Spis treści 1 Grupy topologiczne, grupy Liego i ich działania

Spis treści
1 Grupy topologiczne, grupy Liego i ich działania
1
2 Przestrzenie punktów stałych, orbity i przestrzenie orbit, przestrzenie jednorodne
4
3 Typy orbitowe
6
4 CW-kompleksy
7
5 G-CW-kompleksy
10
6 Definicja pierścienia Eulera
13
7 Reprezentacje grupy Liego
19
8 Torus i jego reprezentacje
22
9 Pierścień Eulera torusa
24
1
Grupy topologiczne, grupy Liego i ich działania
Definicja 1.1. Zbiór G nazywamy grupą topologiczną, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. G jest przestrzenią Hausdorffa,
2. G jest grupą,
3. Odwzorowania α : G × G → G oraz β : G → G określone wzorami α(g1 , g2 ) = g1 ◦ g2 oraz β(g) = g −1
są ciągłe.
Jeżeli G jest rozmaitością oraz działania α i β są gładkie, to mówimy, że G jest grupą Liego.
Przez sub(G) oznaczamy zbiór domkniętych podgrup grupy topologicznej G.
Lemat 1.1. Warunek 3 w powyższej definicji jest równoważny warunkowi: odwzorowanie γ : G × G → G
zdefiniowane wzorem γ(g, h) = gh−1 jest ciągłe.
Zauważmy, że jeżeli G jest grupą Liego, to odwzorowania α, β są gładkie wtedy i tylko wtedy, gdy
gładkie jest odwzorowanie γ.
Fakt 1.2. Domknięta podgrupa H grupy Liego G jest grupą Liego.
Przykład 1.1. Kilka przykładów grup Liego.
1. Przestrzeń euklidesowa Rn . Oczywiście jest to rozmaitość oraz jest to grupa abelowa ze względu na
dodawanie, które jest gładkie.
2. Grupa macierzy nieosobliwych wymiaru n nad R Gl(n, R) jest grupą Liego. Co więcej, każda domknięta podgrupa tej grupy jest grupą Liego. Zatem następujące grupy są grupami Liego (przez At
oznaczamy transpozycję macierzy A):
(a) O(n) = {A ∈ Gl(n, R) : At A = Id} - grupa macierzy ortogonalnych,
(b) Sl(n, R) = {A ∈ Gl(n, R) : det A = 1},
(c) SO(n, R) = O(n) ∩ Sl(n, R) - specjalna grupa macierzy ortogonalnych. Oznaczamy ją także
SO(n).
1
3. Sfera S 1 jest grupą Liego izomorficzną z SO(2). Zauważmy, że
cos φ − sin φ
SO(2) = {
: φ ∈ [0, 2π)}
sin φ
cos φ
Definicja 1.2. Niech G będzie grupą oraz X dowolnym zbiorem. Mówimy, że grupa G działa na zbiorze
X, jeżeli istnieje odwzorowanie ϕ : G × X → X spełniające warunki
1. ∀x∈X ϕ(e, x) = x, gdzie e jest elementem neutralnym grupy G,
2. ∀g1 ,g2 ∈G ∀x∈X ϕ(g2 , ϕ(g1 , x)) = ϕ(g2 ◦ g1 , x).
Trójkę (X, G, ϕ) nazywamy działaniem grupy G na zbiorze X (G-działaniem na X). Zbiór X nazywamy
G-zbiorem.
Dla skrócenia zapisu będziemy pisali gx zamiast ϕ(g, x).
Definicja 1.3. Trójkę (X, G, ϕ) nazywamy działaniem grupy topologicznej G na przestrzeni topologicznej
X, jeżeli spełnione są warunki:
1. X jest przestrzenią topologiczną,
2. G jest grupą topologiczną,
3. (X, G, ϕ) jest działaniem grupy G na zbiorze X,
4. Odwzorowanie ϕ : G × X → X jest ciągłe.
Przestrzeń X nazywamy wtedy G-przestrzenią.
Jeżeli G jest grupą Liego, X jest rozmaitością, a ϕ jest odwzorowaniem gładkim, to trójkę (X, G, ϕ) nazywamy gładkim (różniczkowalnym) działaniem grupy Liego G na rozmaitości X. Rozmaitość X nazywamy
wtedy G-rozmaitością.
Przykład 1.2. Podamy przykłady działań grupy Liego na rozmaitościach.
1. Dowolna grupa Liego G jest G-rozmaitością: działanie grupowe α : G × G → G jest gładkim Gdziałaniem na G.
2. Przestrzeń Rn jest G-rozmaitością dla G = Gl(n, R), O(n), SO(n) z działaniem określonym poprzez
mnożenie macierzy i wektora.
3. Połóżmy G = O(n), SO(n). Wówczas S n−1 jest G-rozmaitością.
Definicja 1.4. Niech (X, G, ϕ) będzie działaniem grupy G na zbiorze X.
1. Zbiór
G(x) = {gx : g ∈ G}
nazywamy orbitą punktu x ∈ X.
2. Zbiór
Gx = {g ∈ G : gx = x}
nazywamy grupą izotropii (stabilizatorem) punktu x ∈ X.
3. Zbiór
X G = {x ∈ X : Gx = G}
nazywamy zbiorem punktów stałych.
2
4. Niech H ⊂ G. Zbiór
X H = {x ∈ H : H ⊂ Gx } = {x ∈ X : ∀h∈H hx = x}
nazywamy zbiorem punktów stałych zbioru H.
Fakt 1.3. Niech (X, G, ϕ) będzie G-działaniem na zbiorze X. Wtedy
1. dla x1 , x2 ∈ X mamy G(x1 ) = G(x2 ) albo G(x1 ) ∩ G(x2 ) = ∅,
2. dla g ∈ G i x ∈ X zachodzi formuła: Ggx = gGx g −1 .
Definicja 1.5. Działanie (X, G, ϕ) nazywamy:
1. trywialnym, jeżeli Gx = G dla każdego x ∈ X,
2. wolnym, jeżeli Gx = {e} dla każdego x ∈ X,
3. semi-wolnym, jeżeli Gx = G lub Gx = {e} dla każdego x ∈ X,
4. tranzytywnym, jeżeli G(x) = X (to znaczy istnieje dokładnie jedna orbita),
T
5. efektywnym, jeżeli
Gx = {e}.
x∈X
Definicja 1.6. Niech G, G0 będą grupami topologicznymi. Odwzorowanie f : G → G0 nazywamy homomorfizmem grup topologicznych, jeżeli jest ciągłe i jest homomorfizmem grup. Jeżeli f jest homeomorfizmem
oraz izomorfizmem grup, to f nazywamy izomorfizmem grup topologicznych.
Definicja 1.7. Niech % : G → G0 będzie homomorfizmem grup topologicznych, X będzie G-przestrzenią,
X 0 będzie G0 -przestrzenią. Odwzorowanie ϕ : X → X 0 nazywamy %-współzmienniczym, jeżeli dla każdego
g ∈ G oraz x ∈ X zachodzi: f (gx) = %(g)f (x). Jeżeli G = G0 , % = Id, to mówimy po prostu, że f jest
G-odwzorowaniem.
Jeżeli % jest izomorfizmem grup oraz f jest homeomorfizmem, to f nazywamy %-współzmienniczym
homeomorfizmem.
Jeżeli G = G0 , % = Id, to mówimy po prostu, że f jest G-homeomorfizmem.
Definicja 1.8. Niech (X, G, ϕ) będzie G-działaniem na zbiorze X. Zbiór Y ⊂ X nazywamy G-niezmienniczym,
jeżeli gy ∈ Y dla każdego y ∈ Y i g ∈ G.
Zauważmy, że zbiór Y ⊂ X jest G-niezmienniczy wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego y ∈ Y G(y) ⊂ Y .
Oczywiście każda orbita jest G-niezmiennicza.
Przejdziemy teraz do konstrukcji grup ilorazowych. Niech H będzie podgrupą grupy G. Zdefiniujmy
relację w G: g1 ≈ g2 wtedy i tylko wtedy, gdy g1−1 g2 ∈ H. Można pokazać, że tak określona relacja
jest relacją równoważności. Klasy abstrakcji tej relacji oznaczamy przez gH i nazywamy warstwami. Zbiór
wszystkich klas abstrakcji tej relacji oznaczamy przez G/H. Można także pokazać, że jeżeli H jest podgrupą
normalną grupy G, to znaczy gH = Hg dla każdego g ∈ G, to G/H jest grupą z działaniem określonym
wzorem (g1 H)(g2 H) = (g1 g2 )H, elementem odwrotnym (gH)−1 = g −1 H oraz elementem neutralnym
eH = H.
Twierdzenie 1.4. Niech G będzie zwartą grupą topologiczną, X przestrzenią topologiczną Hausdorffa
oraz (X, G, ϕ) działaniem grupy topologicznej. Ustalmy x ∈ X. Wówczas odwzorowanie f : G/Gx → G(x)
określone wzorem: f (gGx ) = gx jest G-homeomorfizmem.
Zauważmy, że założenie o zwartości w powyższym twierdzeniu jest istotne. Pokazuje to następny przykład.
3
Przykład 1.3. Niech T 2 = S 1 × S 1 będzie torusem oraz ustalmy a ∈ R\Q. Rozważmy działanie grupy
liczb rzeczywistych ϕ : R × T 2 → T 2 dane wzorem
ϕ(r, (z1 , z2 )) = (z1 e2πir , z2 e2πiar ).
Oczywiście punkt (1, 1) ∈ T 2 jest domknięty w T 2 . Można pokazać, że orbita R(1, 1) jest gęsta w T 2 oraz
R(1, 1) 6= T 2 . Stąd w szczególności wynika, że orbita R(1, 1) nie jest domknięta w T 2 . Ponadto zauważmy,
że R(1,1) = {0} oraz R/R(1,1) = R/{0} = R. Ale przestrzeń R jest przestrzenią lokalnie spójną, w przeciwieństwie do orbity R(1, 1)(Przestrzeń topologiczną X nazywamy lokalnie spójną, jeżeli każde otoczenie
dowolnego punktu x ∈ X zawiera otwarte otoczenie spójne.). Zatem nie może między tymi przestrzeniami
istnieć homeomorfizm.
Z dowodu twierdzenia 1.4 widać, że jeśli nie założymy zwartości grupy G, to otrzymamy, że między
orbitą G(x) a przestrzenią G/Gx istnieje ciągłe G-odwzorowanie (które nie musi być homeomorfizmem).
Lemat 1.5. Niech G będzie grupą topologiczną oraz niech H ∈ sub(G). Wówczas G/H jest przestrzenią
Hausdorffa oraz odwzorowanie π : G → G/H jest ciągłe i otwarte.
Twierdzenie 1.6. Jeżeli H jest domkniętą podgrupą normalną grupy topologicznej G, to G/H jest grupą
topologiczną.
Okazuje się, że podobne twierdzenie jest prawdziwe również dla grup Liego.
Definicja 1.9. Dwa atlasy {Uα , ϕα } i {Vβ , ψβ } na M nazywamy równoważnymi, jeżeli suma {Uα , ϕα } ∪
{Vβ , ψβ } jest gładka, to znaczy dla każdej pary indeksów α, β takich, że Uα ∩ Vβ 6= , odwzorowanie
ψβ ◦ ϕ−1
α : ϕα (Uα ∩ Vβ ) → ψβ (Uα ∩ Vβ )
jest dyffeomorfizmem. Można pokazać, że tak określona relacja jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji
atlasów na M nazywamy różniczkowalną lub gładką strukturą na M . Gładką strukturę reprezentowaną
przez atlas {Uα , ϕα } oznaczamy przez [{Uα , ϕα }].
