( i d y r / u l o a i \
d/ielil k « i m i e d / v r / u l a m t
my odcmki j e d n o t l k o w e
ryiu'erny uk.«b\
0»I y I Z n a p n k ’* r . n a r / u i a c h .>«• ) i / » y h i c r w le d n a k o w e j
j f d n o t i k o n y h c d /ic o p o lo * v k rA Ivy,
dlugoVi. a n a r/ueir m i V adm'ck
r/ul t / c i c i a n u **vgUJ ■ u rin lv n u ^ 'c p u
Tera/ m o/ev wy/nac/yC ju> nu ry»unku kaidy punkt, ktorcgo w»polr/(dn<
ui ci /.nane
la k i r/ui r(mnok*|ily na/>« a ii? r/atrm ka*alrr*Mm.
Ody r/uly on X 1Vnary*u|rmy lak. /e pr/«unaut «ic pod k*lrni priwiym. r/ui
o*i / tak jak na ry*unku I dlugoici trdnoMek ** r/ucit ** he/ *kr«tiSw.
icdnuko\*o dlugir
z
Jeicli model i wort go vcseunu mini kraw?d/ie o dtugotai 2 jedno*iek, io jego
r/ut rownolegly na rytunku jcti u ki
>Vr»/cnie lakte na nat rohi r/ui iako obra/rk mitowane) hryly, bard/o
mix:no /afcf> od lego pod jakim kqicm pr/etmaj*
f/uiy om X. V. / ■ od
wgo. w ukim *kr6ccniu naryiowaliimy odcmki )ednoitkowt na lych o*mch
173
uir/ym.imy i/ui, kiory c/f*lo na/vwa \i< rjulem / lolu
ptaka luh r/utcm *oj»ko»>m.
I. Pjrvimij »t (v»rw trx) krtykvd/i* MfK'Hiwi o ^'pt'lnyni wier/choUu
v » y / n a t / a i « c*># u k l u J u * -» p « 'ti/c d n v c h S w K ' u n m a * y i B w r \ t i . h . f ,
i / lolu piaka
vwfc'ianu '
«*ir\.>»t<k N a r v \ u i i« n vrc<k<an » r /u c K 1 k * w a l c i \ k i m
/
(ych riuio* bind .rtf)
ci %* p d o t a t»kt> o h r a / r k
K io ry
/i<hjw. tak n am nuam i |fn
|'n'»li'p.ul|i'«v.i.iM » i/in*
kau alm klm
A'Kac/. jak v>>fl4t)ai4 «rry r/ui> praiopadto p*-\*nc(i> pudclk.i. |*l/ic koleino u«uw>alitmv r6 w n o k |k J*'-pUwwiymy ry\u»ku ptawc/y/iK A) \ /
l V/
1
V
2. Pew ten pronopadloician ma na»ifp*n4cc rmi> proMopadtc na pta*rc/yinv .V). X I . Y t
♦ 1
A
T*
174
r/uly
'
p r / r d t u « u i 4 «ivink pro>tirpadlov.ianu
A
t
jo r y . /
hoku
i/
’ •
pf/odu
No potUiaww gi'inci lcfOp(iHliipa>ll<>4tMiiu utlavnaray <nui\lupo lakici
sanni |HHl*U»ic, ttytoktttci /«» takio tc truTia tma » .imk-k p*»l>u»>
i ir.i dlugmc T icdm>\iki Nur> .ui r/ui) pri«u>p«ilk let h n u na pUwi/v
/.n\ X >, .V/. ) / Nary»U| r/ul kawalrnkl (t| hrvt)
A Narysui ir/y prmiopudlc r/uly na ir/y plawi/y/ny \ ). X / \7. o«irt«%tu>
pa. kltSrcpo r/ul kaualm ki podam< ponthri
4. To
k »i
prtt«iop«tl<»uan pochvly narv».>*»n\ » r/ucic kawnlmkim
7\vierdzenie Talesa
..Kutiur"
Olck pr/rc/yl«l w k»n*ce. klor< Tit* o lr^ n u l na trryruilt urod/mv u
..nowoc/mnr" ur/^d/enu r«darowc /ahc7pi«czaw «i«iki pr/ed /dei/imem
we mglc Na ckrame radaru w krotkich odilcpach c/avj pojawiaia “C iwi*c«cc punkciki. Pr/ednUwiaj, one /Mi>aj,ey mc iimek. kinry /nul.i/l .* » /»■
siCgu rudaru Widac tc> punkt pr/cd%l*wi«i4cy n»uf *la»nc poto/cme Olek
opowiada: I’r/ypuWmy. tc na*/ itatck poruua mc te tiaU prjdkoicn pi. linn
prottcj i ie /bli/a »if do na* inny italck. plynacy po linn prottcj. te> tc
prcdkoicia Na ckranic widai poiawia«cc »k » rownyvh odiltpach c/a»u
punkty. odpowiadajacc cora/ to nowym pulo/rrnom <tatk6*
Njr>»u -gi> pf.wt tvadlc r/ul) na lr/\ pbwc/y/ny X ) X / Y/.
\ V.ir\uii w r/ooo kuwtlcr'kim prwM-n vrcician o kruwcd/i 6 tedno*tck
I asto ./ pun»' . kiore m » .rodku
nu pr/cc*ftiu tic pr/ekutnych
k .jf . iemi w rx uikK.h pur.ki.’Vk Narytuj odcinki Uc/<icc irodki vaurd«*> n u n ucfcianu Co w id m /’ C/y wtd/n/ otirmiiciun'’
N»ry»uj tera/ .rt-- pr.niopudlc r/viy mnriu'wunu na pliwaryzny uklaJu
w«p. Jr/cdnych X XX, Y/.
t. W rntttc ka»*kr\kim nary»o*ano takir tchodki:
M .I . linn Pr<n,c U<M« «.
P « n k .,.
nym w n lw n y ch o d . „ p a c h C l« u , m r o w n o k * . - . « * « « « . * p M . u k d ^
V *ry»u,
'!/ ■, p r 0 t K . p 4 . f k
r/.,iy tri
» r.lv
iu
p t;r./i/y /n y
X
>.
X /. »/
p o , d / " . . 0 n a v .a p , / d . * n . c T r / r h a « * /m « n W k ur»
in
I. O br*/ na ckramc ino/e lei wygM rti Ink. >e nas/c poloienic icsi « « «
vs lym wimytn miejwu. w *rodku ckranu W sytuacji opisancj p r/c / Olka,
osnac/uioby to, te /bliiiiqcy siy ilalck jest dlu nils Htalc w lym sumym
kicrunku. Sp6jr/ na rysunek. Co o/nac/ajn punkiy /u /nnc/onc nu pierw vym . drugim i tr/ecim ryiunku ’
lr 6jk«iu Choc in/ me narywwahimy tych wysokuAd. motemy mimo to ir
subic wyobruJd Na ryxunku icdiuk wiiliui, t t tub me icst dwa ra/y mnir|s/y
od iu h'. l.cpicl by pusowalo, gdybytmy powied/irli, te irAjk^i uib |e»t dwie
tr/ccic ra/y mnicju/y od vi'/r I tcjin, jednak, nic mo/cmy hyC pcwm Wiemy
naiomiuit, w jaki *po*6 b mo/nu by narysowai! konftrukcyimc trojkut, ki 6ry
bylby * ra/y mmejs/y N.iipicrw /mnici*/ylibytmy ni b w skali I J. a potem
otr/ym anc /mnicja/enic powifks/ylibykmy w skali 2 I
Podohmc, gdybytmy chcicli naryxowad koniirukcyjme iroikqt * ru/y mmej-
/dcr/emc'*
Twierdzenie Talcsa
«/y od od tri'ijknla xtib‘ Naipicrw n.irysowalibyimy /mnici'/enic w skali 1 5,
a polcm powicks/ylibyimy je w skali 3 1
W nyluaqi pr/edstawionej na rysunku me wicmy, w jakiej skali tr/eha zmmci»/yi ir 6jki(t s<i h‘. tcby oir/yimui tr 6 |k«t wb. Rysunck, bowiem. mu ogrumc/ona dokladnok.
Odcinck vi mum hyi icdnak lakim namym /mnicjs/cmcm odcinka sa juk
odcinck \b odcinka xb .
Chcielibysmy tern/ wypowicd/icd meco dokladnicj. co to /nac/y, te.
/mmc)s/cme
Spvir/ na rytunek
odcinku xu
o d c in k a ^
w stosunku do odcinku w
jc«t takic Mmo jak
/mmci»/eme
w»to«unkudoodcinka *6'.
Jeiel. icsi taki odcinck <m, kt<Sry m.etei si? pewna calkowiu ilok ra/y
w odcinku
.h i
i riwnic* pewn* Cttlkowh, ilott ra/y w odcinku w .
a
Cidy mamy dwic proate r6 wnoleglc pr/eonaiacc ramiona lu|in, lak |ak opisuK rytunck. wiedy irojkqi mf>je»i /mmcn/emem w pewncj skali irAjkniu
Mo>emy icdnak mie£ klupoi / wy/n*c/«niem. w takicj ska.li |cs( lo /inniej»/cme Gdyhy iroika' utb hyl np dwa ra/y mntci»/y, wOwc/ai sk.iln bylaby 1:2
i moglihyimy powied/tei, te odcinck m jc»i dwa ru/y krrttwy od odcinku
ui . >Klcinck \b jexi dwa rary k ro u/y od th'. ah dwa ra/y krrtli/y od tib
To HRio moiemv pnw ied stt np o w yiokokiach Wy»oko*ci minei*/fg‘>
trOjkqU sa wiedy dwa ra/y kf 6 l«/c od odpowtednich wytokoAci wl<k»/cg*>
I7H
10 gdy twrytujcmy r/ui rownokgjy odcmka .*m nu p r o \u .*/> * kierunkt
/fcodnym / kierunkicm w w n«uonym Pr,e / proMe r6 wnolegJe ^b \ u f,
Gdy no protiei w pr/y imiemy /a lednmikg dlugo*ci dlugosc ndcinkj sm, a no
pro\iv i b /a icdnmtk? dlugoici pr/yjmiemy d lu g o * odcinka in, 10 miar»
odcinka m K't » takim u im m '.(oiunkudo miary ui .jak mmra.vf> domiary
th Tf /akino *: wyraia naMcpunca riwnoW utamkbw.
•i *
m ~*
Zaicm i l w i i t n eew k b e mifd/y o4ciikim i wyra/ilismy w ten tpos 6 b, ic
/a pi>ili*my ii pcwne dwi abm ki
row nr.
Jcieli /achod/i r<>wno« ^ktl
^ . to u n t o mAwimy, ic para odcinkow \,t” ^w” l
icv prapMrjooalM io pary odcinkow >/> i »/»’’. co /apisuicmy rownic/
w luutcpuwcc) pottact
vi w • I b t b
Dla downlnych odcinkow w i vi na o§t>l nie da
*m kiory mietci
/n a le /i lakiego odcinka
culkowitj) ilo* ra/y w jednym i w drugim odcinku
Okirvrk ui wy/nac/ymy (era/ jako hok kwadratu. a odcinck
m
' iako pr/e-
kain* icgo kwadratu W tcj tyiuacii nie ma takicgo odcinka
kt6 ry
mictcilhy >< prwna talkowiiy ln_/b* ra/y * odcinku *.1 i pcwn* calkowiH
Liczha 4^/2 je»t mcw-ymicm*.
Jednak i w tym pr/ypudku moiemy powied/jnc, co to /nac/y. ie uotuMk
odcinka w do u ictt taki am . jak odanka \b do \b
Sloaunki mi?d/y odciakaml moicmy po proviu wyraiai pr/e/ etfpawMafe
oknrtkl. gd/ic w hc/niku i mianowniku wyttcpum odpowiednie 4lugo*ci
o4clnk 6*. Na pr/yklad ttotunkowi odanka ui do ui odpowiada ulamrk
dtugoW u>
dtugohl m
W takim ujcciu itoiunck prrck^inei kwadratu do lego noku wyraia ln.'/ha
ntec/ywitti J i . Moiemy wtedy powicd/aei ie hok kwadraiu i«t miucjvreniem jego pr/ekamci w ikali I . v 2
Sforniutu|rrny lera/ nail^punca /a«ade. /nan« pod na/w* iwlrrteaia Talna.
Jcirll ramiona kata pr/ctniemy prottymi rdwnolcglymi, to odonki wyrntcrone pr/e/ ic pronic r^wnolegle na icdnym / ramion ki|U s prupou lon.duc
do odcinkow na drugim ramleniu k^ia
Jeieli pro»te nh i a b'm rownolrgJe. Ui «i w' - v/>
I ' r a w d / i w c |««t t e i w yn fltanir w 4 r q g q « tr o a r
m - 1 b %b. to prone a t I ab m rownolegle
J c i c l i o d c i n k i w y / n a c / t i n e p r / e / d w ie p ro »ic n a j e tln y m r a m i e n m k « ta M
Jcteli «.i
liK/h« ra/y w odcinku w Gdy okretlimy dlugutt boku kwudrutu pewna
proporcjonalne do odctnkdw wy/naczonych pr/e/ ie pr>«ic na drugim ramie-
l*/h*. np 4 wrdy dlii|<ik jego pr/ck<tnci (tut r<Swna 4 v 2 L.ic/ha 4 N 2 i"1"
dajc M4 pr/ediiawii % potlaci ulnmka o tic/mku i mmnownlku ciilkowityn1
niu k«u.
I HO
t o t c p r iH te «a rO w n o le tf c
D/i?ki iwicrd/einu Takxu mo/cm\ itormulowuc
wtumoW r/utu
rownokglcgowoh i. 16' - IM>i
OtAl, gdy pr/y r/ucie rAwnolcglym proilu V icsl rnilcm proilej /,. wtcdy lc
proilc Ie/* w icdnej plj\/c/y>me i uj albo rAwnolegle, albo majn punkl
pr/coccia. kiAry lc>y na i7 uini Oto ui wla»noW
V. Jc/rli na proxtej W / j |cdno«tkc nu.irv pr/yj*i odcinek, kiory j c i r/uicm
odcinka jcdnoxtkowcgo na proitci U in dlugoda oddnkAw nu prostci
tak k tame jak dlugow.i r/uiou. lych odunkow nu proitci M.
1. ProsUikut nfriJ /vk’nk'/oiu) pieciokrolnic i oir/ym ano pro»ioki*i ii'hi ,/■
N a p iv proporcK. ktAra wymta to. U ttoiunek
ah
do a
h'
ur do j <■ Oblic/. jaktci lic/hie jon rowny len stovunek
2. K w a d ra t iit*d p o w ic k is o n o i o ir /y m a n o kw a d ra t a'b i it
a h
d o pi7ck<4inej kw u d ratu
k w a d ra tu
jIh J
diu g o te boku
do
jego
boku
iilxd
SJ>.
jest (nki sum iuk
Pnyktod ' Pod/idW konitrukcyjnie duny odcinek no dwa mmciur ndcinki,
ktArych *io*unek wytuiu
lie/bit ' ‘ .
Rot*iq:anle Aby ro/wii|/u£ to /udunie, mummy naipierw /naleK dwa ud/j
clnki. ktArych stoiunek wyri/.ilhy »ic lic/bn 1 Hudujemy w lym «lu
/*
kwudrut o boku rAwnym jcdnostcc dlugoki. Wo ha. iwlcrd/enia Pitagoraut.
icgo pr/eki|tnu ma wtedy dlugoW ^ fl. Nantcpnie buduiemy trAjk^t proitok|tn y. ktArcgo pr/ypro<iiok4tne mujii odpowiedmo dlugott rown^ jednej
jedno«lce i dwAm icdnontkom. Wtcdy pr/eciwprMtok^tna tego trAjk*ia ma
dlugote ^/S:
StOMinck
je *l la k i %*m jak tto iu n e k
boku
pr/ckutnci
N a p m / ix lp o w ic d m ij prop o rc jc
i oblic/
a h
Z u s t o s o w a n i a t w i e r d z e n i a T a le sa
Rytujemy tera/. dowolny km ontry
PrzvkluJ I. Pod/icli£ komirukcyimc odcmck na f 6 wnc c/ffci.
A orniarjm r Pr/yputfmy, i t chcemy pod/telii duny odcinek na 5 rAwnych
c/?*ci Ryxujcmy na pJavc/y/nie pewien kqt Na icdnym / mmiori kijiu
odkladamy od wierzcholka dany odcinek. klAry chcemy pod/ielic na 5 czcHci.
Na drugim ramicniu k^ta odkladumy od wifr/chotkA kata pcwicn dowolny
odcinek putiokroinie
Nantfpnie koniecpmtego / kolci odcinka lijc/ymy odcmkiem
linn prottci / koikem odcinka,
kiAry chcemy pod/icliC nu 5
rAwnych c/ctei
Rytuiemy tera/ rAwnolegle do
tej linn pro»l«j p r/c/ punkty w
rAwnych odncpach nu rumicmu k«iu Proate tr d/ieln du­
ny odcinek na pi<£ rAwnych
t/cfci.
IH2
i na jednym /. rum.on .ego k ,U odklndamy cyrklem dany o d d « k . <* a n a
drugim odkladamy najpierw oddnek dlugofci J l , a poiem
cin*
nic p r/e/ punkl •- prowad/imy p
, praeacd a lej pro»Wj * odcln, V wtaanoici rrutAw wnio»ku|emy. H punkl * p tm a ^ m >I
klcm dy d/iell ten oddnek
w
»tojunku ^
PrtykLJ J. Pr/y pommjmy naipierw. >c dwic figury na/ywajq si? podobnc.
ir/di tcdnj jcni /mmejx/cnicni luh powt?kvcmcm w pownei skah druyuci
Pwyimujeniy ic>.ie \kul? moi/ia wyra/«<l dowolna lic/by rwcrywUuj
korayvtajat / twierd/enta Falrsj slorimdujcniy n.ui?puiqct| ccch? podobicn.
