Ruch obrotowy

RUCH OBROTOWY
Można opisać ruch obrotowy ze stałym przyspieszeniem ε poprzez analogię
do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
v  v 0  at
  0  t
at 2
s  s 0  v0 t 
2
t 2
   0  0 t 
2
a  const.
  const.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest

moment siły (tzw. moment obrotowy) M . Moment siły jest wielkością wektorową
równą iloczynowi wektorowemu wektora położenia punktu przyłożenia siły i wektora
siły działającej na bryłę:
   .
  M  r F
Wartość momentu siły jest określona, zgodnie z
definicją iloczynu wektorowego następującym
wzorem:


 
M  M  r F sin  ( r , F) .
Zwrot momentu siły określa reguła śruby
prawoskrętnej.
Druga wielkość dynamiczna wpływająca na przyspieszenie kątowe ruchu
obrotowego bryły zależy zarówno od wartości jak i od rozkładu przestrzennego masy tej
bryły. Wielkością tą jest moment bezwładności bryły, który określamy jako sumę momentów
bezwładności punktów materialnych tej bryły względem osi obrotu:
n
I   m i ri ,
i 1
gdzie iloczyn miri2 jest momentem bezwładności i-tego punktu materialnego bryły
względem osi obrotu.
io
Przykładowe wartości momentów bezwładności:
2
MR 2 ,
5
-
kula pełna względem dowolnej średnicy - I 
-
krążek (walec) względem osi przechodzącej przez środek masy - I 
-
1
MR 2 ,
2
1
pręt względem osi prostopadłej, przechodzącej przez środek masy - I 
ML2 ,
12
2
obręcz (rura) cienkościenna względem osi obrotu - I  MR .
Moment bezwładności bryły zależy nie tylko od masy bryły, ale zależy również od
kształtu bryły oraz od położenia tej bryły względem osi obrotu.
2
io
W wielu obliczeniach bardzo pomocne jest następujące twierdzenie dotyczące
momentu bezwładności bryły obracającej się wokół osi nie przechodzącej przez środek
masy bryły. Twierdzenie to sformułowane przez Steinera można wyrazić następująco:
Moment bezwładności I0 bryły względem osi obrotu nie przechodzącej przez
środek masy tej bryły jest równy sumie momentów bezwładności, Is bryły
względem osi przechodzącej przez jej środek masy oraz momentu
bezwładności md2 środka masy tej bryły względem osi obrotu:
I 0  I s  md 2 .
gdzie m jest masą bryły, natomiast d jest odległością środka masy bryły od osi obrotu.
Zasada zachowania momentu pędu
Trzecią wielkością dynamiczną związaną z ruchem obrotowym brył jest moment
pędu. W przypadku moment pędu punktu materialnego, gdy masa tego punktu jest
równa m, odległość od punktu odniesienia względem, którego określamy moment


pędu, jest równa r , a prędkość chwilowa tego punktu wynosi v , to moment pędu jest
określony iloczynem wektorowym:
   

L  r  p  r  mv ,


gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem
wybranego inercjalnego układu odniesienia.
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem
pędu. Dla pojedynczej cząstki:
 dp
F .
dt
3
io
Mnożąc wektorowo obie strony przez wektor r:

   dp
,
r F r
dt

ponieważ r  F jest momentem siły, więc
  d p
Mr
dt
W przypadku równania momentu pędu różniczkuje się je obustronnie względem
czasu, otrzymując:

dr 
ponieważ
 v więc
dt

 


d L d( r  p) d r   d p


p r 
dt
dt
dt
dt


dL

  dp
.
 ( v  m v)  r 
dt
dt
Z definicji iloczynu wektorowego:
to


v  mv  0


dL  dp
r
dt
dt
Porównując równania dla momentu pędu otrzymuje się:

 dL
M
dt
co świadczy o tym, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy
prędkości zmian momentu pędu tej cząstki.
4
io
Moment pędu bryły względem danego punktu odniesienia określamy jako sumę
momentów pędu jej punktów materialnych względem tego samego punktu odniesienia:
 n
 
L   m i r v i  I ω ,
i 1
gdzie ω jest prędkością kątową obrotu bryły.
Dla układu n cząstek wypadkowy moment pędu:


d
L
d
wyp
.
i M i  i L i 
dt
dt
 
Jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma momentów jest
równa zeru)

M0
to moment pędu układu pozostaje stały:

d L wyp

i L wyp  const. .
dt
0
Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych względem nieruchomej osi
obrotu bryły jest równy zeru, to moment pędu bryły względem tej osi obrotu
nie zmienia się podczas ruchu.
5
io
Zasada zachowania momentu pędu
znajduje
szereg
zastosowań
praktycznych. Gdy np. łyżwiarz chce
wykonać
efektowny
piruet,
wtedy
rozpędza się przy obrocie na lodzie z
szeroko
rozłożonymi
rękoma.
Ma
wówczas duży moment bezwładności i
stosunkowo małą prędkość kątową.
Składając jednak następnie ręce lub
wyciągając je ponad głowę zmniejsza
swój moment bezwładności zwiększając
jednocześnie prędkość kątową swych
obrotów.
Przykłady sił działających na ciała w ruchu obrotowym:
Pierwsza zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
6
io
Można analogicznie, jak to miało miejsce w dynamice punktu materialnego,
podać pierwszą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego brył:
W inercjalnym układzie odniesienia bryła nie obraca się lub obraca się
ruchem jednostajnym, gdy nie działają na nią żadne momenty sil lub,
gdy działające momenty sił równoważą się wzajemnie.
Na podstawie tego sformułowania można podać warunek równowagi bryły
w ruchu obrotowym:
n
 M  0.
i 1
i
Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego
Doświadczenia dotyczące ruchu obrotowego bryły poddanej działaniu
płaskiego układu sił prowadzą do następującego wniosku:
Gdy na bryłę działa niezrównoważony moment siły, wtedy nadaje on tej
bryle przyspieszenie kątowe, którego wartość jest proporcjonalna do
wartości momentu siły, a zwrot i kierunek są identyczne jak zwrot i kierunek
tego momentu siły:

 M
ε .
I
Moment bezwładności bryły jest, więc miarą bezwładności bryły w ruchu
obrotowym. Im większy moment bezwładności, tym większy moment siły musi działać
na bryłę, by wywołać taką samą zmianę stanu ruchu obrotowego, to znaczy, by wywołać
takie samo przyspieszenie kątowe.
Porównanie ruchu postępowego i obrotowego
Energia kinetyczna układu punktów materialnych
7


io
1
1
1
E k   m i v 2i   m i (ri ) 2   m i ri2 2
2 i
2 i
2 i
więc
1
E k  I 2
2
Można zestawić wielkości występujące w ruchu obrotowym z ich odpowiednikami
dla ruchu postępowego.
Ruch postępowy
Ruch obrotowy
p  mv
F  ma
L  I
M  I
mv2
Ek 
2
I2
Ek 
2
dW  Fdx
P  Fv
dW  Md
P  M
8