Twierdzenie 1.7. Jeżeli G jest grupą Liego oraz H ∈ sub(G), to istnieje dokładnie jedna gładka struktura
na przestrzeni G/H taka, że
1. odwzorowanie π : G → G/H jest gładkie,
2. dla dowolnej rozmaitości M , odwzorowanie f : G/H → M jest gładkie wtedy i tylko wtedy, gdy
f ◦ π : G → M jest gładkie,
3. działanie ϕ : G × G/H → G/H dane wzorem ϕ(g, gH) = ggH jest gładkie.
Wymiar rozmaitości G/H jest równy dim G − dim H.
Przykład 1.4. Niech Zn będzie zbiorem punktów w Rn , których współrzędne są całkowite. Wówczas Zn
jest podgrupą normalną Rn . Grupę ilorazową Rn /Zn oznaczamy T n . Z powyższego twierdzenia wynika, że
jest to gładka rozmaitość. Dowodzi się, że działanie ilorazowe także jest gładkie. Tak otrzymany torus T n
jest izomorficzny z produktem kartezjańskim n sfer.
2
Przestrzenie punktów stałych, orbity i przestrzenie orbit, przestrzenie jednorodne
Definicja 2.1. Niech G będzie grupą oraz niech K, H ∈ sub(G). Mówimy, że grupy K i H są sprzężone,
jeżeli istnieje g ∈ G takie, że K = gHg −1 .
W dalszym ciągu będziemy zakładali, że dane jest działanie (X, G, ϕ).
4
Twierdzenie 2.1. Jeśli X jest przestrzenią Hausdorffa, to X J jest domkniętym podzbiorem X dla dowolnego J ⊂ G. Ponadto X J = X hJi , gdzie hJi oznacza podgrupę w G generowaną przez J.
Jeżeli G jest grupą, to dla podgrupy H grupy G przez N (H) (NG (H)) oznaczamy normalizator H w G,
to znaczy zbiór {g ∈ G : gH = Hg}. Zauważmy, że jeżeli H jest podgrupą normalną w G, to N (H) = G.
Oczywiście, jeżeli grupa H jest domknięta w G to jest też domknięta w N (H).
Jeżeli H jest domkniętą podgrupą w G, to W (H) = N (H)/H jest grupą topologiczną, którą nazywamy
grupą Weila.
W ogólności grupa G nie musi działać na zbiorze X H , ponieważ zbiór X H nie musi być G-niezmienniczy.
Twierdzenie 2.2. Zbiór X H jest N (H)-niezmienniczy. W konsekwencji, jeżeli H jest podgrupą normalną
w G, to X H jest G-niezmienniczy.
Ponieważ grupa H działa trywialnie na X H , grupa W (H) działa na X H .
Podamy teraz dwa lematy wiążące sprzężenie podgrup topologicznych z zachowaniem odpowiednich
normalizatorów i grup Weila.
Lemat 2.3. Niech K i H będą domkniętymi podgrupami G. Jeżeli K i H są sprzężone to N (K) i N (H)
są również sprzężone.
Lemat 2.4. Niech K i H będą domkniętymi i sprzężonymi podgrupami G. Wówczas istnieje izomorfizm
grup topologicznych W (H) i W (K).
Twierdzenie 2.5. Niech K, H ∈ sub(G) będą takie, że K = g0 Hg0−1 . Jeżeli odwzorowanie f : X → X
dane jest wzorem f (x) = g0 x, to f|X H : X H → X K jest %-współzmienniczym homeomorfizmem, gdzie
% : W (H) → W (K) dane jest wzorem %(nH) = (g0 ng0−1 )K.
W zbiorze X określamy relację: x ∼ y wtedy i tylko wtedy, gdy, G(x) = G(y). Zbiór klas równoważności tej relacji oznaczamy przez X/G. Na tym zbiorze rozpatrujemy topologię ilorazową. Tak określoną
przestrzeń topologiczną nazywamy przestrzenią orbit.
Opiszemy teraz podstawowe własności topologii przestrzeni orbit.
Fakt 2.6. Rzutowanie π : X → X/G jest odwzorowaniem ciągłym i otwartym.
Fakt 2.7. Niech G będzie grupą zwartą. Wówczas
1. π : X → X/G jest odwzorowaniem domkniętym.
2. Jeżeli X jest przestrzenią Hausdorffa, to X/G jest także przestrzenią Hausdorffa.
3. π : X → X/G jest odwzorowaniem właściwym, to znaczy przeciwobraz zbioru zwartego jest zwarty.
4. X jest przestrzenią zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy X/G jest przestrzenią zwartą.
5. X jest przestrzenią lokalnie zwartą wtedy i tylko wtedy, gdy X/G jest przestrzenią lokalnie zwartą.
(Przestrzeń topologiczną X nazywamy lokalnie zwartą, jeżeli dla każdego x ∈ X istnieje zbiór otwarty
U taki, że x ∈ U oraz U jest zbiorem zwartym.)
Definicja 2.2. G-przestrzeń X nazywamy przestrzenią jednorodną, jeżeli działanie grupy G jest tranzytywne.
Pisząc wprost: G-przestrzeń X jest jednorodna, jeżeli składa się z dokładnie jednej orbity.
Lemat 2.8. Niech G będzie grupą zwartą oraz niech K, H ∈ sub(G). Wówczas
1. Istnieje G-odwzorowanie f : G/H → G/K wtedy i tylko wtedy, gdy grupa H jest sprzężona z podgrupą
K, to znaczy istnieje g ∈ G takie, że gHg −1 ⊂ K.
5
2. Jeżeli istnieje a ∈ G takie, że aHa−1 ⊂ K, to odwzorowanie f : G/H → G/K dane formułą:
fa (gH) = ga−1 K jest dobrze zdefiniowanym G-odwzorowaniem oraz każde G-odwzorowanie f : G/H →
G/K ma tę postać.
3. fa = fb wtedy i tylko wtedy, gdy ab−1 ∈ K.
Wniosek 2.9. Niech G będzie zwartą grupą topologiczną oraz niech K, H ∈ sub(G). Jeżeli istnieją Godwzorowania f : G/H → G/K i f 0 : G/K → G/H, to są one G-homeomorfizmami oraz grupy H, K są
sprzężone.
3
Typy orbitowe
Przez cały podrozdział zakładamy, że G jest zwartą grupą topologiczną oraz każda rozważana przestrzeń
topologiczna jest przestrzenią Hausdorffa.
Niech F będzie rodziną wszystkich jednorodnych przestrzeni Hausdorffa. W F wprowadzamy relację
∼: jeśli X, Y ∈ F, to X ∼ Y wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje G-homeomorfizm f : X → Y . Oczywiście
jest to relacja równoważności. Jeżeli X ∈ F to klasę równoważności X oznaczamy przez (X) i nazywamy
G-typem orbitowym. Zbiór F/∼ nazywamy zbiorem G-typów orbitowych. Z twierdzenia 1.4 wiemy, że dla
dowolnej zwartej G-przestrzeni jednorodnej (Hausdorffa), istnieje podgrupa H ⊂ G taka, że X jest G
homeomorficzna z G/H. Zatem każdy typ orbitowy jest reprezentowany przez warstwę G/H.
W zbiorze F wprowadzamy częściowy porządek poprzez relację: (X) ­ (Y ) wtedy i tylko wtedy, gdy
istnieje G-odwzorowanie f : X → Y . Z wniosku 2.9 wynika, że jeżeli (X) ­ (Y ) oraz (Y ) ­ (X), to
(X) = (Y ). Dla tak określonego porządku elementem maksymalnym jest (G) a minimalnym (G/G).
Niech H, K ∈ sub(G) oraz X ∈ F. Zdefiniujmy relację H ∼ K wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje g ∈ G
takie, że H = gKg −1 . Klasę abstrakcji H oznaczamy przez (H). Jeżeli przestrzeń X jest G-homeomorficzna
z G/H to (H) nazywamy typem izotropii przestrzeni X. Ogólniej, dla G-przestrzeni X, orbita w X, która
jest G-homeomorficzna z G/H jest nazywana orbitą z typem izotropii (G/H).
Dla H, K ∈ sub(G), definiujemy porządek poprzez relację: (H) ¬ (K) wtedy i tylko wtedy, gdy H
jest sprzężona z podgrupą K. Relacja ta jest częściowym porządkiem w zbiorze klas równoważności relacji
sprzężenia, gdyż na mocy wniosku 2.9 mamy, że jeżeli (H) ¬ (K) oraz (K) ¬ (H), to (H) = (K).
Uwaga 3.1. Jeżeli G jest zwartą grupę Liego, to istnieje jedynie skończenie wiele różnych klas sprzężenia
domkniętych podgrup grupy G.
Poniższy fakt wynika z lematu 2.8.
Fakt 3.2. Przyporządkowanie (G/H) 7→ (H) jest izomorfizmem ze zbioru częściowo uporządkowanego F/∼
do częściowo uporządkowanego zbioru klas sprzężenia domkniętych podgrup G odwracającym porządek, to
znaczy jeżeli (G/H1 ) ­ (G/H2 ), to (H1 ) ¬ (H2 ).
Dla G-przestrzeni X mówimy, że X ma n typów orbitowych jeśli dla tego G-działania istnieje dokładnie
n różnych typów orbitowych w X.
Dla G-przestrzeni X oraz H ∈ sub(G) połóżmy
X(H) = {x ∈ X, (Gx ) = (H)}.
Zbiór ten nazywamy sumą orbit o typie izotropii (H). Zbiór
X(­H) = {x ∈ X : (Gx ) ­ (H)}
nazywamy sumą orbit o typie izotropii większym lub równym (H).
Jeżeli X jest G-przestrzenią, Y ⊂ X oraz H jest podgrupą grupy G to definiujemy zbiór
HY = {hy : h ∈ H ∧ y ∈ Y }.
6
Lemat 3.3. Niech J będzie podgrupą grupy topologicznej G oraz A niech będzie podzbiorem G-przestrzeni
X. Wówczas:
1. Jeżeli zbiór A jest otwarty w X, to JA również otwarty w X.
2. Jeżeli J jest zbiorem zwartym oraz A jest zbiorem domkniętym, to zbiór GA jest domknięty w X.
3. Jeżeli zbiory J oraz A są zwarte, to zbiór JA również jest zwarty.
Można pokazać, że założenie zwartości w drugim punkcie twierdzenia jest istotne.
Fakt 3.4. Przy powyższych oznaczeniach, prawdziwa jest równość:
GX H = X(­H)
Wniosek 3.5. Jeżeli G jest przestrzenią zwartą oraz X jest G-przestrzenią Hausdorffa, to X(­H) jest
domknięty w X.
W ogólnym przypadku, jeżeli A jest zbiorem uporządkowanym, to element a ∈ A nazywamy maksymalnym, jeżeli nie istnieje element większy niż a, to znaczy, jeżeli b ∈ A jest taki, że b ­ a, to a = b.
Wniosek 3.6. Przy założeniach jak we wniosku 3.5, jeżeli (H) jest maksymalny wśród typów izotropii,
które pojawiają się w X, to X(H) jest domknięty.
Okazuje się, że X(H) nie jest na ogół zbiorem domkniętym w X. Zilustrujemy to przykładem.
Przykład 3.1. Rozważmy Z2 (= {−1, 1})-działanie na X = S 1 = {z ∈ C : |z| = 1} zdefiniowane jako
(−1, z) 7→ z, gdzie z oznacza sprzężenie liczby zespolonej z. Wtedy mamy:
X({e}) = S 1 ({1}) = S 1 \{−1, 1}.
Nie jest to jednak zbiór domknięty.
