Kulka i grawitacja

Kulka i grawitacja
Jacek Izdebski
5 stycznia 2002 roku
Zadanie
Zbadać ruch kulki materialnej poruszającej się wzdłuż prostoliniowego kanału przewodzącego przez środek Ziemi, jeżeli wiemy, że wewnątrz Ziemi siła
działająca na kulkę jest proporcjonalna do jej odchylenia od środka Ziemi i
jest skierowana do jej środka.
Rozwiązanie
Aby określić w jaki sposób porusza się kulka opisana w zadaniu należy najpierw ustalić postać siły na nią działającej. Na powierzchni Ziemi na kulkę
działa ciężar
GM m
F =
R2
gdzie G jest stałą powszechnej grawitacji, M oznacza masę Ziemi, m to masa
kulki, R to promień Ziemi.
Jeżeli kulka znajduje się pod powierzchnią Ziemi to wtedy siła grawitacji
działająca na nią pochodzi tylko od tej części masy planety, jaka znajduje
się we wnętrzu wyobrażonej sfery o promieniu r równym odległości kulki od
środka Ziemi. Masę taką można wyrazić wzorem
Msf ery = V ρ
gdzie V jest objętością sfery, ρ oznacza gęstość planety (zakładamy, że Ziemia
jest jednorodna). Idąc dalej wzór powyższy można zapisać wprost
4
Msf ery = πr3 ρ
3
Na tej podstawie możemy zapisać wyrażenie na siłę we wnętrzu jednorodnej
planety
Gm 4
F = 2 πr3 ρ
r 3
1
4
F = Gm πrρ
3
W zadaniu nie ma nigdzie mowy o gęstości Ziemi ale można ją obliczyć dzieląc
jej masę przez objętość.
3
ρ=M
4πR3
Po podstawieniu do prawa powszechnego ciążenia otrzymamy
3
4
F = Gm πrM
3
4πR3
Aby zaznaczyć,że siła jest skierowana przeciwnie do kierunku promienia
przed wyrażeniem należy dostawić minus, a wtedy
F =−
GM m
r
R3
Widać teraz wyraźnie jaka jest dokładnie zależność F (r). Można teraz wykorzystać drugą zasadę dynamiki Newtona
F = ma
czyli
GM m
d2 r(t)
r
=
m
R3
dt2
GM
d2 r(t)
− 3 r=
R
dt2
Otrzymaliśmy równanie, którego rozwiązaniem jest funkcja r(t), której druga
pochodna jest równa tej funkcji pomnożonej przez stałą. Spróbujemy zgadnąć
rozwiązanie. W przypadku wahadła sprężynowego jest również liniowa zależność siły od położenia, a rozwiązaniem jest funkcja typu r(t) = A cos(ωt).
Druga pochodna tej funkcji jest więc równa
−
d2 r(t)
= −Aω 2 cos(ωt)
2
dt
Można zauważyć, że
d2 r(t)
= −ω 2 A cos(ωt) = −ω 2 r(t)
dt2
Można to porównać z równaniem dotyczącym bezpośrednio tego zagadnienia,
a okaże się, że
GM
ω2 = 3
R
2
Warto zwrócić uwagę, że
GM
R2
= g więc
ω2 =
g
R
czyli
g
R
Naturalnie amplituda drgań nie może być większa niż R (gdy A = R wtedy
ruch kulki zaczyna się z powierzchni Ziemi).
Ostatecznie możemy zapisać, że zależność położenia od czasu jest opisana
funkcją
r
g
t
r(t) = R cos
R
Okazuje się, że kulka będzie poruszać się ruchem periodycznym o okresie
ω=
r
s
2π
R
= 2π
T =
ω
g
3