Aspekty obliczeniowe i zastosowania postaci Jordana macierzy

Aspekty obliczeniowe i zastosowania postaci Jordana macierzy

Aspekty obliczeniowe i zastosowania
postaci Jordana macierzy
dr Andrzej Mróz (UMK w Toruniu)
2013
Projekt wspóªnansowany ze ±rodków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Spoªecznego
Kierunki matematyczne mog¡ by¢ atrakcyjne zamawianie ksztaªcenia na Uniwersytecie Szczeci«skim
Poddziaªanie 4.1.2. Zwi¦kszenie liczby absolwentów kierunków o kluczowym znaczeniu dla gospodarki opartej na
wiedzy
2
Spis tre±ci
1
Wst¦p
3
1.1
Oznaczenia
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2
Podobie«stwo macierzy kwadratowych
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
2
Posta¢ Jordana
4
3
Spektrum
5
3.1
5
4
5
Warto±ci wªasne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Obliczenia
7
4.1
Wektory wªasne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
4.2
Zwi¡zek z postaci¡ Jordana
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zastosowania
8
5.1
Pot¦gowanie macierzy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.2
Ukªady dynamiczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
5.3
Model ekonomiczny Leontiefa (otwarty)
5.4
Równania ró»niczkowe
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
5.5
Inne zastosowania . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
3
1
Wst¦p
Uwaga. Niniejszy dokument jest wersj¡ zwart¡, przygotowan¡ do druku na podstawie slajdów
do wykªadu o tym samym tytule. Zatem nale»y si¦ spodziewa¢, »e nie wszystkie detale s¡ zawarte
w tym dokumencie (cz¦±¢ rachunków, dowodów b¦dzie prezentowana na tablicy b¡d¹ przy u»yciu
systemu algebry komputerowej). Bez obecno±ci na wykªadzie fragmenty niniejszego dokumentu
mog¡ by¢ niezrozumiaªe!
1.1
Oznaczenia
• N
liczby naturalne (z zerem);
• Z
liczby caªkowite;
• Q
liczby wymierne;
• R
liczby rzeczywiste;
• C
liczby zespolone.
Mn×m (k)
zbiór macierzy o
Najcz¦±ciej
k=R
lub
Mn (k) := Mn×n (k)
Mn (k)∗
n
wierszach i
m
kolumnach o wspóªczynnikach w zbiorze
k = C.
macierze kwadratowe.
zbiór macierzy odwracalnych
(równowa»nie, macierzy o niezerowym wyznaczniku).
1.2
Podobie«stwo macierzy kwadratowych
Denicja Macierze
A, B ∈ Mn (k)
s¡ podobne, gdy istnieje macierz
X ∈ Mn (k)∗
A = X −1 BX.
Oznaczenie:
A ∼ B.
Inne nazewnictwo:
AiB
s¡ podobne w sensie Jordana lub s¡ sprz¦»one.
Proste wªasno±ci:
• A ∼ A,
• A ∼ B ⇒ B ∼ A,
• A∼B ∧ B∼C
⇒ A ∼ C.
Relacja podobie«stwa jest wi¦c relacj¡ równowa»no±ci w
"
Przykªad.
"
gdy»
1 10
1 3
1 10
1 3
#
"
∼
#
"
=
X −1
13 −10
11 −9
#
13 −10
11 −9
#
Mn (k).
,
"
X,
dla
X=
1 2
1 1
#
.
Rz¡d:
"
rk
‘lad:
"
tr
1 10
1 3
#
1 10
1 3
#
"
= 2,
rk
"
= 4,
tr
13 −10
11 −9
#
13 −10
11 −9
#
= 2.
= 4.
taka, »e
k.
4
Wyznacznik:
"
det
Twierdzenie
1 10
1 3
#
"
= −7,
13 −10
11 −9
det
#
= −7.
Relacja podobie«stwa macierzy zachowuje
•
rz¡d,
•
±lad,
•
wyznacznik,
•
warto±ci wªasne,
•
wielomian charakterystyczny,
•
wielomian minimalny,
•
posta¢ Smitha macierzy charakterystycznej.
Problem. Jak stwierdza¢ podobie«stwo macierzy
A i B?
Rozwi¡zanie naiwne: znale¹¢ rozwi¡zania równania:
XA = BX,
dla macierzy niewiadomych
2
X
i sprawdzi¢, czy w±ród rozwi¡za« istnieje macierz odwracalna.
Posta¢ Jordana
Pomysª: znajdowanie prostej
J (A)
postaci normalnej
macierzy
A
takiej, »e:
• A ∼ J (A),
• A ∼ B ⇔ J (A) = J (B).
Dla
λ ∈ k , n ∈ N,
deniujemy:
λ
Jn (λ) = 