Dla G-przestrzeni X mamy dekompozycję: X =
S
X(H) , która jest rozłączną sumą podzbiorów X.
(H)
Lemat 3.7. Skończoną liczbę klas sprzężenia (H1 ), . . . , (Hn ) domkniętych podgrup grupy G, możemy uporządkować tak, aby (Hi ) ­ (Hj ) implikowało i ¬ j.
Twierdzenie 3.8. Niech G będzie grupą zwartą oraz niech X będzie G-przestrzenią Hausdorffa. Przypuśćmy, że zbiór {(Hi )} typów izotropii pojawiających się w X jest skończony oraz uporządkujmy je jak w
lemacie 3.7. Jeżeli położymy Xi = X(H1 ) ∪ . . . ∪ X(Hi ) , to zbiór Xi jest domknięty w X.
4
CW-kompleksy
Przez B n (Dn ) oznaczamy kulę otwartą (domkniętą) w Rn . Przez S n−1 = Dn \B n oznaczamy sferę w Rn .
Definicja 4.1. Rozkładem zbioru X nazywamy rodzinę parami rozłącznych podzbiorów X, których sumą
jest cały zbiór X.
Przestrzeń topologiczną nazywamy n-komórką, jeśli jest homeomorficzna z Rn .
Rozkładem komórkowym przestrzeni topologicznej X nazywamy rozkład X na podprzestrzenie będące
komórkami.
Jeśli X jest przestrzenią z danym rozkładem komórkowym to n-wymiarowym szkieletem przestrzeni X
nazywamy sumę wszystkich komórek wymiaru mniejszego lub równego n, którą oznaczamy przez Xn .
Fakt 4.1. Jeżeli m 6= n, to Rn i Rm nie są homeorficzne. Zatem, dla m 6= n, m-komórka jest różna od
n-komórki.
7
Definicja 4.2. Niech (X, A) będzie przestrzenią topologiczną. Mówimy, że X otrzymujemy z A przez
dołączenie k-komórki, jeżeli istnieje odwzorowanie ciągłe
ϕ : (Dk , S k−1 ) → (X, A)
takie, że B k jest homeomorficznie odwzorowywane na X\A.
Mówimy, że X powstaje z A przez dołączenie rodziny k-komórek (Dtk )t∈T , jeżeli istnieje odwzorowanie
ciągłe
G
G
ϕ: (
Dk ,
S k−1 ) → (X, A)
t∈T
takie, że
F
t∈T
k
t∈T
B jest homeomorficznie odwzorowywane na X\A.
Definicja 4.3. Niech X będzie przestrzenią topologiczną Hausdorffa oraz niech X0 , X1 , . . . będą jego
podzbiorami spełniającymi warunki:
1. X0 ⊂ X1 ⊂ . . .,
2. X =
∞
S
Xk ,
k=0
3. X0 jest dyskretnym podzbiorem X składającym się z 0-komórek,
4. Xn powstaje z Xn−1 przez dołączenie rodziny n-komórek dla n = 1, 2 . . .,
5. Topologia na X pokrywa się ze słabą topologią, to znaczy A ⊂ X jest otwarty (domknięty) wtedy i
tylko wtedy, gdy dla każdego n zbiór A ∩ Xn jest otwarty (domknięty).
Wtedy przestrzeń X nazywamy CW-kompleksem.
Jeżeli dla pewnego n, Xn = X to dla najmniejszego takiego n, CW-kompleks X nazywamy CWkompleksem wymiaru n. Jeżeli CW-kompleks składa się ze skończonej liczby komórek to nazywamy go
skończonym CW-kompleksem.
Nazwa „CW-kompleks” pochodzi od podstawowych własności, o których mówi następne twierdzenie.
Niektórzy autorzy przyjmują te własności jako aksjomaty CW-kompleksu pisząc, że każda przestrzeń spełniająca te aksjomaty jest CW-kompleksem. Dla nas wygodniejsza jest jednak powyższa definicja.
Twierdzenie 4.2. Niech X będzie CW-kompleksem oraz E będzie jej rozkładem komórkowym. Wtedy:
1. Odwzorowania charakterystyczne: dla każdej n-komórki e ∈ E istnieje odwzorowanie ciągłe Φe : Dn →
X, odwzorowujące B n homeomorficznie na e, a S n−1 na sumę komórek wymiaru mniejszego niż n.
2. Skończoność domykania: domknięcie e każdej z komórek e ∈ E przecina jedynie skończoną liczbę
innych komórek.
3. Słaba topologia: podzbiór A ⊂ X jest domknięty wtedy i tylko wtedy, gdy domknięte jest każde z
przecięć A ∩ e dla e ∈ E.
Ponadto, każda przestrzeń Hausdorffa X, z danym rozkładem komórkowym E, spełniająca powyższe
warunki jest CW-kompleksem.
Zauważmy, że skończony rozkład komórkowy (niekoniecznie CW) zawsze spełnia dwa ostatnie warunki
powyższego twierdzenia. W książce K. Jänich, Topologia można znaleźć przykłady rozkładów komórkowych,
które nie są CW - rozkładami.
Możemy teraz wyjaśnić litery CW w nazwie: litera C pochodzi od angielskiego terminu closure finiteness
(druga własność), a W pochodzi od weak topology (trzecia własność).
Fakt 4.3. Jeżeli rozkład komórkowy przestrzeni Hausdorffa X spełnia pierwszą własność z twierdzenia 4.2,
to dla każdej n-komórki e mamy e = Φe (Dn ) (w szczególności zbiór e jest zwarty) oraz e − e = Φe (S n−1 )
zawiera się w X n−1 .
8
Dowód. Oczywiście e = Φe (B n ) ⊂ Φe (Dn ) ⊂ Φe (B n ) = e z własności odwzorowań ciągłych. Ale zbiór
Φe (Dn ) jest domknięty (bo jest zwarty), więc musi być równy e.
Definicję podkompleksu podamy od razu w 3 równoważnych warunkach zawartych w poniższym twierdzeniu.
Twierdzenie 4.4. Niech X będzie CW-kompleksemSz rozkładem komórkowym E. Ponadto, niech E 0 ⊂ E
będzie podzbiorem zbioru komórek oraz niech X 0 =
e. Wtedy następujące warunki są równoważne:
e∈E 0
1. X 0 jest CW-kompleksem z rozkładem komórkowym E 0 ,
2. X 0 jest domknięty w X,
3. e ⊂ X 0 dla każdego e ∈ E 0 .
Wówczas X 0 nazywamy podkompleksem CW-kompleksu X.
Wniosek 4.5. Zauważmy, że
1. Dowolne przecięcia oraz dowolne sumy mnogościowe podkompleksów są także podkompleksami.
2. Szkielety CW-kompleksu są jego podkompleksami.
3. Dowolna suma n-komórek z E wraz z Xn−1 tworzy podkompleks.
4. Każda komórka CW-kompleksu leży w pewnym podkompleksie o skończonej liczbie komórek.
5. Każdy zwarty podzbiór CW-kompleksu jest zawarty w pewnym skończonym podkompleksie. W szczególności CW-kompleks jest zwarty wtedy i tylko wtedy, gdy jest skończony.
Przykład 4.1. Zauważmy, że
1. Sfera S 1 rozkłada się na jedną 0-komórkę (wyróżniony punkt) i jedną 1-komórkę (sfera z usuniętym
jednym punktem jest homeomorficzna z prostą).
2. Sfera S 2 również rozkłada się na 2 komórki: jedną 0-komórkę oraz jedną 2-komórkę. Można też zadać
następujący rozkład: dwie półsfery (górna i dolna) bez środka, prosta („ równik”) i wyróżniony punkt
usunięty z prostej. Daje to następujący rozkład: dwie 2-komórki, jedna 1-komórka, jedna 0-komórka.
3. Rozkład torusa T 2 można otrzymać z rozkładu S 1 : biorąc iloczyny kartezjańskie komórek otrzymamy
jedną 2-komórkę, dwie 1-komórki i jedną 0-komórkę. Oczywiście w tym przypadku także można zadać
inne rozkłady.
4. Zauważmy, że jeżeli Y jest podkompleksem CW-kompleksu X, to X/Y jest także CW-kompleksem
składającym się z komórek, które należały do rozkładu X i nie należały do rozkładu Y oraz punktu
powstałego z utożsamienia elementów CW-kompleksu Y .
Dla skończonego CW-kompleksu X, charakterystykę Eulera χ(X) definiujemy jako sumę przemienną
χ(X) =
X
(−1)k n(X, k),
k­0
gdzie n(X, k) jest liczbą k-komórek w CW-kompleksie X. Jeżeli X jest wielościanem w R3 , o rozkładzie
komórkowym na w wierzchołków, k krawędzi i b powierzchni bocznych, to χ(X) = w − k + b.
Twierdzenie 4.6. Charakterystyka Eulera nie zależy od wyboru rozkładu komórkowego CW-kompleksu X.
9
Niech X, Y będą przestrzeniami topologicznymi oraz niech f, g : X → Y będą odwzorowaniami ciągłymi. Mówimy, że są one homotopijne, jeżeli istnieje ciągłe odwzorowanie H : X × [0, 1] → Y takie, że
H(x, 0) = f (x) i H(1, x) = g(x) dla każdego x ∈ X.
Niech X, Y będą CW-kompleksami. Mówimy, że są one homotopijnie równoważne, jeżeli istnieją odwzorowania f : X → Y oraz g : Y → X takie, że f ◦ g jest homotopijne z IdY oraz g ◦ f jest homotopijne
z IdX . Oczywiście, jeżeli dwie przestrzenie są homeomorficzne, to są też homotopijnie równoważne.
Podamy teraz najważniejsze własności charakterystyki Eulera.
Twierdzenie 4.7. Niech X, Y będą CW-kompleksami. Wówczas
1. Jeżeli X i Y są homotopijnie równoważne, to χ(X) = χ(Y ).
2. Jeżeli Y jest podkompleksem CW-kompleksu X, to
χ(Y ) − χ(X) + χ(X/Y ) = 0.
3. χ(∅) = 0.
4. χ(X) + χ(Y ) = χ(X ∪ Y ) + χ(X ∩ Y )
Z tego twierdzenia wynika między innymi, że każdy zbiór w R3 , który jest homeomorficzny z sześcianem,
ma charakterystykę Eulera równą 2, w szczególności χ(S 2 ) = 2.
Twierdzenie 4.8. χ(T n ) = χ(S 1 )n = 0 dla n > 0 oraz χ(T 0 ) = 1.
Powyższe twierdzenie jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego twierdzenia dotyczącego iloczynu
kartezjańskiego CW-kompleksów.
Twierdzenie 4.9. Jeżeli X jest CW-kompleksem oraz X 0 ⊂ X jest podkompleksem, to przestrzeń X/X 0
jest także CW-kompleksem.
5
G-CW-kompleksy
Definicja 5.1. Mówimy, że określona jest Kategoria K, jeżeli dane są
1. Klasa obiektów OK .
2. Dla każdej pary obiektów (X, Y ) określone są zbiory morfizmów MK (X, Y ) takie, że dla różnych par
obiektów zbiory morfizmów są rozłączne.
3. Składanie morfizmów: ◦ : MK (Y, Z) × MK (X, Y ) → MK (X, Z) dla dowolnych obiektów X, Y , Z,
które oznaczamy f ◦ g = ◦(f, g), posiadające własności
(a) jeżeli h ∈ MK (Z, T ) (gdzie T ∈ OK ), to h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f ;
(b) dla każdego X ∈ OK istnieje taki morfizm IdX ∈ MK (X, X) taki, że IdX ◦ f = f dla dowolnego
f ∈ MK (Y, X) (gdzie Y ∈ OK ). Morfizm ten nazywamy identycznością.
