Analiza 3, Wojciech Maćkowiak, UG

Wojciech Maćkowiak
20 maja 2004 roku
Analiza matematyczna III
1. Definicja metryki, kuli otwartej, zbioru ograniczonego, otwartego, domkniętego, punków skupienia, punktu wewnętrznego, wnętrza zbioru, zbieżności ciągu w przestrzeni metrycznej.
2. Twierdzienie o jednoznaczności granicy ciągu, ograniczoności ciągu zbieżnego, dla punktu skupienia istnieje ciąg zbieżny
do niego, twierdzenie o zbieżności (xn ) ⊂ Rk „po współrzędnych”.
3. Zbiór A ⊂ (X, d) jest domknięty ⇐⇒ ∀(an )⊂A an → a ⇒ a ∈ A.
4. Definicja ciągu Cauchy’ego i przestrzeni zupełnej.
5. Jeżeli (xn ) ⊂ (X, d) jest zbieżny, to (xn ) jest ciągiem Cauchy’ego.
6. Twierdzenie Cantora, w przestrzeni Rk każdy ciąg Cauchy’ego jest zbieżny.
7. Definicja przestrzeni zwartej, zbioru zwartego.
8. Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Zbiór ha, bi ⊂ R jest zwarty.
9. Zbiór zwarty w przestrzeni metrycznej jest domknięty i ograniczony.
10. W przestrzeni Rn każdy zbiór domknięty i ograniczony jest zwarty. Każda przestrzeń (X, d) zwarta jest zupełna.
11. Definicja spójności przestrzeni.
12. Zbiór E ⊂ R jest spójny ⇐⇒ jeżeli x, y ∈ E oraz x < z < y, to z ∈ E.
13. Definicja granicy, ciągłości i jednostajnej ciągłości funkcji w przestrzeniach metrycznych.
14. Funkcja f : X → Y jest ciągła ⇐⇒ ∀V ⊂Y f −1 (V ) jest otwarty w X.
15. Twierdzenie o ciągłości złożenia funkcji ciągłych w przestrzeniach metrycznych.
16. Jeżeli funkcja jest ciągła w przestrzeniach metrycznych, to obraz zbioru zwartego jest zwarty.
17. Jeżeli f : X → Y jest ciągła i X jest zwarty, to f jest jednostajnie ciągła.
18. Jeżeli f : X → Y jest „1-1” i ciągła, (X, d) jest zwarta, to f −1 jest ciągła.
19. Jeżeli f : X → R jest ciągła i (X, d) jest spójna, to ∀x1 ,x2 ∈X ∀y∈(f (x1 ),f (x2 )) ∃x∈(x1 ,x2 ) f (x) = y.
20. Jeżeli f : X → Y jest ciągła i (X, d) jest spójna, to f (X) jest spójny.
21. Definicja punktowej i jednostajnej zbieżności ciągu funkcyjnego.
22. Funkcja δ: B(X, Y ) × B(X, Y ) → R, δ (f1 , f2 ) = supx∈X dY (f1 (x), f2 (x)) jest metryką w B(X, Y ).
23. Jeżeli (fn ) ⊂ B(X, Y ) i fn ⇒ f0 , to f0 ∈ B(X, Y ).
24. Jeżeli (Y, dY ) jest zupełna, to (B(X, Y ), δ) jest zupełna.
25. Warunki równoważne ciągłości i liniowości odwzorowania w przestrzeniach metrycznych.
26. Jeżeli (Y, k k2 ) jest zupełna, to (L(X, Y ), k k1 ) jest zupełna.
27. Definicja pochodnej oraz różniczkowalności odwzorowania.
28. Twierdzenie o jednoznaczności istnienia pochodnej odwzorowania.
29. Jeżeli f : Rn → Rm jest różniczkowalna w x0 ∈ Rn , to f jest ciągła w x0 .
30. Jeżeli f : Rn → R i ∀x∈Rn |f (x)| 6 kxk2 , to f jest różniczkowalna w θ.
31. Twierdzenie o addytywności i jednorodności pochodnej odwzorowania.
32. Twierdzenie o różniczkowalności złożenia odwzorowań różniczkowalnych.
33. Niech f : Rn → Rm różniczkowalna w a ∈ Rn , wtedy ∀i=1,...,m fi jest różniczkowalna w a.
34. Definicja pochodnej kierunkowej.
35. Jeżeli f : Rn → Rm jest różn. w a, to ∀h∈Rn ∃fh0 (a) oraz fh0 (a) = Df (a)(h) = f 0 (a) · h.
1
36. Jeżeli f : Rn → Rm jest różn. w a, T : Rn → Rm , T (h) = fh0 (a), to T ∈ L(Rn , Rm ).
37. Definicja pochodnej cząstkowej (względem zmiennej xi ).
