wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła

Sprawozdanie z laboratorium
Imię i nazwisko:
Wydział:
Nr ćwiczenia: Data
101
21.10.2009
Joanna Skotarczyk
Prowadzący:
Informatyki
i Zarządzania
Przygotowanie:
Semestr:
III
Wykonanie:
Grupa:
I5.1
Nr lab.:
1
Ocena:
dr Tomasz Runka
WYZNACZANIE PRZYSPIESZENIA ZIEMSKIEGO ZA POMOCĄ
WAHADŁA REWERSYJNEGO I MATEMATYCZNEGO
Wiadomości teoretyczne:
Pod wpływem siły ciężkości wahadła fizyczne i matematyczne wykonują ruch drgający, który
w zakresie niewielkich amplitud jest ruchem harmonicznym. Okres tego ruchu zależy od
właściwości wahadła oraz przyspieszenia ziemskiego.
Wahadło fizyczne – każde ciało sztywne mogące się wahać wokół osi poziomej, na które w
momencie wychylenia z położenia równowagi działa moment siły ciężkości, który przyczynia
się do zmniejszenia wychylenia.
= −
=
I – moment bezwładności ciała względem punktu zawieszenia
– przyspieszenie kątowe
– kąt wychylenia z położenia równowagi
L – odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości ciała
Na podstawie powyższego równania można zauważyć, że ruch wahadła fizycznego w ogólnym
przypadku nie jest ruchem harmonicznym (przyspieszenie kątowe jest proporcjonalne do sinusa
kąta wychylenia, a nie do samego kąta). Biorąc pod uwagę te założenia, oraz przyjmując, że dla
małych amplitud sin = otrzymujemy zależność określającą okres wahadła fizycznego:
=2
mgL – moment kierujący
Wahadło matematyczne – w jego przypadku masa układu skupiona jest w jednym punkcie,
który jest środkiem ciężkości. Połączenie pomiędzy środkiem ciężkości a punktem zawieszenia
interpretuje się jako nieważką nić. Okres wahadła matematycznego wynosi:
=2
l – długość wahadła
Długość zredukowana wahadła fizycznego – długość wahadła matematycznego dobrana w
sposób, aby jego okres był równy wahadłu fizycznemu. Można ją wyznaczyć przyrównując
okresy drgań obu wahadeł:
=
Wyznaczenie długości zredukowanej ułatwia wahadło rewersyjne zwane także odwracalnym.
Przebieg ćwiczenia:
1. Wprowadzenie w szczelinę czujnika fotoelektrycznego kulki wahadła matematycznego.
Uregulowanie jego długości tak, aby kreska na kulce była na jednym poziomie z kreską
zaznaczoną na czujniku. Odczytania długości wahadła.
2. Wychylenie wahadła o niewielki kąt oraz trzykrotne zmierzenie czasu 10 wahnięć.
Obliczenie okresu T wahań wahadła matematycznego.
3. Powtórzenie pomiarów dla innych wartości długości wahadła.
4. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego.
5. Wyliczenie średniej wartości przyspieszenia ziemskiego oraz odchylenia
standardowego średniej.
6. Umocowanie ostrz A i B w pobliżu końców wahadła i zmierzenie ich odległości.
Umocowanie soczewki S2 na zewnątrz ostrzy, w pobliżu ostrza B.
7. Umocowanie soczewki S1 między ostrzami w pobliżu ostrza A.
8. Zmierzenie czasu około 10 wahnięć wahadła zawieszonego na ostrzu A. Obliczenie
okresu TA.
9. Zmienianie położenia soczewki S1 w całym zakresie pomiędzy ostrzami i powtórzenie
pomiarów TA.
10. Odwrócenie wahadła.
11. Zmienianie położenia soczewki S1 w całym zakresie pomiędzy ostrzami i powtórzenie
pomiarów TB.
12. Wykonanie wykresów okresów TA i TB w funkcji położenia soczewki S1.
13. Oszacowanie błędu odczytu punktu przecięcia na wykresie oraz błędu wyznaczania
okresu.
14. Obliczenie przyspieszenia ziemskiego g.
15. Obliczenie błędu g.
16. Zestawienie wyników i ich błędów.
Wyniki pomiarów:

Wahadło matematyczne:
L.p.
Długość
wahadła
[ ]
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.