»twa irrtjkqtow
JcJelidwt iroik^ty m an katy odpowiedmo rownc. lo tnSjkqiy tc iq podobnc
Do'*mi Nary<ujcmy icilcn / lych irojkauSw. np. ab? i pr/edlu>ymy jego boki
o wupi'lnytn wicr/cholku a
W kaidym pr/ypadku kut u<t>je<t rowny katowia cb'.u - a 1punkiy u .i.r
leJUl na jednej proitei
Mamy wi?c Uikq tyluucj?. jak w /aloJcmu twierd/«iua Talcia
Kamionu pewnego kqta pr/cci?ic /o iu ly prottymi r6 wnolcglymi be 1 h 1
X twierd/ema Tale\u, mofemy wnioskowac. ie
Olt
ill
J*f»
4l\
Jcdcn / tr 6jkqt 6 w abc 1a'b'c’jc»t /mnicjurcmem drugiepo W mytl okreilcma
podobicrtstwa tr 6jkqt 6w, tr6jk;|ty tc 14 podobnc Ich odpowicdmc boki >a
proporcjonalnc.
Zadanir. Pewicn okrug praeci?to proitymi pr/cchod/jjcymi prae/ punkt r
lctacy poza okr?gicm, tak jak na ryiunku:
Drufi i tych tr<Sjkati)», na/wiemy go a’b c ', jett taki, ic:
k«t pr/y vucrrchotku j r$l rowny kqtowi prry wicrachoiku a’.
kai pnrv wier/choiku b iwt rowny katowi pray wicrachoiku b',
k«i prry wier/cholku c jcit r6 wny katowi prry wieracholku c'.
Tr^.ikat j b e nary»uiemy tak, aby wier/chotek a' pokrywal si? 7 wier/chdkiem a ora/ boki ab 1a b byly /awarte w jednej proitej, a boki tic t a c IcJkaiy
na drupej prottcj
Kyiuock pnsdttawia trry motliwc praypadki.
Udowodnii, ie a p a 'p - bp b p.
Rozv/lqzonlt. Tr 6jkaty a bp 1b ap 14 podobnc, maja bowiem jeden k^t w»p6 lny pray wieracholku p, natomiam knt ba a jest r 6wny k4 >owi ub b juko kni
wpitany w ok rag oparty na tym um ym luku
Suma kql6 w w tr»S|k4Cie wyno»i 180’, /atcm po/oitale kqty mu»/a bye
rtw ntat rrtwne. a wi?i
trAjkqt a 'bpjtti podohny do trtiikaia bap
Odpowiedntt boki ivch mSikqtow 14 wigc proporcjonulnc,
kr
. *r lub /*pi*uinc inac/e) u p - b p
nf
bp o p
lloc/yn wvrx/i'M \krajnych w proporcji ic»i rdwny iloc/ynowi wvra/A*
irodkowych. /atcm
up a p » bp b p.
K. lj/uvudni|. >c w dowolnym trO|kqcte iHionck l ^ a ^ y iiixlki |rpi> dwtOi
bokow jc»t r 6 wnolc|tly do ir/ecic|i> boku 1 i<swnv co U>> JIujuhi ivfo
polowic
W»ka/owku. Zr 6 h rytunck /.«iio»u| (wieut/cmc odwtoinc do i»ierd/cma Talcxu.
9. W tr6jkqcic abc.
1. Nury>ui odcinck 1 pod/iel jro konitrukcyjmc na r»icm r6 wnych c/f%ci
2. N«ry%ui d u a 16/nci dlugoici odcinki. Nu jednym / mch /a /n u c / pcwicn
punkt roiny od lego kortcdw Punki ten d/icli odcmck w pewnym «to%unku Pod/iel koMinikcyimc po/o»taly odcinck w takim sumym «to»unku
3l M a v dw aod cin kio dlugoiciach <j i /» O piw .jak kon>itrukcyjnicpod/iclu.
odcinck o dluyoki a w no iunku “
irodck boku ac, c/yli punkt />. polqc/ono odcinkicm / wier/cholkicm h,
4. Naryiui dowolny odcinek Pod/iel go w stosunku:
• ) I J.
h( 2 5.
c) 1 : ^ 1
d)
2 :y /i.
a irodck boku 6r . punkt q, polqc/ono odcinkicm / wicr/cholkirm «
e)
y /liji,
5. W tr 6jkqcieu#>e narywwuno punki p. kldry je»tirodkicm boku lie Pr/c/
pun*t p poprowad/ono pro»t* L rAwnolcytq do boku ah. U/awdmj.
kor/yiluiqc / twicrd/emu Talc**. *e proma Ld/icli bok ar nu polowy.
4. W *yiuacii juk nu ry^unku oblicr w xiopnuich miary ro/w artoici kqtOw
o/nac/oovch liierami
Punkt * jen nu pr/ccicciu aq 1Up
R o/pjtnjjqc trOjkqty podobnc pq\ 1ub\ u/aiudmj. tc odcinck ui jeii dwi
ra/y dlu/w y nii odcinck
, ora/ Je odcinek />« jc«i dwu ru/v dlu>v/> m/
odcinck pi.
10. Narynuj konntrukcyimc dowolny trOjkqt Pod/iel komtrukcyimc ten
trAjk^t na c/tery mnicjve pr/yvajqee tr6 |kqty. / ktorych ka/dy ie>»i
podobny do du>ego trrtjkqta.
11. Naryiuj, najleplej na grubym papicr/e. trAjkqt. Srodek ka/dego boku
tcfo irbjkqta polqc/ Itmq proitq / pr/eciwlr(dym wicrcchoikirin Jeleli
/robilei ryiunek •tarnnme. to te lime pro*te pr/ccinum »ie w lednym
punkcie. .1 NnMfpnic wytmi nary»owany tnS|kqt 1 p»idcpi/yi no i.ikun*
xzptC74iiitym pr/cdmiotem np. kuiWcm olowka lub t/pilki, w punkcie <
a) C /y poirafiw to tak /r»bu.‘, *eby tn'i|kqt me pr/echvlil »i« nu /jdnq
■trone 1 po/o»tul w r(Swnowad/e-' C/y </luc/ka tu udu ci .ie, fdy p»>dcpr/e*/ wyctfty lr 6jkqt w innym punkcie? Ten punkt >. mi/ywu ■.!? »n>«l
kiem ctc^koiei tr^jkqtu
b) Odcinki. kt 6 re Iqc/q irodki bokrtw / prreciwlejlymi %ier/ch.>lkumi
na/ywaiq »* irodkowymi trOjkqU. SprAbuj u/u«idni< Ie iro4kowe trojkqta pr/ccmajq tie w icdnym punkcie
IH6
Figury obrotowe
W u le c .
s to z e k ,
To \4 rwunki
» a lc a
k u la
obrotowego. «lo/lu obroiowcgo i k u li
Walcc ma podiUw* g6 rn«. podiuw ' dolna. ktort M kotami u w ^
ktfrc M odcmkumi rt.wnoleglym, do on .ymeir.i uaJca. Uc/«cym. ><kr*g kola
pod.tawy gOrncj . dolncj Tworker okretla,, wvv>ko* n lc a obroto***,
Sio/ck obrotowy mu w.er/cbolck 1 pod.ta*c ktdra ,cti kokm Twon ^ t
rtoika
odcmkami fccz«cyrai wier/chtUck / okrtgiem podiiawy itolka
Wyaokott »lo>ka obroiowego jeil odcmk.cm I'crjcym w.er/cholek Hotka /c
irodkicm jego pod'.tuwy
P o w ic rz th n u u i» o r /o n a p r /c / t w o r « i« »a lc * lub tfa ik a iu /y » a * * powlcrrchni* bu c /n * lych bryl
I. Kolo K (f.r)o irod ku w punkcicp - (I, I.On promicmur - I pr/eiunnro i
10 w p r /m tr /c n i rownolcglc do o«i
I
o
urkii>r
0
O piv/, iak« bryk
I4 |
M o iiu tobtc « y o b ra/ii te bryty ic powitan p n c / obracame wok6) pcwnci
I*rMie.i pcwnych figur plank ich Te prcnie n a s v w a m y w t e d y M i a m i aymrtrll
bryly obroto*«j
Sio/ck i make n » n po icdncj ou jymcini. natomuxt kaida protta pr/cchnd/*ca pr/c/ irodck kuli /oil ici 0114 >\mctru
w pr/cur/em /Ji/nac/ylo kolo K (p. r| 1icgo ohra/ po pocaumcitu
Z. Narywj pr/ckroi walca plat/c/v/ng pr/ccbixl/aca p m / trodck pod»tawy gArncj 14rodck podiiawy dolncj Jak.) Cigunj otr/ymalct?
.V Naryiuj pr/ckr 6 | ilo/ka obroiowego pl ii/L/v/an pr/cchod/j|c;| pr/c/
vucr/cholck ito/ka 1pr/c/ irodck podntawy
4, Opt*/, c/ym jc%«
wspiMna » v/y.lkich lwor/*cych »lotka
S I'romicn podstawy pewnegouotka nu dlugoic 4 cm. jcgo twor/^cr mam
dlugoik J cm Jaki) dlugok mu wytokok Mo/ku’
K 1‘odtluwy wulca maja promicn 0 dlugotci 4 cm. a odcinck l»c/JK) okrjg
podiiawy g6 mc) / nkrcgicm podtttwy dolncj 1 pr/echod/acy ptre/ o*
Hymctrn wulca, ma dlugoac 10 cm. Oblic/ wy\okok walca
7. Zm.|d> pole powicr/chm boc/ncj i/klanki. lub mncgo u c ry n u w k»/lalcic walca, micr/^c podtuwy 1wy»oko*C
K. /vtiiamv walci / proatok^U o bokacb IJ cm I 8 cm Iaka iicdnicc maia
ki*>ki, kl^rc nulc/y wyciav- n# pod*iawy1
Ku,adrui o boku a obruca lie
a) dookola boku.
bl doo kola pro»ici Iac7acci 4rodki b o k o * pr/eo»lcglych.
Jakir bryly powMana * i>ch pnypadkach’ O b l« / «h polr po^icr/chn.
ia
PiSlkolc o promicniu H cm /» in i« io iw o m c powwr/chmc boc/na n o /k a
O b lic / proniicrt pod«lawy lego «IO#ka 1 wy»okok
I I . C f f i i wtpOlna dowolnci p la t/t/y /..y 1 kul. jcnl albo /biorem pu.iym
albo (cdnopunklowym . albo jc tl kolrm N ary.u, «d p o *.cd ru . rv,unk^
I I k u l f pr,ev.cio p » a ./c /y /n , oddalona o p ^ o * t dlug»K.
*r<Hlka kuh O b K / tH»k p»>wifr/ehnl prrckro.u x lc li prnnm-rt kuli ma
10 cm
IIN
1.1 Romh /loiony / dwiVli IfdjkaKSw rownoboc/nych ohracamy w /j|U/
dhih/C) pr/rkqinci Opiw. taka oir/ymarny hrylc i /iui|d*jc| poiwicr/ ch.
boc/n;|. ic/rli N'k romhu r t » n y K 'l t* cm
W\ka/o»k.i Pole powienrchnt hnc/nci ilo ik j wyrnto »i* w/orcm 1> - nrt
gd/ic r dlugoiC promicnia podttawy. / - dlugote (wor/^ccj
14. / waka o promiemu pod'lawy r i wy\oko*ci r u*uiiifto odwriScony ..j,,
gory oogami" ito>ck o wyiokolci r i promiemu podilawy r. Po»m |,,
hr>Ic mo>emy n.i/wa»i ..walcem N / tlo/k.i" Opi»/, c/ym j c m pr/ckr 6j
walca he/ »to>ka"
a) piuK /yvna pod%tawy dolnci waka.
hi ptat/ivy/na pod\tawy giirnej w.ilca,
cl pla>/»./y/nj rAwnolegle do p«>d*taw pr/eciruj^ci| walcc w pofowic
icgo w yiokota
15. O l i c / pole powier/ihni pr/ckroj«>w / popr/edmego /udunm
Sp6 |r/ tera/. jak wygUdaja ry»uuki w r/ueie rti»n..lcglym kuli
w r/ucte kuwiilcnkim.
R:uty rownolegle kola, kuli, walca, stozka
To ie»( ryxunek kola leAiceno w plavc/y/m c X Y o ilrodku w poc/4 lku
ukladu u»p 6)r/cUnyth. ry\unek /o»lai wykonany w rrucic kuwalenkim.
i w rrucic / J o tu ptaka".
t adnlei«/y ryxunek kuli d«K chyha r/ut kawalcnki C/y )«ie» podohnrgo
fdania?
191
To
>4
Obliczanie ohj^iotci
obra/y »«ka i itoika w r/ucic k.i* jlcr«kim
O b „lo * walca ublic/a « * haril/o proato p«)c podtiawy ra/>
Vm m nr* h
»v%.<k.-v«.
P tM p o m ir u to w /« f na oblic/anic o h tc 'o k i prooopadlofcumu
W /o r n.i • b jf t e t t M o /k a m l podobnv do » /o iu na o b * i o * o *U .*dupa.jfd n*
trrcci.i wy«oko*ci ra/v pole p o d tu w v
V, m
W
'
H
obu pr/>p.idk»ch
n r1
r m<
promicmem poduawv
h w y»okoki«
N.» t>m t>»unku n a m o w a lu m y obok .lehic »<ilec o
..'k.'«ci rownei pin
ItlW m owi p o d tU w y a obok m egotlo/jrk, o Ukiei »amei pm loaw K
\
• tw ik t f i
ci rowme> row net prom ieniowi podxt.iwy
Ob)cio»C ic g o tio /k a w ynoti iedn* ir/c ii.i Irg o .c o n h m o i* » a k * Sprohuimy
i o n / u /jv id m c .
>(
o b iclo k polkuli o tuLim n m y m promiemu mk pod«ta««
tcgo w jlc ii i lego i t o H a w ynotid w a ra/y l>le. coobjcinM lego tio /k a . i d « w
Ir/ccic lego, co ohiciofc walca
(n ly b y walec h>l w ykom in) / icdnorodncgn m ulcrulu, laktrpn |.ik pol.twk i
kuli i ilo /e k togdyb> walec wa>yl »kg. w ow c/a*p»k>»ka kuli w a/vtaby 2 kg.
a tlo /e k I kg
1. N«ry»U) * /c*/ycw m il rnwnolffly ilo*kn w rrucic , j lotu piuka”
2. N»ry»uj u i c * alcj w r/ucic kjwalrrdiim.o promiemu podtUwy rownym
wytokoia walca
.V Nary»uj w rcucie kawalenkim «o*ek o promiemu poditawv rdwnym
»yu>ko*CJ tlo/ka Jaka m l dlugixi lwor/ 4cr) ili>/ka’
l«3
I
/ a k J ii o * (j /o d jla odkryta pi' r.i/ pierwvy pr/c/ na|wyhitnien/cgo m.iicmalyka itarolytno»o ArchimeJesu Archimcdr. / Syraku/ /yl w lataeh 2X7
do 212 pr/cd n.e. li/ju*dnicme tci/alc>noski micJ/y ohictoieia walca. polAwki kuh i tloika.ktorcci (u p»>damy. jeM bard/o podohnc do lego. kl 6 rcopi»a|
Archimcdo.
JcJeli utlawin/ row no talv? kart. 10 pri>»iopadlosctan, kiory tc karty wypelnta14 ma taka ‘ama o h n to ii.jak prottopadloician pochyly. ktory otrrymamy,
gdy karty rownomiermc pr/etumcmy w hok
Pr/etnii tera/ ohic te hryly, w myilt. pla./c/y/n.j rownoleglq do poduawy
w odleglofci v i>d poditawy walca / wyilohionyfn *to/kiem i tak vimo w ot.legloitl x od podxtawy polAwki kull. Walec be/ «to>kii daie w pr/ckro|u
pterwicn. polAwka kuh daje w pr/ckioju na lei vamei wy*iko*ei kolo Pok
powicr/chm tego piericiema i tego kola. «i| mi ka/dei wyiokotki takie -imc
IV a v a d n it to mo>emy naitcpuj^co
Pbvrc/y/ny rOwnolcgk do podstaw ohu yramaitoilupOw pr/ctinajn ohj
gr*m*»to»h»py w ten »po»6 b. >c gdybyimy u»bie je wyobr*/jli pokrajane tymi
piun/c/y7.na/ni w planterki. w o » ta « pola powicr/thm odpowi.idumcych sobic pl*»terk6 w, otr/ymanych tym vamym joccifm ". bylyby rAwne
Wyobra/ *obie tera/ walec ohrotowy. ktorego promicn podttawy ma tak.i
vanui dlufovf. jak wytoko* wale* i tloiek o wyvAowi rownej promiemowi
podtuwy. takiej «amei jak p>>dit*w» walca. ObrOcmy tera/ ttojek ..do gAry
nogam r i wlo/my go do w * k a Jego w icr/chotck /nnidujc uc tera/ w stodku
pod ttaw y walot. Wyobra/ »ohie tera/. i e / w ale* uxuwamy tc agitf. ktora
/ajmuie \tojck Otr/ymamy tera/ w ten «po\ob d/iwriq hryk, walec t wyilobionym \tn> kie m . .walec he/ i t o l k a " Cidyby do tego wytloblcnia naLic
wody /miefciluhy
dokladme t>le. co w ..le jk u " /rohionym /e ttoiku
Wyobraz Mibic ter*/, tc u»taw ik< walec /. wyrtohtoriym moikicm obok
potowki kull o lakim vamym prom icm u. )*k ten walec I ilo le k
Gdyhyimy. w ten *po»6 b kraiah na pla-.tcrkt te hryly i ic plj»terki kladh na
wage:
.
4 B~ i i t&f rrl±T 7T rxx *r
#
j
i 0
L
zs
wuga bvlaby dla kaidcj pary, otr/yinanei icdnym OQCiem. w rAwnowid/e
c._a
Siqd moina nr/vnuv/t/.W.
pr/vpuv/<-/.«.'. >c
tc powinny by>. w r6 wnowad/e.
hryly.
