Wykład 8 Rząd macierzy A = ˇˇˇ a1n ˇˇˇ a2n am1

Wykład 8
Rząd macierzy



A=

a11
a21
..
.
a12
a22
..
.
···
···
..
.
a1n
a2n
..
.
am1
am2
···
amn



, aij ∈ K.

Kolumny macierzy A można traktować jako wektory z przestrzeni liniowej Km , a wiersze jako wektory
z Kn .


a1i


Oznaczenie. A = [A1 , A2 , . . . , An ], Ai =  ...  (i-ta kolumna macierzy A) lub:
ami
A = [A1 , A2 , . . . , Am ]T , Aj = [aj1 , . . . , ajn ] (j-ty wiersz macierzy A).
Definicja 1 Rzędem kolumnowym macierzy A nazywamy dim Lin(A1 , . . . , An ) (maksymalną liczbę
liniowo niezależnych kolumn macierzy A). Rzędem wierszowym macierzy A nazywamy dim Lin(A1 , . . . , Am )
(maksymalną liczbę liniowo niezależnych wierszy macierzy A).
Uwaga. Rząd kolumnowy macierzy A jest równy jej rzędowi wierszowemu.
Definicja 2 Rzędem macierzy A nazywamy jej rząd kolumnowy (lub wierszowy).
Oznaczenie. r(A), R(A), rz(A).
Uwaga. Rząd macierzy nieosobliwej stopnia n jest równy n.
A
Twierdzenie 3 Jeżeli MB
(φ) jest macierzą przekształcenia liniowego φ : V → W w dowolnie ustalonych
bazach A, B to
A
r(MB
(φ)) = r(φ) = dimImφ.
Definicja 4 Minorem stopnia k macierzy A = [aij ]m×n nazywamy wyznacznik macierzy kwadratowej
stopnia k powstałej z macierzy A przez wykreślenie m − k wierszy i n − k kolumn.
Uwaga. Rząd macierzy jest równy najwyższemu stopniowi niezerowego minora tej macierzy.
Uwaga. Rząd macierzy nie zmieni się, gdy
1. skreślimy wiersz zerowy,
2. skreślimy jeden z dwóch proporcjonalnych wierszy,
3. dodamy do wiersza kombinację liniową innych wierszy,
4. przestawimy wiersze,
5. wykonamy analogiczne operacje na kolumnach.
Uwaga. Macierz nazywamy schodkową (trapezową), gdy pierwsze niezerowe elementy (tzw. schodki)
w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Rząd macierzy
schodkowej jest równy liczbie jej schodków.
Układy równań liniowych
Rozpatrujemy dwa układy równań:

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = b2
(I)
,
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm

a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = 0



 a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2n xn = 0
(II)
,
..

.



am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = 0
1
gdzie aij , bi ∈ K, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n.
Uwaga. Zbiór rozwiązań układu (II) jest niepusty i tworzy podprzestrzeń liniową przestrzeni Kn .
Uwaga. Każde rozwiązanie równania macierzowego A · X = O (⇔ układu (II)) jest wektorem
należącym do jądra przekształcenia liniowego φ, którego macierzą przekształcenia jest macierz A.
Uwaga. Każde rozwiązanie układu (I) jest postaci XB + X0 , gdzie XB - jakiekolwiek rozwiązanie
szczególne układu (I) i X0 - pewne rozwiązanie układu (II). X0 można przedstawić jako kombinację
liniową wektorów z bazy przestrzeni kerφ (⇔ wektorów z bazy przestrzeni rozwiązań układu (II)).
Definicja 5 Układem fundamentalnym rozwiązań układu (II) nazywamy dowolną bazę przestrzeni
rozwiązań tego układu.
Definicja 6 A·X = B. Macierzą rozszerzoną układu (I) nazywamy macierz [A|B] = [A1 , A2 , . . . , An , B].
Twierdzenie 7 (Kroneckera-Capellego)
1. Układ równań (I): A · X = B posiada rozwiązanie ⇔ r(A) = r(A|B).
2. Jeśli r(A) = r(A|B) = n to układ (I) posiada dokładnie jedno rozwiązanie.
3. Jeśli r(A) = r(A|B) = k < n to układ (I) posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od
n − k parametrów, które mogą przyjmować dowolne wartości z K.
Wniosek 8 Układ jednorodny z n niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie ⇔ r(A) < n.
Metoda wyznacznikowa rozwiązania układu (I)
Jeżeli r(A) = r(A|B) = k < n, to usuwamy z układu (I) te równania, w których współczynniki
przy niewiadomych nie wchodzą do niezerowego minora stopnia k (ustalony minor). Następnie po
lewej stronie pozostawiamy te zmienne, których współczynniki weszły do tego ustalonego niezerowego
minora. Pozostałe składniki przenosimy na prawą stronę. Ze względu na zmienne po lewej stronie układ
jest układem Cramera. Pozostałe zmienne (jest ich n − k) traktujemy jako parametry.
Uwaga. Następujące operacje wierszowe nie zmieniają rozwiązania:
1. zamiana wierszy miejscami
2. mnożenie wiersza przez skalar różny od O
3. dodanie do wiersza kombinacji liniowej pozostałych wierszy
Uwaga. Układ (I) można także rozwiązać znajdując układ fundamentalny rozwiązań odpowiadającego
mu układu jednorodnego oraz jedno rozwiązanie szczególne układu (I) (np. można je zgadnąć). Wykorzystujemy
tu Uwagę powyżej:
Każde rozwiązanie układu (I) jest postaci XB + X0 , gdzie XB - jakiekolwiek rozwiązanie szczególne
układu (I) i X0 - pewne rozwiązanie układu (II). X0 można przedstawić jako kombinację liniową
wektorów z bazy przestrzeni kerφ (⇔ wektorów z bazy przestrzeni rozwiązań układu (II)).
Metoda eliminacji Gaussa
Przez operacje wierszowe doprowadzamy macierz rozszerzoną układu [A|B] do postaci schodkowej
(trapezowej). Jeżeli istnieje wiersz, w którym są same zera oprócz ostatniej kolumny, to układ jest
sprzeczny. W przeciwnym przypadku niewiadome odpowiadające kolumnom wiodącym (czyli tym,
w których są schodki) wyrażamy przez pozostałe, które traktujemy jako parametry. Wyznaczamy
niewiadome począwszy od ostatniego równania, wstawiając już wyznaczone do pozostałych równań.
2