Pochodna rzędu drugiego i wzór Taylora w wykładniczym rachunku

M A T H E M A T I C A L
E C O N O M I C S
No. 4 (11)
2007
Tadeusz Janaszak
(Wrocław)
POCHODNA RZĘDU DRUGIEGO I WZÓR TAYLORA
W WYKŁADNICZYM RACHUNKU RÓŻNICZKOWYM
Abstract. This paper presents a construction of the classical differential calculus by means
of exponential functions, logarithmic functions or power functions. In this article is demonstrated the construction of second derivative in paralel differential calculus. The Taylor
theorem in paralel differential calculus is proved.
Key words: derivative, second derivative, Taylor polynomial, Taylor theorem, differential
calculus, exponential calculus, logarithmic calculus, power calculus, paralel differential
calculus, linear function, logarithmic function, power function, exponential function.
1. Wstęp
Konstrukcja klasycznej pochodnej jest oparta na użyciu funkcji liniowych do lokalnej aproksymacji dowolnych odwzorowań. W pracy T. Janaszaka (2003) pokazano, że funkcje liniowe można zastąpić trzema innymi
rodzajami funkcji: wykładniczymi, logarytmicznymi i potęgowymi. Aproksymując dowolne odwzorowania takimi funkcjami, otrzymuje się pojęcia
korespondujące z klasycznymi wynikami. Formy rachunku różniczkowego
zbudowanego na podstawie wymienionych funkcji nazwano równoległym
rachunkiem różniczkowym. Istnieją trzy formy równoległego rachunku
różniczkowego: rachunek różniczkowy oparty na funkcjach wykładniczych,
logarytmicznych i potęgowych. W cytowanej pracy pokazano wersje klasycznych twierdzeń Lagrange′a i Cauchy′ego w równoległych rachunkach
różniczkowych: wykładniczym, logarytmicznym i potęgowym. W niniejszej
pracy pokażemy konstrukcję drugiej pochodnej w wykładniczym rachunku
różniczkowym. Pokażemy także, iż w rachunku wykładniczym można
wykonać konstrukcję odpowiadającą klasycznemu wzorowi Taylora. Podobne wyniki można uzyskać dla rachunku logarytmicznego i potęgowego.
Tadeusz Janaszak
126
2. Druga pochodna w rachunku klasycznym
Klasyczną, czyli liniową pochodną dowolnej funkcji y = f(x) w punkcie
x0 nazywamy bądź styczną liniową y – y0 = a1 ⋅ (x – x0), gdzie y0 = f(x0), bądź
współczynnik kierunkowy stycznej, przy czym stosuje się oznaczenie
a1= f ′(x0). Styczność rozumie się w ten sposób, że różnica między funkcją
y = f(x) a jej liniowym przybliżeniem wynosi o(x – x0). Jeśli pochodna
istnieje w każdym punkcie pewnego przedziału V, to mamy do czynienia
z nową funkcją f ′(x) określoną na przedziale V. W klasycznym rachunku
różniczkowym rozważa się różniczkowalność funkcji f ′. Jeśli istnieje pochodna tej funkcji w punkcie x0, to jej wartość oznacza się symbolem f ′′(x0)
i nazywa się drugą pochodną funkcji y = f(x) w punkcie x0.
Wzór Taylora łączy wartości pierwszej i drugiej pochodnej ze współczynnikami wielomianu drugiego stopnia aproksymującego lokalnie funkcję
y = f(x). Jeśli bowiem funkcje f oraz f ′są określone na przedziale V i funkcja
f ′ ma w punkcie x0 pochodną a2 = f ′′(x0), to funkcja y = f(x) jest aproksymowana za pomocą stycznego do niej wielomianu drugiego stopnia:
y = A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 ) ,
2
(1)
f ′′( x0 )
a2
=
,
2
2
a styczność między aproksymowaną funkcją y = f(x) i wielomianem jest
rzędu drugiego, czyli różnica między nimi wynosi o(x – x0)2. Środkiem
dowodowym pokazującym słuszność wzoru Taylora jest twierdzenie Cauchy′ego. W klasycznym dowodzie wzoru Taylora dla wielomianu rzędu dwa
oblicza się granicę wyrażenia:
gdzie A0 = y 0 = f ( x0 ) , A1 = a1 = f ′( x0 ) oraz A2 =
r (x )
( x − x 0 )2
,
(2)
w punkcie x0, gdzie
r ( x ) = f ( x ) − ( A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 ) 2 ) .
(3)
Funkcja r(x) jest ciągła. Wynika to stąd, że wielomian (1) jest funkcją