0
0
Podkategorią kategorii K nazywamy kategorię K0 taką, że OK
⊂ OK oraz dla dowolnych X, Y ∈ OK
mamy:
0
0
MK (X, Y ) ⊂ MK (X, Y ). Podkategorię nazywamy pełną, jeżeli MK (X, Y ) = MK (X, Y ).
W dalszym ciągu, pisząc X ∈ K rozumiemy, że X ∈ OK .
Definicja 5.2. Niech X oraz Y będą G-przestrzeniami. Odwzorowanie h : X × [0, 1] → Y nazywamy Gwspółzmienniczą homotopią (G-homotopią), jeżeli jest odwzorowaniem ciągłym oraz h(·, t) : X → Y jest
odwzorowaniem G-współzmienniczym dla każdego t ∈ [0, 1].
Definicja 5.3. G-przestrzenią z wyróżnionym punktem nazywamy parę (X, ∗) składającą się z G-przestrzeni
X oraz wyróżnionego punktu ∗ ∈ X G .
10
Przez T (G) oznaczamy kategorię, której obiektami są G-przestrzenie a morfizmami G-odwzorowania.
Przez T∗ (G) oznaczamy kategorię, której obiektami są G-przestrzenie z wyróżnionym punktem a morfizmami G-odwzorowania zachowujące punkty bazowe.
Definicja 5.4. Niech X, Y ∈ T∗ (G).
1. Odwzorowanie h : X × [0, 1] → Y nazywamy homotopią w T∗ (G) (G-homotopią), jeżeli dla każdego
t ∈ [0, 1], odwzorowanie ht (·) = h(·, t) ∈ T∗ (G).
2. Niech f0 , f1 : X → Y będą morfizmami w T∗ (G). Mówimy, że odwzorowania f0 , f1 są homotopijne w
T∗ (G), jeżeli istnieje homotopia h w T∗ (G) taka, że h(·, 0) = f0 (·) oraz h(·, 1) = f1 (·).
3. Niech f : X → Y będzie morfizmem w T∗ (G). Mówimy, że f jest G-homotopijną równoważnością,
jeżeli istnieje morfizm e : Y → X taki, że e◦f jest G-homotopijne z IdX oraz f ◦e jest G-homotopijne
z IdY .
4. Jeżeli istnieje G-homotopijna równoważność f : X → Y to mówimy, że przestrzenie X i Y mają ten
sam G-typ homotopii.
Jeżeli dwie G-przestrzenie mają ten samym G-typ homotopii, to nie będziemy ich rozróżniać. Dla
X ∈ T∗ (G) przez [X] będziemy oznaczali G-typ homotopii G-przestrzeni X. Przez T∗ [G] oznaczamy zbiór
wszystkich G-typów homotopii.
Dla H ∈ sub(G) definiujemy H-działanie H × G → G wzorem (h, g) 7→ gh−1 . Zbiór orbit tego działania
oznaczamy G/H z G-działaniem G × G/H → G/H zdefiniowanym wzorem: (g, g 0 H) 7→ (gg 0 )H.
Definicja 5.5. Niech (X, A) będzie parą G-przestrzeni (to znaczy A ⊂ X oraz A jest G-niezmiennicza) i
H1 , . . . , Hq ∈ sub(G). Mówimy, że G-przestrzeń X otrzymujemy z G-przestrzeni A przez doklejenie rodziny
niezmienniczych k-komórek typu orbitowego {(k, Hj ) : j = 1, . . . , q}, jeżeli istnieje G-odwzorowanie
ϕ: (
q
G
Dk × G/Hj ,
j=1
które odwzorowuje
q
F
q
G
S k−1 × G/Hj ) → (X, A),
j=1
B k × G/Hj homeomorficznie na X\A.
j=1
Jeżeli G-przestrzeń X otrzymujemy z G-przestrzeni A przez doklejenie rodziny niezmienniczych kq
F
komórek typu orbitowego {(k, Hj ) : j = 1, . . . , q}, to będziemy to oznaczali X = A ∪
Dk × G/Hj .
j=1
Zauważmy, że powyższa definicja jest uogólnieniem definicji 4.2, gdyż jeżeli G jest grupą trywialną, to
para
q
q
G
G
(
Dk × G/Hj ,
S k−1 × G/Hj )
j=1
j=1
jest homeomorficzna z parą
(
q
G
j=1
Dk ,
q
G
S k−1 ).
j=1
Definicja 5.6. Niech (X, X−1 ) będzie parą G-przestrzeni Hausdorffa. Jeżeli istnieje skończony ciąg Gprzestrzeni X−1 ⊂ X0 ⊂ X1 ⊂ . . . ⊂ Xp = X taki, że
1. X−1 ∈ {{∗}, ∅},
2. X0 jest G-homeomorficzne z X−1 t
q(0)
F
G/Hj,0 , gdzie H1,0 , . . . , Hq(0),0 ∈ sub(G),
j=1
3. Xk otrzymujemy z Xk−1 przez doklejenie rodziny niezmienniczych k-komórek typu orbitowego {(k, (Hj,k )) :
j = 1, . . . , q(k)} dla k = 1, . . . , p,
11
to parę (X, ∗) nazywamy skończonym G-CW-kompleksem z wyróżnionym punktem ∗ ∈ X zaś parę (X, ∅)
(utożsamianą z X) nazywamy skończonym G-CW-kompleksem. Zbiór Xk nazywamy k-szkieletem G-CWkompleksu X.
Każdy CW-kompleks jest G-CW-kompleksem, jeżeli za G przyjmiemy grupę trywialną.
Fakt 5.1. Niech X będzie G-CW-kompleksem, X−1 ∈ {{∗}, ∅} oraz niech Xk niech będzie k-szkieletem.
Wówczas
1. X jest przestrzenią Hausdorffa.
2. zbiór Xn jest domknięty w X,
3. zbiór C jest domknięty w X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej komórki E w rozkładzie X, podzbiór
C ∩ E jest domknięty w E.
Definicja 5.7. Niech X będzie G-CW-kompleksem, X−1 ∈ {{∗}, ∅} oraz niech Xk niech będzie kszkieletem. Pod-G-CW-kompleksem G-CW-kompleksu X nazywamy zbiór Y o własnościach
1. Y jest G-niezmienniczą podprzestrzenią przestrzeni X,
2. Y jest sumą X−1 oraz rodziny komórek przestrzeni X, których domknięcia są zawarte w Y .
Lemat 5.2. Niech X będzie G-CW-kompleksem oraz niech Y będzie pod-G-CW-kompleksem kompleksu
X. Wówczas X/A jest G-CW-kompleksem z k-szkieletem Xk /Yk .
Zdefiniujmy zbiór
Zm = {e
2iπk
m
: k = 0, 1, . . . m − 1}
Przykład 5.1. Rozpatrzmy sferę S 2 jako G-CW-kompleks w trzech następujących przypadkach:
1. Jeżeli G = {e}, to S 2 rozkładamy na następujące szkielety:
(a) X−1 = ∅,
(b) X0 = X−1 ∪ e0 , gdzie e0 = D0 × {e}/{e},
(c) X1 = X0 ∪ {f1 } ∪ {f2 }, gdzie f1 , f2 = D1 × {e}/{e},
(d) X2 = X1 ∪ {g1 } ∪ {g2 }, gdzie g1 , g2 = D2 × {e}/{e}.
Jeżeli rozpatrywalibyśmy sferę S 2 jako CW-kompleks to moglibyśmy wybrać taki sam rozkład komórkowy.
2. Załóżmy, że G = SO(2) oraz działanie dane jest wzorem
ρm (
cos φ
sin φ
− sin φ
cos φ
m cos φ − sin φ
x
, (x, y, z)) = (
, z)
sin φ
cos φ
y
Wówczas wybieramy rozkład S 2 na komórki: (0, SO(2)), (0, SO(2)) (bieguny) i (1, Zm ) (południk
pomnożony przez SO(2)/Zm = SO(2)).
3. Niech G = SO(3) działa na S 2 poprzez przyporządkowanie (L, x) 7→ Lx. Można pokazać, że SO(3)(0, 0, 1) =
S 2 . Z drugiej strony, SO(3)(0,0,1) = SO(2). Zatem, na mocy twierdzenia 1.4, sfera S 2 jest Ghomeomorficzna z SO(3)/SO(2), a stąd komórka D0 o typie orbitowym (0, SO(3)/SO(2)) jest całą
sferą S 2 .
12
6
Definicja pierścienia Eulera
Przez B n (x, r) (Dn (x, r), S n−1 (x, r)) oznaczamy kulę otwartą (kulę domkniętą, sferę) w Rn o środku w
punkcie x i promieniu r.
Przez F∗ (G) oznaczamy pełną podkategorię T∗ (G), której obiektami są skończone G-CW-kompleksy z
wyróżnionym punktem oraz przez F∗ [G] oznaczamy podzbiór T∗ [G] zawierający G-typy homotopii skończonych G-CW-kompleksów z wyróżnionym punktem.
Definicja 6.1. Niezmiennikiem addytywnym dla skończonych G-CW-kompleksów nazywamy parę (A, b),
gdzie A jest grupą abelową oraz b : F(G) → A jest odwzorowaniem spełniającym warunki:
1. Jeżeli X, Y ∈ F(G) są G-homotopijnie równoważne, to b(X) = b(Y ).
2. Jeżeli X, Y, Z ∈ F(G) oraz X, Y są pod-G-CW-kompleksami G-CW-kompleksu Z, to
b(X) + b(Y ) = b(X ∪ Y ) + b(X ∩ Y ).
(1)
3. b(∅) = 0.
Twierdzenie 6.1. Ustalmy X ∈ F(G) oraz H ∈ sub(G). Niech n(X, H, i) będzie liczbą i-komórek typu H
w G-CW-kompleksie X. Zdefiniujmy
X
n(X, H) =
(−1)i n(X, H, i).
(2)
i­0
Wówczas
b(X) =
X
n(X, H)b(G/H).
(3)
(H)∈sub[G]
Dowód. Niech Z będzie G-CW-kompleksem otrzymanym z G-CW-kompleksu X poprzez doklejenie nkomórki typu orbitowego (H), oznaczamy to Z = X ∪ (G/H × Dn ). Ponadto, niech Y = G/H × Dn (0, 21 )
będzie domkniętą komórką w G/H × Dn oraz niech Y1 = G/H × B n (0, 21 ).
Zauważmy, że jeżeli usuniemy Y1 z komórki Y z G-CW-kompleksu Z, to otrzymamy przestrzeń, która
jest G-homotopijnie równoważna z G-CW-kompleksem X. W tym celu rozważmy odwzorowania i : S n−1 →
x
Dn \B n (0, 21 ) oraz π : Dn \B n (0, 12 ) → S n−1 określone wzorami i(x) = x oraz π(x) = kxk
, gdzie kxk jest
x
normą w Rn . Wtedy π ◦ i = IdS n−1 oraz i(π(x)) = kxk . Homotopią łączącą i ◦ π z IdDn \B n (0, 12 ) jest
odwzorowanie
1
1
H : Dn \B n (0, ) × [0, 1] → Dn \B n (0, )
2
2
dane wzorem


jeżeli t ¬ 21 i 12 ¬ ||x|| ¬ 1,
x
x
t jeżeli t > 21 i ||x|| ¬ t,
H(x, t) = ||x||


x
jeżeli t > 21 i ||x|| > t.
Stąd wynika, że przestrzeń Z\Y1 jest homotopijnie równoważna z X ∪ (G/H × S n−1 ), ta przestrzeń
jest zaś równa X.