Macierz
Jn (λ)

1
.
.
.
.
.
.
λ
1
λ

 ∈ Mn (k).
nazywamy klatk¡ Jordana.
Twierdzenie (C. Jordan)
wyznaczonej
1
λ
Dowolna macierz
∗ macierzy postaci:




J =
A ∈ Mn (C)
jest podobna do jednoznacznie

Jn1 (λ1 )
Jn2 (λ2 )


,

Jn3 (λ3 )
.
.
.
Jnr (λr )
n1 , . . . , nr ∈ N oraz λ1 , . . . , λr ∈ C.
∗ jednoznacznie z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek Jordana.
dla pewnych
X ∈ Mn (C) taka, »e J = X −1 AX .
A oznaczamy J (A) i nazywamy postaci¡ normaln¡
Innymi sªowy: istnieje
Macierz
J
dla
Uwagi.
•
Dla dowolnych macierzy
A, B ∈ Mn (C) :
Jordana macierzy
A.
5
A ∼ J (A),
A ∼ B ⇔ J (A) = J (B)
•
Dla
k =R
lub
k =Q
(z dokªadno±ci¡ do kolejno±ci klatek).
sytuacja jest bardziej skomplikowana. Rozwa»a si¦ ogólniejsze
wersje postaci normalnej macierzy (por. rzeczywista posta¢ Jordana, posta¢ Frobeniusa,
wymierna posta¢ normalna...).
•
A ∼ B,
Aby stwierdza¢, »e
tak naprawd¦ nie potrzeba wyznacza¢ postaci
J (A) i J (B),
ale wystarczy bada¢ tzw. macierze charakterystyczne (pó¹niej).
Problemy.
•
Jak szuka¢ postaci Jordana
•
Jak szuka¢ macierzy
J (A) ?
X ∈ Mn (C)
takiej, »e
J (A) = X −1 AX ?
3
Spektrum
3.1
Warto±ci wªasne
Konwencja: Elementy przestrzeni
Ustalmy macierz
Denicja Skalar
kn
traktujemy jako wektory kolumnowe.
A ∈ Mn (k).
λ ∈ k nazywamy
warto±ci¡ wªasn¡ macierzy
A,
o ile istnieje
0 6= v ∈ k n
taki, »e:
Av = λv.
(∗)
Natomiast ka»dy wektor
v ∈ kn
speªniaj¡cy
wektorem wªasnym (o warto±ci wªasnej
λ)
Zbiór wszystkich warto±ci wªasnych z
(∗)
nazywamy
macierzy
k
nazywamy spektrum (in. widmem) macierzy
A.
macierzy
A ∈ Mn (k)
A.
Vλ := {v ∈ k n : Av = λv}
λ jest wart. wªasn¡, Vλ jest podprzestrzeni¡
Ozn.
(gdy
Przykªady. (k
"
•
0 0
0 0
liniow¡ w
k n ).
= R)
#" #
" #
" #
x
0
x
=
=0
y
0
y
" #
⇒
ka»dy
x
∈ R2
y
v=
jest wektorem wªasnym
"
(o warto±ci wªasnej
" #
"
#
x
2x
• A
=
,
y
3y
0)
macierzy
"
dla
2 0
A=
0 3
(" #
⇒ V2 =
a
0
)
: a∈R
(" #
V3 =
0
b
,
)
: b∈R
.
#
0 0
A=
0 0
#
, tj.
V0 = R2 .
oznaczamy
σ(A) = σk (A)
i
6
v ∈ k n jest
P = {tv : t ∈ k}
Obserwacja: Je»eli
przeksztaªca prost¡
A ∈ Mn (k),