0,15
0,2
0,42
Liczba wahnięć
Czas wahnięć
10
10
10
10
10
10
10
10
10
[ ]
7,813
7,800
7,812
8,983
8,969
8,995
12,961
12,969
12,993
Wahadło rewersyjne:
Położenie
ostrza A
[ ]
0,09
Położenie
ostrza B
[ ]
1,01
Położenie
soczewki nr 2
[ ]
1,20
L.p.
Położenie
soczewki nr
1
[ ]
0,14/0,191
0,24
0,34
0,44
0,49
0,54
0,64
0,74
0,84
0,94
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Ilość
wahnięć
Czas ruchu
(oś obrotu A)
Czas ruchu
(oś obrotu B)
10
10
10
10
10
10
10
10
10
10
[ ]
20,551
19,842
19,185
18,628
18,410
18,246
18,161
18,630
20,185
24,479
[ ]
19,709
19,569
19,223
19,021
18,977
18,956
19,002
19,143
19,367
19,661
Obliczenia:

Wahadło matematyczne:
Dokonano obliczeń:

∑
Wartości średniej czasu ruchu (na podstawie średniej arytmetycznej): ̅ = .

Okresu ruchu wahadła:

Przyspieszenia ziemskiego dla poszczególnych długości wahadła:

Średniej arytmetycznej przyspieszenia ziemskiego: ̅ =
= .
∑
.
.
Wyznaczono wartości błędów pomiarowych:

Wahadła matematycznego z dokładnością do milimetrów (zgodnie z miarką
zamieszczoną na wahadle).

Średniej długości czasu ruchu: ∆ ̅ =


Okresu ruchu wahadła:∆ = ∆ .̅
Przyspieszenia ziemskiego (z zastosowaniem różniczki logarytmicznej):
∆

=
∆
+ −2
∆
∑(
(
̅)
)
.
.
Odchylenia standardowego średniej arytmetycznej: ∆ ̅ =
∑(
(
)
)
.
Błąd długości
wahadła
∆[ ]
0,01
1
Długość
wahadła
Średni czas
ruchu
Błąd czasu
ruchu
Okres
ruchu
Błąd
okresu
ruchu
[ ]
0,15
0,2
0,42
̅[ ]
0,78083
0,8982
1,2883
∆ ̅[ ]
0,00015
0,0002
0,0018
[ ]
0,78083
0,8982
1,2883
∆ [ ]
0,00015
0,0002
0,0018
Położenie soczewki nr 1 dla osi obrotu A: 0,14m, dla osi obrotu B: 0,19m
Błąd
Przyspieszenie
przyspieszenia
ziemskie
ziemskiego
[ ]
∆ [ ]
9,71
0,66
9,8
0,5
9,99
0,27
Średnia przyspieszenia
ziemskiego
̅[ ]
9,83

Błąd przyspieszenia
ziemskiego
∆ ̅[ ]
0,09
Wahadło fizyczne:
Dokonano obliczeń:
|
|

Odległości pomiędzy ostrzami: =

Okresu ruchu wahadła wobec osi obrotu A oraz wobec osi obrotu B:

Przyspieszenia ziemskiego dla różnych wartości położenia soczewki nr 1:
.
= .
Wyznaczono wartości błędów pomiarowych:
 Położenia ostrza A, ostrza B, soczewki nr 1 oraz soczewki nr 2 z dokładnością
do milimetrów (zgodnie z miarką zamieszczoną na wahadle).