„Wakc be/ M«tta" waly dwic tr/eeir waka. /atem rowmef dwie tr/rcie
walca waly polAwk* kwh Calf kula wa/ylaby /atem dw* ta/y tyle. * tego co
wain
1*9
\V/Or nu objftott kuli ie\t n*»npuwcy
B. Wiudro ma w pr/yblitemu k\/ialt 4o?leno tlo/k i <>wymuracb uku.lv .ik
nu rytunku
1. Sar>\ui ir>ik*i prosiok^iny Promicmcm riiwnym pr/cciwproMoki|tnej
narv.ui koiu wyrrui / (ego kola kolo o promiemu rnwnym ictlnci / pr/yprmiok^inych Oblic/ pole po/o»ulrj powierzchm. Narysuj icra/ kolo
o promicnm r< v*nym po/o»ule) pr/ypro«ok«lnei tr 6 |k;|ia Oblic/ pole
powicr/clim lefo kola C/y pole oir/vm.wK-jto picrkienu i pole kola '.q
rownt.c/y ro/ne-'
Pi.wior/ ry^unel i oblic/ema dla mncpo trfyk^ lu proxiokiiincj'o
2. O blicv o b |? io *i pilki o ircdnicy
cm. p r/y im i|. Jte ..pi' jc \i r6w nc ir / y
A. Oblic/ objeioK kulntci banki mydlanej, o <rcdnicy 3 cm Pr/yjmij n * 3
4. Oblic/ * pr/ybliA-niu obifioic nac/ci plancly Podui ot/acowamc /d o lu
(pr/yimi) t * 3) i ouacowame / (ti>r> ipf/yimi| n * 41
5. O h lic r o b j f li " * K m c a c . i P r/y jm i| it i
Torus
Powicr/chmu tcj bryly rw/ywu iif mru»cm.
\
fc. Zalfti * pr/>b|,/cniu. /e iwoi* n)n»j .e\i kuU Znncr/ w pr/ybli/emu
t red nice. oblic/ piomien t objcloi* lei bryly Pr/y)mi| n * 3
7. /
He Iitr6w wody, w pr/yblitemu. /mieici i* w tym wiadr/c Prry imij * % J
iriri. p..(kola .kleion.. sio/ek Oblicy |cyo o b ^ io * : P r / y im i | /t * .V
Pow\i»|c ona / obrotu kola. wnkAI protici lakiei. >e czc«c wxprtlna ici prociei
i kola jc»l /hiorem puiiym
IO'1
m
Pole inrtM wryraJa mc w/orem S ■ J itJR r. «
bryly, ktora jeit w n^.
tr/cm lo n h a I'm
/n u n c \ j natlcpuj^cc rtguly po/walajncc ohlic/ut pola powicr/chm i ohjj
iom pew inch hry I obrolowych. Zonialy onc*fonmitowane ju / w siaroJytnoA.
ci (w l \ vueku n e | pr/c/ P a p p u s / Ak-kwindm
I. JcJcli bryla obroiowa /.ikmilona jeM p r/e / figure pliuk* wok<SI o»i mc
prrcciriaiacvi tej li>>ury. to ohtttoAc U‘j bryly |C'( rownn polu powier/chm
ohracanci llgury pomnotonej p r/e/ dlugott dro*i. jukq wok 6 l om /u t« c/j
trodck cicikoici icj figury.
II. JeZeli powicr/chnu obrotowa /akrcilona jest p r/e / luk. klory me pr/ccina
o«i obrotu. to pole lej pow w m hm m ojna obhc/vt mnoiitc dlugov! obracanego luku p r/e/ drogc. jak 4 /aiacM irodck ci^ko!«;i logo luku p r/y obrocte
wok 6l oiu
1. Pr/yimumc, Jc irodck ciyJkosci kola jeit w srodku kola i w tym sumyin
punkcic /nanluic 11c *rodck ci^ikoici okregu. xprawdJ, c/y podanc w/ory
na obi^toik 1pole powicr/ehm toru.va hh /godne / podanynii regulanu.
2. Pr/>imuinc. Je irodek acJkoici pro<toki)ta jc*t na pr/ccicciu si? jcgo
pr/ck*tnych. <prjwdi, c/y pr/yiciy W7*>r na obj^loic walca jest /gi.dny
7 re gul* Pappusa.
Zdarzenia losowe
P r z y r z q d y d o l o s o w a n ia
Mitru/ i d lub
\nko<,\ \ kn):rk
l.O »ow ,inie m onclii to jvdcn / nu|hard/iej popularnych ipouilWtw loxrmutuu
S<| dwa inoj.liwe wyniki
0. luh r r v k a .
o r /e l. w »kr6cie
Z a p is /e m y Io krtuko:
w tkrAcie
R
- |(J, K |,
W
ZWAr wynikow \0. R \ na/ywany pr/<•/ na. It. ma dwa clementy 0 1 R
Mo^na wycujti / karionu kri|/ck i nupuai na mm
/ jednej Mrony 0 . / drugiei I
l.o s u jcm y kri)Jkiem. tak jak moncLi Tera/ H '- (0, 1 )
K osika m ficirn n u
K o i ik a do gry dine i/e<*;ioelementowy /h io r w ynikow
IV - [1 .2 .3 ,4 ,3 .6 ).
M o J n a oklcic papicrcm liciunki /w yklei k o itk i 1naitfpriie w d o w o ln y »p<.)»<<>b
n aryn ow at na k ia n k a c h oc/.ka.
J. Obi i c j ob^iosc I pole powier/chm dctki rowcrowej. Pr/yjmij. ic powterxchma d?iki jest w pr/yhliJeniu loruncm. 0 pr/yhliionych wymiarach
R » 33 cm. r - 1.5 cm Pr7Yimij rr * J
::
4. Zaproponui wymiary nac/yma w kvtalcic waloi, ktore mu mice ohjftoilc
Iitra
Jak* wyvikofcc powinno mioc nacrymc w kx/tnlcic itoJku o takicj wimcj
podiUtwie. ab> mialo objetok jednego litre?
O
H
Z
V
f
T u f y w
0 1 1 1 1 9 .
}
ir * { o ,i,2 }
0 0 1 1 t Z
W
f a i t }
K o s tk i. kltSrych Matki <ij lu naryiow anc o p ii/c m y k ro ik o veilciocyfrow ym i
n a p itan u . ink na ry«unku
Stopt r
Hnrd/odobrym mcchanirmem lotowym je«i /egarek /entoperem /cyfrowym
odc/ytem c/a»u Pu*/c/jmy %iopcr 1 po krotktej chwili /atr/ymuicmy go
Ontalmu cyfra, w>ka/uj«ca d/ievqte cr<*ci >ckundy |e<t /wykle bwrd/11 dobrym mecham/mrm losowym, gd/ie knJdacyfra od /era dod/wneciu ma. do
na»/ych celAw. prnwic idealmr lednakowe v/;in»e pouiwirnia *i<
If - {0 . 1 ,1,3.4. y 6.1. A.V|
|VH
199
R u l r l k t i |lu b m l v n e k )
T a r o ? ruleiki m o /n a pod/icllt' m t|io/m aicie| na
c/te rv , ovirm
c /q ic i,
dwic ri'iwnc
cv$*cl. na
ir/y,
a lb o je t/c r c m ac/c .1 1-oiujemy odpow iednio p r/yyoto*
w anym ip m a c /e m , jak l«j poka/U |e ryiunek
CzastoSci doiwiadczalne
Ctpcio, Olek i Ayala yrali w Chuk/yka Nobo nir yial / mini Sied/ial obtik
i col robil R/ucul he/ knricii kiutk^ i //rpihywal, tu wvpadlo f he lal .pm*d/ld, c/y ki>slka jc»t „»pr.iwiedllvsu“, c/y wi/ytikie wyntkl ma|a jtdnakuwr
*/ni1K Nobo /uuolowul a> .UK) r/uww Ale nic / lego me hylo widac Ahv
/ohac/yC. |ak « ? ilo wy*tepowaly po»/c/*g6 lne wyniki w lym diMvuadc/cmu.
Nobo uktfyl sobie tabelkj i taki diagram opi\uincy ro/klnd c/fitotci wy.
nlk6 w
JUr
If
Butelka t pUiiyku mu ipecjuln* /Akr?ik? / otworem Otw 6 r jett taki. >eby
kulka moyta ti? w nim poka/a£, ale ieby me wypadla. Wr/ueumy do butelki
r 6>nokolorowr kulki. /akrfcomy jtakrflkf, potraimimy butelkn i obracumy
14 do gdry dnem Patr/ymy. jaka kulka poku/ala hi? w otwor/e.
W /ale* no t o od teyo.jakle kulki wr/ucimy do butelki, bvtl/iemy mieli rMne
rbiory wymk6 w
/upalkl
Bier/emy kilka /apalek
icdne / lebkicm, mne be/ lebka. Zumykamy ie
» dlom w>iuwjhc tylko konce. Koleya Iimujc wyciitgujac jcdn.i / nith.
Ikd/icmy notowaO
/apuika / lebkicm - /
/apalka be/ lebka - 0
(
S k lF lffl
F
Gapcio, Olek i Aguta /ac/fli nailadowai Nobo Chcicli iprawd/it. c/y ich
kostki sa nuprawd? lakie \amt\ t/y dud/^ laki »am ro/klad c/olo*ci wynlk6 w KaJtdy oir/ymal nleeo inne c/CJiotai doiwiadcwlne, thoolaJ wxrytikir
ro/klady byly do itichic podobnc
felililSfefel
_________ fel
■■
— —<iol
1
*
W - II, 0).
Na pewno poiralW/ opiwi wiek innych mccham/miSw loiowych t okrellid,
l«kie da 14 one /biory wynikow.
OyAlnie hior*c merbanizm na/ywamy loutwym, je>eli.
1 icyo d/m la me moiedac* |eden / mo/liwych wynikow
i pr/cwid/ciik , ktf>ry / nich
pojawi jeil teoretyc/me lub praklyc/me niemolliwe.ora/
2 c/fMokri tych wymkow w powwr/unyth operatiach mechnni/mu wydaja
<ie pr/rwidywalnc.
K/uty moneM, kntik*. t/y wyciqyanie kul / urny sq /nanymi pr/ykladtuni
pro*lych methani/mow lotowych.
200
Na„vpncgo dnia Nobo / Oik icm /a )tl. * c/y.m n.nyrn WjutH / karunu.
p,rt‘ kiivik.S« i kaJdy o/nat/yli / K<lnei .irony /erem. a / druyiei jedvn
201
Naxicpnic r/ucali do gory kr.i/kt. a i.tk »padly na »|AI lic/yli sum? wyr/uconych lic/b
- W u yiiko jviino, cry r/ucaOkoiik.i.c/y kra/kaml. nob o tu v/cW wynlkdwI. 2. .<• 4 , A i tu vkw. 0, /, J. 4. i - powicd/ial Nobo
- A ja »ic /nloJ*. >e me wn/yttko icdno - powiedualn Agata
- No lo aprawd/imy Olck r/ucal. Nobo ptvil. a Agaia iprawd/ala Po .100
r/uiach pi^eionu kraJkami /robili diagram c/fttoici.
Byl on /upclnic mcpodobny do popm dnich diagr»m 6 w dla koitki
■ ■ I
I
f2 k a a fx x jm
F I
■ r - i i i~
O lk a
obu ko itk a c h . notow al w ynik. /n o w r/u cal. noiow al wym k.
i lak JOO ra/y
a potcm u lo /y l diagram c /o t o fc i dotw iad c/alnych / tego doiw iadcm m a
-
W ygli|d.i nu lo.
)c
dobna m> »uma 5 -
p r /y r/u cam u kri|>kiim i »um.i .1 jcm h a rd /irj prawdoponiow i N o b o
A p r /y r/u c ie ilw om .i ko tik n m i lu m a 7 je»t b a rd /ir| prawdnpodohnu m /
»uma 2. a nawci
-
dodal -
I I -
ale dlac/cgo'1
P r/e o c > , gdy r/u cam icdna k o t ik * . w v y \ik ic w yniki m r^w iw . chciulrm
pow icd/icc. mam rdw ne l/a m c , p r/ccic i k o itk a me o t/u k u je
1. Wytnij / karionu 5 krtfkAw, ku/dy / nich oznuc/ / icdnei nrony I.
a / drugici 0 Zanotuj lumy wyr/uconych icdynck dla 20 rrutfiw twoimi
kri|/kami Spor/ad/ / kolcgami wnpolny diagram dla t/c»toici wymkow
/ oilego wav/cgo do4wmdc/cma. C/y otr/ymalifcie diagram podobny do
tego, )aki narynowali Olck i Nobo?
2. R / u i 20 ru /y dw om a k o tlku m i notujac <iumy wyr/uconych ocrck. Spi>-
i J T c i o - d la
i . 300
r / a d i / kolcgam i w *p6lny ro /k la d c /f» lo ic i w yw k6 w C /y otr/ym ali*cw
n u t S u r p iy e io m a
diagram podobny do tego, |aki naryiow al O lc k ’’
^ n fljk a y m i
Gapcio pokazal kolcgom labclkc. jaka ulolyt wczorai w dnmu
* 9 B
O f
C J *
J
l
}4 41
41 2)
51 5ft
»
2 ) 51
M
I)
- To podctnrane. dlacrego te kraJki 14 takie mcdobrc - /a«tanawuil n$
Olck - dlac/ego 2 i i doitaje »tc tak c/?Mo, a 0 1 } wyitgpuie lak nudko?
W innytn do*w ladc/cmu hard/o nierownc o k a /a h »ic dwie koitki, chocia/
kaJda / oiobna byla raczei dobra
Ten diagram pofcaxvp. )*k' K " raafchd et^ u tici dofa'iadcnloych »umy oc/ek
dla 1'Xi r/uhn* dwiema kotikanu. Olek lic/yl, ilc oc/ek wypadlo w numic na
ila lfU o lfflfc l
4 « r \u \u \u \s \
l*M#l
IX a x y H u m . C X A a
dU. loo
•H u id u r d w A m a
J iO itlu M n i
4 ,
52 43
41
41
R
So
a
n
■ ■ ■ ■ r i i i .i r m i
n
i p i i n i i i 'i i i
10
u u r m .i i 1.1
.1 n
*°
3
*
f
€
7
*
9
f o n n
5}
:» 41
44 M
44
25 I I
41 M
41
5*
22
II
Ml
1) 42
)l
II
ft2
1)
?4 21
t
2»2
II
44 4A 2ft
26 2* M
ft} M 4ft
ftl
»4
II
to
4}
I
U I11
55 44 12
45 »
52 21 44
M 42 22 45
i i 45 5ft 51
ft5 14 U 51
Ift
54
4)
25
24
N 2ft ift 41 5 )
5ft 55 25 41 21
ftl 42 24 M 22
54
12 45
M> 12 14 14 25
11 14 42 Ift I I
)» 12
24 M
I I 45 14 25 54
22 52 22 45 M
55 14 I I 55 42
M 24 11 21 4<
t l 42 11 u 49
14 21
51 I I
14 45
14 22
45 44 J*
J4
.14 *5
*2 14 41 *4 »5
25 15 55 41 I I
1) 15 ftl .15 44
12 21 51 24 54
0*
i>
M
U
U
*1
II
r
14
ii
*l
14 U
i i
14 11 « • 44 2>
21 11 45 22 42
52 22 ftl M 41
41 15 41 1* 41
hi
U
J4 *4
51 52 15 41
24
I I 44 12 ■ 1
25 21 15 14
21 55 46 2ft
02 M 45
•4
ftft
ftl
2ft
25
15
54
52 55 24
}4
11
M JJ
54 U
*4
14 1»
21 « t
*:
14
H M
41
41 14 42 5*
44 5J
45 »l 5 t
75 45
I' «
24 I *
I ) 54 12 M »l
54 41 41 34 H
Ml 22 M 4 ] M
|4 M. 42 41 54
I*
4!
14 5* 4 !
- Co to j n t f
K/ncalcm ko.tka do gry i /apwywakm po kolei. co wvpadlo
Mnm iu /apwanych M» wymkow 24 4, 2 t to me j e f dwad/jckia c/tery.
czterd*w4ci ^den. dwad/xtcia ir/y - Zapi.ywalcm w icn tpoadb. >c wypadlo
po kolri (lwo|ka. c/wArka. v/w«irka. tedynka. dw 6 |ka. irCjk.
» .l
•\ dlac/rgo uiuw«lc<i tc wyntLi po dwa t Ie«/c/e w lakiv ilupki po 5u
wynikow ’ - 2cby b>lo laiwiei Itc/yC 7. lyvh wynikow mo>emy ulo/yi dwa
diagrams DU r/utu icdng koitkit mam> lu WHi wynikow Mo>cmy jednak
brae po dwa wyntkt. lx>J-’ic 10 i.ik u m c, uikbv 3tK) ru/v r/uciO dwomu
koilkami Ciekawe. jakie lera/ wyjd* diagram* ’
.V Opraiui wyntkt /cbrjnc w t a helix C apo a t naryiuj na ich podntawie dwn
diagram) picrwv/y dla ftOO r/utow icdn< kottk*, drugt dla 300 r/utow
dwoma konkami. Dobtcr/ vobtr do pomocy ktlku kolcgow t pod/idcic n?
prtca prey opracowamu wynikow ZwroC uwaye na rAlne pnry wynikow,
ktore d a n «um? 7.