ciągłą oraz funkcja f(x) również jest ciągła, gdyż z założenia jest różniczkowalna w całym przedziale V, a różniczkowalność jest mocniejszą własnością od ciągłości. Są zatem spełnione założenia twierdzenia Cauchy′ego,
a więc zachodzi równość
Pochodna rzędu drugiego i wzór Taylora…
127
r( x)
r′(u )
=
,
2
( x − x0 )
2(u − x0 )
gdzie punkt u leży w przedziale od x0 do x. W związku z tym jest spełniona
równość:
f ( x ) − ( A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 )2 )
( x − x0 )
2
=
f ′(u ) − A1 − 2 A2 (u − x0 )
,
2(u − x0 )
czyli
r( x)
1 f ′(u ) − f ′( x0 ) − a2 ⋅ (u − x0 )
= ⋅
.
2
( x − x0 )
2
u − x0
(4)
Liczba a2 jest pochodną funkcji f ′(u) w punkcie x0, więc z definicji pojęcia pochodnej funkcji f ′(u) w punkcie x0 wynika, że prawa strona wyrażenia (4) zmierza do zera, gdy u – x0 zmierza do zera, stąd wynika, że wyrażenie (2) zmierza do zera, gdy x zmierza do punktu x0, gdyż punkt u jest położony między punktami x0 do x. Prawdziwa zatem jest klasyczna równość:
f ( x ) = A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 )2 + o( x − x0 )2 .
(5)
W podręcznikach analizy matematycznej powyższe rozumowanie jest
na ogół przedstawiane w sposób indukcyjny dla pochodnych dowolnego
rzędu. Pokażemy teraz, jak to rozumowanie przenosi się na równoległe
rachunki różniczkowe.
3. Druga pochodna w wykładniczym rachunku różniczkowym
Pochodną wykładniczą funkcji y = f(x) w punkcie x0 nazywamy bądź
styczną do niej funkcję wykładniczą y = y 0 ⋅ a x − x0 , bądź podstawę tej stycznej wykładniczej, czyli liczbę a. Przyjmuje się wówczas oznaczenie
a = f 0(x0). Warunek styczności można ujmować, posługując się pojęciem o:
różnica między funkcją y = f(x) i funkcją y = y 0 ⋅ a x − x0 jest o(x – x0):
f ( x ) = y0 ⋅ a x − x0 + o( x − x0 ),
(6)
lub za pomocą pojęcia ω, a mianowicie:
f ( x ) = y0 ⋅ a x − x ⋅ ω ( x − x0 ),
(7)
Tadeusz Janaszak
128
przy czym reszta ω(x – x0) spełnia warunek:
lim [ω ( x − x0 )]
1
= 1,
(8)
ln (ω ( x − x0 ) )
= 0.
x → x0
x − x0
(9)
x − x0
x → x0
co jest równoważne warunkowi:
lim
Ze wzorów (8) i (9) wynika, że ln (ω ( x − x0 ) ) = o( x − x0 ), co jest równo-
ważne: exp ( o( x − x0 ) ) = ω ( x − x0 ).
Załóżmy teraz, że funkcja y = f(x) ma pochodną wykładniczą w każdym
punkcie przedziału V1. Założenie to implikuje ciągłość funkcji y = f(x), poza
tym na przedziale V dana jest nowa funkcja f o ( x ) . Załóżmy, że ta funkcja
ma w punkcie x0 pochodną wykładniczą równą b. Liczbę tę uznajemy za
drugą pochodną wykładniczą funkcji y = f(x) w punkcie x0. Przyjmujemy
oznaczenie b = f oo ( x0 ) . Rozważmy teraz funkcję:
y = B0 ⋅ B1
x − x0
⋅ B2
( x − x0 ) 2
gdzie B0 = f ( x0 ), B1 = a = f o ( x0 ), B2 = b =
Obliczmy pochodną wykładniczą tej funkcji:
y o = B1 ⋅ B2
2⋅( x − x0 )
,
(10)
f oo ( x0 ).
= B1 ⋅ b x − x0 . .
(11)
Druga pochodna wykładnicza funkcji (10), czyli wykładnicza pochodna
funkcji (11), wynosi b, tak więc funkcja y = f(x) i funkcja (10) mają w punkcie x0 identyczne drugie pochodne wykładnicze, przy czym dla funkcji
y = f(x) zakładamy tylko istnienie drugiej pochodnej wykładniczej w tym
jednym punkcie, natomiast funkcja (10) ma pochodną wykładniczą rzędu
drugiego na całej prostej i ta pochodna jest funkcją stałą wszędzie przybierającą wartość b. Zapiszemy równość będącą odpowiednikiem równości (5)
f ( x ) = B0 ⋅ B1
1
x − x0
⋅ B2
( x − x0 )2
⋅ ω ( x − x0 )2 .
(12)
Pochodna wykładnicza w danym punkcie istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje
klasyczna pochodna liniowa w tym punkcie, więc założenie istnienia pochodnej wykładniczej w każdym punkcie przedziału V jest równoważne istnieniu w każdym punkcie pochodnej liniowej.
Pochodna rzędu drugiego i wzór Taylora…
129
Jest to wzór Taylora rzędu dwa dla wykładniczego rachunku różniczkowego. Aby wykazać jego prawdziwość, należy udowodnić, że dla x → x0
granica wyrażenia