Zauważmy ponadto, że Z\Y1 oraz Y są pod-G-CW-kompleksami G-CW-kompleksu Z. Wstawiając we
wzorze 1 X = Z\Y1 i Y = Y oraz korzystając z własności odwzorowania b : F(G) → A otrzymujemy
b(Z\Y1 ) + b(Y ) = b((Z\Y1 ) ∪ Y ) + b((Z\Y1 ) ∩ Y ) = b(Z) + b((Z\Y1 ) ∩ Y ).
Stąd otrzymujemy
b(Z) = b(Z\Y1 ) + b(Y ) − b((Z\Y1 ) ∩ Y ) = b(X) + b(G/H × Dn ) − b(G/H × S n−1 ).
(4)
Pokażemy, że
b(G/H × S n ) = (1 + (−1)n )b(G/H)
13
(5)
dla n ­ −1 (przyjmujemy, że S −1 = ∅). Przeprowadzimy dowód indukcyjny. Dla n=-1 wzór jest prawdziwy
na mocy własności 3 z definicji 6.1. Załóżmy, że wzór (5) jest prawdziwy dla każdego k < n. Niech D−
oraz D+ będą dolną i górną półsferą sfery S n (zauważmy, że są one ściągalne, to znaczy homotopijnie
równoważne z punktem). Wówczas korzystając ze wzoru (1) oraz z założenia indukcyjnego mamy
b(G/H × S n ) = b(G/H × D+ ) + b(G/H × D− ) − b(G/H × S n−1 ) =
= 2b(G/H) − (1 + (−1)n−1 )b(G/H) = (1 + (−1)n )b(G/H).
Uwzględniając wzór (5) we wzorze (4) oraz korzystając ze ściągalności Dn otrzymujemy, że
b(Z) = b(X) + b(G/H × Dn ) − (1 + (−1)n )b(G/H) = b(X) + b(G/H) − (1 + (−1)n )b(G/H) =
= b(X) + (−1)n b(G/H).
Podobnie można pokazać, że jeżeli Z powstaje z X przez doklejenie rodziny n-komórek typu orbitowego
{(n, Hj ) : j = 1, . . . , q}, to
q
X
n
b(Z) = b(X) + (−1)
b(G/Hj ).
j=1
Stąd wynika, że
b(Z) = b(X) + (−1)n
X
n(X, H, n)b(G/H).
(6)
(H)∈sub[G]
Możemy teraz udowodnić wzór (3). Z definicji G-CW-kompleksu istnieje ciąg zbiorów ∅ = X−1 ⊂ X0 ⊂
X1 ⊂ . . . ⊂ Xp = X. Przeprowadzimy dowód indukcyjny ze względu na ten ciąg zbiorów. Dla k = −1
mamy b(∅) = 0. Załóżmy prawdziwość wzoru (3) dla każdego k < p. Wtedy, ze wzoru (6) oraz z założenia
indukcyjnego mamy
X
n(X, H, p)b(G/H) =
b(Xp ) = b(Xp−1 ) + (−1)p
(H)∈sub[G]
=
X
(H)∈sub[G]
n(X, H, p)b(G/H) =
(H)∈sub[G]
X
=
X
n(Xp−1 , H)b(G/H) + (−1)p
p−1
X
( (−1)i n(X, H, i)) + (−1)p n(X, H, p))b(G/H) =
(H)∈sub[G] i=0
=
X
p
X
( (−1)i n(X, H, i))b(G/H) =
(H)∈sub[G] i=0
X
n(X, H)b(G/H),
(H)∈sub[G]
co kończy dowód.
Definicja 6.2. Niezmiennikiem addytywnym dla skończonych G-CW-kompleksów z wyróżnionym punktem nazywamy parę (B, b), gdzie B jest grupą abelową oraz b : F∗ (G) → B jest odwzorowaniem posiadającym następujące własności:
1. Jeżeli X, Y ∈ F∗ (G) są G-homotopijnie równoważne, to b(X) = b(Y ).
2. Jeżeli A ∈ F∗ (G) jest pod-G-CW-kompleksem G-CW kompleksu X ∈ F∗ (G), to
b(A) − b(X) + b(X/A) = 0.
Zauważmy, że z własności (3) wynika, że jeżeli przyjmiemy X = {∗} i A = {∗}, to b(∗) = 0.
14
(7)
Definicja 6.3. Niezmiennik addytywny (U, u) dla F∗ (G) nazywamy uniwersalnym, jeżeli dla każdego
niezmiennika addytywnego (B, b) dla F∗ (G) istnieje dokładnie jeden homomorfizm φ : U → B taki, że
b(X) = φ(u(X)).
Okazuję się, że istnieje dokładnie jeden uniwersalny addytywny niezmiennik dla F∗ (G). Istnienie to
dowodzi się konstruując tak zwaną grupę Grothendiecka.
Definicja 6.4. Niech A będzie zbiorem. Wolną grupą abelową generowaną przez zbiór A nazywamy zbiór
G(A) = {c : A → Z : c(a) = 0 dla prawie wszystkich a ∈ A}
Jeżeli c ∈ G(A), to zapisujemy to
c=
∞
X
ni ai , gdzie ni ∈ Z, ni = 0 dla prawie wszystkich i, ai ∈ A
i=1
Oznaczmy przez F grupę wolną generowaną przez G-typy homotopii skończonych G-CWkompleksów z
wyróżnionym punktem oraz przez N oznaczmy podgrupę grupy F generowaną przez wszystkie elementy
[A] − [X] + [X/A] dla pod-G-CW-kompleksów A G-CW-kompleksu X.
Definicja 6.5. Zdefiniujmy U (G) = F/N i oznaczmy symbolem χG ([X]) klasę elementu [X] w U (G). Element χG ([X]) będziemy nazywali uniwersalną G-niezmienniczą charakterystyką Eulera G-CW-kompleksu
X.
Dla skrócenia zapisu będziemy pisali χG (X) zamiast χG ([X]).
Zauważmy, że tak zdefiniowana charakterystyka Eulera ma następujące własności:
1. Jeżeli X, Y ∈ F∗ (G) są G-homotopijnie równoważne, to χG (X) = χG (Y ).
2. Jeżeli A ∈ F∗ (G) jest pod-G-CW-kompleksem G-CW kompleksu X ∈ F∗ (G), to
χG (A) − χG (X) + χG (X/A) = 0.
(8)
3. χG (∗) = 0.
Jeżeli X ∈ F(G), to przez X + oznaczamy przestrzeń X ∪ {∗}. Oczywiście X + ∈ F∗ (G).
W zbiorze U (G) wprowadzimy strukturę pierścienia. W tym celu zdefiniujemy działania na G-CWkompleksach z wyróżnionym punktem: bukiet (ang. wedge sum) i zawieszenie (ang. smash product).
Niech X, Y ∈ F∗ (G). Zdefiniujmy:
X ∨ Y = X × {∗Y } ∪ Y × {∗X }/{(∗X , ∗Y )}
oraz
X ∧ Y = X × Y /X ∨ Y.
Przestrzeń X ∨ Y nazywamy bukietem przestrzeni X i Y a X ∧ Y nazywamy zawieszeniem przestrzeni
X i Y.
Lemat 6.2. Niech X, Y będą pod-G-CW-kompleksami G-CW-kompleksu Z. Wówczas
1. X × Y ∈ F∗ (G).
2. X ∨ Y ∈ F∗ (G).
3. X ∧ Y ∈ F∗ (G).
4. Załóżmy, że grupa G działa na S 1 w sposób trywialny. Wówczas S 1 ∧ X ∈ F∗ (G).
15
5. Zdefiniujmy stożek nad X
CX = X × [0, 1]/X × {1} ∪ {∗} × [0, 1]
oraz załóżmy, że grupa G działa na [0, 1] w sposób trywialny. Wówczas CX ∈ F∗ (G). Ponadto S 1 ∧X
jest G-homotopijnie równoważne z CX/X × {0}.
6. Sfera S k jest G-homotopijnie równoważna z produktem k sfer S 1 ∧ . . . ∧ S 1 (G działa na S 1 i na S k
w sposób trywialny).
Niech X, Y ∈ F∗ (G). Zdefiniujmy
χG (X) + χG (Y ) = χG (X ∨ Y )
(9)
χG (X) ? χG (Y ) = χG (X ∧ Y ).
(10)
oraz
Jeżeli X, Y ∈ F(G) (a nie F∗ (G)), to działanie ? okazuje się być bardzo proste.
Lemat 6.3. Niech X, Y ∈ F(G). Wówczas
χG (X + ) ? χG (Y + ) = χG ((X × Y )+ ).
(11)
Dowód. Zauważmy, że
(X ∪ {∗X }) ∧ (Y ∪ {∗Y }) = (X ∪ {∗X }) × (Y ∪ {∗Y })/(X ∪ {∗X }) ∨ (Y ∪ {∗Y }) = A/B,
gdzie
A = ((X × Y ) ∪ ({∗X } × Y ) ∪ (X × {∗Y }) ∪ ({∗X }) × {∗Y }))
oraz
B = ({∗X }) × Y ) ∪ (X × {∗Y }) ∪ ({∗X }) × {∗Y }).
Stąd
(X ∪ {∗X }) ∧ (Y ∪ {∗Y }) = (X × Y ) ∪ ({∗X } ∪ {∗Y }),
a to dowodzi wzoru (11).
Okazuje się, że dla charakterystyki Eulera możemy udowodnić twierdzenie w pewnym sensie podobne
do twierdzenia 6.1, to znaczy pokażemy, że obliczanie charakterystyki Eulera dla G-CW-kompleksów z
wyróżnionym punktem również polega na zliczaniu komórek.
Twierdzenie 6.4. Zbiór U (G) jest wolną grupą abelową generowaną przez elementy postaci χG (G/H + ),
gdzie (H) ∈ sub[G]. Ponadto, jeżeli X ∈ F∗ (G) oraz Xk jest k-szkieletem G-CW-kompleksu X, to
χG (Xk ) = χG (Xk−1 ) + (−1)
k
q
X
χG (G/Hj+ ),
(12)
j=1
gdzie q jest liczbą komórek wymiaru k w X.
Dowód. Ustalmy X ∈ F∗ (G). Z lematu 6.2 wiemy, że S 1 ∧ X, CX ∈ F∗ (G). Zauważmy, że stożek CX jest
ściągalny, czyli [CX] = [∗], a to oznacza, że χG (CX) = χG (∗) = 0. Zatem, ze wzoru (8) otrzymujemy, że
χG (X) − χG (CX) + χG (CX/X) = 0,
a w konsekwencji
χG (X) = χG (X) = −χG (CX/X) = −χG (S 1 × X).
16
Pokażemy indukcyjnie, że grupa U (G) jest generowana przez elementy będące postaci χG (G/H + ), gdzie
(H) ∈ sub[G]. Załóżmy, że X jest 0-wymiarowym G-CW-kompleksem, ma więc postać
{∗} t
q
G
G/Hj = G/H1+ ∨ . . . ∨ G/Hq+ ,
j=1
gdzie H1 , . . . Hq ∈ sub(G). Zatem
χG (X) = χG (G/H1+ ∨ . . . ∨ G/Hq+ ) = χG (G/H1+ ) + . . . + χG (G/Hq+ ),
czyli
χG (X) = χG (X−1 ) + (−1)0 (χG (G/H1+ ) + . . . + χG (G/Hq+ )).
Załóżmy teraz, że dla dowolnego G-CW-kompleksu wymiaru mniejszego niż k prawdziwy jest wzór (12).