He tch wvyitkich ie»r SprObui wyilumac/yC, dlnc/ego »umu 7 wypuda
avtkici nit iuma J
4. Opracuj wyniki /ebrane w tabelce 500 wynikow r/utu /ero-jedynkowym
knukiem i ipor/i|d/ na ich podtlawic dwa dtagramy. picrwt/y dla SAC
r/ul 6 w jednym kr*/kiem. drugi dla 100 r/utdw pi?cioma kru/kami (Itc/y
»uma wyr/uconych liczbl Dobier/ iobie do pomocy ktlku kolcgOw
ipod/ielae it? praoj.
nuioi
toon
no n
mill
li inu
non
morn
non
in to
0M 10
41100
moo
mm
00100
01010
II 101
oioii
IJOOIO
loon
anno
mho
liruo
mnio
01010
ooioi
01001
mm
unm
oonol
01(III
OIOII
nnn
nmoi
intoo
iiiion
mini
nono
nun
m oi
mioo
mom
rtOlO
OIOII
noori
11101
tu r n
0IIIMJ
o iu i i
01
1nan
nonm
mini
11ion
noui
OIOII
01(00
mno
m ill
lllffi
n ion
mon
(mow
mom
mm
mull
11)010
10101
•mini
>a»i11
h im
01 III
mono
lin o
Ol 101
mon
00011
11100(1
mom
mi m
ioooi
11ion
onati
OHIO
in n
mini
IIMNJO
laam
01010
tan 11
001(0
OHIO
oaaw
01000
Kxm
Oiatll
CzvstoSci teoretyczne
J t mam d o n e ie*r*' r/ucantu - powird/ial Olek - nu / lego w l a k t w i r me
wynika Tu ir/eba podciW Icorclvc/nit C’hcialbvm wied/ic<. jakieM leorety.
c/nif c/?»lo*ci ium oc/ck w dwukroinym r/ucte koMktt do gry C/e*io*ci
«,/iClc / doiwiadc/cnia moyii pr/ectc/ .kakul /upelme pr/ypadkowo t me
pewnego o inch n r wiadoino N iprawd? nu. me wlcmy. iak (./?sin powinna
poiawlai My na pt/vkl.td nOdcinka jako M i m a oc/rk na dMm.lt
koilkach Wtem icdnak. /»• poicd y i K / a koilka jest, powinna b>i.
bc/»lionna, ka>dy wynik ma (i>wm. /ante. jc%l ich n/cjW. no to wy.
p a d a . >c icdna v/ovta. I’r/y r/ucic
dwoni.i koslk.imi, %/un\c ka/dcj
pary chyha tc/ m rOwne lie tch
ieM? 6 ra/y 6 - 3 6 To du/o Jak
lo i/ybko pr/editawiO. najlepici
chyba w kwadractc 6 na 6
Takte hi> le<irclyc/ne wyniki Ale to |cvrc/c me komec. tr/eba pr/ectc/ dla
ka/dej pary oblic/yd »um? oc/ck. Swtcintc, ilc par duje ium? /daje »tc. te ju/
w\/yttko ro/umicm. ilc par da|e sume f. ile pur daie iumc 7. dobr/e, tylko
icdna para duic ium? IS. /obac/ Nobo. lo icii ro/klad ci(»lolcli»orrtyc*nyeh.
mno
oniot
mini
nmoi
IOOOI
31 I mowmy 'i«./e w labclce .yxt wynikow r/ulu /rro-jedynkowym krn>.kiem
ka/dr rcro o/nac/a orla a ka>da xdynka rc\/ke B to n t picrwi/c dwa
wynikt, potent na»tepncdwa ltd .oblic/. ilc ra/y wypadl ..podw 6 |ny or/el",
ilc ra/y wypadla .podwOinu rev/ka". a lie ra/y wypadl wvnik ..mici/nny"
Spor/^J/ nawtcpnir diagram dla 100 r/utow dwi>mn monctami lloma
•powKami mo/na wyr/ucK wynik ..mwi/any ’ Objainn, dlac/ego wynik
_mie\/any” powimen wypa*C i/ek ici ni> . podwtSjny o r /d "
Jak io Im lm c wypada. *y m « ry c /n .c Tak powtnno m o m v c m ii c w ychod/rt
/ doAwtadivcnia
III
01
00 l|
I" l<» II "I
II
I I I no H I
<»•
ii
:o*
i*>
')
10
lu i i
|»)
I I III
III
|i)
|||
II
10
II Vi
(tt I D
0| in if.
l i t ( I I 0|
|| || || fgl
( I 01) || ||
|,|
||
h |„ „| |,| m
||| in | t l I I I I II
lo
iii o i
no m
hi m
i|
in
m
mi
m
oi
h
o i on o i
in on
ii
in
io
m
ii
no
I I ( jf i
II
ii|
III (at
III
III
III
|| h i
m
il
|ll
||
<ai
I. M
c o . " 0 «»»> » » " * « X
‘r ; "
i/u ln y d t. / g » < >« * dtairramcm cr<*lofci ieo(ciyc/n ,d> O lk a
‘l0‘ W" J '
Agnui luhi dr/cwti i narytowala cos tukicgo
DU wyjuimcnui r/utu c/tcrema /ero-jcdynkowym, kr„lk.m . dr/rwko
wygodmcji/e od labclki.
#
6
^
Gapcio krjci / nicdowier/amem gtowj pair/nc mi dr/cwko. ktbrc naryvowala
Agata - Ro/umicm. le o huinui ono, c/cgo mc tpod/icwa<S. gdy r/uoim
kottk* dwa ra/y po kolci picrwve p<tro dr/cwka 10 wyniki picrw*/cgo
r/utu. dru p e pi^tro to wyniki drugicgo r/utu. Ale c/y r/ucad dwomu koxtkami icd noc/e* me to no pew no to tamo'*
- Jcxiem pcwicn. lc to muxi byi to xamo - mAwi Olck. Nic wyobralam
»obic. Irby mogju byi mac/ri Jext wx/yilko icdno. c/y r/ucad dwa razy po
koki icdrw ko\ik^, c/y tel lednoc/cime dwoma koxtkami Pr/ekona| xi? »**m.
le moja tabclka. kt 6ra paxuje do r/utu dwonui kostkumi jedmHr/ctmc.
t dr/ew ko Agaty. kt 6 rc pa\uje do r/ucam a dwa ra/y po kolei jedrui koitka.
mow 14 to tam o 1
Tel wvyxtko jcdno.c/y r/u cal c/tcry ra/y pt> kolei jednym kralkiem .c/y tel
ictlnoc/einic c/ierema kralkami
206
\
U
c / \
U
\
< / \
U
i
s o
W
4
Na kftldci gulf/i wid/iR/ c/tcry kralki /cro-|edynknwc. tak jak one upadl)
Picrw»/a gnli|l r lewcj xtrony poka/uje, he wypudly name /era, 0000 Pierwx/a
pogrubiona galq/ / lewcj urony pok#/u|e. le wypadly naipirrw dwa /era
a potcm dwic jedynki. 0011. Wi/yxtkich galc/> lent 16. KaMa / 16 galc/i
poka/uje jeden / moUiwych wyalk6w r/utu c/tcrema kr^lkami Wuyitkich
pogruhionych gu!?/i icst 6. Pogrubianc galc/ic poka/uja /dar/enie .wypadU
m m a rdwna 2".
2. Na dr/ewku dla r/utu c/tcrema kmlkami zero• tcdynkowymi 6 gnk/i dajc xumf dwu Poliu. ile
gatc/.i dujc tu m f zero, jeden, tr/y, c/tcry Pr/erytui do t t u ytu i u/updnij ten diagram c/oto ici teorclycznych.
3. K/ucamy tr/ema /cro-iedynkowymi kralkami
icdnoc/ctmc i xumucmy wyr/ucone liczby
Naryxuj odpowiedmc dr/ewko i diagram cxf■totci trorciyc/nych dla trgo r/utu
o 1
t
3 *
207
Ciru „ P r ; t p ra w n p r z c z r z e k \•"
W tfg rc mo/c gr iic nawci killcii grac/y K.a>dy /graczy otrryraujc plan*/? i |<i
pionkow O io rysunck plunt/y
T r/eb a /obac/yti. jak wypliida ro/klad icoretyc/ny
l
i
t
s
e
2 □ □
2T ♦ □ □
3x 6□ □
4 4 $ □ □
5 S’ 0 □ □
6□ □ □ □
s
□
□
□
□
□
□
7}
i T
TM
11
a
□
□
□
\ o i t $ + 5 e i t s
N obo ro/micscil swoje pionki nu pl.invy
* 2 F K A --- ~
•*
0
P otr/ehnc v) lakre dw ic ko\tki do gry Najpien* ro/m tc't/c/am y navre pionki
na planwy - na icdnym polu mofcna potlawic nawci kilka pionkow Kicdy
wypadme na*/a koleika gry. r/ucamy ko»U:ami W yr/ucone liczby mnoiymy
p r/c / ticbtc t bier/emy onutnui cyfrc ilocrynu Na pr/ykJad. gdy na jednci
ko>l(X wypadla ir 6jk a.an ad ru g icic/w o rk ao b lie/am y 4 3 ■ 12 1bicr/cmy 2.
Tera/ \prawd/am y. cry na polu 2 »ion plonki. Jrtli ink. icdcn r nich pr/cprawiamy p r/c / r/ckf na drugi br/eg planv> i pr/cka/uicm y kcntki nuslcpncm u
/ gruMC>vh. Jcxli pole, ktore wylovjwalumy je*t piulc rnuumy c/c k a i na
i / a r l c i f do naitcpnc) koleiki Wygrywa icn. kto picrw vy pr/cpraw i wn/yiik«r »woj< pionki p r/c/ r/ekc Ora na/ywa mc _pr/epruwu pnrcy r/ckc"
- O .nkcc'ic w ir j gr/r decyduic \/c/ctcie,ale chyba nie lylko - /axlaflawia
Agaia
- I .to y *n takie «po»ob ro /m io /c/c n ia pionk 6 w na plan\ry
M>\lc. tc nic opl.ii* ** ptwiawtf w v y stk n h pionkow na jednym polu. lepict
ro /r/u cil ie po nUnych polacK. Na kiArych polach umick*: w*ccj pionkow,
a na ki 6 r>ch mniej '1
20H
(U»
- -
Q 1?a
2
- C /y m<Sglby* nam objatnii, dlac/ego nkurui tak • No bo dla ka/dcgo
/ p<Sl: 0. 2 i 6 \zanta |cxt duia. po 6 mo/liwosci / 36. wi^c umic<cik-m lam po
dwu pionki. Pola 4 i 5 daw meco mnwi«/c -.unsc. po > mo>liwo«o / V.
PoMawilcm lam pojednym puinku Zosialy mi jcvc/cdw a pionki. wipe teden
/ nich potlawilcm na polu nr X. a drugi dolo/ylcm do pionkow na polu nr
gdy■>nu po/otlalych polach a/.nnie m /nac/m c mmcj»/e, a Modcmk.i wcale mc
mo*e wypa*0. Kio lam poloiy pionek nigdv me >kortc/y gry'
1. Rulclkajcii pod/iclona nu 10 rownychcrckio/nac/onychcyfram iodOdo
V. Krccimy dwa ra/> lak* rulctka inmv.it pr/e/ %iebic otr/ymanc lit/h\
i biornc oxtainui cyfrc wyniku. N arn u i ro/klad icoiviyc/ny i/t» lo 4ci
wynik 6 w dlu takiego doswmdt/cnia lovowego
2. R/ucamy dwa ra/y ko»tka i bier/om> wick>/n / w y m aon yth lic/h uevli
dwa ra/y wypadlo lo tamo, hict/cmy ki<Srykolwiek / wymkow) Narysui
ro/klad leorelyc/ny C4t«lo»o wynikow dla takH-|ro doiwiadc/ema
3. W buiclcc «4 3 kulc biule i I c/erwona Losuiemy dwa ra/y i /u /bu>r
wynikdw pr/yimuKmy V* ■ ;dwie hialc.dwiec/erwonc. wynik mie»/any
Narytuj ro/klad icorciyc/ny (./v%iom.i wynikow dla lakn-ge doawiadcrcnia.
■4
»
*®**
Zdarzenia
t o y k M I Olck 17lieu kontk« Zb.bf wynikbw to W - <I . 2. J, *, 3, * |.
Olka micrciuic /dararnJr. ..wypadme co najmmci 4"
O /naom y to /dar/cmc liter* I
W\padla pm k d
- Cry uric /il»r/cn<c -T
T«k. w\aik 3 «pr/>)« /dirxcniu -I Wyniki 4 i ft u k l e *pr/yjuj»i /dar/emu A,
natomiait wyniki / . J t « me ip r/yjan /dar/emu 4 Zdorzcnic A /upiwemy
krdtko
A - |4.S.6}.
\ 4 . \ 0 ictt tym pod/hiorcm/bioru lV wymk 6 w.dokuSrcgo nalolq wvynkic
wyniki »pr/yi*n«* /dai/em u -I t tylko tc wyniki
0 M
0
{ I ,? - }
1. R/ucamy kotik*. Zapiw. ulywajac pod/biorow /bioru IV m {/. 2,3.4. 3. 6 ]
naitepunce /dar 7cma
.wypadme / lub 3".
..wypadnic nic »xcej ml J",
„wvpadme nwparryita lie/ha ocxek".
.wypadme mnici nil
.me wypadme parmta lic/ba ocrck. am me wrypadntc pi<|lka",
.me wypadme am 2. am 0 ”
Ktore / podanych okrcilcft o/nacraja lc %amc zdar/cnia?
2. R/ucamy koetka. Zhuirem wynikAw jctl.jak poprrcdmo W - {1.2.3.4.5,0)
/^*r/cma wy/nac/onc pr/c/ noatepumcc /biory
Ii. 3 ,3},
\2 3,4.3),
Spr6 bu,dla kaldcgo / tych /dar/eft t n a k t t co aajmniej dwa r 6 ln c okrcilema wownc
•V Zbiorem wymk6w jm . i«k popnredmo. W m {1,2 .3 .4 .3 ,4 ] Wiadomo.If
i . 'pr/yi.in /dar/emu A, natomiatt wymkt f I ft me ipr/yjaw
tM /d ar/cn ic' W yp n/ w»/y»tkif molli*OtCl lie*r/rniU
K.h |C«I? " ,n m" ,e
210
l'r:\kh iJ ' NoIki r/uca dwa la/y kotlka. In./v sume wyr/uconyth oc/ek
i /j»p»uie wymk, /now r/u ia dw.i ra/y i /apmije wymk i iak daJ*| (Ho Vt
koleinych wymkiSw /upuuinych pr/e/ Nobo
0.(uk V, 3,.1.8, V, 7. 4.r>
7 . © 0. 7, X, f (jji 2, 7, 3
ft. ft, 3 .( $ ( f r j U 7.8,4
7 . 3 . 7. (£5 v, ft.(jij| *. v . ;
Q ft.*. 3. 7, .«.($ 7.3
Nobo bada jak c/«alo wypada pewne /dar/cmc B
Kaldy wymk pr/y|.naty tcmu /dar/em u otoc/yl k6lkicm Co to /a /dar/emc''
Rozvtlyzanu- Zbiorcm wymk 6 w ic»i H - |?, .t. 4, 1, ft, 7.H .0 ,10, II, 12)
Wyniki 1(1, II. 12 na prwno >pr/y|iii.| /dar/emu B. bo Nobo otoc/yl jc
k6 lkiem
Wyniki: 2 , 4 , 3.ft, 7,S, v na pewno mr <pr/yiuju /dar/emu II, ho wypadly one
w tych 50 r/utach, ale Nolv< me otoc/yl ich kCilktcm Innych wynikCiw jui
me ma.
Zdar/cm r B io /dar/cnie |/t). II. 12}
M olna jc okreilh! dowumi. ..wypudme 10 lub wifcci"
M olna taklc pod.ic mnc okrcylcma
wypadme me inmei ml 10" albo
..wypudme 10. II lub 12
I’n y k la J 3. Zbiorcm wynikAw icnI /bi 6 r M- • {«, I, 2, 3. 4, 5, ft. 7, H, V\
Gapcio /upisal Ir/yd/ieilci koleinych wymkOw i podkrcilil le. ktorc *pr/yj»Mi
/dar/em u (
3 0 1 . Lfl 2 0 3 4 2
0 .1 2 2 0 3 4 0 3 2
2 K fi 4 0 2 1IJ 3 ft
Jakie to mole bye /dar/cnte?
*
Wyniki II. I,f> iH \pr/yiuji| /dar/emu (
Wyniki
3. 4. 3 me *pr/yiam /dar/emu C
O wymk ich ' i V me me wuidomo
Zdur/enie C to icdno / na»tfpujKcych /d a t/n t
[». /.ft." !, [«. /-ft. 7.*l.
4. Wynik dwukrotncgo r/u tu ko>tki» /apiwijcm y lic/b.| dwuc>frow 4 p,cr
w v i cyfra mowi, co wypadlo /u picrws/ym ra/cm . dru g a cyfra m(sWl t ’
wypadlo w drugim r/ucie. Zbic*r wymk 6 w tcgo do4wi«dc/cni« icm l a l | '
H - \l 1.12. IS ..... 34. S3 ....... 65.66).
Ilc clemcntow ma ten /b io r’’
Wymicrt pod/biory /bioru H ktorc o /n a c /a |q /d .ir/c m c nast^puj^cc
a i W\ padli w \umie 10.
bi W pierwvym r/ucic wypadlo wi^cci n u w drugim
cl W>pjdN dwic trojki
dl Na >>bu koilkach wypadlo to sumo.
cl Za drugim ra/cm wypadla icdynka.
t) Wypadla co najmmej jedna s/iW ka
Zdarzcnia pewne. niemozliwe, prawdopodobne
Prz\klaJ I Gapcio r/uea koMkami. lntcrc<tujc go tylko lo, c/y w sumic
wypadnic *)
Gapcio tak /jpr>al /bio r wynikow: 'p. t J.
- Co to / nac/y’’ p m Nobo
f 10 tra/ienie wypudmccw w tu n ic 9 ,
p in pudlo wypadnifcic innci \umy.