wektorem wªasnym macierzy
to macierz
A
w siebie.
"
cos α sin α
A=
− sin α cos α
" #
"
" #
"
#
,
α ∈ R.
x
cos α · x + sin α · y
A
=
y
− sin α · x + cos α · y
1
cos α
A
=
0
− sin α
#
" #
1
α=0:
0
"
.
α=
#
π
2
0
:
−1
#
"
,
−1
α=π:
0
#
Gdy
α 6= nπ , n ∈ Z,
•
Gdy
α = 2nπ , n ∈ Z, A = I2 ⇒
•
Gdy
α = (2n + 1)π , n ∈ Z, A = −I2 ⇒
Problemy.
A
α=
,
•
macierz
" #
3π
2
:
0
1
,
nie ma warto±ci wªasnych w
wart. wª.
R.
1.
wart. wª.
−1.
A ∈ Mn (k):
1. Jak znale¹¢ wszystkie warto±ci wªasne
A,
tj. spektrum
A?
2. Jak znale¹¢ wszystkie wektory wªasne o danej warto±ci wªasnej
przestrze«
λ,
tj. jak wyznaczy¢
Vλ ?
3. Jaki jest zwi¡zek tych poj¦¢ z postaci¡ Jordana macierzy?
Denicja Wielomian χA (x)
macierzy
A.
Lemat
λ
:= det(A−xIn ) ∈ k[x] nazywamy wielomianem charakterystycznym
λ∈k
Skalar
jest warto±ci¡ wªasn¡ macierzy
A ⇔
χA (tj. χA (λ) = 0).
σk (A) = Zk (χA ), gdzie Zk (χA ) oznacza zbiór wszystkich pierwiastków wielomianu
χA nale»¡cych do k .
jest pierwiastkiem wielomianu
Wniosek.
Przykªady.
"
0 0
• A=
0 0
#
"
,
#
"
⇒ χA (x) = det(A − xI2 ) = x2
"
2 0
• A=
0 3
#
"
,
#
"
0 0
1 0
−x 0
A − xI2 =
−x
=
0 0
0 1
0 −x
#
#
,
⇒ Z(χA ) = {0}.
"
#
"
2 0
1 0
2−x
0
A − xI2 =
−x
=
0 3
0 1
0 3−x
#
,
⇒ χA (x) = det(A − xI2 ) = (2 − x)(3 − x) ⇒ Z(χA ) = {2, 3}.
"
cos α sin α
• A=
− sin α cos α
⇒ A
#
,
χA (x) = x2 − 2 cos α x + 1,
ma rzeczywiste warto±ci wªasne, gdy
cos2 α = 1,
χA (x) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 ⇒ Z(χA ) = {1}
lub
χA (x) = x2 + 2x + 1 = (x + 1)2 ⇒ Z(χA ) = {−1}.
czyli gdy
7
4
Obliczenia
4.1
Wektory wªasne
"
#
0 −1
Przykªad. Niech A =
.
1 0
• χA (x) = x2 + 1 ⇒ σR (A) = ∅;
C: χA (x) = x2 + 1 = (x − i)(x + i) ⇒ σC (A) = {i, −i};
•
ale w
•
aby wyznaczy¢
"
dla
Vi :
Vi i V−i wystarczy rozwi¡za¢ ukªady równa«:
#" #
" #
(
0 −1 x
x
−y = ix
=i
⇔
1 0
y
y
x = iy
("
⇒ Vi =
#
s
: s∈C
−is
)
"
#
1
=h
i.
−i
" #
podobnie wyznaczamy
1
i.
i
V−i = h
Uwaga. Przestrzenie wektorów wªasnych nie zawsze s¡ jednowymiarowe!
4.2
Zwi¡zek z postaci¡ Jordana
Przypomnienie (tw. J.): dla dowolnej macierzy
J (A) =
X −1 AX .