f ( x)


( x − x0 )
( x − x0 )2
⋅ B2
 B0 ⋅ B1

1
( x − x0 )2
(13)
wynosi jeden, co jest równoważne wynikowi, że granica wyrażenia
ln f ( x ) − ln( B0 ) − ln( B1 ) ⋅ ( x − x0 ) − ln( B2 ) ⋅ ( x − x0 )2
( x − x0 )2
(14)
wynosi zero, gdy argument x zmierza do x0 . Oznaczając
r( x) =
f ( x)
( x − x0 )
B0 ⋅ B1
⋅ B2
( x − x0 )2
,
stwierdzamy, że r(x0) = 1 i w przedziale o końcach w punktach x0 oraz x są
spełnione założenia wykładniczego twierdzenia Cauchy′ego (zob. T. Janaszak (2003), str. 175), a zatem istnieje punkt u położony między punktami
x0 oraz x taki, że
[ r ( x )]
1
( x − x0 ) 2
=  r o (u ) 
1
2( u − x0 )
.
(15)
Obliczając pochodną wykładniczą w wyrażeniu (13) i stosując wzór (15)
dostajemy równość:


f ( x)


( x − x0 )
( x − x0 )2
⋅ B2
 B0 ⋅ B1

1
( x − x0 )2
1
 f o (u )  2( u − x0 )
=
.
2( u − x0 ) 
 B1 ⋅ B2

(16)
Liczba B1 jest równa f o ( x0 ) , a liczba B2 jest pierwiastkiem kwadratowym
wykładniczej pochodnej funkcji f o (u ) w punkcie x0. Z definicji pochodnej
wykładniczej mamy:
1
 f o (u )  ( u − x0 )
lim 
= 1,

