rozniczkowanie numeryczne

Rozniczkowanie numeryczne
Różniczkowanie numeryczne
Pochodna funkcji y  f (x) jest definiowana następująco
dy
f ( x  x)  f ( x)
 f ' ( x)  lim
x0
dx
x
(0.1)
Dla skończonej wartości Δx otrzymujemy ze wzoru (0.1) przybliżoną wartość
pochodnej, tym dokładniejszą, im mniejsza jest wartość Δx.
Wartość pochodnej funkcji f (x) w punkcie x  x0 jest równa tangensowi kąta
nachylenia stycznej do krzywej f (x) w punkcie x0 , f ( x0 ) .
Pochodna jest miarą szybkości zmiany funkcji f (x) wraz ze zmianami x.
W punkcie, w którym wartość pochodnej jest równa zeru występuje ekstremum
funkcji (minimum lub maksimum). Styczna do krzywej w tym punkcie jest pozioma – równoległa do osi odciętych x.
2014-10-14 23:23:00
1/7
Rozniczkowanie numeryczne
2014-10-14 23:23:00
2/7
Rozniczkowanie numeryczne
1. Różniczkowanie numeryczne - przypadek ciągły
Dane:
y  f ( x)
(1.1)
oraz h  0 , gdzie h  x  xi1  xi
Pochodna prawostronna f(x) w punkcie x0
f ' x0  
f x0  h   f x0 
h
(1.2)
Pochodna lewostronna f(x) w punkcie x0
f ' x0  
f x0   f x0  h 
h
(1.3)
Pochodna centralna f(x) w punkcie x0
f ' x0  
f x0  h   f x0  h 
2h
(1.4)
2014-10-14 23:23:00
3/7
Rozniczkowanie numeryczne
2. Różniczkowanie numeryczne - przypadek dyskretny
Dane:
x0, x1, ..., xn
(2.1)
oraz
y0 = f(x0), y1 = f(x1), ..., yn = f(xn)
(2.2)
gdzie
xi1  xi  h
dla i  0, 1,  , n
(2.3)
Pochodna prawostronna
f ' xi  
f xi 1 )  f ( xi  f xi  h   f ( xi )

xi 1  xi
h
(2.4)
Pochodna lewostronna
2014-10-14 23:23:00
4/7
Rozniczkowanie numeryczne
f ' xi  
f xi )  f ( xi 1  f xi   f ( xi  h)

xi  xi 1
h
(2.5)
Pochodna centralna
f ' xi  
f xi 1 )  f ( xi 1  f xi  h   f ( xi  h)

xi 1  xi 1
2h
(2.6)
3. Różniczkowanie numeryczne - rozwinięcie funkcji w szereg Taylora
Funkcję y(x) rozwijamy w otoczeniu punktu xi
h2
h3
yi1  yi  h yi 
yi  yi 
2!
3!
(3.1)
h2
h3
yi1  yi  h yi 
yi  yi 
2!
3!
(3.2)
Po podzieleniu wzorów (3.1) i (3.2) przez h otrzymujemy
yi 1  yi h
h2
yi 
 yi  yi 
h
2!
3!
(3.3)
yi  yi 1 h
h2
yi 
 yi  yi 
h
2!
3!
(3.4)
Po zsumowaniu równań (3.3) i (3.4) i podzieleniu wyniku stronami przez 2 dostajemy
yi 1  yi 1 h2
yi 
 yi 
2h
3!
(3.5)
Gdy uwzględnimy tylko pierwsze wyrazy prawych stron równań (3.3) - (3.5)
otrzymujemy kolejno
- iloraz różnicowy przedni (przybliżenie pochodnej prawostronnej)
yi 
yi 1  yi
h
e  o(h)
(3.6)
- iloraz różnicowy wsteczny (przybliżenie pochodnej lewostronnej)
2014-10-14 23:23:00
5/7
Rozniczkowanie numeryczne
yi 
yi  yi 1
h
e  o(h)
(3.7)
- iloraz różnicowy centralny (przybliżenie pochodnej centralnej)
yi 
yi 1  yi 1
2h
e  o( h 2 )
(3.8)
Ilorazy różnicowe przedni i wsteczny mają dokładność pierwszego rzędu, natomiast iloraz różnicowy centralny ma dokładność drugiego rzędu.
4. Ilorazy różnicowe dla pochodnych wyższych rzędów
Iloraz różnicowy przedni
yi  2  yi 1 yi 1  yi

yi1  yi
y  2 yi 1  yi
h
h
yi 

 i2
h
h
h2
(4.1)
Iloraz różnicowy wsteczny
yi  yi 1 yi 1  yi  2

yi  yi1
y  2 yi 1  yi  2
h
h
yi 

 i
h
h
h2
(4.2)
Iloraz różnicowy centralny
yi 
yi1 / 2  yi1 / 2
h
yi 1  yi yi  yi 1

y  2 yi  yi 1
h
h

 i 1
h
h2
(4.3)
5. Różniczkowanie numeryczne – zastosowanie interpolacji
Dane:
x0, x1, ..., xn
(5.1)
oraz
y0 = f(x0), y1 = f(x1), ..., yn = f(xn)
(5.2)
Postać funkcji y = f(x) jest lub nie jest znana. Zakładamy, że funkcja ta ma pochodne aż do rzędu n + 1 w przedziale (a, b) zawierającym punkty x0, x1, ..., xn.
2014-10-14 23:23:00
6/7
Rozniczkowanie numeryczne
Należy obliczyć pochodne funkcji różnych rzędów w przedziale xmin  x  xmax ,
gdzie xmin = min xi oraz xmax = max xi.
Zadanie to można rozwiązać w sposób przybliżony poprzez znalezienie wielomianu interpolacyjnego F(x) i założenie, że
f k  ( x)  Fk  ( x)
(5.3)
Błąd bezwzględny tej metody można oszacować tylko dla węzłów interpolacji
wykorzystując poniższe twierdzenie.
TWIERDZENIE 1
Jeżeli w przedziale (a, b)
f n 1 x   M
gdzie M jest stałą, to
f
k 
M
dk
x  x0 x  x1   x  xn 
xi   F xi  
n  1! dx k
 x  xi 
k 
(5.4)
2014-10-14 23:23:00
7/7