A ∈ Mn (C)
istnieje
taka, »e

Jn1 (λ1 )
Jn2 (λ2 )



X ∈ Mn (C)


.

Jn3 (λ3 )
J (A) = 
.
.
.
Jnr (λr )
Lemat
σC (A) = {λ1 , . . . , λr }.
X skªadaj¡
Kolumny macierzy
A.
n1 , . . . , n r
si¦ m.in. z wektorów wªasnych macierzy
Uwaga. Dokªadny przepis na wyznaczanie macierzy
X
oraz stopni
pomijamy.
Przykªad.
"
#
0 −1
A=
,
1 0
"
σC (A) = {i, −i};
#
1
Vi = h
i,
−i
" #
V−i = h
1
i.
i
J (A) = X −1 AX,
"
gdzie
i 0
J (A) =
0 −i
#
"
oraz
1 1
X=
−i i
#
.
Uwaga. W przypadku ogólnym rozmiary klatek Jordana w
przestrzeni
Vλ
i rz¦dów macierzy postaci
(A − λIn )m ,
dla
λ ∈ σ(A).
J (A)
zale»¡ od wymiarów
8
5
Zastosowania
5.1
Pot¦gowanie macierzy
Problem. Dla danej macierzy
A · A · . . . · A,
"
A=
dla
chcemy wyznaczy¢ wzór na jej dowoln¡ pot¦g¦
s ∈ N.
#
1 1
.
−2 3
"
#
"
−1 4
=
,
−8 7
A2
A ∈ Mn (k)
A3
Zauwa»my, »e dla
−9 11
=
−22 13
#
,
...?
J = J (A):
J = X −1 AX
As = XJX −1 XJX −1 XJX −1 . . . XJX −1 = XJ s X −1 .
Zatem
Js
A = XJX −1 .
⇒
liczy "
si¦ ªatwo!
#
1 1
.
−2 3
A=
χA (x) = x2 − 4x + 5 ⇒ σR (A) = ∅.
σC (A) = {2 − i, 2 + i}.
Ale
#
"
"
#
1+i 1−i
2−i 0
X=
.
J = J (A) =
2
2
0 2+i
A = XJX −1 .
# "
#"
"
#
0
1 + i 1 − i (2 − i)s
1 −2i 1 + i
s
s
−1
·
·
A = XJ X =
0
(2 + i)s 4 2i 1 − i
2
2
=
1
2
5.2
·
(1 − i) (2 − i)s + (1 + i) (2 + i)s
i (2 − i)s − i (2 + i)s
−2 i (2 − i)s + 2 i (2 + i)s
(1 + i) (2 − i)s + (1 − i) (2 + i)s
.
Ukªady dynamiczne
Problem. W danym pa«stwie (o zerowym przyro±cie naturalnym) co roku
• 10%
ludno±ci przenosi si¦ z miasta na wie±,
• 20%
ludno±ci przenosi si¦ ze wsi do miasta.
Zbadaj zachowanie tego ukªadu w dªugim okresie czasu.
W jakim stopniu zachowanie ukªadu zale»y od pocz¡tkowego rozmieszczenia ludno±ci?
• mn
liczba ludno±ci w miastach w roku
• wn
liczba ludno±ci na wsi w roku
mn + wn = const, mn , wn ­ 0, m0 , w0
(
0, 9 m0 + 0, 2 w0 = m1
0, 1 m0 + 0, 8 w0 = w1
"
An
#
"
m0
mn
=
w0
wn
"
⇒
#
"
. Symulacja dla
n ­ 0;
n ­ 0.
stan pocz¡tkowy.
0, 9 0, 2
0, 1 0, 8
#
"
#"
#
"
m0
m1
=
w0
w1
#
m0
100
=
:
w0
200
#
.
As =
9
"
An
"
An
#
"
m0
mn
=
w0
wn
#
"
m0
mn
=
w0
wn
#
"
. Symulacja dla
#
"
, dla
0, 9 0, 2
0, 1 0, 8
A=
"
σ(A) = {1; 0, 7},
J = J (A) =
"
An = XJ n X −1 =
"
=
1
3
"
An
2
1
1 −1
# "
m0
w0
#
"
→
1
3
2 2
1 1
#"
"
1 0
0 0, 7
.
#
"
X=
,
#
"
·
#
m0
w0
#
#
1n
0
0 (0, 7)n
·
2 + (0, 7)n 2 − 2(0, 7)n
1 − (0, 7)n 1 + 2(0, 7)n
#
m0
1000
=
:
w0
100
1
3
"
→n→∞
"2
#
=
3 (m0
1
3 (m0
1
3
1
1
1 −2
2 2
1 1
+ w0 )
+ w0 )
2
1
1 −1
#
.
#
.
#
=
#
.
10
Wniosek. Po wielu latach w miastach b¦dzie »yªo 23 ludno±ci, na wsi 31 ludno±ci (niezale»nie
od rozmieszczenia pocz¡tkowego!).
"
λ=1
Interpretacja warto±ci wªasnej
dla
A=
0, 9 0, 2
0, 1 0, 8
#
:
" #
2
i.
1
V1 = h
"
0, 9 0, 2
0, 1 0, 8
⇒
#"
#
"
2s
2s
=
s
s
#
s ∈ R.
, dla dowolnego
Zatem: po migracji opisanej za pomoc¡ macierzy
nie zmienia
5.3
⇔
A
liczba ludno±ci w miastach i na wsi si¦
w miastach mieszka dwukrotnie wi¦cej ludzi ni» na wsi.
Model ekonomiczny Leontiefa (otwarty)
Kontekst:
n
rm (sektorów gospodarki) w danym regionie; ka»da produkuje jeden rodzaj dóbr.
W procesie produkcji rmy nawzajem wykorzystuj¡ swoje wyroby.
• xi
warto±¢ (ilo±¢) produkcji rmy
• aij xj
rmy
• ci
ilo±¢ produktu
j
na produkt
i;
i potrzebna do wyprodukowania xj
jednostek
j (tj. zapotrzebowanie
i);
zapotrzebowanie rynku na produkt
i.
Problem: jaka powinna by¢ produkcja by zaspokoi¢ potrzeby rynku?
Dla ka»dego
i = 1, . . . , n: xi = ai1 x1 + ai2 x2 + . . . + ain xn + ci .
Zatem problem jest opisany przez równanie macierzowe

x = Ax + c,
dla
x1
.
.
.
x=


, c = 
.
.
.


