Geometria ró˙zniczkowa 1 Zadania

Geometria różniczkowa 1
Zadania
Kamil Niedziałomski
1 Geometria krzywych
Zadanie 1.1. Wyznaczyć parametryzacje nast˛epujacych
˛
krzywych płaskich:
1. Prosta przechodzaca
˛ przez punkty (1, 2) i (−3, 5),
2. Hiperbola y = x1 ,
3. Elipsa
x2
4
+
y2
9
= 1,
4. Okrag
˛ o środku w punkcie (x 0 , y 0 ) i promieniu r > 0,
Zadanie 1.2. Przedstawienie parametryczne ϕ(t ) = (r (t ) cos t , r (t ) sin t ), dla pewnej funkcji r , nazywamy przedstawieniem biegunowym. Znaleźć przestawienia biegunowe nast˛epujacych
˛
krzywych
1. Lemniskata Bernoulliego (x 2 + y 2 )2 = 2a 2 (x 2 − y 2 ),
2. Kardioida (x 2 + y 2 − ax)2 = a 2 (x 2 + y 2 ),
3. Rozeta czterolistna (x 2 + y 2 )3 = a 2 (x 4 + y 4 ),
gdzie a > 0 jest pewna˛ stała.
˛
Zadanie 1.3. Znaleźć wektor styczny do krzywej ϕ w chwili t 0 , gdzie
1. ϕ(t ) = (t , t 2 , sin t ), t 0 = π4 ,
2. ϕ(t ) = (3 cos t , 3 sin t , t ), t 0 = π2 ,
3. ϕ(t ) = (2t + 3, 5t − 3, 8t + 7), t 0 = 1.
Zadanie 1.4. Pokazać, że wykres funkcji y = |x| jest krzywa˛ gładka˛ ale nie regularna.
˛
1
Zadanie 1.5. Pokazać, że długość wektora stycznego do krzywej parametrycznej ϕ danej
w postaci biegunowej jest równa
kϕ0 (t )k =
p
r (t )2 + r 0 (t )2
Korzystajac
˛ z powyższego wzoru obliczyć długość nast˛epujacych
˛
krzywych
1. Spirala logarytmiczna r (t ) = ae bt , t ∈ [0, 2π]
2. Spirala hiperboliczne r (t ) = at , t ∈ [0, 4π],
3. Spirala Archimedesa r (t ) = at , t ∈ [0, π2 ],
4. Ślimak Pascala r (t ) = a cos t + b, t ∈ [0, 2π], gdzie a < b < 2a.
Zadanie 1.6. Obliczyć długość nast˛epujacych
˛
krzywych
1. Linia śrubowa ϕ(t ) = (a cos t , a sin t , bt ), t ∈ [0, 2π], gdzie a, b, > 0,
2. Krzywej Vivianiego ϕ(t ) = (cos2 t , sin t cos t , sin t ), t ∈ [−π, π].
Zadanie 1.7. Pokazać, że kat
˛ mi˛edzy krzywa˛ ϕ(t ) = (3t , 3t 2 , 2t 3 ) a wektorem (1, 0, 1) jest
stały.
Zadanie 1.8. Znaleźć parametryzacje naturalne (długościa˛ łuku) nast˛epujacych
˛
krzywych
1. Okrag
˛ ϕ(t ) = (r cos t , r sin t ), t ∈ [0, 2π],
2. Linia śrubowa ϕ(t ) = (a cos t , a sin t , bt ), t ∈ [0, 2π], gdzie a, b > 0,
Zadanie 1.9. Wyznaczyć krzywizn˛e i skr˛ecenie krzywych z powyższego zadania.
Zadanie 1.10. Pokazać, że jeśli proste normalne do krzywej ϕ przecinaja˛ si˛e w jednym
punkcie, to krzywa ϕ ma stała˛ krzywizn˛e.
2 Geometria powierzchni
Zadanie 2.1. Wyprowadzić wzór na rzut stereograficzny dla sfery jednostkowej x 2 + y 2 +
z 2 = 1 z bieguna północnego N (0, 0, 1).
Zadanie 2.2. Pokazać, że nast˛epujace
˛ zbiory sa˛ powierzchniami:
1. sfera x 1 + y 2 + z 1 = 1,
2. elipsoida
x2
a2
y2
2
+ b 2 + cz 2 = 1,
2
3. powierzchnia walca x 2 + y 2 = 1,
4. płaszczyzna z = 0,
5. powierzchnia paraboloidy x 2 + y 2 = z 2 ,
Zadanie 2.3. Pokazać, że powierzchnia stożka nie jest powierzchnia˛ regularna.