Pokażemy, że wzór ten jest także prawdziwy dla k. Zauważmy w tym celu, że jeżeli Xk powstaje z Xk−1
poprzez dołączenie rodziny k-wymiarowych komórek typu orbitowego H1 , . . . Hq(k) ∈ sub(G), to G-CW+
kompleks Xk /Xk−1 jest G-homeomorficzny z S k ∧ G/H1+ ∨ . . . ∨ S k ∧ G/Hq(k)
. Zatem
q(k)
χG (Xk ) = χG (Xk−1 ) +
X
χG (S k ∧ G/Hj+ ) =
j=1
q(k)
q(k)
= χG (Xk−1 ) +
X
χG (S 1 ∧ (S k−1 ∧ G/Hj+ )) = χG (Xk−1 ) −
X
j=1
j=1
q(k)
= χG (Xk−1 ) +
χG (S k−1 ∧ G/Hj+ ) =
X
q(k)
k
χG (S ∧
G/Hj+ )
= χG (Xk−1 ) + (−1)
k
j=1
X
χG (G/Hj+ ),
j=1
co kończy dowód.
Wniosek 6.5. Grupa (U (G), +) jest wolną grupą abelową z bazą χG (G/H + ), gdzie (H) ∈ sub[G]. Ponadto,
p q(k)
S
S
jeżeli X ∈ F∗ (G) oraz
({(k, (Hj,k ))} jest typem orbitowym G-CW-kompleksu X, to
k=0 j=1
χG (X) =
p
X
+
νG (X, H)χG (G/Hj,k
),
(13)
k=0
gdzie
q(k)
νG (X, H) =
X
(−1)j νG (X, H, j)
(14)
j=1
oraz νG (X, H, j) jest liczbą j-wymiarowych komórek typu orbitowego (H).
Zauważmy, że jeżeli G = {e}, to b(X) = χ(X) (X jest wtedy CW-kompleksem), gdzie χ jest charakterystyką Eulera dla CW-kompleksów opisaną w podrozdziale 4.
Z konstrukcji pierścienia U (G) oraz charakterystyki Eulera χG : F∗ (G) → U (G) otrzymujemy, że
(U (G), χG ) jest niezmiennikiem addytywnym dla skończonych G-CW-kompleksów.
Twierdzenie 6.6. Trójka (U (G), +, ?) z działaniami zdefiniowanymi wzorami (9) i (10) jest pierścieniem
przemiennym z jedynką I = χ(G/G+ ).
17
Dowód. Załóżmy, że X, Y, Z ∈ F∗ (G) oraz A jest pod-G-CW-kompleksem G-CW-kompleksu Z. Zauważmy
po pierwsze, że jeżeli [X] = [Y ] + c([X] − [A] + [X/A]), to
χG ([X]) = χG ([Y ] + c([Z] − [A] + [Z/A])).
Pokażemy, że działania nie zależą od wyboru klas G-homotopii. W tym celu wybierzmy X 0 , Y 0 ∈ F∗ (G)
takie, że [X] = [X 0 ] oraz [Y ] = [Y 0 ]. Pokażemy, że
χG (X) + χG (Y ) = χG (X 0 ) + χG (Y 0 )
(15)
χG (X) ? χG (Y ) = χG (X 0 ) ? χG (Y 0 ).
(16)
oraz
Zauważmy, że
χG (X) + χG (Y ) = χG (X ∨ Y ) = χG (X 0 ∨ Y 0 ),
gdyż X × {∗X } ∪ Y × {∗Y } jest sumą rozłączną, a zatem, z założenia jest G-homotopijnie równoważna z
X 0 × {∗X 0 } ∪ Y 0 × {∗Y 0 }. Po utożsamieniu punktów wyróżnionych otrzymujemy wzór (15).
Udowodnimy, że zachodzi wzór (16). W tym celu zauważmy, że z własności (8) mamy
χG (X) ? χG (Y ) = χG (X ∧ Y ) = χG (X × Y /X ∨ Y ) = χG (X × Y ) − χG (X ∨ Y ).
Z drugiej strony analogicznie można pokazać, że
χG (X 0 ) ? χG (Y 0 ) = χG (X 0 × Y 0 ) − χG (X 0 ∨ Y 0 ).
Zauważmy również, że χG (X × Y ) = χG (X 0 × Y 0 ). Zatem, korzystając z udowodnionego wzoru 15 otrzymujemy wzór 16.
Pokażemy, że jest to pierścień przemienny z jedynką.
1. Własności działania + są łatwe do sprawdzenia, dlatego je pomijamy.
2. Pokażemy, że działanie ? jest rozdzielne względem działania +, to znaczy pokażemy równość
(χG (X) + χG (Y )) ? χG (Z) = χG (X) ? χG (Z) + χG (Y ) ? χG (Z).
(17)
Zauważmy, że
(χG (X) + χG (Y )) ? χG (Z) = χG ((X ∨ Y ) × Z/X ∨ Y ∨ Z) =
= χG ((X × Z) ∨ (Y × Z)/X ∨ Y ∨ Z).
Z drugiej strony mamy
χG (X) ? χG (Z) + χG (Y ) ? χG (Z) = χG (X ∧ Z) + χG (Y ∧ Z) =
= χG (X × Z/X ∨ Z) + χG (Y × Z/Y ∨ Z) =
= χG ((X × Z) ∨ Y /X ∨ Z ∨ Y ) + χG (X ∨ (Y × Z)/X ∨ Y ∨ Z)) =
= χG ((X × Z) ∨ Y ∨ X ∨ (Y × Z)/X ∨ Y ∨ Z) = χG ((X × Z) ∨ (Y × Z)/X ∨ Y ∨ Z),
co dowodzi wzoru 17.
3. Pokażemy, że działanie ? jest przemienne, to znaczy
χG (X) ? χG (Y ) = χG (Y ) ? χG (X).
W tym celu zauważmy, że
χG (X ∧ Y ) = χG (X × Y /X ∨ Y ) = χG (Y × X/Y ∨ X) = χG (Y ∧ X).
18
(18)
4. Pokażemy, że działanie ? jest łączne, to znaczy dla dowolnych X, Y, Z ∈ F∗ (G) zachodzi wzór
χG (X) ? (χG (Y ) ? χG (Z)) = (χG (X) ? χG (Y )) ? χG (Z).
(19)
W tym celu zauważmy, że z wniosku 6.5, a dokładniej ze wzoru (13) oraz z udowodnionej wcześniej
rozdzielności działania ? względem działania + wystarczy udowodnić, że
χG (G/H1+ ) ? (χG (G/H2+ ) ? χG (G/H3+ )) = (χG (G/H1+ ) ? χG (G/H2+ )) ? χG (G/H3+ ).
(20)
Ale, korzystając z lematu 6.3, mamy
(χG (G/H1+ ) ? χG (G/H2+ )) ? χG (G/H3+ ) = χG ((G/H1+ ∧ G/H2+ ) ∧ G/H3+ ) =
= χG ((G/H1+ × G/H2+ ) × G/H3+ ) = χG (G/H1+ × (G/H2+ × G/H3+ )) =
= χG (G/H1+ ∧ (G/H2+ ∧ G/H3+ )) = χG (G/H1+ ) ? (χG (G/H2+ ) ? χG (G/H3+ )),
co dowodzi wzoru (20) a więc także (19).
5. Z definicji operacji ∧ natychmiast wynika, że I = χ(G/G+ ) jest jedynką działania ?.
Na koniec, zauważmy, że pierścień U ({e}) jest izomorficzny z pierścieniem liczb całkowitych.
7
Reprezentacje grupy Liego
Definicja 7.1. Reprezentacją grupy Liego G nazywamy parę V = (Rn , ρ), gdzie n ∈ N oraz ρ : G →
Gl(n, R) jest ciągłym homomorfizmem grup.
Jeżeli ρ : G → O(n, R) ⊂ Gl(n, R), to reprezentację V nazywamy ortogonalną reprezentacją grupy Liego
G. Liczbę n nazywamy wymiarem reprezentacji.
Reprezentację grupy Liego G nazywamy także G-reprezentacją.
Jeżeli V = (Rn , ρ), to grupa G działa na Rn poprzez przyporządkowanie (g, v) 7→ ρ(g)v, gdzie g ∈
G, v ∈ Rn oraz ρ(g)v ∈ Rn jest mnożeniem macierzy przez wektor.
Fakt 7.1. Niech V będzie reprezentacją zwartej grupy Liego G. Wówczas istnieje iloczyn skalarny w Rn
taki, że reprezentacja V jest ortogonalną reprezentacją grupy Liego G.
Przykład 7.1. Ustalmy m ∈ N i zdefiniujmy ciągły homomorfizm ρm : SO(2) → Gl(2, R) wzorem
m cos φ − sin φ
cos φ − sin φ
cos(mφ) − sin(mφ)
ρm (
)=
=
.
sin φ
cos φ
sin φ
cos φ
sin(mφ)
cos(mφ)
Para (R2 , ρm ) jest ortogonalną dwuwymiarową reprezentacją grupy SO(2). Będziemy ją oznaczali R[1, m].
W dalszym ciągu dla ustalonej reprezentacji V = (Rn , ρ) będziemy pisać v ∈ V zamiast v ∈ Rn .
Definicja 7.2. Niech V = (Rn , ρ) będzie reprezentacją grupy Liego G. Ustalmy v ∈ V. Wówczas
1. grupę
Gv = {g ∈ G : ρ(g)v = v}
nazywamy grupą izotropii elementu v ∈ V,
2. zbiór
G(v) = {ρ(g)v : g ∈ G}
nazywamy orbitą elementu v ∈ V,
19
3. zbiór
VG = {v ∈ V : Gv = G}
nazywamy zbiorem punktów stałych.
Jeżeli G jest zwartą grupą Liego to zbiory G/Gv oraz G(v) są G-homeomorficzne, zgodnie z twierdzeniem 1.4.
0
Definicja 7.3. Niech V = (Rn , ρ) oraz W = (Rn , ρ0 ) będą reprezentacjami grupy Liego G. Wówczas
odwzorowanie f : V → W nazywamy G-współzmienniczym, jeżeli f (ρ(g)v) = ρ0 (g)f (v) dla każdych g ∈ G
oraz v ∈ V.
Mówimy, że reprezentacje V i W są równoważne, jeżeli istnieje G-współzmienniczy liniowy izomorfizm
T : V → W.
Fakt 7.2. Niech f : V → V będzie G-współzmienniczym odwzorowaniem G-reprezentacji V = (Rn , ρ).
Wówczas dla każdego v ∈ V zachodzi Gv ⊂ Gf (v) .
Dowód. Załóżmy, że g ∈ Gv . Wtedy ρ(g)f (v) = f (ρ(g)v) = f (v) Stąd g ∈ Gf (v) , co kończy dowód.
Ustalmy m ∈ N i zdefiniujmy homomorfizmy ρm , ρ−m : SO(2) → SO(2) wzorami:
cos φ − sin φ
cos(mφ) − sin(mφ)
ρm (
)=
,
sin φ
cos φ
sin(mφ)
cos(mφ)
cos φ − sin φ
cos(−mφ) − sin(−mφ)
cos(mφ)
ρ−m (
)=
=
sin φ
cos φ
sin(−mφ)
cos(−mφ)
− sin(mφ)
sin(mφ)
cos(mφ)
.
2
2
2
2
Reprezentacje
(R , ρm
) i (R , ρ−m ) są równoważne. Izomorfizm T : (R , ρm ) → (R , ρ−m ) dany jest
1
0
przez macierz
.
0 −1
Fakt 7.3. Niech m, m0 ∈ N. Reprezentacje R[1, m], R[1, m0 ] są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy m =
m0 .