38. Postać macierzy Jacobiego przy różniczkowalności odwzorowania.
39. Jeżeli istnieją wszystkie pochodne cząstkowe i są ciągłe w otoczeniu a, to f jest różn. w a.
40. Twierdzenie o wartości średniej.
41. Definicja funkcji klasy C 1 , homeomorfizmu, dyfeomorfizmu klasy C 1 .
42. Twierdzenie o lokalnym odwracaniu odwzorowań różniczkowalnych.
43. Jeżeli f : G → R, IntG = G ⊂ R, oraz f ∈ C 1 i ∀x∈G f 0 (x) 6= 0, to f jest różnowartościowa.
44. Definicja i twierdzenie o funkcji uwikłanej.
45. Twierdzenie o rzędzie.
46. Definicja różniczki, pochodnej i pochodnej cząstkowej drugiego rzędu.
47. Twierdzenie o symetryczności f 00 (a).
48. Definicja pochodnej kierunkowej i pochodnych wyższych rzędów.
00
49. Jeżeli f : U → R jest dwukrotnie różn. w a ∈ U , to ∀h,k∈Rn ∃fh,k
(a) = f 00 (a)(k, h).
50. Jeżeli f : U → R istnieją
∂2f
∂xj ∂xi : U
→ R ciągłe, to f jest dwukrotnie różn. w a oraz f 00 (x)(ei , ej ) =
∂2f
∂xj ∂xi (x).
51. Twierdzenie Schwartza.
52. Odwzorowanie f : U → R ∈ C k ⇐⇒
∂ k fj
∂xik ···∂xi1 : U
→ R są ciągłe.
53. Twierdzenie Taylora.
54. Definicja ekstremum lokalnego, warunek konieczny i dostateczny na istnienie ekstremum lokalnego funkcji.
55. Definicja formy kwadratowej i jej określoność.
56. Forma kwadratowa T : Rn × Rn → R dodatnio określona ⇐⇒ ∃c>0 ∀h∈Rn T (h, h) > ckhk2 .
57. Kryterium Sylvestera dodatniej, ujemnej, niedodatniej, nieujemnej i nieokreślonej formy kwadratowej.
58. Jeżeli f ma w punkcie a minimum (maksimum) lokalne, to f 00 (a) jest określona nieujemnie (niedodatnio).
59. Definicja ekstremum warunkowego (związanego), funkcji pomocniczej i mnożnika Lagrange’a.
60. Warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum warunkowego.
61. Postać prostej, elipsy, okręgu, asteroidy, cykloidy, płaszczyzny; powierzchnie walcowe, obrotowe, elipsoida, hiperboloida
(jedno i dwupowłokowa) i paraboloida obrotowa, stożek obrotowy.
62. Definicja i postać stycznej do powierzchni, wektora i prostej normalnej, hiperpłaszczyzny stycznej do powierzchni.
63. Definicja odwzorowania i dyfeomorfizmu gładkiego, rozmaitości k-wymiarowej, układu współrzędnych i parametryzacji,
przestrzeni i wiązki stycznej do rozmaitości, pochodnej określonej na rozmaitościach.
64. Definicja półprzestrzeni Rn+ i jej brzegu, k-wymiarowej rozmaitości z brzegiem i przestrzeni do niej stycznej.
65. Definicja zbioru mierzalnego w sensie Jordana, obszaru wielokątnego.
66. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana ⇐⇒ ∀>0 ∃S,T wielokąty S ⊂ A ⊂ T oraz |S| − |T | < .
67. Zbiór A jest mierzalny w sensie Jordana ⇐⇒ jego kontur ma miarę zero.
68. Definicja całki podwójnej. Całka podwójna istenieje ⇐⇒ limλ→0 (S − s) = 0.
69. Każda funkcja ciągła na zbiorze A mierzalnym w sensie Jordana jest całkowalna.
70. Jeżeli f jest nieciągła w punktach leżących na co najwyżej skończonej ilości krzywych o polu 0, to jest całkowalna.
Suma pól mających punkty wspólne z krzywą o polu 0 jest mniejsza od .
71. Własności całki
RR podwójnej:zmiana
RR wartości funkcji wzdłóż krzywej o polu 0 nie zmieni całki; addytywność i jednorodność całki; A f (x, y)dxdy 6 A |f (x, y)|dxdy; twierdzenie całkowe o wartości średniej.