˛
Zadanie 2.4. Pokazać, że sfera (elipsoida) nie jest homeomorficzna z podzbiorem otwartym płaszczyzny.
Zadanie 2.5. Niech S b˛edzie powierzchnia,
˛ D ⊂ R2 zbiorem otwartym. Przekształcenie
ϕ : D → S ⊂ R2 regularne i różnowartościowe nazywamy parametryzacja.
˛ Powierzchni˛e
S nazywamy prostokreślna˛ jeśli posiada parametryzacj˛e postaci
ϕ(s, t ) = α(s) + t β(s),
dla pewnych funkcji α i β.
Pokazać, że przez każdy punkt powierzchni prostokreślnej przechodzi (pół)prosta zawarta w tej powierzchni.
Zadanie 2.6. Pokazać, że nast˛epujace
˛ powierzchnie sa˛ prostokreślne (patrz poprzednie
zadanie)
1. walec,
2. stożek,
3. powierzchnia siodłowa z = x y,
4. powierzchnia śrubowa ϕ(s, t ) = at cos s, at sin s, bs).
Zadanie 2.7. Niech N : S → R3 , S ⊂ R3 b˛edzie polem wektorowym jednostkowym prostopadłym do powierzchni S. Odwzorowaniem Weingartena (operatorem kształtu) w
punkcie p ∈ S nazywamy przekształcenie W : T p S → T p S dane wzorem
W (v) = −∇v N ,
v ∈ T p S.
Przypomnijmy, że jeśli N = (N1 , N2 , N3 ), to
∇v N = (v(N1 ), v(N2 ), v(N3 )) = (〈∇N1 , v〉, 〈∇N2 , v〉, 〈∇N3 , v〉).
Wyznaczyć operator Weingartena dla nast˛epujacych
˛
powierzchni
1. płaszczyzna,
3
2. sfera o promieniu r ,
3. walec o promieniu r ,
4. powierzchnia siodłowa,
5. torus o parametryzacji ϕ(s, t ) = ((R + r cos s) cos t , (R + r cos s) sin t , r sin s).
Zadanie 2.8. Korzystajac
˛ z poprzedniego zadania wyznaczyć krzywizny główne, krzywizn˛e średnia˛ i krzywizn˛e Gaussa powierzchni z poprzedniego zadania.
Zadanie 2.9. Wyznaczyć krzywizn˛e Gaussa i krzywizn˛e średnia˛ powierzchni Ennepera
¶
µ
t3
s3
2
2 2
2
ϕ(s, t ) = s − + st , t − + t s , s − t .
3
3
Zadanie 2.10. Niech S bedzie powierzchnia˛ o parametryzacji ϕ. Rozważmy dwa pola
wektorowe na powierzchni S
∂ϕ
∂ϕ
, v=
.
∂s
∂t
Niech N bedzie polem jednostkowym prostopadłym do powierzchni S. Przyjmijmy pou=
nadto
∂u
〉
∂s
∂v
∂u
〉 = 〈N , 〉
m = 〈N ,
∂t
∂s
∂v
n = 〈N ,
〉.
∂t
E = 〈u, u〉 = kuk2 ,
l = 〈N ,
F = 〈u, v〉,
G = 〈v, v〉 = kvk2 ,
Można pokazać, że krzywizna średnia H i krzywizna Gaussa K dane sa˛ wzorami
H=
Gl + En − 2F m
,
2(EG − F 2 )
K=
l n − m2
.
EG − F 2
Korzystajac
˛ z powyzszych wzorów wyznaczyć krzywizn˛e średnia˛ i krzywizn˛e Gaussa nast˛epujacych
˛
powierzchni
1. sfery ϕ(s, t ) = (r cos s cos t , r sin s cos t , r sin t ),
2. walca ϕ(s, t ) = (r cos s, r sin s, t ),
3. powierzchni śrubowej,
4. hiperboloidy dwupowłokowej ϕ(s, t ) = (a cosh s cos t , b cosh s sin t , c sinh s),
5. powierzchni Kuena
µ
µ
¶
¶
2 cos t
t
2(cos s + s sin s) sin t 2(sin s − s sin s) sin t
ϕ(s, t ) =
,
, ln tg +
.
2
1 + s 2 sin2 t
1 + s 2 sin2 t
1 + s 2 sin2 t
4