u → x0 B ⋅ B 2( u − x0 )
 1 2

a więc wyrażenie (16) będące pierwiastkiem kwadratowym ostatniego
wyrażenia również zmierza do jedynki, co kończy dowód wykładniczej
wersji wzoru Taylora rzędu dwa.
Tadeusz Janaszak
130
Korzystając z zależności
f o ( x ) = exp
f ′( x )
,
f ( x)
dostajemy wzór na wyrażenie drugiej pochodnej wykładniczej przez klasyczne pochodne liniowe:
f ′′( x ) ⋅ f ( x ) − [ f ′( x )]
f ( x ) = exp
.
f 2 ( x)
2
oo
W klasycznym rachunku różniczkowym w sposób indukcyjny, z zastosowaniem rozumowania przedstawionego wyżej, pokazuje się, że jeśli
w przedziale V istnieją pochodne liniowe funkcji y = f(x) do rzędu n – 1
i funkcja będąca pochodną rzędu n – 1 ma w punkcie x0 pochodną, to funkcja y = f(x) jest aproksymowana w otoczeniu tego punktu przez wielomian
stopnia n z dokładnością do wielkości o(x – x0)n:
f ( x ) = A0 + A1 ( x − x0 ) + ... + An ( x − x0 )n + o( x − x0 )n ,
(17)
gdzie A0 jest wartością funkcji w punkcie x0, a Ak dla k = 1, …, n są wartościami kolejnych pochodnych w punkcie x0 dzielonymi przez k!. Wzór
aproksymacyjny w sposób klasyczny rozumie się jako granicę:
lim
f ( x ) − ( A0 + A1 ( x − x0 ) + ... + An ( x − x0 ) n )
( x − x0 ) n
x → x0
= 0.
W wykładniczym rachunku różniczkowym jest analogicznie. Za pomocą metody indukcji można pokazać, w sposób podobny jak dla rzędu drugiego, że funkcję y = f(x) aproksymuje się w otoczeniu punktu x0 przez
wielomian wykładniczy stopnia n, jeśli funkcja y = f(x) ma pochodne wykładnicze do rzędu n – 1, a funkcja będąca pochodną wykładniczą rzędu
n – 1 ma w punkcie x0 pochodną wykładniczą; wzór aproksymacyjny wygląda następująco
f ( x ) = B0 ⋅ B1
x − x0
⋅ ... ⋅ Bn
( x − x0 ) n
⋅ ω ( x − x0 )n ,
(18)
gdzie B0 jest wartością funkcji y = f(x) w punkcie x0, a Bk dla k = 1, …, n są
pierwiastkami stopnia k! wyciągniętymi z kolejnych pochodnych wykładniczych obliczonych w punkcie x0. Równość (18) rozumie się w sposób następujący:
Pochodna rzędu drugiego i wzór Taylora…

f ( x)
lim 
( x − x0 )n
x
−
x
0
x → x0 
 B0 ⋅ B1 ⋅ ... ⋅ Bn
131
1
 ( x − x0 ) n
= 1,



co jest równoważne równości:
 ln f ( x ) − ( M 0 + M 1 ( x − x0 ) + ... + M n ( x − x0 ) n ) 
 = 0.
lim 
x → x0 