2
72. Twierdzenie o istnieniu całki iterowanej na obszarze prostokątnym i normalnym.
73. Twierdzenie o zamianie zmiennych w całce podwójnej.
74. Zastosowanie całki podwójnej: obliczanie objętości, pole płata gładkiego.
75. Całka podwójna i wielokrotna: całka iterowana, zamiana zmiennych, zastosowanie.
76. Definicja całki krzywoliniowej niezorientowanej na płaszczyźnie i w przestrzeni.
77. Twierdzenia o obliczaniu całek krzywoliniowych.
78. Definicja całki powierzchniowej i jej obliczanie.
79. Definicja k-tensora, różniczki, iloczynu tensorowego, antysymterycznego, alternacji tensora.
80. Definicja k-formy różniczkowej, ciągłej, przestrzeni tych form, iloczynu zewnętrznego.
81. Definicja pola wektorowego, gradientu, dywergencji, rotacji.
k
n
82. Definicja operacji przenoszenia k-formy różniczkowej f ∗ : F k (Rm
f (p) ) → F (Rp ) i jej własności.
83. Definicja różniczki formy d: F k (Rn ) → F k+1 (Rn ) i jej własności.
84. Definicja n-kostki (singularnej), całki formy ω na n-kostce (singlularnej).
n
ścianki.
85. Definicja n-łańcucha, jego brzegu, I(i,α)
86. Twierdzenie Stokesa: jeżeli ω jest n − 1-formą na V ⊂ Rn i c jest n-łańcuchem, to
R
c
dω =
R
∂c
ω.
87. Definicja pola wektorowego i k-formy różniczkowej, jej przenoszenia i różniczki na rozmaitościach.
88. Definicja orientacji, rozmaitości orientowalnej, zorientowanej dodatnio, orientacja (indukowana) brzegu.
89. Twierdzenie Stokesa na rozmaitościach, wnioski Greena i Gaussa-Ostrogradskiego.
R
d w R2 ⇐⇒ dω = 0 (analogicznie dla 1-formy na R3 ).
90. σ P dx + Qdy nie zależy od wyboru jednostki σ = AB
91. Definicja ciała i σ-ciała zbiorów, (przeliczalnie) addytywnej funkcji zbioru, miary i zbiorów mierzalnych.
P
S
92. Miara µ na M σ-ciele jest niemalejąca, ∀(An )⊂M µ n∈N An 6 n∈N µ(An ).
93. Definicja miary zupełnej, miary zewnętrznej Caratheodory’ego µ∗ .
94. Jeżeli M spełnia ∀Z∈P(X) µ∗ (Z) = µ∗ (Z ∩ A) + µ∗ (Z \ A), to M σ-ciało oraz µ = µ∗ |M miara zupełna na M .
95. Definicja miary zewnętrznej Lebesgue’a (m∗k ) i miary Lebesgue’a (mk ).
96. Miara zewnętrzna Lebesgue’a jest miarą zewnętrzną Carathelolory’ego i jest σ-skończona.
97. Dla każdego przedziału P ⊂ Rk ograniczonego m∗k (P ) = ν(P ).
98. Każdy niepusty przedział otwarty P ⊂ Rk jest mierzalny w sensie Lebesgue’a.
99. Definicja zbiorów Fσ , Gδ , zbiorów borelowskich.
100. Warunki równoważne mierzalności zbioru w sensie Lebesgue’a.
101. Definicja funkcji mierzalnej i warunki jej równoważne, definicja funkcji prostej, funkcji równoważnych.
102. Jeżeli f , (fn )n∈N są mierzalne, to funkcje |f |, g, d, s, i oraz F (f (x), g(x)), f ± g, f · g też są mierzalne.
103. Twierdzenie o istnieniu ciągu funkcji prostych zbieżnego punktowo lub jednostajnie do f : E → R̄.
104. Jeżeli f : E → R̄ mierzalna to funkcja jej równoważna też jest mierzalna.
105. Definicja całki Lebesgue’a i jej własności.
R
R
S
P
106. Jeżeli f : E → R̄ mierzalna, M 3 A = n∈N An , ∀n6=m∈N An ∩ Am = ∅, to A f (x)dµ = n∈N An f (x)dµ.
R
107. Jeżeli f (x) > 0 dla x ∈ A ∈ M , to A f (x)dµ = ⇐⇒ f (x) = 0 µ prawie wszędzie.
R
R
108. Jeżeli f ∈ L(µ) na zbiorze A, to |f | ∈ L(µ) na zbiorze A oraz | A f (x)dµ| 6 A |f (x)|dµ.
109. Jeżeli f ∈ L(µ) na zbiorze A ∈ M , to f jest µ prawie wszędzie skończona.
110. Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej.
111. Jeżeli h = f + g, f, g ∈ L(µ) na zbiorze E ∈ M , to h ∈ L(µ) na zbiorze E oraz
3
R
E
h(x)dµ =
R
E
f (x)dµ +
R
E
g(x)dµ.