M o te v mow* o czterech /dn r/cm ach G apciu - m owi N obo pod/biory /btoru p. rj.
c/tcry
Ip ). I { m ] . o
lmcrcNUW mmc tylko tc d w , - mowi G apcio - to b ard /.cj
|» |, te wypadnic w »umi« *>
a to mmej
r l. te wypadnic >aka» mna vuma m i 9
^ let/cw dwa /dar/cm a p. /] i 0 _ /d a r/e n ic pewne [p. /! i /dar/enic
niemoMiwt O - mA»i Nobo
'
1
-
Moiliwc - upicra v? C.apcio - ale io dla mmc nic me /nac/y.
A dlu mmc /n ac/y - mowi Agaia - \p , / ) , to taka pr/cpowiedma, c i n i y
/iiw%/c tpraw d/l,„ulbo hyd/ie popoda albi>dy\c Tuku pr/cpowicdnic,co\i{
mgdy nic \pruwd/i m o > i u o/nac/vc /b i o r c m puMym O, w v y M k ie takic
pr/cpowicdnie <m tyle wartc. mowi A|iata. M6 wi4 o /dar/emach niamntliwych. Jak griii/ w ..Pr/cpraw? p r/c/ r/ckf” /dar/cmc „wypudnic 7" icM
/dar/enirni nicino/Jiwyin. Vto/na |C /api%aC, ale na pewno me mole mc
/d u r/y i. Gdy m 6 wi»/ ..me wypadnic 7", tw<>|a pracpowiedniu \i? /aware
<»prawd/i. w tei gr/c. icm lo /dar/enir prwn*.
-
PrzykluJ 2. W puddku jcM 6 kul: 1 biala. I mebie%ka i 4 c/erwonc Albert
ciiignic / tcgo pudclku na chybtl trufd 3 kulc Pomyilmy lera/o nuitcpumcych
zdarzcniuch /wnj/anych / tym lonowitmcm:
A: w v yttkic 3 kulc bedq c/erwonc.
B: co najmmej jedna kulu b?d/ic c/erwona.
C: ia d n a / kul me h?d/ic c/erwona.
Zdat 7 cnie C je*t nicmoiliwe - tylko 2 kulc w pudclku me c/erwonc. wicc
jc*li wyci»jgn«d / pudclka 3 kulc. co najmniei icdna / mch mu»i bye c/erwona
2 adcn z moiliwych wy nikow me mote spr/yjai /dar/eniu C.
Z kolci /dur/cnic 8 jcM pewne Ka.>dy / mo>.liwych w ym k6w lovownma
*pr/yja /d ar/em u B
Nutomiast /dar/enic A jeM prawdopodobne. mcktore wyniki loiowanm ipr 7yjaja /d ar/em u A. inne mu me ipr/yjuja
Zbi 6 r W wynikbw tcgo lowwama mo/na wybrac* naiiepujaco
VJ « (/)rn. bcc. a n . rcc|.
Jukimi pod/btorumi /bioru W' bcdn /dar/enia .4. B i C
A - {<re|.
/) « {hen. her. rcn. r rr) - W;
C - 0
I. W pudclku |Cit 6 gu/.ktSw 3 bialc, 2 c/crwone . I meb.«ki
Wybicramv / lego pudclka 4 gu/.k. Kl6re / wymiemonych /dar/ert ,4
pewne. ktorc memolliwe. a ktorc prawdopodobnc^
a) Co najmmej 1 «po*r«>d wybranych |u/ik6 w bed/.e buly
hi Co nujmmej 2 .po*r6d wybranych gu/.k^w b?da btalc
c) Katdy / wybranych gu/ikAw b?d/w mncgo koloru
dl Ztiden / wybranych gu/ikOw me b?d/ie biuly
e) Wir6d wybranych gu/.kowco najmntc) dwa bcd4 lego Minego koloru
213
212
Ora . , D z i * n c
ko stk i"
Zrot> wbw takie tr/y
koM kl do
Zac/cl^my dif uisianawiai, klora kontka jc%l naileps/a I c/y imMini pr/cwii r ie i teoretyc/mc. ktAra powinna wygrmi. Ja )ut policrykm. powvd/ial
Nobo Sredmo kaJda / lych kmick daje lylc »amo punklAw
gry
• • • «
• • • •
• •
• •
(6 + 6 + I + I + 1+ I) ■»
«• 2,666
^14+4+4+4 + 0+0) - 2.666
661111
MMOO
333311
Tvmi kotlkami mo/na p*C w a te r y o>iohy. Jcdna osoba /jpisujc wyniki.
• trry p o m u k rrucan kaida two )4 wyhran.i ko*lky Rrucamy pi' kola 20
r»/y. wygrywa icn. kto w sumie wyr/ucil najwigccj punktiSw. Nniprosuci
rei«irowai wyniki w ten ipoftAb, >e (pom idrcm y tak.i plans/?:
1 i 8 9 *
661111
M M oo
J3JJ22
|
♦ i 6 n n
nowa turn* » tiara «uma ♦ Iicyha wyr/uconych oc/ck
W ten «pov>b po /akortc/rmu rn/grywki, od rn/u mumy gotowc wymki.
Olek. Nobo i Gapcio /agrali lymj kottkami wlasmc w taki <iposob Again
zapuywila wyniki Najpierw /agralisiny w m arynar/a. o prawo wvhoni
Pwrwwy wybieral Gapcio Wybral ko*tk« 661111 P m em N ob o Nobodlugo
iK namyilaj i w knftcu rruol monclq Wypadl o r/rl i Nobo wybral kotikc
333322. Olkowi /oitala kuttka 44441X) Tak wyirli|d.ily wyniki
333 3 tZ
&U.
J jW £
214
X
m
m
s
m
s
m
2.666...
toje»l dwa i dwie tr/ccic. Najbard/iei „%laiec/na" je*t kontka 333322, najhard /ic i ..narowista” koslka 6611II
Poninnowiliimy wipe /agrac maczej. Graja dwie otoby Na pivc/aiku gry
kaidn / rnch wybiera twoja kostk?. I ro/poc/ynamy pojedynek Obic otoby
icdn0 cze*nie r/ucaj 4 , kaida swoja kottki). Wygrywa la. klrtra wyr/ucda
wi?ccj oc/ck. Grul Olck 7 Nobo Olck wybral koitk? 333322, a Nobo 4444 <X)
Micli r/ucai 10 ra/y
Takie byly wyniku
OUk
J333U
3 6 9 fi %
KaJdy »pnuic me. ik w-yp.idlu ocxek, ale dodajc lic/h? oc/ek do popr/ednici
tuny oc/ek i now* »umc wpisute w n.mcpnci krnUc
-30?-
ft•(3+ 3 + 3 + 3 + 2+ 2) -
4 4 ^ 00
I
X 5 3 It H % i f 22 V V H % 35 31
* * 57
0 1 « A H a lo U ut u i i iX X ¥ *
* n 52 6t
Potcm / ii grain A g aia i G apcio G apcio w ybral komkc 6 6 1 111. Agata 4 4 4 4 0 1.
lak jn k p r/e d ie m N o b o . T y m ra/cin jednak Agaia pr/egrala Zac/fliAm y «if
/oatanuwiai, ju k teorelyc/nie opixaC taki pojedynek D la kaidej pary koslek
/xobilUmy m odel teoreiyc/ny. w formic kwadratowej labelki:
O ka/alo
m<
wtesJy ins haril/ii d/iwnego rcorctyc/nic.
Diai/ramy procenione i diagramy ulumkowe
66 1111 wygrvwa / 4444<K),
4444)0 wygrywa / 333X22
333322 w\|»rywa / 661 111 i iak w kolko
Olck t N obo ocen ian i/a n ic po>./c/cgi'>lnych wymkow dl* na»tcpui4crgo
doswiudc/cma. r/ucamy dwa ra/y kottka 1hier/emy wick\/a / wyrruconych
lic/b N obo narysowul diagram c/<r»tOM.i teorciyc/nych tegu di>»wiudc/cni«
6 -S i i
I*
4
*
*
1 i
'J b fiu /T u k J & k x
• ||
[IT lu ta in n 1
k a c b x t
*■
3 3 3 3 2
■ ■ ■ ■
*
HAAAoo
Q M I l | |
1 l l k 5 6
PSKI l |
EQP3H > ■ ■
a a a is o a
□B Q U Q Q
a a u a a ri
n u iin sri
aaauaa
aaBSii
E9 B E ■ ■
m
Q U IT O ■ ■
Kt 6 ra wtgc i lych koitck jest nailcpw*'* Nic poirafilttmy na to odpowicd/ie<:
Naigor/et jcdnak mial len. kto pierw vy wybicral swojq ko*tk$. Wtcdy len.
kto wybicral drugi mogl 7* w \/c wvbraC (ak. ic mial w icki/c s/an sc
1. Nary«ui w t o o ycie tabclkc i n z n a c t w tej tabelcc /d a r /c m c ..na kostcc
6611 11 wypadlo W19CCI oc/ek nil na koticc 333322". C /y nUncenie tojesi
hard/icj. c/y mniej prawdopodobnc nil /d ar/cm c ,.na kostcc 333322 wypadlo wtfcei oc/ek m i na ko*lce 6611II ”? Z a /n a c / /d a r/c m c ..suma oc/ck
na ko»ice 661111 1 l <3322 text d /ic w i^ ' Z a /n a c / podobnie „»uma oc/ek
>cvt cslen". Opiv/ podobnic kilka mnych /d ar/cn
2. Porrtwnaj teorctyc/nie /e sob* koslki
al 661111 1 535900
hi 662222 1443333.
3 Pr/yimiimy, / r kaida kosika ..kos/luic' tyle, tic w ynoti suma oc/ck, np
w,2222 kos/lujc 20, u kixtk.t 433333 k o i/lu jc 1*> C /y mol.na ,.tanici
wygra^ / kosika 662222 nti /a po m ct* k.» lk i 433313? A jcs/c/c tamej 1
4. Nob,, powird/ial. te twjh- r d/tei j t u t e t / n a " j o t kotik u 333322. a koalka
661111 )csi niiihard/iej ..narowitia" O pow icd/ swnirm ilow am i.co Nobo
chciol p r/e/ to po* icd/iel.
5. Zagrai xkolcga * ..D/lwnc kottki" Bqdi upr/ejm y 1po/wM mu ptcrwvcmu w)hra< kostkc C>y pr« g raM >
216
iaaaaaa
1
1 3 4
§ e
Olck r/ucil 260 razy konlkq i spor/ad/il tabclkc dla 130 wynikdw badanego
doiwiadczema Potcm narysowal odpowiedni duigrum. C/y te dwa diagramy
45
4o
OOta.
35
3o
25
20 ■ ■ ■ ■ M
i\i u r * 1y j £
15
to
IP *
l
1 1
■
i P H
/y ad /aja »if /e kobji'1Trudno to occntf. gdy/ icdcn / nich icsi utoiony dla >6
wymk Aw. a drugi dla 130.
2P
Nobo /aproponowal, >cby wyra/u! ic diagramy w proccntach.
Jeili na pi/vkl.id w>mK. 2 powtor/yJ m< 10 ra/y w uCd wvyMkich 130 wvnikoM ohliortiBjr
I Vi
7 a M
* lk a . t t
S fjo io
s 0.077 - 7.7".
i na rtdpo*wdtnm diaKtamic pr/v wyntku J wytiawiamy ilupck wy*okoiu
7.7 pr/yiviych tcdnoMck
Toia/ Utwo pnr 6 w ntf oba diagramy nakladauic jrd rn na drum
lt d
7 * m s f X S * f\* a A .
r y
e rtC y ^ w x ra T
M
\+\t\tU\c\<\c\*\
J
±
±
j a a n a n
□ □ □ □ □ □ E
U E J E J
£
]
□
a n
G
□
□
CCWWWML
l
00 09
□
a n n a o n a r a
i □□□g a a a a
□ □ □ 3
0
3
0
0
•o • •
□ □ □ a a aa s
•c □ □ a a o a H
x
f
ll
Q
Tabclku, kloia uloiylem mu duto krulek i lic/qc jc latwo mc pomylii
Mogf jcdnak pohc/yi wyniki inacrcj. Zamiaxt lic/yc poicdync/c kratki.
policy polu odpowiedmch pro\lok»( 6 w w ito«unku do pola calc go k wadratu i wvru><- to w ulamkach
Na pr/ykUid wynikowi B odpowiada ulamck ^ J -
1
t
3
<f
5
S
Captio -her occmc i /m \c pouc/cgolnych wynikow dla niulcpumccgo doi»iadc/rnia w hutcltc m 3 kulc biale i 6 c/erwonych. l.osuicmy hulelka dwa
r*/\ nniui4L wyniki tcgo do vkudc/rnu nailcpujiico obic biale.obiec/crwonc »ymk m m /an) - w \krooc B, C, W
a wynikow. U ulamck
W icn spos6 b dontanc diagram ulamkowy
H - |B .C . W|
Mam pcwKn pomyvt - m6 wi ( iapcio.
12
-
O O
ir
0 9
9 9
Diagraniy «lupkowr to lylko icdna i moXiwoia opiianta dotwiadc/cma
lotowrgo
21#
O lo
r u l c t k a . ill.i k l o r c j
/biorem wynik6 w
|C it
Olek nurynowal taki ry\unek
H . (0. 1 .2 ).
r *
W > n i k I / n i m u i o p o l o w ? P«'lu r u l e l k l ,
.1 \ » \ n i k i it
i T po m l
no c/wartej
p o la
Tc lulcikf nuVna opi*at labclk*
albo dia*r*maroi. 'lupkouym . kotow yin lub kwadrutowym. jnk nu ry»un
kach
1
- Co to /nac/v'*
- D/ielc ten kwudrnl nnjpierw nj dwte polowy, bo vanvi, >c Albert wyr/uci
o rla je»t taka %ama. iak «/arua. tc wyr/uci re»/kc Jcdna / lych polowck to
w ygrana Alberta. Napivalem tam lucre t Niutcpnn- drum polow* d/itl? m
p6l. bo /n o w s /u n **, tc wypadntc or/cl. kicdy loviwtu. hfil/n ttarick. |c%i
ta k a *u m a ja k * /a n ia , >c w ypadnic ro/k.i Jevli icru/ chec uloJvc lahclkc
mu»/f p o lic /y i polu naryaowanych pio»tokat6w
Pole A - J
W ./cd /* . famiaM ulamkow
mofna napnaC proccnty luh
ulamki d /m ictnc
I’ole H - \ J - J
Pole C - \ [ - J
Agata powied/iala. >e /.ami.iM d/iclic kwadrai na cjtmti. l»k to /robd Olck.
mo/nu oblie/yi x/ukane ulnmki ryxuiqc odpowiednic dr/ewko i ini rn/ti
ulo>yi tabelkc
Olck Mi. .luHramy kwadntt.m r Opowir num. w iaki tipotAb |e uklada
Mickw>rc d.>»vna<Kvcma
l’r:\klaJ I Alhcri Harick i C/.irek /nale/li monrt<. Umrtwili \ff. tc bcdn
» nut lotowtu Najpierw lo»uic Albert
icdi wyr/uci orlti, monctu )ext jcgo.
iC \li n aii'm u it wypadnte rrv k a. lotowai bvdvic liartck Jc^li Bartck w y t / u c i
orla. lo moneia je»t icjo. ictli rex/kc. to monctc /abicr/c C/arek
Pr/yimui«m> tc m na«i<pu|i|ue wyniki i«gr> doAwiadc/rinu wynrywu Albert,
wyfrywa Itanck wygry«a ( /arek - » ikroc* A. fl. (
W - (.« .« C)
220
B sfH
C
S/ukanc ulaniki oblic/amv wrdluy na»iepun«.ci rrgutv iJ.n po n.ilc/i dr/cwka / |(Ary na dot mnoivmy wv/yMkte >polkane po drixl/c liv/by
P m i U I 2 C/arck ir/yma * dloni .1 /apalki - icdn.| / Icbkicm dwu- ,
lebka Naipicrw Albert entente jodmi /apalkf. potcm cuignic Bartek j<oxj'C/
/apallia /i'\iaN* \» rfku O a r k a Wygrywa ten. kom g wypuJnic / , n"
/ Irhkirm
‘ P ku
O to d » a rvxunki: kwadrat l>lka i dr/cwko Agalv.
A
B
A
t
C
*
Nie t t w i * potraliiny nlo>yi diagram c /^ lo k i l«otrlyt/nvdi dla in tif um
cego na» doiwiadw/cnta kitowrgo Oto hard/o pro»ty pi/yklad M-./rmv
<pyUc‘. jakir *i| van%c. te r/uconc na ilol puddkood /ap.ilck tipadni.' pU\k<*
Jnkic '4 '/a n te . >e upadiuc na hok lub i/torccm? Nit nm/na lwn rd/i.. i t ii
/dar/cnia \n jednakowo prawdopodohne Ich t/anvc moiacny tylko » pr/vbUlctiiu wy/nac/yc doswi.idc/alnic lin wiyvci wykonamy p<'wtot/cn tr^«.
dotwiadcvciua. tym dokludmc|\/r pr/vbli>cnic ipod/irvumv 'if u/y.kji
Jcdnuk. n u to iwojc granicc Po pewnym c/.i«.ic piuUlko mv t.i/Icci i w a n *
powtar/am a doiwiadc/cnia utracimy bc/powrotntc
A
••V
• V .
6
C/y wicv. iakic ohln/enia nalc/alo wykonai, icby otr/ymac poaitiza tabdk f’’
C
$i\
6
a
W\
t
J
« r;
35*.
I. RuU-tkc u k na ry»unku. krectmy dwa ra/y i
tumuKBiy wylo»owan< lic/by L'Wi ulumkowy diagram teoretyc/ny dla tcgo lo»owania
T ab d k a podajc wyniki r 6/nych pom.arbw prawdopodobiert.twa wypndnw
cm oria lub r n /k i w r/ucic «ymctryc/ni» moncla
2. Ruloikc jak na ryiunku, knccimy tr/y ra/y t
tumupmy wylo»o»ane liczby UI6 I diagram
ulamkowy
teoretyc/nych
Zw nW
uwngc.