Odległości pomiędzy ostrzami: ∆ =

Okresu ruchu wahadła (z zastosowaniem różniczki zupełnej): ∆ =

Przyspieszenia ziemskiego (z zastosowaniem różniczki logarytmicznej):
∆ =
∆
+ −2
∆
∆
+
∆ .
∆ .
.
Wykonano wykres:
 Okresów TA i TB w funkcji położenia soczewki S1. Na tej podstawie
wyznaczono jednakowy okres T dla obu zawieszeń, a także oszacowano błąd
odczytu punktu przecięcia na wykresie.
Błąd położenia
ostrza A, ostrza B,
soczewki nr 1
i soczewki nr 2
∆ ,∆ ,∆ ,∆ [ ]
0,01
Odległość
pomiędzy ostrzami
Błąd odległości
pomiędzy ostrzami
[ ]
0,92
∆[ ]
0,02
Błąd czasu ruchu
(oś obrotu A)
∆ [ ]
0,001
Położenie
soczewki nr 1
[ ]
0,14/0,19
0,24
0,34
0,44
0,49
0,54
0,64
0,74
0,84
0,94
Okres według osi
A
[ ]
2,0551
1,9842
1,9185
1,8628
1,8410
1,8246
1,8161
1,8630
2,0185
2,4479
Błąd czasu ruchu
(oś obrotu B)
∆ [ ]
0,001
Błąd okresu
według osi A
∆ [ ]
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
Okres według osi
B
[ ]
1,9709
1,9569
1,9223
1,9021
1,8977
1,8956
1,9002
1,9143
1,9367
1,9661
Błąd okresu
według osi B
∆ [ ]
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
0,0001
.
2,45
2,4
2,35
2,3
2,25
Okres [s]
2,2
2,15
2,1
według osi A
2,05
według osi B
2
1,95
1,9
1,85
1,8
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1
Położenie soczewki [m]
Błąd
Wartość
wartości
okresu
okresu
Błąd
Położenie
Odległość
położenia
soczewki
pomiędzy
soczewki
nr 1
soczewkami
nr 1
Błąd
odległości
pomiędzy
soczewkami
[ ]
∆ [ ]
[ ]
∆ [ ]
[ ]
∆[ ]
1,925
0,005
0,33
0,79
0,01
0,01
0,87
0,41
0,02
0,02
Błąd
Przyspieszenie
przyspieszenia
ziemskie
ziemskiego
∆
9,27
-
0,27
-
Dyskusja błędów:
Wyniki otrzymane poprzez dokonanie pomiarów za pomocą wahadła matematycznego
pozwalają w miarę dokładnie wyznaczyć wartość przyspieszenia ziemskiego. Również wyniki
uzyskane za pomocą wahadła rewersyjnego nie odbiegają zbyt znacząco od oczekiwanych.
Przy pomiarach dotyczących wahadła rewersyjnego, z wyników otrzymanych poprzez
odczytanie odpowiednich wartości z wykresu, przy dalszej analizie odrzucono ten, którego
środek ciężkości soczewek znajduje się pośrodku ostrzy.
Na fakt, iż uzyskane pomiary nie są idealne, wpływ mają przede wszystkim warunki, w jakich
doświadczenie zostało przeprowadzone. Wszystkie wyniki obarczone są pewnym błędem
pomiarowym, jednak z łatwością można zauważyć, że w przypadku wahadła matematycznego
błąd ten maleje wraz z wydłużaniem wahadła. W związku z tym można by go zminimalizować
wykonując pomiary dla dużo większych długości wahadła. Wówczas jednak otrzymany pomiar
byłby mniej dokładny.
Podczas obliczeń pominięto rozciągliwość nici oraz siły oporu działające na wahadła.
Wnioski:
Ogólnie przyjęto, iż za wartość przyspieszenia ziemskiego przyjmuje się 9,80665
.
Przeprowadzone doświadczenie pokazały jak korzystając z wahadeł, w łatwy sposób można
ową wartość wyznaczyć. Na podstawie obserwacji wyników można stwierdzić, że wynik
uzyskany za pomocą wahadła matematycznego jest dokładniejszy od tego otrzymanego
poprzez użycie wahadła rewersyjnego. Wpływ ma na to przede wszystkim bardziej
skomplikowana budowa oraz praca tego drugiego.
Uzyskane podczas ćwiczenia wyniki są dość satysfakcjonujące. Aby otrzymać jeszcze
dokładniejsze pomiary należałoby skorzystać z idealnie skonstruowanych wahadeł
znajdujących się w odpowiednich warunkach (tak aby nić była nierozciągliwa, a na wahadło
działała tylko siła grawitacji).