Ćwiczenie składa karnety

Pochodna funkcji na przedziale
Definicja 1 (pochodnej funkcji na przedziale otwartym) Funkcja ma
pochodna˛ właściwa˛ na przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy ma pochodna˛
właściwa˛ w każdym punkcie tego zbioru. Funkcj˛e określona˛ na zbiorze,
0
której wartości w punktach x tego zbioru sa˛ równe f (x) nazywamy
0
pochodna˛ funkcji na zbiorze i oznaczamy przez f .
Uwaga. Pochodna˛ na przedziale z jednej lub z dwóch stron domkni˛etym
definiujemy przy pomocy pochodnych jednostronnych (w punkcie). Np.
pochodna˛ funkcji f na [a, ∞) nazwiemy odwzorowanie
przyporzadkowuj
˛
ace
˛ pochodna˛ w punkcie x0 wszystkim liczbom
x0 ∈ (a, ∞) oraz przyporzakowuj
˛
ace
˛ pochodna˛ prawostronna˛ końcowi
przedziału a.
Ćwiczenie. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f (x) =
1
√
x2 na przedziale:
a) I = (0, 1);
b) I = (−1, ∞).
2
Twierdzenia o pochodnych funkcji
Twierdzenie 1 (o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu oraz ilorazu funkcji).
Jeżeli funkcje f i g maja˛ pochodne właściwe w punkcie x0 , to
0
(f + g) (x0 )
0
(f − g) (x0 )
(cf )0 (x0 )
0
(f · g) (x0 )
0
f
(x0 )
g
0
0
0
0
= f (x0 ) + g (x0 );
(1)
= f (x0 ) − g (x0 ) ;
(2)
= cf 0 (x0 ), gdzie c ∈ R;
(3)
0
0
0
0
= f (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g (x0 );
=
(4)
f (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g (x0 )
, o ile g(x0 ) 6= 0. (5)
2
g (x0 )
3
Ćwiczenia
Obliczyć pochodne podanych funkcji:
a) h(x) = x4 + 6x2 − x2 , x > 0;
b) h(x) = sin x + 5x, x ∈ R.
4
Pochodna funkcji złożonej
Twierdzenie 2 (o pochodnej funkcji złożonej) Jeżeli
1. funkcja f ma pochodna˛ właściwa˛ w punkcie x0 ,
2. funkcja g ma pochodna˛ właściwa˛ w punkcie f (x0 ),
to
0
(g ◦ f ) (x0 ) = g 0 (f (x0 ))f 0 (x0 ).
Ćwiczenie. Obliczyć pochodne podanych funkcji:
3
a) h(x) = sin (x); b) h(x) = 3x + 1 .
2
2
Rozwiazanie
˛
dla a) Niech f (x) = sin x, g(x) = x2 .
(g ◦ f )0 (x) = g 0 (f (x))f 0 (x) = 2 sin x cos x.
5
Funkcja logistyczna-c.d.
Pochodna funkcji l(x) =
10
1+2e−3x .
(−10) × 2 × (−3)e−3x
60e−3x
l (x) =
=
−3x
2
(1 + 2e
)
(1 + 2e−3x )2
0
6
−2
−1
0
7
1
2
x
Rysunek 1: Wykres funkcji l (x)
0
0
2
4
6
(60 * exp(−3 * x))/(1 + 2 * exp(−3 * x))^2
Punkt przegi˛ecia funkcji logistycznej
00
0
l (x) -pochodna funkcji l (x)- jest równa:
60e−3x 0
l (x) =
=
−3x
2
(1 + 2e
)
60
−3x
−3x 2
−3x
−3x
−3x
=
(−3e
(1
+
2e
)
−
2e
(1
+
2e
)(−6)e
)=
−3x
4
(1 + 2e
)
00
60e−3x
−3x
=
(−3
+
6e
)
−3x
3
(1 + 2e
)
00
skad
˛ otrzymujemy: l jest dodatnia na (−∞, c0 ), jest równa 0 w
c0 = ln32 ≈ 0,23 i ujemna na (c0 , ∞). c0 jest punktem przegi˛ecia.
8
Wzrost populacji i funkcja wykładnicza
• W chwili t = 0 populacja bakterii składa si˛e z jednego organizmu
• liczebność populacji bakterii podwaja sie po upływie czasu T0 = 30min
•. jednostka czasu T0 = 30min; liczebność populacji po czasie t
P (t) = 2t .
9
Wzrost wykładniczy- przykład
Załózmy, że na poczatku
˛ eksperymentu liczebność kultury bakterii P (0)
jest równa 10000. Przyjmujemy, że liczebność bakterii podwaja si˛e po
upływie 20 minut oraz że wzrost populacji jest wykładniczy:
P (t + 20)
=
2P (t), t ­ 0,
P (t)
=
10000at = 10000eln at = 10000ebt ,
gdzie 1 6= a > 0 i b = ln a.
Chcemy znaleźć:
(i) pr˛edkość zmiany liczebności bakterii dla t = 10, t = 30 i t = 50 [min];
(ii) liczebność populacji dla wartości zmiennej t z (i).
Rozw.
P (20) = 10000e20b = 20000
10
skad
˛
e20b
=
2,
b
=
ln 2/20 = 0,034.
Pochodna P 0 (t) na R jest równa:
P 0 (t) = b · 10000etb 0,034 · 10000e0,034t .
Stad:
˛
P 0 (10) = 0,, 034 · 10000e0,034·10 = 477,682;
P (10)
= 10000e0,034·10 = 14049,48.
P 0 (30)
= 0,034 · 10000e0,034·30 = 942,886;
P (30)
= 10000e0,034·30 = 27731,95
oraz
11
i
P 0 (50) = 0,034 · 10000e0,034·50 = 1861,142;
P (50)
= 10000e0,034·30 = 54739,47.
12
Rozpad promieniotwórczy
Jesteśmy zainteresowani znalezieniem zależności pomi˛edzy masa˛ atomów
izotopu potasu K-43 a czasem, który upłynał
˛ od poczatku
˛ eksperymentu.
Masa poczatkowa
˛
tej substancji wynosi R(0) = 30mg, czas połowicznego
rozpadu 20h. Liczba atomów promieniotwórczego potasu maleje
wykładniczo:
R(t) = 30e−kt .
Chcemy znaleźć pr˛edkość rozpadu po 2, 12 i 30 godzinach.
Rozwiazanie
˛
Z warunków zadania:
R(20) = 15 = 30e−20k ,
gdzie stała˛ k należy wyznaczyć z warunków zadania. W rachunkach
opuszczamy jednostki czasu (godz.) i masy (mg).
13
Mamy:
e−20k
=
1/2;
e20k
=
2;
20k
=
ln 2
k
=
ln 2/20 = 0,03466.
Stad
˛
30e−t ln 2/20 = 30e−0.03466t ;
R(t)
=
R0 (t)
= −30 · 0.03466e−0.03466t ;
R0 (2)
= −30 · 0.03466e−0.03466·2 = −0.970;
R0 (10)
= −30 · 0.03466e−0.03466·10 = −0.736;
R0 (30)
= −30 · 0.03466e−0.03466·30 = −0.368.
14