( x − x0 ) n


Przy czym zastosowaliśmy podstawienie: Mi = lnBi dla i = 1, …, n.
4. Znaczenie drugiej pochodnej w liniowym i wykładniczym
rachunku różniczkowym
Podamy teraz interpretację drugiej pochodnej. Jeśli funkcja y = f(x) opisuje położenie punktu w czasie w ruchu prostoliniowym, to pierwszą pochodną liniową interpretuje się jako prędkość, a drugą pochodną odczytuje
się jako przyspieszenie. Gdy funkcja jest postaci (1), wówczas trójmian
kwadratowy opisuje ruch jednostajnie przyspieszony. W ruchu tym przyspieszenie jest stałe i wynosi 2 ⋅ A2. Wzór (1) jest jedynym rozwiązaniem
równania ruchu o stałym przyspieszeniu równym2 ⋅ A2. Parametry A0 i A1 są
warunkami początkowymi: liczba A0 jest położeniem punktu w chwili x0,
a liczba A1 jest prędkością punktu w chwili x0. Jeżeli przyspieszenie nie
występuje, to otrzymuje się równanie ruchu jednostajnego y = A0 + A1(x – x0).
W wykładniczym rachunku różniczkowym funkcję y = f(x) można
interpretować jako opis wysokości kapitału w czasie. Zmienna x jest
czasem, a zmienna y wysokością kapitału w danym momencie czasu
(zob. T. Janaszak (2005), (2005a), (2005b)). Pierwsza pochodna wykładnicza funkcji y = f(x) w punkcie x0 opisuje ruch kapitału w czasie od x0 do x.
Ruch ten odbywa się po krzywej wykładniczej stycznej do wykresu funkcji
y = f(x) w punkcie x0. Podobnie jak prędkość w opisie ruchu prostoliniowego jest parametrem stycznej liniowej do wykresu funkcji y = f(x) w punkcie
x0, tak pochodna wykładnicza jest parametrem stycznej wykładniczej do
wykresu funkcji y = f(x) w punkcie x0. Lokalnie, w pobliżu punktu x0 położenie punktu w ruchu prostoliniowym odczytuje się ze wzoru:
y ≈ y0 + a1 ⋅ ( x − x0 ) ,
a wysokość kapitału daje wzór:
y ≈ y 0 ⋅ a x − x0 ,
132
Tadeusz Janaszak
gdzie y0 jest wartością funkcji y = f(x) w punkcie x0, parametr a1 = f ′( x0 )
jest pochodną liniową funkcji y = f(x) w punkcie x0, a parametr a = f o ( x0 )
jest pochodną wykładniczą funkcji y = f(x) w punkcie x0; asymptotyka błędu
przybliżenia w klasycznym opisie ruchu punktu materialnego na prostej
dana jest przez wielkość o: o(x – x0), natomiast w opisie ruchu kapitału dana
jest przez wielkość ω: ω(x – x0). Logarytm naturalny z pochodnej wykładniczej m0 = ln a = ln f o ( x0 ) odczytujemy jako stopę procentową określającą
tempo wzrostu kapitału. Klasycznie stopa taka nazywa się w literaturze
ekonomicznej pochodną logarytmiczną; przybiera ona wartość
f ′( x0 )
m0 =
.
f ( x0 )
Załóżmy teraz, że stopa procentowa m jest zmienna i zależy od czasu w
sposób liniowy ze współczynnikiem r:
m( x ) = m0 + r ⋅ ( x − x0 ).
(19)
W chwili x0 stopa procentowa wynosi m0, a wysokość kapitału niech
w chwili x0 wynosi B0. Oznaczmy B1 = exp m0. Nakładając na obie strony
ostatniej równości funkcję wykładniczą o podstawie e i przyjmując
B(x) = exp m(x), dostajemy równość:
B( x ) = B1 ⋅ exp ( r ⋅ ( x − x0 ) ) .
(20)
Oznaczając R = exp r, wzór (20) możemy przepisać w formie:
B ( x ) = B1 ⋅ R x − x0 .
(21)
Wzór (19) wyraża stopę procentową procesu wzrostu kapitału, a wzór
(21) wyraża pochodną wykładniczą tego procesu. Ze wzoru (19) wynika, że
wzrost stopy procentowej zależy w sposób liniowy od czasu ze współczynnikiem wzrostu r, jak w takim razie wygląda wzór na wysokość kapitału od
czasu przy warunkach początkowych: B0 – wysokość kapitału w chwili x0
oraz m0 wysokość stopy procentowej w chwili x0? Czy istnieje analogia
między tak postawionym zadaniem a zagadnieniem rozwiązania równania
ruchu jednostajnie przyspieszonego? Odpowiadając na te pytania, należy