>*
/c
w/rontem
lic /h y
r/uiow e/C'to«c wypadmciu orU ic*t
co ra/ Icps/ym pr/yhliicnttra lic/by 50"
4 Hr kulek bialych, c/erwonych i c/arnyeh powinmimy wr/ucn do iloika.
je*li chccmy by labclka c /< « io *c i irorrtvc/nych.byla natiflpujaca'
X Zbiorcm wymkuw |«»l (a. fc. f. J ). a c /o to ic i
icotciycrnc podap tahdka
4
J
(
OMkv, ktorr te / d a r a n (a. 1 1 o ra / [b, 4 ) |e%t
hard/if) prawdopodohnc1’
1
1
1
»
1
1
223
C /y jc»t tylko jrdcn <<P<"'*1'' ro/wt«/u-
ma?
Jacrk. m lodwy brat Gapcia. wr/ucil do butelki kilka bialych kulck i k.v.,|
Gapciowi /gadnaC ilc Oc/ywiicte me wolno /ugladaii do Arodka, u pr/c/
tcianki ntc/cgo me widaC. bo 14 on« po malowanc m cpr/c/roc/y»iq fdrh>t
Gapcio wpadl icdnak na pomytl. Ku/ul Jackowi wr/uci£ do sloiku 3 c/arnc
kulki 1 ro/p**c/4 l lo»owamc
biala hiala. c/arna. biala, c/arn a. bmla. biala
S u m a i ilo czyn zd a rzen
Mirka 1K aua grajq w wyso* p.» plans/) R/ucaja koiik* Jr«li wypadmr / J.
J lub 4 Mirk* pr/ciuwa w 6j pionek o jednq kratkf dopr/odu Jcili wypadme
3, 4. i lub ft Ka«ia pr/csuwa *wo| pionck 0 jedna krmkf do pr/odu.
W ka>dei kolejce gry motemy m6 wic o nustepuiqcyth /dar/enuch.
M ~ Mirka pr/ouncl.i pionek do pr/odu
K
Kasia pr/csunfla pionek do pr/odu
M - [ l.2 .f,4 ).K - ( J .O .O j
M olnu rownici mown, o /dar/em u nasicpuiqcym.
,.Obic d/iewc/ynki pr/e»undy swoie pionki do pr/odu"
Zdar 7 cmc 10 /achod/i wiedy. fdy /achod/q rOwnoc/eime oba /tlar/ema
M 1 K Na/ywac je b^d/iemy iloe/ynem /dar/en V/ 1 K JeM 10 /dar/cnu
M rsK -
J .1 .4 ).
Iloc/ymni /dar/eri A 1 U na/ywamy /dar/enic opiwne /biorem Ar\B Zachod/i ono wiedy. *dy r6 wnoc/e<mc /achod/a oba /dar/ema A 1 B
Po pewnym czauc /n u d /o n y Jacek pon/cdl nic b a w d w m ochodam i. ale
Gapcio tak \ * /apalil, te wykonal w tum ic a i 500 priSb 342 ra /y wypadla mu
kulka b u la 1 154 ra /y c/am a. T era/ /aitan aw ia *1$. ilc m o te bye w srodku
bialych kul
R/ucamy dwa rn/y po kolci ko*tkq do gry S 10 /dar/enic /a pierws/vm
ra/em wypadla «/A»lka T 10 /dar/cnia /a drugim ra/cm wypadla w a tk a
Bionic /a /bior wynikow pary cylr «pu*em y
S - \61.62,63.64.65.66).
T • [16, 26.36, 46. i 6 . 66)
j j - ° J I 6 * 30*..
Motemy mrtwic lakte o /dar/emu. ..Co najmmej ta/ wypadla vroMka
/dar/i-m c to /achod/i wiedy tid> /achod/lco natmnic| icdno /e /dar/crt .S lub
T Na/wicmy |c »uma tych /dar/en J o t to /dai/emc
V r , <»x/y»ikich kul lo 3 c/trnc kulc
lUrt", wt/yttkich kul 10 10 kuL
K vucc bialych jcu 7'
Po otworwmu ilotka okasalo 11c. te kul bialych bylo lam tylko 6. Gapcio
jednak by! /adowolony 1 mowil, te jego metoda data /ad/iwiaincc re/uliaiy.
A co ly o lym myilis/ 1
Xv./ / - [61.62. 6.1. 64. 6J, ftft. /ft. 26. Jft. 46. 5A. ftft|
Suitoi z4«r/cA 4 1 B na/ywamy /dar/ema opiwnc /biorcm 4w » Zachinl/i
ono wtcdy. ply /achod/i co naimmci icdno /e /dar/cA < lub n
£ W butcke m kuk buik 1 c/crwont Stoaunek lic/by kul buiiych do c/crwonych jcti 2 3 Co jc*t bard/jrj prawdopodobnr wypadniccie kuli bialcj. c/y
wypadniocic kuli c/erwonej?
6. W bu'ekt- ieti kilka kul bialych G apciodor/ucil lam 1 kulc c/arn c UIM
protxniowc labrlki dla lotnwania 14 butdkq. jrtli.
at bialych kul pm 6,
bi bialych kul jett 7,
c) bialych kul i«ii H
224
(U l
225
' / d a r z c n i u p r z v i i w n c i z d u r z e n i u v t y k l i i c z u j i i c c si^
b)
R/ucuiny
dwa
(ury
K .
monei.|
0 0 , U K
n<’ iu i.|i f l>
^ olci
o b a w y n ik i
H
|ext /d a r/e m c m w ypadl icdrn o r/e l i dwie rcx/ki
p r/cciw n yin do
— Z iip ix / /d a r /e m a
R O . K i<
-
\ to /dar/eme dwa ra/\ wyp.nl lu rr*/ka
A io rdar/cme mc /ax/lo / d a w me A
k « i /d a r/e n v m
II
B
H
i H tako p o d /h lo ry /b u m i H
O krc'.l i Iow a mi /d a r /e m e
B
3. R /u c a m y 10 ru /y monctu noiujac po kolei w ,/yxtkie 10 w ynikow
jext /.dur/cm cm . / a ptcrw ./y m ra/cm wypndl o r /d .
A
Zdar/cmc 4 mo*na okredii ilowumi naxt*pu«|CO co n.nmmcj ra/ wypadl
or/el
I) jexl /darwmem; /a piqivm ra/cm wypadl or/rl
C jest zdar/enicm: wypadly eo najmmcj 3 orly
D
|cnt /dar/emcm: wypadlo co naimmri > rcs/ck
A', If. C \ I) lo /dar/ema pr/eciwne do /dar/crt A. B, C. i />
u) Okrcil xlowami /dar/ema A'. B \ C" i D .
Z d a r/em a
b) Ilc w yn ik6w lic /y zb i6r w x/ysikich w ym kow M ?
A
,R R \.
0 0 OR. KO)
I -
I i
I
lo #<Ur/eni» pnrcclwiH.-. Z a w x /e /a c h o d /i |edno / tych
/d a r/c n . pr/y c/ym ic O i /a e h o d /i icdno / nich, lo me /a c h o d /i drugic.
c) SprAbuj o b llc /y i, lie w ynikow lic/a /b io ry
Innynu '.lowy
d) W p o m iiu ej Utbelce w p iv I. icAli dany wym k .p r/yja duncmu /d a -
>um.i lych /d a r /c n icxi /d u r /e n ic m p e w n y m . a iloezyn tych
A. A . B
I
If
r/c n iu lub 0, jcAli Icn wyttik mc xpr/yia temu /J a r/e m u
/d a r/e n icxi /d a r/c m e m niem o>liwym .
A ln rrc n ia
I . -I - H,
4 -A • O
W y n ik i
A
A
II
R
(
<
1)
D
OROOROOOKR
Z d a r/n iic
I pncciw ne do /d u r/e m a
I m o /n a okresiic b u r d /o p ro jlo :
K OOOOOKOUR
4 - ty \ A
(M O R O O O O O O
RRRRROOOOO
1. /d a r /e m a < i
A
ir. /d a r/e m a p r /c o w n e W m iejxcach w y k ro p ko w u n y ch
w naw odp*>*iednm / dw u m o>llwofci:
.•.pr/yjj luh .me »pr/yia
•I Je*li i-iki. wynik ,pr/vja /dar/emu A.
to wymk icn
/djr/em u A'
hi JcthwymkjakU
. /dar/em u A,
io wymk len upr/yu /dar/emu A
cl JctN |«kii wymk
/dar/emu A .
lo wymk l«n me * prnM /d„r/cnm l
2. R/ucamy tay r*/y monel, no.u»c po kolv. wymk.
»
0 0 0 0 ( ) R .O R O .R O O ,O R K .K O K .R R O .R R K )
#1 A |« I /dar/emfm co najmmcj rw wyp*d( 0 r/cl
4 imi /d»r/eniem pr/rviwnym <j0 j
ORROOORRKR
4. R /u ca m y 10 r a /y moncui noiujac po kolei w v y x ik ic 10 w ynikow 4 i
H si \
/d a r/e m a m i naxlepujacynu:
A: /n picrwi/ym ra/cm wypadl or/cl.
B
’ /a drugim ra/cm w ypadl o r/el
a) Okreil xlowami /dar/ema na»l?pu|ttcc
Ar\B.
AuB.
(Ar\B)',
AwW .
xA vB).
A'rJT
b) S p ra w d /. c/y;
M n#V - A \ j B .
(A u B)' - A'r\B'.
- Z a p u /dar/eni* a i .4 j.k o p„d,b,«r> rb.oru W
Okrexl item.imi rdir/cm c A
22ft
227
I m m m y <rr>
mow.* * > « * * po M e . wymk, II , r
/dtr7cnif
ni*ifpui*cc
H d m ru )
or<t41rtJ ^f' A •,T dwa ra/> wypadla rnrka i TU or/el
Wr-
Jrteli Olek hk ir.ifil, 10 r/uc« O cilo ZakropkowalUmy ‘ / lego. co /o*U>
Io / kwadra.u
[00R. 0R 0 . R 0 0 .
RRO.ROR. ORR
S K a t moiiiwe. hy «U//enui H i 7 /av/h tcdnoc/fime llocryn /dar/en H
i T m 1/dar/emem Piemriiliwyin
H ^T- O
M /ie im mown;, if i t e n n u H ■ T » y k lo ctt« »lf.
Jc«||
■ O. to hcU/ietn> mo«xL K nlar/cnia A i B wryklucnj« -,if
A J/a
piernszy traji
»
Jeicli C/c»io me trafJ. r/uco Olek Z lego co /citato / kwadra.u. /akreik.iwu-
tarcz\’'!
O H 1 C/e»n' rructii «tr/alki do u r c n
Olcli irjfi.il w irodck uru>
/ cap 10*04 J, • C/fito / czc»«*.n | W pewnym m omcnoe potUnowili
-roMi /j»oU) kio pierwi/y trifi do urc/> R /u u m ) kolcino do urc/y. kto
ptrr»v> trafi irn wvgrywn To me»pr**iedliwe powicd/ial Olck, ty Itpiei
>tn*cUaj CVoiu nruv w*k\/r ./jn u Nicdu/ti. «lc jcdnak C7c*k:i tmfmw
No io ty
nu, po»ird/ul C/cuo I Olck /atvj|l picrw\/y, potcm m i c a I
O w n . pntcm rntrn Olek.
N«
kto wygrai len poicdvnck, air mo/cmy prohowac ovacowac.c/)
uitr.te K>lv wyrfrwnane. t o hylo hurd/if) prawdnpodobnc. c/y to. /c wygra
olek c/y u>. H * y g n C
/o h a c /
Takic i /« dk trafiema mial Olck. JOeli Olek me trafil. /n<»w mica C/e»io
2 (ego. 00 /otialo 1 kwadraiu. /«kresko*uj«my dwie p u le
G d y C / cmo
me
irafi.
r/uta Olck Z lego, c o /oitalo. /akre'kowuicmv (
777 •
i / /
f / i
• • • • ••
I
f
f
2?»
lak
fim l../,
k io
kortcu m u ) * < k * / c
*
v
anw
wygrtf?
W lych /awodach
h i*v t /a u t t
Olk.i
.4 « i f k i / » n i/
C/.-wa. num.'
>« %n/*la
gor/C)
I
II
J 3 ^ 3 L
Mo>cm> prrettotaWR caU i\iu*c* nuilcpuiqw:
I. Zumiatl r/uuiC do tarc/y. r/ucaim moncu To |c\i taki »ymult"»»oy
poiedynck, or/cl - /nac/y pudlo.rct/ku triifinny Grainy dopicri*\/r|o
tra fic n u K>iM) icra/ ma r<Wnc i/an»c trafionu Mr kio /ac/>na. ma
trochs lcp»/c </an*c Jak 10 occnic'' Spoir/ na ten \/kic 1101*1 4) uklad
r6 \»nan
■
Many uklad r6 »nari
» ■
i
i
R<i/wi4>emy ten uklad pr «7 pod*ta»irnic
CrLdALC,
f U l M t u r i f 'f r - m s * * * ,
W Jc& s f q s t w n e y ~ f X /
/r o b diagram prucentowy
c/C '» : w * p i l n a / b m m * , 1. ; i
Slow nicztk
Vrrklmrdrv ^>nn\ maiemniyk *laro>yl-
,a naiw„ki/r
* . ' * o v a g m y c ic
uw aJal o dkrvcic. >< «io»uiwk obiyt«*ci
w tlca jpiv » ne g » n« ku h
kuli K»1 laki lak 3 2. * I47’ I "
J -Q
h2£l
n p n i i faakcii. clemeni d f fe d iin y lei
funkcii. v M, H ' J
b n la. flgura (c o m c ir v c r n a p r m i r / e n n a
o do dainiei o b j i o f c i . n p k uU . akr *lcra
hfy <4 me ( « i
krtla obroiowa. i. IBB
n e t * po4gfc*iWrw» «r*ilm*w. mt>«< iak
u c b k o p o / n a i . c /y d w a lf 6 ik»l> 14 poi o b n c . t 1*4
c iftb n okrygu. o d o n e k k l . r t g o ko nce
lr / 4 n a lym okrygu
ci««taat d a d w iadcaaba pcw ncgo / d o r / e
11a Iroowego. Iic/ba. k i^ r a « \ k a / u i c , ilc
>a/y (0 / d a r / t n i c w v ti^ p d o p r /y pow tai7anm d ' \ w i a d c / r n i a pewn* li^/hy ra /v
« JUI. 223
rjr«Mu4C M o rrtycraa p r w n r g o / d a r / r n i a
Uvowego licrba n irr y m a n a * u k i »p<v
u 'h j e p o /w a la p r / c * *!>»«>. ink a by.
d r r <jy»ii>*e d*rtw <adc/alra lego / d a i / c iua ar p rw n y m iM y u do*wi.«dc/e6 * 20V
m
c/fsloM * a ( M a s prwnegn /d a im u ii *
pranvm ciagu dinwiadwcA. lie/ha i.pi
tujaca I.ikJ caytcig arc/yciknh dirtwiad
n t r t • ryw u u « hyh i«, w kioiych /d a
r/cnw /a%/k> t Jfaledt w/glydna wyra/amy car**lo * pnm rm atk . m o*em y 14 i.hli
cryc lau re ty w n w In* |a k n « |w a w o /d a n ir
/ d . * w . a d c / r n u ( / y « t,ik w /f ly d n a rev
/ a w u r mnwM / 4 <>d icdiioHi Vl/m im >
k r o rk o „ c / o i > 'W . gdy
o „U
c/yMofc i t b r a i n . « 2 1 1 221
2J2
c/wvrofc'ian. m.i 4 cuany. ku.rt tt(1^ (
lami. 6 krawydn 1 4 wivr/tholki (j1tN
» u n y va irtSikatami i 6 * n o K \/n\ m,
<vwori>*ci«n oa/ywa tiy forcmnv
diagram knlowy, » 2 2 0
diagram kwadralowt,, 219 22o
diagram dupkowy.« 220
dlagok odcinka wyruJumy Ik/b^ r/cc/y.
wula.klc'tra wcka/uic w iakic) tkallnalc>y powiyU/yv odcinck |edno»lkow\. /c.
by oir/ymac odcinck dauy
ilugW wrklora, picrwiadek 1 tumy kw.idralow icgo wtptSlr/ydnych, v u( + u;
dtagott okrygu. ohw,x! kola
dndawaair do rAnnania inncgo rAwnama
ukladu tironarm. s 151. 157
dadamntr wrktorAw. 1 'M 121
doptlolcnlc pod/bloru I /bioru / , uki
povl/bior A /bioru
do ktorcgo nulc>4
le clemcniy / . kiorc me nalc/4 do A Jc\t
MWMC .4U--I « / 1 4 p i.4 '« 0 , Gdy
/birtr/4 okrcvlu pewne /diir/eiue, /bl 6 r .(
okreOu /dar/eme pr/eciwnc, • 22r<
,
m
dwud/iol<x» i»n (.ir« mn>, ma 20 ician w
ki/ialcic irhjkalnw townoboc/nyeh. 12
w u -r/c h o lk 6 w 1 ,\0 k ia w y d /i
dwuna<io«rlan ( o rn n n y . 1. h
dwuna«lo4cian rnmboW alny. c 114 116
d r lc d /ln a f u n k c j i , »
«UpM. Hgura g c o m c iry c /n a . kiOru pow \lajc. gdy pvw ie r/c hiiic walca pr/elnicm y p i a n / c / y / m K /u l k ola mu na ogol
k t / i a l t elipsy ». 14. inO
Agora g t o m c t r y c / n a . / b i6 r p u n k io w
flgura o b ro to w a, bryla o b ro io w * . 1 IKK
figury podobne. l a k x . >e jrd n a t inch je»i
/ m n u i * / c m c m drugici w pewnej ikali
% 1 I .I H 4
figury pr»y»iaj 4 C*. lakic. >c icdn 4 / nich
m o t n a p r /c p r o w a d /u ! na d ru g a / a pom o t 4 odbiil. o b r o lo w 1 p r/m irn y d
f u n k r j a . » Vi. 64
lu nk cja j a k o model. > 6 2 .7 3 . 130
funkcla IlnJow a.« 134. 135
fuukeja m a lr ja c a . taka, l e icj w aflo ici
/ H I mali'14 * r a / / e w /ro cle m a r g u n u n
Idw x. '
dM«tadr/raic l<iMmr. lak if. kldre mo/e
il.ic leilcn / mo/ltvkych w y n ik i «, «;
» .
a l e n t c wiadnmu klnr>- 1 pi/c*id/cn u i f g n ic\l p r a k lyc/nii l u b iconlye/m*
n i c m < i / l l « c . n a i i < m i u * i t/y«iofei lych *>■
m k n w p r / y p o a i a r n m u do»*udc/cnia
» * i b | . | My p r/i-w H ly v n a llW
d ifiw ia d r /y a W » * n w l o w a n r . d o - A ia d w r -
wl/amy »
siy * p o d / i f <'
n i r k K o w r . kU 'ire p i / c p r i m
ki tpiiW >b.
h
m n>cm y
Ic'gn w y n i k i pon><*|M m i n i ih*-iih.' p e w n e
m rw d « w m i l c / c * n i c l i » o w t » l b
d r / t w n . 1 / a w m b a r d / « wygi'dny «p<''*'’l■,
u |i M > w a n i 4 /«i a i / c n
d i w w i a d e / e A !•*•***
w y i h 1 ich w y n i k o w
<17, 20*. 2*17- * * '
134
( u n k e ) a r o M t ^ c a . l a k a . ) c ici w a r l o u i / l ' l
r,.M ia w r a / «
w /r o .le m iig u m c n ii.w
>
[U
.