, A = 
cn
xn
(∗)
c1
a11 . . . a1n
.
.
.
an1
.
. . . ..
. . . ann

.
x = Ax + c
• x
wektor produkcji,
• c
wektor potrzeb,
• A
Denicja
macierz konsumpcji (chªonno±ci, input-output).
Promieniem spektralnym macierzy
A ∈ Mn (C)
nazywamy liczb¦
ρ(A) = max{ |λ| :
λ ∈ σ(A) } ∈ R.
Twierdzenie
A ∈ Mn (R)
ρ(A) < 1.
c ­ 0 istnieje x ­ 0 speªniaj¡cy (∗).
Gospodarka o macierzy konsumpcji
dowolne zapotrzebowanie rynku, gdy
Czyli dla dowolnego
5.4
Równania ró»niczkowe
Rozwa»my przykªadowy ukªad liniowych równa« ró»niczkowych:
(
x01 (t) =
x02 (t)
x1 (t) + 2x2 (t),
= 3x1 (t) + 2x2 (t).
jest w stanie odpowiedzie¢ na
11
Z warunkiem pocz¡tkowym
x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Równania tego typu (te» z wi¦ksz¡ liczb¡ zmiennych) wyst¦puj¡ w modelach:
•
przepªywu roztworów cieczy,
•
rozkªadu biomasy w ekosystemach,
•
zmian parametrów ekonomicznych,
•
zmian temperatur,
•
ukªadów elektrycznych,...
Posta¢ macierzowa:
Twierdzenie
x0 = Ax,
dla
x=
h
λ ∈ σ(A)
Dla ka»dej
oraz
0
równania ró»niczkowego x = Ax.
h i
h
i
x
1 2
x0 = Ax, dla x = x12 , A = 3 2 oraz
σ(A) = {4, −1}, V4 = h
h i
2
3
i, V−1 = h
x(t) =
h
h
x1 (t)
x2 (t)
i
x1
x2 ,
h
1 2
3 2
u ∈ Vλ ,
i
.
funkcja
x(t) = eλt u
jest rozwi¡zaniem
x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
−1
1
i
A=
i
i,
= αe4t
h i
2
3
+ βe−t
h
−1
1
i
,
czyli
(
x1 (t) = 2αe4t − βe−t ,
x2 (t) = 3αe4t + βe−t .
Aby wyznaczy¢
αiβ
wykorzystamy warunek pocz¡tkowy.
(
x1 (t) = 2αe4t − βe−t ,
x2 (t) = 3αe4t + βe−t
oraz
x1 (0) = 0, x2 (0) = 1.
Zatem
(
0 = 2α − β,
1 = 3α + β.
St¡d
α=
1
5,
β=
2
5
oraz
(
x1 (t) =
x2 (t) =
2 4t
5e
3 4t
5e
−
+
2 −t
5e ,
2 −t
5e .
Uwaga. Rozpatrywali±my sytuacj¦ szczególn¡, tj.tak¡, gdy warto±ci wªasne A s¡ rzeczywiste.
5.5
Inne zastosowania
Posta¢ Jordana, warto±ci i wektory wªasne wykorzystywane s¡ w wielu innych kontekstach, jak:
•
mechanika kwantowa,
•
teoria grafów,
•
statystyka,
•
algorytm PageRank (Google),
•
algorytmy kwantowe,
•
rozpoznawanie obrazów,
12
•
sztuczna inteligencja,...
Wniosek. Algebra liniowa jest przydatna, wa»na i ciekawa :-)
Literatura podstawowa
1. W. Cheney, D. Kincaid, Linear algebra. Theory and applications, USA, 2009.
2. A.I. Kostrikin, Wst¦p do algebry. Algebra liniowa, PWN, Warszawa, 2007.
3. J. Rutkowski, Algebra liniowa w zadaniach, PWN, Warszawa, 2008.
Literatura dodatkowa
1. P. Dowbor, A. Mróz, On the normal forms of modules with respect to parametrizing
bimodules, preprint (2013).
2. F. R. Gantmacher, Matrix Theory, Chelsea, New York, 1959.
3. H.J.S. Smith, On systems of linear indeterminate equations and congruences, Collected
Math. Papers, 1 , Chelsea, (1979) pp. 367409.