zauważyć, że trzeba znaleźć wzór funkcji, dla której równanie (21) jest
pochodną wykładniczą. Funkcja taka ma postać:
x− x
( x − x0 ) 2
y = B ⋅ B1 0 ⋅ R
.
(22)
Wartość funkcji (22) dla x = x0 wynosi B. Stąd wynika, że przy przyjętym
warunku początkowym B = B0 wzór na funkcję opisującą wzrost kapitału
w czasie jest identyczny ze wzorem (10). Wzór (1) opisuje funkcje o drugiej
pochodnej liniowej będącej stałą równą 2A2, a wzór (10) opisuje funkcje
Pochodna rzędu drugiego i wzór Taylora…
133
2
o drugiej pochodnej wykładniczej równej stałej B2 . W interpretacji fizykalnej wzór (1) opisuje ruch jednostajnie przyspieszony z przyspieszeniem
równym 2A2. Wzór (10) opisuje ruch kapitału w czasie, będący również
ruchem jednostajnie przyspieszonym, w którym stopa procentowa zależy od
czasu według wzoru m( x ) = m0 + 2 ⋅ ln B2 .
Jeśli w ruchu prostoliniowym opisanym równaniem y = f(x) występują
zmiany prędkości, lecz nie zależą liniowo od czasu, to zgodnie z przesłankami rachunku różniczkowego można przyjąć, że lokalnie zależność zmian
prędkości w czasie jest asymptotycznie liniowa, czyli:
f ′( x ) = f ′( x0 ) + f ′′( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + o( x − x0 ).
Zależność położenia punktu od czasu jest wówczas równa w przybliżeniu
f ( x ) ≈ A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 )2 ,
(23)
przy czym funkcje występujące po obu stronach przybliżonej równości (23)
są styczne w punkcie x0, a rząd styczności jest równy dwa, czyli różnica
między lewą i prawą stroną wzoru (23) jest o(x – x0)2:
lim
f ( x ) − ( A0 + A1 ( x − x0 ) + A2 ( x − x0 ) 2 )
x → x0
( x − x0 ) 2
= 0.
Współczynniki wielomianu są odpowiednio równe: A0 = f(x0) − oznacza
położenie punktu materialnego w chwili x0, A1 = f ′( x0 ) − oznacza prędkość
w chwili x0, a A2 = 12 f ′′ ( x0 ) jest połową wartości lokalnego współczynnika
zmiany prędkości. Analogiczna sytuacja występuje w opisie zależności
wysokości kapitału w czasie danym funkcją y = f(x). Jeśli zmiany stopy
procentowej nie są liniowe, to można przyjąć, że zależność stopy procentowej od czasu jest asymptotycznie liniowa, czyli:
m( x ) = ln f o ( x0 ) + ln f oo ( x0 ) ⋅ ( x − x0 ) + o( x − x0 ),
co jest równoważne:
f o ( x ) = f o ( x0 ) ⋅ ( f oo ( x0 ) )
x − x0
⋅ ω ( x − x0 ).
Wysokość kapitału w zależności od czasu jest wówczas opisana wzorem
przybliżonym
x− x
x−x
f ( x ) ≈ B0 ⋅ B1 0 ⋅ B2 0 .
(24)
134
Tadeusz Janaszak
Funkcje występujące po obu stronach wzoru (24) są styczne w punkcie x0,
rząd styczności jest równy dwa, co oznacza, że iloraz funkcji f(x) i aproksymującego ją wielomianu wykładniczego jest ω(x – x0)2:


f ( x)
lim 

x
−
x
x
−
x
0
0
x → x0 B ⋅ B
 0 1 ⋅ B2

1
( x − x0 )2
= 1.
Współczynniki wielomianu wykładniczego są równe: B0 = f(x0) − jest to
wysokość kapitału w chwili x0, B1 = f o ( x0 ) − logarytm naturalny z tej
wielkości jest stopą procentową wzrostu kapitału w momencie x0,
B2 = f oo ( x0 ) − logarytm naturalny liczby B2 jest połową lokalnego
współczynnika zmiany stopy procentowej. Wprowadzenie do rozważań
pochodnej wykładniczej pozwala dostrzec analogię między opisem zjawisk
w fizyce i w ekonomii.
Literatura
T. Janaszak (2003). Równoległy rachunek różniczkowy w badaniach ekonomicznych. Wydawnictwo Akademii Ekonomicznej we Wrocławiu. Wrocław.
T. Janaszak (2005). Quotus i różniczka. Studia Ekonomiczne 36, Zastosowanie
metod matematycznych w ekonomii. AE Katowice. Str. 41-55.
T. Janaszak (2005a). Pochodna wykładnicza jako efektywna stopa procentowa.
Przegląd Statystyczny 52(4). Str. 41-59.