*
fanke|a wy/nae/ona r r tr t proporcjunai-
nukpnwl4.' 12*
fun k rja w > / n a e « « a f i i t i p r r r k u ia l c r n l r
grom clryc/o*. -■ IHO 104
funk mb w y /n a c io n a i n n
rrm o w a n k .
iraaiatim lup. bryla ugian u/on a pf/e.w ic lo k iin r k ia n y . / kioryyk ilwit •«
p r/y>la| 4 C* 1 rOwnoWglr iiati in podtiu
« a g o m a 1 podalaw a J o l n n . a p>vi>»iah
tciany «4 r^w nolegloN kami 1 n a o w a i a
>ie k i a n a m i buc/i-Mm ( id v K ia n \ bci.
c /n r «4 p ro tio k a ta m i. g r a n u i i o tl u p m l
p im ly . w praeiiw ncm w \p a ilk u pochyly
Oram a«o% lup p« * » tair p r /c / p r m u n i y tie ruwnulcgle n p p o dtlaw v d c ln n . lak
aby pok ryw ala *iy / p o d d a w 4 it. 1114
Uoc/ya /bmrow. \ 21
l lo c n n / d a n m , 1 225
llo t/yn w y r a t i * *krajn»cb - ilm /y n w\r a / 6 w irtidkow ych ptopon.il. 1 12
llorai. wvra/eme potlaci a ■ H u b *
k^l aaehyltala pto%le| do p l a i / u y / n j
kgl miyd/y p r m l 4 . a ici r /u i r m pro»U»padlym na p lai/u rv /n y dan « M uiry iego
ki|la pr/yjm u|c m y t 6 * n a / r r u gdy pro«ia JCTI r 6 wnolcgla d o pla«/c/y /n y. a
rAwnq VO . gdy r/u t p roilo p a d ly iei prt»»lei na ly p l a t/c /y /n « i*u p u n kirm
k ( i proaly. k«t miyd/y d w o m a pnwiymi
p ro ilo pa d lym i Pro>lf pro»lopadlc d /irI4 pla«/»./y/iiy na c/lery p rry * la n c e kawalk I. Ka>dy kawalek w y /n a c /a k a ' p n .ly, a w cumic kawalki it iw n r / 4 k .11 IN'
K 4 I p « « i y ma vcice. ^O' » w micr/c luki“
wci wvnoti
*
k 4 l trodkowy. • « l
kai wpacaay. . *<l
kql> wrwnyir/ae w u l c lj i - i
A O
k^iy »»wnytr/ne wKlukaW. * I"#
« 160
foak eia »lala, lak a . k io ra na calei «w «mci
d / w d / i n i r p r / \ |i n u i e ly um« w a r to h
I u n k u a \ ••• <i< * I 'd l a a » 0 ) « • lunkcia
.W l 4 * I «4. 1 15
gala/. d r » # w a .» 307 221
t r a f pr/ypo/**dki>«»ala. * 53 ' 5
23 J
k o m i n i o a a n k lr o |k 4 la . ■. M , H5. H6
iifinego. »kohc/ontigt> luh nioxkortc/o|IC/
hami r/cc/ywmynn Lic/by r/cc/ywisij.
mn/na prwdalawk |iikt> punklv na .
Ik/ba w>m»rni«. taka. klora da* >lf
pr/cd’tuwK ulamkurm. gd/ic liv/mk (cm
Ik/hn calkowiia 11 mutnownik icm ||V/hn
iiiiiuralni) r«Stl\4 ml /cm l,ic/by wynucrnc m.i|4 ro/wimftia d/ieai^inc okresowc,
up 0.IU3 . 25.272727. . .1 mckuirc /
mch mam ri»/winifv,i.i d/ic\ifinc ikon.
k r a w f d /.i/c * . * 'p » ln a d w tn h m a n ,* 6
cronc.
kirrn m k r /w o » a n ta .■> I * '
k u n iiv k wcki»f». p a ir/ wcklor
k'ttnbidM'ia »<"kl«rO»,» I 5*
k n » in ik iK
» > k it*U » tc
lig u t g r o m c i r y i / n w h «>>k»? / a p o m i * 4
o t k l a i lin u k i.» k;
k m M n x iw a iH r M u . • Ml
k n m lrtio n a iu t- o d c in k a , > H2
k o n M n m w a a lt pro»«c) p ro* lop «4 lrj. ■> XX
k»ft»lruow aaH p r m l f j r»wool*Kl*|. * Ml
1ic(io, np » - J.14I3W.. 1 -0.25
k l o r a il.nc iic p r /n l < i.iu i £ u la m k ic m o
I tc /n ik u c o lk o w ity m 1 m ia n o w m k u , k l 6 rv \n \ p o t f f a licrhy 2
I k / b a n a tu r a ln a , lo m> Ik / b y n a lu r a ln c
> . ;i>. 1. 2 , i
np 1 ~ 0 . 2 ', IH - 1 .1 2 5 ; - 1 ,
4
in
j
•*
Ik/by Iikiow*. oir/ymanr w wyniku d/mlanui pcwncyo mrch.ini/mu lotouvgo
». MJ. 2tM
nwt'hani/m loaowy, \ 21Ml
mttu4a dodawama klmnami. <1 151
mcluda podalawlania, 1 15U
mefnda wrktorowa, •. 154
nacbvlmk. v 121 125
nWrAwnotci rtwnowalnc, lakic. ktorr n u M U k u an i/b i 6 r ro/wiq/jn Np nicrownoiKi « < 2 12 x < 4 mam idk 1 \ani /hnSr
ro/wia/art, »4 /alcm r 6 wnowninc Nicrdwnoici i < 3 I j < 3 m e u \ rownowaJtnc, ich /biory r<wwi4/afi >4 i 6 /nc
». 144- 146
okrAwm rtt. wyrmttmc. « ktbryni /o»lal
In / h a nw w ym w rtta, tak a , k l o r a nic d a p
u /yty |«dcn /e /nak<Sw < . < _ > , >
'ic prjciUlawm! ulumkicm o k v n ik u calkowtlym 4 mianowmku naluralnym
k ic h w y r;i> c n
k u l a , « tut*
kwadrat. pntMoknl. kUSrv m.i w vy*lkio
buki jednakoww) dlugoki
kwadrat I k i b ' , lloc/yn IC| lic/by p r/c /
ilrbic
I k r b a r a lk i)*ila , lo -4 I n / b y c a lk o w itc
c
:«> t 1. . n
1
U rb a <l/K M < iu . u k a I k / h a r w c / y w m a ,
k lo ra d a n
p r /rd » u w K u lam k icm o
iMjrniku c a lk o w tly m I m ia n o w m k u . kl<Srv ic.i p>
lic/liy l(>
l i r i k a 4 » 0 |k o w a . u k j l i t / S a r / e c / y w u t a .
Ln./ha „pi" liv/K yx 2. y j .'.ptcrw uuiki /
niepclnych kwailraiow >4 pr/ykladam i
Itcrh nir*ymiciny».h
Ik ib a odwrotBa. do lic/l'V 5 lie /h * od-
wmin* icv J, do lit/h) | lic/h* arfwro114 tail 3, 2N
I k / b a | i « r w t / a . u k a l ic /h a n a lu r a ln a
k l /'f a m * ly lk o d w a d / i r l r i k i n a lu r a ln c
l n / h c I 1 ».th ir -irrm
l k / b « p r / r v m a a . d „ iK /h v J |u . /h t
p r /w o * Q 4 m i • 3 d o I n / b y . 5 1* . , ^ ,
p r / t u w n « k*t V 27
l*/l» a r /« -/> » M a , u k a . klora mo>n 1
p r/w M a w * ' /a p o m o ca n > / » in * d a d /w
pewne wyraJxriK /c /nakn-m rowmtki
lub nicr<Swn»fc:i. t 1\K
nuiat |a w ykladnk/a. /ap o yw an ir ln /b »
p«Hluci iliK /yn u k / b > /aw arici nnvd/y
icdcn 1 d/wtift,' o ra / pt win i potfgi iK.'by
10 N p 6,II2> 10* *; »> | l " , t 41 41
-
kuli.
^
- oiirotlupa,
I
nr‘, <
• P/i
g o p r o in i c m a / i u m \ l u / p i / d o k l a d n i ^ C14 d o pr/ci/K > m ilio na n n i m |hi
p r /c c in k u VI4I312
- alo>ka. Vm ^nrJ h, 1. I**J
- lorusa (witflr/ak • ■ 2n‘r‘R
- walca. I '* irr* l \ , % 11.1
1
I9M
p i/y pr/c-
k%/lalccniu /)c t l /biorcm . na klory figura
/ pr/ccluul/i p r/y lym p r/c k i/la k c m u
Obra/ o/noc/um y t y m b o k m / l / l
/ —L+ I l / i
/ ( / ) )«xt /a w i/c
pncciw d /icd /im c funkeji I
obrOf,
/a u a riy
w
i 1CXI
ob*6d kola. dlugOM. luku okregu ogram-
4 p cw icn
1) c i l d l . i
c/«i 4 ccg0 10 kolo Dlugok luku okreiru
wynoai 2nr. a gdy pronuert r pr/yimicmy
ra |cdno\ikc dlugowi dlugok luku okr?gu wyno»i 2 it.
odkkk, v 101
odclfta. pair/ wspi'.lr/cdnc punklu
odclnrk ub. /bu*r p u n k lu * pcwn*| pro-
k u ir .i « p c l n u w a m i w k w v r i / o n y m criS w -
\ici Ic/acych m icd/y punklumi u 1 ^
o d lrg ln ^ miyd/y p u n k u m i u 1h okrciloi u icn /w yklc IK/b.| w yr.i/a|4t 4 d lu g o k
2 < 3. 2>r ■ H. 2 x+ 1 < 7
mi p r o » l y m
p e w n e jo
U k lu .
in n c
Np
/
N ie k tG rc
in -
ilw irrd /e n ic m
tin n o w i
w u ru n c k n a lo /o n y n a lic /b c v
\4 lakic l n . / b v x. k l ^ r c
a p c h iu i 1
4 K .i/d .i li c /b f v.
na< /j* .id k .|. c / y
ic n w u ru n c k
noki
4n a /y w a m y
row noki
ro /w ifl/a m c m
Z w y k lc
iru c rc -iu ic
nan
ici
n ic
/h io r
v » i / y » l k u h r o / W M / a n d a n < * | m c ri S w n o '* .! .
4 144 145. 146
nkr6wiio4f n k m tra.
a
/nnkk-rn
< lub
' 145
nkrAwnaM naira, /c /n.ikiom • lub >.
1 143
■kw iad o m a. luvba o /n a t/o n a /w y k k Iil f f 4. kl(>rt| pm/uV m rm y m aiai 'lane
odcinka ah
odwrotnok Ik/by. p m r / lic/ba wlw rolna
pkrwiaalrk, lunkija | 1-rkt/lakiiiava
lic/bc nicujnnna w lak4 lic/bv niruKmii4 , klora podnmiona do k«adrjiu da­
te lie/be »y|kiow 4. ». I i, 51. M
pl\viuk|t fnrenin\, pieviok*1 kiAtego
«>/>Mkir b«iki nuij tcdnakiiu 1dlugon
a ki|ly »rwnelr/nr m.114 irdnakn«4
w a rlo k
p i a w e / i / n a r / u t o » a n i a . . IWI
p nd /bi 6 r, • 2.1
pod/lal ndeinka nu lowne , / e « i luh «
danym iloiunku. 1 1*2. I h i
poll Hgur plaakieh
- kolu. « *’
- k«adralu. 111
prmlokaU. 11 h
rombu a h lubpolona iloc/ynu pi/i
k4 inyth
- rownoleglohoku. i
trapc/u '
oatroalup. laka b n la. >c w pod vlawir icm
dowolny wlclokai. 11 touny bin./n«
troikaiam i. p r/co n ai 4 cymi «ic w icdiivni
punkcic /wunym wicr/cholkicm o»irou i odb k ia . • l« l
hi
h
h
- IrtikjU. ' a h
pole po»kr/i hni
odwiornwank. fu n k iu
tlupa
I hi
pi. ». l u 'i h a r / e i / y w u i a opi uiava •'.> unck d l u g n k i lu k u u krv g u do d l u « " ' u \t
V- ^ /' h
Obra/
dfU|M(o
wsmiuwun fiirrmni, m.i • .1111 kirn
iimtikim un lro|k^l!M>-»/. v idkmni,
1V6
obra/ fiiiury luh /bio ru /
i v m c i m ri«wn pla«kic| u k a p « - i a
kliSia d /w li i t f|gui« na « l» . kawathi.
k io n cli todmi |wi I m i r / a a y m i«Jhitirin
i r o i k a u m i r n » i i o b o c / i i \ m i IJ k i a » c d / i
1 >• w i«r/cliolkoi»
o b jr lo tt
- grvnia>lovlupa.
n* «tRH'lril hi*K Ithn>ln«t«|.. | m
fiauia\lo«lupa. %uma pol w i/y 'ik i.h
•nan
- lull l*fery|. 4irr'
. oiiroaiupa.>untap6 l»»/yiikn.hkiai>
• ito ika, * /l/ 1 fl
-
toruia, * n ‘ R r
walca. I » r |» *
h|
n '
p o k p c m t r m 'h n l b o c /n c l
-
g ra iiia o o slu p a
.u n u
pol
w ian
bo-
c /n v ch
-
i M i i - i l u p n . >u i t m p i ' l t o u m b o t / n y t h
-
tto /k a.
-
w alca,
p r/tiu n a a * p r fw ln k a . t 13
p r < « p u r/a d k o » a n k .