Dowód. Niech T : R[1, m] → R[1, m0 ] będzie G-współzmienniczym liniowym izomorfizmem oraz niech v 6=
0 ∈ R[1, m]. Pokażemy, że SO(2)v = Zm . W tym celu zauważmy, że dla v = (v1 , v2 ) mamy
cos mφ − sin mφ
v1
v1
cos mφ − 1 − sin mφ
v1
0
=
⇐⇒
=
,
sin mφ
cos mφ
v2
v2
sin mφ
cos mφ − 1
v2
0
ale z założenia v 6= 0 wynika, że jest to możliwe wtedy i tylko wtedy, gdy
cos mφ − 1 − sin mφ
det
= 0,
sin mφ
cos mφ − 1
co jest równoważne temu, że
(cos mφ − 1)2 + (sin mφ)2 = 0.
Stąd otrzymujemy, że mφ = 2kπ dla k ∈ Z, czyli
φ ∈ {0,
2(m − 1)π
2π
,...,
} = Zm ,
m
m
gdyż φ ∈ [0, 2π). Analogicznie można pokazać, że SO(2)T (v) = Zm0 .
Z faktu 7.2 wiemy, że SO(2)v ⊂ SO(2)T (v) , zatem Zm ⊂ Zm0 . Korzystając ponownie z faktu 7.2
otrzymujemy, że Zm0 ⊂ Zm . Zatem Zm = Zm0 czyli m = m0 , co kończy dowód.
20
0
Definicja 7.4. Niech V = (Rn , ρ) oraz W = (Rn , ρ0 ) będą reprezentacjami grupy Liego G. Wówczas
0
V⊕W = (Rn+n , ρ⊕ρ0 ) jest także reprezentacją grupy G, przy czym homomorfizm ρ⊕ρ0 : G → Gl(n+n0 , R)
dany jest wzorem
ρ(g)
0
0
(ρ ⊕ ρ )(g) =
.
0 ρ0 (g)
0
Ponadto grupa G działa na Rn+n następująco: (g, (v, v 0 )) 7→ (gv, gv 0 ).
Zauważmy, że jeżeli (v, w) ∈ V ⊕ W, to G(v,w) = Gv ∩ Gw .
Niech k, m ∈ N. Zdefiniujmy
R[k, m] = R[1, m] ⊕ . . . ⊕ R[1, m] (k razy)
oraz
R[k, 0] = R[1, 0] ⊕ . . . ⊕ R[1, 0] (k razy).
Przez R[1, 0] rozumiemy parę (R, ρ0 ), gdzie ρ0 : SO(2) → Gl(1, R) = R\{0} dane jest wzorem: ρ0 (g) = 1.
Definicja 7.5. Niech G będzie zwartą grupą Liego oraz niech V = (Rn , ρ) będzie G-reprezentacją. Podprzestrzeń liniową U ⊂ V (w sensie U jest podprzestrzenią liniową Rn ) nazywamy podreprezentacją reprezentacji
V, jeżeli U jest podprzestrzenią G-niezmienniczą, to znaczy: jeżeli g ∈ G oraz u ∈ U, to ρ(g)u ∈ U.
Reprezentację V nazywamy nieprzywiedlną, jeżeli nie istnieją podreprezentacje reprezentacji V różne
od V i {0}.
Przykładem reprezentacji nieprzywiedlnej jest reprezentacja R[1, m].
Fakt 7.4. Niech U będzie podreprezentacją ortogonalnej G-reprezentacji V = (Rn , ρ). Wówczas istnieje
podreprezentacja W reprezentacji V taka, że V = U ⊕ V.
Dowód. Połóżmy: W = U⊥ = {v ∈ V : v⊥u} = {v ∈ V : hv, ui = 0}, gdzie h·, ·i oznacza standardowy
iloczyn skalarny w Rn . Oczywiście V = U⊕W. Pokażemy, że W jest przestrzenią G-niezmienniczą. Ustalmy
w ∈ W, g ∈ G oraz u ∈ U. Wówczas
hρ(g)v, ui = hv, ρ(g)∗ ui = hv, ρ(g)−1 ui = 0,
gdyż ρ(g)−1 u ∈ U Stąd ρ(g)v ∈ W.
Twierdzenie 7.5. Niech G będzie zwartą grupą Liego oraz niech V będzie G-reprezentacją. Wówczas
istnieją nieprzywiedlne podreprezentacje V1 , . . . , Vm reprezentacji V takie, że
V = VG ⊕ V 1 . . . ⊕ Vm .
Dowód. Załóżmy, że reprezentacja V jest wymiaru n. Po pierwsze, zauważmy, że VG jest podreprezentacją
reprezentacji
G.
Z
faktu
7.4
istnieje
podreprezentacja
W
taka,
że
V = VG ⊕ W. Jeżeli W jest reprezentacją nieprzywiedlną, to kończymy dowód. Jeżeli nie, to istnieje
podreprezentacja W0 reprezentacji W różna od {0} i W. Korzystając ponownie z faktu 7.4 otrzymujemy
podreprezentację W00 taką, że W = W0 ⊕ W00 . Kontynuując to rozumowanie otrzymujemy tezę, gdyż reprezentacja jest skończenie wymiarowa.
Okazuje się, że reprezentacje postaci R[1, m], gdzie m ∈ N ∪ {0}, są jedynymi nieprzywiedlnymi reprezentacjami SO(2), a co za tym idzie, dowolna reprezentacja SO(2) jest równoważna sumie prostej pewnej
skończonej liczby reprezentacji tej postaci.
Twierdzenie 7.6 (Klasyfikacja reprezentacji SO(2)). Niech V = (R2 , ρ) będzie SO(2)-reprezentacją. Wówczas istnieje liczba r ∈ N oraz skończone ciągi {ki }ri=0 , {mi }ri=1 spełniające warunki:
1. m1 , . . . , mr ∈ N,
2. k1 , . . . , kr ∈ N,
21
3. k0 ∈ N ∪ {0}
oraz takie, że reprezentacja V jest równoważna z reprezentacją
R[k0 , 0] ⊕ R[k1 , m1 ] ⊕ . . . ⊕ R[kr , mr ] = R[k0 , 0] ⊕
r
M
R[ki , mi ].
i=1
Dowód. Niech (V, ρ) będzie reprezentacją sfery S 1 , gdzie ρ : S 1 → Gl(n, R) jest homomorfizmem grup.
Zamiast tego odwzorowania możemy rozważać odwzorowanie ρ : R → Gl(n, R) takie, że ρ(t + 2π) = ρ(t).
Z faktu, ze ρ jest homomorfizmem grup wynika, że ρ(0) = IdRn oraz ρ(s + t) = ρ(s)ρ(t). Różniczkując
ostatnią równość względem zmiennej s otrzymujemy, że ρ̇(s + t) = ρ̇(s)ρ(t). Kładąc teraz s = 0 otrzymujemy równanie różniczkowe: ρ̇(t) = ρ̇(0)ρ(t). Z teorii liniowych układów równań różniczkowych o stałych
współczynnikach wynika, że ρ(t) = eρ̇(0)t . Ponadto, z okresowości ρ wynika, że macierz ρ̇(0) nie może mieć
wartości własnych o niezerowych częściach rzeczywistych. Stąd wynika, że macierz Jordana macierzy ρ̇(0)
wygląda następująco
0 −m1
0 −mr
J(ρ̇(0)) = diag{{k0 , [0]}, {k1 ,
} . . . {kr ,
}},
m1
0
mr
0
gdzie k0 ∈ N ∪ {0}, k1 , m1 , . . . kr , mr ∈ N oraz k0 , . . . kr oznaczają krotność algebraiczną poszczególnych
wartości własnych (zatem także wymiar odpowiednich komórek w macierzy Jordana) zaś m1 , . . . , mr są
częściami urojonymi odpowiednich wartości własnych. Z ogólnej teorii wiadomo, że ρ̇(0) = P J(ρ̇(0))P −1
−1
oraz eP J(ρ̇(0))P = P eJ(ρ̇(0)) P −1 . Zatem
−1
ρ(t) = eρ̇(0)t = eP J(ρ̇(0))tP = P eJ(ρ̇(0))t P −1 =
cos m1 t − sin m1 t
cos mr t − sin mr t
= P diag{{k0 , [1]}, {k1 ,
} . . . {kr ,
}}P −1 .
sin m1 t
cosm1 t
sin mr t
cosmr t
Pokażemy, że wyjściowa reprezentacja V = (Rn , ρm ) = (Rk0 +(k1 +...+kr ) ) jest równoważna reprezentacji
V0 = (Rn , ρ0 ) = (Rn , P −1 ρP ) = R[k0 , 0] ⊕
r
M
R[ki , mi ].
i=1
W tym celu zdefiniujmy liniowy izomorfizm T : (V, ρ) → (V0 , ρ0 ) wzorem T (v) = P −1 v. Pokażemy
SO(2)-współzmienniczość izomorfizmu T . W tym celu zauważmy, że
T (ρ(t)v) = P −1 ρ(t)v = P −1 P ρ0 (t)P −1 v = ρ0 (t)P −1 v = ρ0 (t)T (v),
co kończy dowód.
8
Torus i jego reprezentacje
Ustalmy m, m0 ∈ Z n \{0}. Zdefiniujmy n-wymiarowy torus
T n = {(eiφ1 , . . . , eiφn ) ∈ S 1 × . . . × S 1 : φ1 , . . . φn ∈ R} = S 1 × . . . × S 1
i połóżmy T 0 = {punkt}.
Jeżeli φ = (φ1 , . . . , φn ) ∈ Rn to będziemy skrótowo pisać eiφ = (eiφ1 , . . . , eiφn ).
Niech odwzorowanie ρm : T n → SO(2) dane będzie formułą
coshm, φi − sinhm, φi
ρm (eiφ ) =
sinhm, φi
coshm, φi
oraz niech odwzorowanie ρ0 : T n → Gl(1, R) dane będzie wzorem ρ0 (eiφ ) = 1.
Zdefiniujmy
Hm = {eiφ ∈ T n : eihm,φi = 1} = {eiφ ∈ T n : hm, φi ∈ 2πZ}.
22
Twierdzenie 8.1. Niech V będzie otwartym podzbiorem przestrzeni Rk+l oraz niech F : V → Rl będzie
odwzorowaniem gładkim takim, że F −1 (0) 6= ∅. Załóżmy ponadto, że dla każdego p ∈ F −1 (0) rząd macierzy
pochodnej F 0 (p) jest równy l. Wówczas zbiór F −1 (0) jest k-wymiarową rozmaitością w Rk+l .
Fakt 8.2. Dla każdego m ∈ N, Hm ∈ sub(T n ) oraz grupa Hm jest rozmaitością wymiaru n − 1.
Dowód. Po pierwsze, zauważmy, że eihm,φi = 1 wtedy i tylko wtedy, gdy
coshm, φi − sinhm, φi
1 0
=
,
sinhm, φi
coshm, φi
0 1
a zatem
coshm, φi − 1
sinhm, φi
− sinhm, φi
coshm, φi − 1
=
0
0
0
0
.
Ale to jest równoważne temu, że hm, φi ∈ 2πZ, więc także temu, że
coshm, φi − 1 − sinhm, φi
det
= 0.
sinhm, φi
coshm, φi − 1
Zdefiniujmy odwzorowanie F : Rn → R wzorem
coshm, φi − 1
F (φ) = det
sinhm, φi
− sinhm, φi
coshm, φi − 1
=0
oraz zauważmy, że jest to odwzorowanie gładkie takie, że F −1 (0) = Hm . Ponadto, dla każdego p ∈ F −1 (0)
rząd macierzy pochodnej F 0 (p) = 1. Zatem, z twierdzenia 8.1 zbiór F −1 (0) = Hm jest (n − 1)-wymiarową
rozmaitością.
Udowodnimy, że Hm ∈ sub(T n ). Domkniętość wynika z tego, że Hm jest przeciwobrazem zbioru domkniętego {0} poprzez odwzorowanie ciągłe F . Zauważmy ponadto, że z definicji działań w T n oraz z
definicji zbioru Hm wynika, że jeżeli eiφ1 , eiφ2 ∈ Hm , to eiφ1 (eiφ2 )−1 = 1, a to kończy dowód.
Zdefiniujmy uogólnienia reprezentacji nieprzywiedlnych SO(2). Będziemy oznaczać je w ten sam sposób,
to znaczy R[1, m] = (R2 , ρm ) dla m ∈ N oraz R[1, 0] = (R, ρ0 ). Łatwo pokazać, podobnie jak w przypadku
S 1 , że reprezentacje R[1, m] i R[1, m0 ] są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy m = m0 .
Niech k ∈ N i m ∈ Z n \{0} . Zdefiniujmy
R[k, m] = R[1, m] ⊕ . . . ⊕ R[1, m] (k razy)
oraz
R[k, 0] = R[1, 0] ⊕ . . . ⊕ R[1, 0] (k razy).
Twierdzenie 8.3. Rzeczywiste, nieprzywiedlne reprezentacje torusa mają postać:
1. R[1, m] dla m ∈ Zn \{0},
2. R[1, 0].
Zatem dowolna reprezentacja torusa jest równoważna z sumą prostą pewnej liczby reprezentacji wymienionych powyżej.
Opiszemy teraz grupy izotropii dla dowolnej reprezentacji torusa. Jeżeli V = R[l, 0], to oczywiście
dla dowolnego v ∈ V mamy Tvn = T n . Załóżmy teraz, że V = R[1, m], gdzie m ∈ Zn \{0} oraz weźmy
dowolne v ∈ V. Zauważmy, że jeżeli v = 0, to Tvn =T n . Załóżmy zatem, że v 6= 0, wtedy z definicji mamy:
Tvn = {eiφ ∈ T n : ρm (eiφ )v = v}, ale równość ρm (eiφ )v = v jest równoważna równości
coshm, φi − sinhm, φi
1 0
(
−
)v = 0.
sinhm, φi
coshm, φi
0 1
23
Ale założenia v 6= 0 wynika, że jest to możliwe tylko wtedy, gdy
coshm, φi − sinhm, φi
1
det(
−
sinhm, φi
coshm, φi
0
0
1
) = 0,
a stąd otrzymujemy, że
(coshm, φi − 1)2 + sinhm, φi2 = 0.
Zatem ostatecznie otrzymujemy, że ρm (eiφ )v = v wtedy i tylko wtedy, gdy hm, φi ∈ 2πZ co z kolei jest
równoważne temu, że eiφ ∈ Hm .
Niech teraz V będzie dowolną reprezentacją. Pamiętając o twierdzeniu 8.3 oraz o tym, że jeżeli (v, w) ∈
V ⊕ W, to G(v,w) = Gv ∩ Gw otrzymujemy następne twierdzenie.
Twierdzenie 8.4. Niech V = R[l, 0] ⊕ R[1, m1 ] ⊕ . . . ⊕ R[1, mn ], gdzie l ∈ N ∪ {0}, m1 , . . . , mn ∈ Zn \{0},
będzie dowolną reprezentacją torusa oraz niech v = (v0 , . . . vn ) ∈ V. Wówczas
Tvn = Tvn0 ∩ Tvn1 ∩ . . . ∩ Tvnn ,
gdzie
Tvni
(
Tn
=
Hmi
jeśli i = 0 lub vi = 0,
jeśli i =
6 0 i vi =
6 0.
Możemy zatem to zapisać
Tvn = T n ∩ Hmi1 ∩ . . . ∩ Hmik
(21)
n
dla pewnych mi1 , . . . , mik ∈ Z \{0} takich, że xmi1 , . . . , xmik 6= 0.
Twierdzenie 8.5. Niech G będzie zwartą grupą Liego oraz niech H ∈ sub(G). Wówczas istnieje skończenie
wymiarowa G-reprezentacja V oraz v ∈ V takie, że Gv = H.
Przyjmijmy w powyższym twierdzeniu G = T n oraz weźmy H ∈ sub(T n ). Wówczas istnieje reprezentacja V oraz v ∈ V takie, że Tvn = H. Ale Tvn jest postaci (21). Zatem prawdziwy jest następny wniosek.
Wniosek 8.6. Niech H ∈ sub(T n ). Wówczas H = T n albo istnieją m1 , . . . mk ∈ Zn \{0} takie, że
H = Hm1 ∩ . . . ∩ Hmk .
Fakt 8.7 (Klasyfikacja grup Liego). Niech G będzie zwartą i przemienną grupą Liego. Wówczas istnieją
n, n1 , . . . , nk ∈ N oraz takie, że G jest izomorficzna z T n × Zn1 × . . . × Znk . Ponadto, jeżeli G jest także
grupą spójną to jest izomorficzna z T n .
9
Pierścień Eulera torusa
Załóżmy, że H ∈ sub(T n ). Przypomnijmy, że normalizatorem N (H) nazywamy maksymalną podgrupę
T n taką, że H jest podgrupą normalną w N (H). Z przemienności torusa wynika, że każda jego podgrupa
jest normalna, a zatem N (H) = T n . Grupą Weila nazywaliśmy grupę N (H)/H. W rozważanym przypadku mamy T n /H, ale jest to grupa zwarta, spójna i przemienna zatem z twierdzenia 8.7 wiemy, że jest
izomorficzna z torusem T n−dimH .
Weźmy teraz H1 , H2 ∈ sub(T n ). Przypomnijmy, że na mocy lematu 6.3 mamy
χG (T n /H1+ ) ? χG (T n /H2+ ) = χG ((T n /H1 × T n /H2 )+ ).
n
Wiemy, że dla dowolnych (x0 , y0 ) ∈ T n /H1 × T n /H2 zachodzi związek T(x
= Txn0 ∩ Tyn0 . Ponadto, z
0 ,y0 )
n
przemienności wynika, że dla dowolnego g ∈ T n mamy Tgx
= gTxn0 g −1 = Txn0 . Stąd wynika, że T n /H1 ×
0
n
T /H2 ma dokładnie jeden typ orbitowy H = H1 ∩ H2 . A zatem ze wzoru (13) otrzymujemy, że
χT n ((T n /H1 × T n /H2 )+ ) = νT n ((T n /H1 × T n /H2 )+ , H)χT n (T n /H + ).
Aby obliczyć νT n ((T n /H1 × T n /H2 )+ , H) posłużymy się następnym faktem.
24
Fakt 9.1. Załóżmy, że X ∈ F∗ (G). Wówczas X/G jest CW-kompleksem posiadającym tyle komórek ile
posiada G-CW-kompleks X, a ich wymiary zgadzają się.
Przypomnijmy, że charakterystyką Eulera dla CW-kompleksu X/G nazywamy liczbę całkowitą
X
χ(X/G) =
(−1)i n(X/G, i).
i­0
Na mocy powyższego faktu zachodzi równość
χ(X/G) =
X
νG (X, H).
(H)∈sub[G]
Kładąc w powyższym wzorze: G = T n , X = (T n /H1 × T n /H2 )+ otrzymujemy
χ((T n /H1 × T n /H2 )+ )/T n ) = νT n ((T n /H1 × T n /H2 )+ , H).
Aby obliczyć wartość χ((T n /H1 × T n /H2 )+ /T n ) posłużymy się lematem.
Lemat
9.2. Grupa (T n /H1
n + dim H − dim H1 − dim H2 .
×
T n /H2 )+ /T n
jest
izomorficzna
z
torusem
wymiaru
Dowód. Zauważmy, że (T n /H1 × T n /H2 )+ /T n jest zwartą, przemienną i spójną grupą Liego. Zatem, z
twierdzenia 8.7 wiemy, że jest izomorficzna z torusem. Obliczymy jego wymiar:
(n − dim H1 ) + (n − dim H2 ) − (n − dim(H1 ∩ H2 )) = n + dim H − dim H1 − dim H2 ,
gdzie n − dim(H1 ∩ H2 ) jest wymiarem pojedynczej orbity należącej do T n /H1 × T n /H2 .
Przypomnijmy także, że dla k > 0 mamy χ(T k ) = χ(S 1 )k = 0 oraz χ(T 0 ) = 1. Zatem
(
1 jeżeli n + dim H = dim H1 + dim H2 ,
n
n
+
n
χ((T /H1 × T /H2 ) )/T ) =
0 jeżeli n + dim H > dim H1 + dim H2 .
Podsumujemy to w następnym twierdzeniu.
Twierdzenie 9.3. Niech H1 , H2 ∈ sub(T n ) oraz przyjmijmy H = H1 ∩ H2 . Wówczas
(
χT n (T n /H + ) jeżeli n + dim H = dim H1 + dim H2 ,
n
n
+
χT n ((T /H1 × T /H2 ) ) =
0
jeżeli n + dim H > dim H1 + dim H2 .
Załóżmy teraz, że H1 = H2 = Hm ∈ sub(T n ). Wówczas
n + dim H − dim H1 − dim H2 = n + dim Hm − dim Hm − dim Hm = n − dim Hm = 1
na mocy faktu 8.2. Zatem dla dowolnego H ∈ sub(T n ) mamy
χT n (T n /H + ) ? χT n (T n /H + ) = 0.
0
Niech Hm , Hm0 ∈ sub(T n ) oraz przyjmijmy H = Hm ∩ Hm
. Przypuśćmy, że
+
χT n (T n /Hm
) ? χT n (T n /Hm0 )+ ) = χT n (T n /H)+ ).
Korzystając ponownie z faktu 8.2 mamy
dim H = dim Hm + dim Hm0 − n = n − 1 + n − 1 + n = n − 2.
25
(22)
Zauważmy, że z powyższego rozumowania wynika, że χT n (G/H + ) ? χT n (G/H + ) = 0. Łatwo zauważyć,
że ta zależność nie musi być prawdziwa dla dowolnej grupy Liego.
Rozważmy teraz najprostszy, nietrywialny przypadek, gdy n = 1, to znaczy T 1 = S 1 . Wówczas na mocy
wniosku 8.6 mamy sub(S 1 ) = {S 1 , Z1 , Z2 , . . .}. W pierścieniu U (S 1 ) elementem neutralnym jest oczywiście
χT n ((S 1 /S 1 )+ ), zatem dla dowolnego H ∈ sub(S 1 ) spełniona jest równość χT n (S 1 /S 1+ ) ? χT n (S 1 /H + ) =
χT n (S 1 /H + ). Weźmy teraz dowolne Zm , Zm0 ∈ sub(S 1 ). Zauważmy, że wówczas spełniona jest zależność
dim Zm + dim Zm0 = 0 + 0 < 0 + 1 = dim(Zm ∩ Zm0 ) + 1.
+
1
Zatem z twierdzenia 9.3 wynika, że χT n (S 1 /Z+
m ) ? χT n (S /Zm0 ) = 0.
Twierdzenie 9.4. Pierścień (U (S 1 ), +, ?) jest izomorficzny z pierścieniem (Z ⊕
∞
L
i=1
działania określamy następująco dla dowolnego
α = (α0 , α1 , . . . , αn , . . .), β = (β0 , β1 , . . . βn . . .) ∈ Z ⊕
∞
M
i=1
przyjmujemy
α + β = (α0 + β0 , α1 + β1 , . . . αn + βn , . . .) oraz
α ∗ β = (α0 β0 , α1 β0 + α0 β1 , . . . αn β0 + α0 βn , . . .).
26
Z,
Z, +, ∗), w którym