>»
p r / t p r m i n k a i i i a , p a ir/ iniik.il pm nok«lny
polrfa n wykladnlku ujrmnxn. \ 4.'. A1)
poiffn o « ) kladniku ulamkowtm. « 50
pra»a a n ttn rltk l. *. ' 6 - 2*
pr>«> rachunkimc dla pnifg, * *5
rvdtikt ja w vra /ft» p o d o b n u h , \ M
r r j t u l a g u l f / I . t .’•’‘ I
r v g u h 1‘a p p u t a . t IVI
mmb, rO«nuUglnhok. kli'rv ma w t/y ilkir boki icvlnukiiwci Jlugtntci Pr/ekntnc
roin bu tl/icU 'ic »# pi'l i in M ia m i lym ?-
priK cni.
irn r o m b u
nrl
2* ' A
u lam ck
/jp i< * n y
/c
/nakicin
ub rid .cm p r o p o r c o n a l n a d o pary pv.M
ro/klad ctfilo le l. pr/cd»taMiaiiiy /.i pomin..| tabelck. d ia g ra m s tlupkowych
kolowyth. kwudratowych Jc*li ro/klad
dotyc/v t/^ tio tti »/gJ;t)nyUi diagrumy
>« ulamkowc lubprocentowc, i 202,205
•dicli dla Kb dlu go tci a a c h o d /i ruw.no*;
2iW. 2 20 - 22.*
n r o.o t -
r .
p ro p o rci* . i i l w n o k
p ew ity ch u U m k iW
*
n- i :
proporcjonalnr udctnkl. p j r j t x k in k o u
ut
*
id
f»
proportion* 1bo4c p rm ta. : a W n n k okrc»lai«ui pvwn* (u nk cx . * 127
prMta prnatupadlt do p la w c rv /o ). laka,
k i i . i i p r /r c m a
p t a u c n m c i ie» l protlO fa d la t o naimnu:, J c Oitoch r 6 in y ch
p fM lych * ifi p W w / y in M /aw a rty c b
proair p rm rop a dk . Ukie >c ka>da J nich
l<«i . n u ty m clrn ill* p o / m u l r
p ro .tr r o a a o l c i k t a k i t .i c itlniri? p r/e tu n iftic k i . r t j<dr>a I m th p r /r p r o » u d / .i
n4 d i u | 4
n u i/rr/a n ir ulamkAw, lic/tuk i rnuinoum k u l a m k a mnicmy pomnolyC p r/c / ic
lanut lic/bc i w artok ulumka me rmicnl
n ltrd»noit"l.
p a ir/
m crrtv ,-
nok'
r o / w ^ / a n k rd w n a n ia , p . H r / rO M iium c
ro /n in lfck
d/ic» lv in c,
m uc/cj
p o alat
i l / i t t H l n a l i t / h y , n p l i c / b a p<M m u r o / w i nitrc ic i l / i c i i f l n r 0 . 5 , l i t / b a n o i c t l c n m a
ip/wimccic d /ir x fin t 101. lit/bo | m a
n u p4j - v / > m y k tu ra / a w if f a obk- i«l-
wym ierna m a ri)/wini«eic d / ir ii v i n r
skuftt/itnc luh nictkuA tvunc. ale ok rcv i*r l . u / h y m cwymu-rne m.u.i ru/vmmrn a n i n k n r t t/ u n c riicnkrriow *
rAwoaoia Mram>wa>nr, l u k ir .d l a k l m y t h
/liio r ri’/w m /aft i o i taki ta in Aby t m w k j /gad iuit jaki |cti / lu o r ro/w ui/nfi
t^iM n an ia ,p r/» k > /u lta m y if d o p r n i l i / c j
i n i t i a l , a k « IukI tpoiuMi >cby Ir
P '/ r k t / i a l t 4 n i a nn /m irn in ly ro /w i^ /.u l
rA nnank. / a n n l k j / u p it a n n / r /ii n k k m
l / ’Wiu.'ti i K i/d.i lit/b .i kliiM iprlnia
n .w n aiiit n.i/ywn .if f (i/w iq /« n k n i luwnum.i
/ m \ k I: m u rr .i j H m u <bi<lr
w>/>»ikicli ii'/w u i/,in rfiwn.iiii i i I IK
ra w n a a k M k in r e w r , < n I I'M
f iw iio k 'n li.h ik
k
m*
w « /> i|k ic k « ly * c » i m t f / n « p u M tc
p r w t l o p a d i n v l * n . g l a n u i l t n l y p p r ' M l y II
p o d t ' . i w u t h p r m u 'k r . > c. I>
41
-1
p r / n m d / m l / i n a (u n lc |4
'<
p r/« Iw p rm io k ^ u u , p a ir; u .
o .-k q ln y
k^i
pr i> .
p n r k w i a k c a k . Il i n k , n
p C /rkfiP \
fkwifDK.
p r/n w ifiic
» \k « /a r..
i
r w a o l r v k . p r / r k a / l a l ' -nu-
p > '» r.\in
p > /c iu rii< t4
71
a a k lv lrm
^ ' k t n r » ik « /u > c
K frtlk i.
» ja k im
k v r u n k a t ja k i l a k k n p r / c t u n i f i o
kunifcif it'iitanku*
P i/r-
m2. IH4 III. Ha
punki
p r / e c i « i a i n v l k i m y c b , d la rA w ii.j|f» lo Ivku
--
p u n k i pr/cciftiA p r u k a m y c h .
dla k o la -
t r o t l r k k o l a . i. I k 7 . I ‘>11
• 1X0
r A w n o k / b l o r 6 » / a t l n n l / i v u c j y i ly lk n
w t l d y . g d y / b i o r y l e t k l a d a l a *IC
r u t n i r a /b m ri'm , «
> 'y c h
22, 25
tain y c h clcm cniow . i
21
n u l . o b r a / f i it u ry v. p i / c k t / i a k c m u
kin-
i c j r v i r / u i n w a i i i c m . •. I h 0
r/u l kaw alrrtk i,
17 3. I ' l l
|*>;
■7 U I / l o t u p l a k a I w o i t k o v i y k t
173. IV I.
IV2
trodrk ndt inka, i flu 113, 1«<>
trodkona trfljkqta, > IH7
loru*. t IV7, IVH
r / u l rA w no lritly, m a t / e | i / u i o w i n u . pc-
I r a p r / , t'/ w n r i i k i |l k i . .r \ m u t o n a in m ic i
\» n a f u n k e ja / p r / c t i r / r m nu p lu .»/c/y/nv
icdnu purv b o k ftw r n w i i o k g l y t h
.
160 l u b / p U ' . / t / y / n y n u p r t » i u . » I r>K
r / u i p r o tlu p a d ty , |< r»iui f u n k t m . t
IM i
I n i j k u l p r t M l o k a l i f . Iu k i
/ f i r i l n i / K||i>
k i | t o « \ t i ' » r i { l r r i i y t h |C\l p r o n i y
». 174
r / u t n l a , p r / c n u j / i c i l / i n u funkcii. kio i.i
ical rruiovtnnlein.
iwi
t k a l a , w s k . v / u i c / m n i c | » / r i i » l u h .’M iv ki/c n ic
f i |( u r y .
np
-kulu
I 2 m d w i . Ic
\tt/y .tlk iL w y m ia ry lim u w r /rrin lc |t/n n o
d w u k rm n ir
kic
m y m iu ry
'k u ln 1
I m o w l. >r w '/ y t l -
lin m itc
/w iv 'k t/o m i lr/v -
k ru ln ic
ro /^ in ittic
p rin in k a l,
V odrk c k iio ftrl, dla irft|k«la
r t f d n a . p a i r / M ^p o lr/y d u c p u n k lu
rn /n la /a n k
prnMr tkutar, ill pal* pir tlych. Ic nu
hocwMm
rAwiuiU, w y ra J* m t /a p i t a n c rc /n a k ir m
r i w n o l c i tiw ic rd/.im tc , >e o cw nt d» ic
Ik/B y lub dvtu r b lu ry t«| rowna. > | im
rA »nolr(lohok, c /w o ru k ^ l, ktrtry ma
dwie p»ry hokilw ri'iuuolrglyth
ri'm n nk tKwunkim m lfd/y odt'lnkami.
1
0,31.1.
K u/da
lit/h u
nk lad a n k p r f n n n l f t , • 120, 121
•ikracank
ulam k rtw ,
iloprnw ikl/uilk
u lam ka d o p i . i ' . i ' / c i p o n t a t t p r / c / i c d i m c /o tm -
k icA k n ic w tp 6 ln « * o t / v n n i k a «
lic/n ik u i m ia n o w n ik u
trftjkai rftwiwibo»/ay, n u l»ikt inln ik.»wc) d l u g o k i
frnjt.nl ri'mnurainlriuiy, inu 2 hoki itijiuknuc| dlugiw ci
m lr n l/r n ir o k a c k tro d k o w im I «pKan y m o p a rlit-b n a ty m i i m i m lu k a . <
I i t l r r d / r n i r I ’U a e o n i t a , l i / f l l i r . . | k , | i i o l
p iiK ln k jin y . in k w a d ra l p r « ti » p i i i i U '-
t l u / r k , . IXX
k n i i i i 'i
tu n ta /binrAw. t ? I
Mima <dar/r6. s 225
t / r v i a n , ma ft ^ t i u i i k l o i i >il k w a d r a i a *
mi. 12 k r a » e O / i 1 H « i » r / i h o l k f i *
trrd nla a rylin rly c /na | x -w i u ' iii ’ tianu
p r / \ p r t > t i . i k . | i n v i Ii
l i t / b . l u m a w t / y n k l t b w y i a / i l w ir*«>CM-
gu (nitl/kloiiA p r /c / l i t ' / N MAru/ilw n
lym i iagu np. Jreilma aryim i-lyt/nu tutg u I, 2. I. 4. 5 wyniHi 15 ' - 3
irv d n k a ohrfgu. t if tiw a p r / r c h m l / i M
p r /i’» *riHlck leg o o k rc g u
|c il
row ny
tu m ir
kw u d iaio u
m k r d / r n w I i l i t a , » |H|
l«(ir/j|i-a tln>k». t I
i w o n a r a w alca. t
I K'i
u k la d d w ftjkony.
t k l a d d/fc'v iein \
ma
d / k ' » i f C t y f r II. I. 2 3 . 4 . 3 f t . 7 H . l I ' k U d
ilv io ik .iw ) n u i l w i r t v l r s 0 I k u / d a l i t v li^ i r « t / y w i « i a n m l n a / a p K . i . w u k l a i l / i r
d « .'|k o * y B i n p
J * (lOHj. | - (O.oioim i,
237
■ k b d rawnaa U aiv ru -h .« U<
15*
u lan irk. wyrilJcmc p»Mtau f . klort' Mlo;t
liw h c luh f u i l i i f . p o m m v
J>C p i n t l * / m k p o d /ic lu p r / c / mi»n o * in k " I lam k i '«f m n o /y , m n o / 4 «. Iic /n ik p r / r / lic /m k I m u n o w n i k prAti
wyaikl »prnjartcr .lancmu /dar/emu luMiw rmu. la k w k l 6 f» italri^ do /hioru,
kirtrs opwuif 10 Alnr/cnic. *, 210
p o d /k io ru
dancgo
1‘r i i f x i r i j t 1 »
/h io ru
~ »
I U m k i i i w v i i j i t / wyriJMC « p n v c i i l i t h
/M 6 r a a rto 4 c i lu n k c jl, p cw u-n p o d / h io r
m ia n i'w m k . ' p
*
5 4
JO
V. lam k i »«f .Io O .ik P>' u p rrc d n im »|>ioa a d / e n t u i c h d o a - p o l n c g o m iano w nika.
"r
j
«
4 i
'
4 ‘
' - 75*
4
j )
jo ‘
i + 15
*
' 1 - 40*.
»'
:>
- 115*,
J
p r / c c iw d / ir d / in y Iv j fu n k c n . s 5K
i M r a>nik<Va d o t w w d c / c n ia lo to w c g o .
1 1*W-2M)
/d a r/< t> « tW m c o la m r , / d u r / r m a w y /n a v / o i ic p r / c / ir d iio c lc m c m o w c p o d /h io r y
u n u / b « ir u » , > 2 1
o i l f t . i IkH
/ h i iT u w » /> \ik ic h m o / liw y c h w y n ik o w
a s / l o w h r / a r g k 4 n a l a r b > . o d k g lo a . I n
k / h v na o il nU /era. up
-
-
7 J
*.5
■
13
» * « • < faakcjl dla d a n c g o arg u m c n tu
►
f* n
• r k i o t * a k « /v j* a iakim k ic ru n k u i iak
iln lrk o p i / r v u n < u \ jr»l o k r rtlo n y p rtci
p o d a n ic a « p > d r/c d n y th k l o r t rapnujcm> a n a * ia u » .h k u 4 tlralow 7 t.l1. v
i n ' , t04. 15.1
> I m m v i r r a c a r t w a l g h f a . t | * J . 166.
1C
n p d r n n A p r o fo r r io a a ln o tti. 1 I ’ d
’ p aakla. W ukl.id.fK w»p,.|.
i /c d n y t fi
na p U t / c / y / n i c
p icra t/a
af*p/>lrrfdn*. / w v k k w /g led rn i o u pofiomei n « / \ w a n a i n i i n k < 14. drug*
n a /y w a n a ietl f / t d n *
i« yl - Irt*ki»ia. r /c d n a t, a p r r / jt d k u
a lf a h r iy c /a y m
««palr t | * i i a a i l a r a . % 101
• y k r t a fw k c ji, % W>. M * - » l , 1 V»
wyaih 4o»» I a4 c /rata l a a a a a f a . wynik
d / u iU n ia p r w n r g o n ' t t h a m y m u ln u-w t
go . t X*\
211
p c a n rg o d o tw w d c M B ia lo io w c g o
G dy
o p u u ic m y d o iw ia d c / c m a lo io w c d r / i wem
.1
1
H‘'»n.wu
p r / c / p o d a n ic p c a n c i w i u n o i d . » 21
writ. n n /w a »kriSI<«a.i o /n ncA ijq c u. pewnc po »l< po »an ic. iU|C/?«.ici pew ne wy.
ra> tnK a l(irh ra ic /n c n / n a k i r r o riSwnotd lu h h e / lego / n u k u I 'p n u u c c p c w in i
pr/epin r a c h u n k o w y
rhior g oal). I 2.1
I \
l l i \< I
H »/(•/•
l l u r I .'I M I M I I/ III -h
w , r a i y ' k r a j w p r o p o n jl, ■. 12
w>rmi> iro dk ow c proporcji, . 12
a y r e i r a k a lg c b r a ic /n r. v 2V
ayro /m a n ir
•S /> /'
k j / d c j p o ic d y n t/ c j g jlc / . i d r / c w j
■ •d p o w u d a p c w u c / d j * / c m r c lc m t n u r -
Iln u r 1 m
h y u r 1 p u jtifrn r
< rn iu -
10
//
C lr i) (m p e k i n a K i l f t y i v
M tltth i
/ ’
/./ih in
It
20
P iM k m ta
26
U n i f y . >r.l r « ; r m u u l g t h r a i c n u . J a H l i . c j r
H 1 r u i r n r n a lg r b r . iu rru
O f i t o i r u n ic m i*
iiim ih
29
. rctluA i / j i i r u / i t n / v ^ M i n , h
P r H i u \ k r i l l 1 rt i ih u n k l ’ w r
O u £c llcsh y
n iiilc I n z b i . m ' l d i / a * \ k / j j n i c s a
M n a ttn lf I
<m i
p iilfii
20 p )la h
Tiihllcr p t'lfK I p lc r n ia x lk t)*
h r ,i f \ I lube Ik 1
12
1
41
44
47
P r ; \ k l u J \ p o l f X <> k \k lu U n ik a ih m t k i ' * t l y t h
1/rdM i
J)
J (
1
u lu n ikov 1 < A
/.V
51
60
h ii n k i tc I H I’A r r n
M
K iljn t p n y k ta J y /tw k c ji
ft#
i< w > /n a c /o n c p r / c / p o jr d y n c / v w y n ik .
« 207.2IU
K u n n tr u k e jf g e a m c lry c z n c
/ d a r w o i a p n a d o p o d o b n c , t . 213
k iin i t r u i iM iin ie i i . l i m k o *
/d a r/rn la
K u n M n io K iin n p r m i \ i h p n /M u p u J h 1 h 1 p m t l y c h r i i n r n t l i f U r h
p n a cla n r,
p ix l/h io ru , a
p a ir / d o p c lm rn it:
22 *
Kan
r t f a r / m u w y k l o r / a M c r « i f . >.
1 211
(darunit pfwaa, tuma wa/yilkich /dar / r n c k m c m a r n y ih ,
t 21 i
ilqeit*n.h»r*mt *
:i
/W /rak p ru au n M ,
u n k a a a . k I .In
> 121
r m k a a a a i r r a k t a a , 1 64
/ m k n n a im U tm n , M
( r n c lk t m r 1 k i / l > w p u a n i
112
M
91
22H
/ d a r / r a l r Im o w r. / d a r / c n i c w y / n a c / n n r
p r / c / p e a it 11 p o d / h m i / h i o r u w v y a t k k 'h
m n/liw y c h wynikrtw p e w n e g o d o i a u d v /cnia IxMiwcgo G d y o p u u ic m y di>t w ia d r /c n ic lin n w c d r /c w c m . / d * r / c n ic
a y / n a c / o n « )r*l p r w / Ic K-ilc/ir. klOrc
daja wyniki tpnryiajiicc Icm u / d a r / c n t u ,
». 207. 210
a d a rm u c a irm o /tiw r,
k q ld w 1 Ir4 )k q til*
r r z a u n i ( c i a n itc m ilrg lr
/u H ijw u u n ic M rk liiriw
#6
l%
r : n u n i f i Hi I w r k l o n n a / i a a c u n k
K ill . t M i n l n n x rnl/Aiffu
100
I0 H
I A lu d w \ p i> lr : f d n \ t h w p r : e . \ l r : r m
P r w s u n l f c i a I w r k lo r y » p r : r t l r : c n i
109
112
ShlaJanu- prtctunifi u ihiiLi»untr *rk turn*
II'
F u n k c j r U m in w t
N itrh ilrn ir
122
I ’n t p n rc /iir u ln u M p m 11a
12'
/ W i A t / r It n t a w r
IS I
R m r u n u i Hitpnui p n -r* s:i-g ,i
N irrd w n v iil
: irJnn ziwhumAiiw*
/'»
144
t k l u J i r im m m h n m v i e h
I4 t
L k lu th r o u m in : n i « r i M l J + u n u i
m vm i
1 56
2.W
R z a ty rdwm>U'KU na plaszczyzn ii
P r:\kh u l\ rzulu rAwm‘legitgo
159
MlasrwJi i rzutu ri>*milrglrgi> 164
Aft vi>Hunit' i i’J , z \i\w a n lf r\<unki)H « rzucif rdwnoUglym
I 'I
T w irrd ztn ie TeJexa
.,Radar" 177
Tmrrdzenw 7 ulrui
l 78
Z u to uiw a n ta iwirrdsema Totesa
182
F ig u ry o b ro lo w t
MaU f. sii'it k kulu
188
R :u iy rriwnolfRle kola. kuh. walca. \to tk a
Ofrliczanur nhffio.iri
195
Torus
19*
190
Z d a rze n ia to xo w t
Prz\r:q<l\ Jo loxiwunta
19V
C z^\iaiil dotwunU :utm‘ 201
C zfslM tt teorrii rznr
205
Gra Przt'proMU przrz r :r k f
208
/J a rzrn ia
210
/.Jarzrnia [H-Hnc. n tr m o jim prandopotlohnc
212
Gra .Ozlw/if knsiki"
214
f)Mgram\ pr<n entOHf / diugrann ulanikow? 217
Suma i i/oi :yn .durzrn
225
/du rzrn u t prztriw nr i zdurzrnia *yklu< zajifCr sl( / 226
Klo p irr* w y traji m ta rt: »•' 228
S lo w n iczek
232
Kana podrfr/aika
Lp
1
2
i
4
l«n*c I aa/wuku uc/nui
Kok
t/kolny
Occmi »t;inu pi>Urct/nik<i
(bdb. ilh.,<lo»l 1
na poc/alku
roku i/k
n« koiWu
roku »/k

Podobne dokumenty