Teoria miary i całki

Nazwa przedmiotu:
Kierunek:
Matematyka
Rodzaj przedmiotu:
obowiązkowy dla wszystkich
specjalności
Rodzaj zajęć:
wykład, ćwiczenia
Teoria miary i całki
Measure and Integration Theory
Kod przedmiotu:
Poziom przedmiotu:
II stopnia
Semestr: II
Liczba godzin/tydzień:
3WE, 3C
Liczba punktów:
7 ECTS
PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE
I KARTA PRZEDMIOTU
CEL PRZEDMIOTU
C1. Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary i całki, w szczególności miary i całki
Lebesgue’a w k-wymiarowych przestrzeniach euklidesowych i na rozmaitościach
C2. Nabycie umiejętności obliczania całek Lebesgue’a funkcji rzeczywistych (także wektorowych)
w k-wymiarowych przestrzeniach i na rozmaitościach
WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI
1.
Wiedza z zakresu teorii mnogości i topologii
2.
Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II i III
3.
Wiedza z zakresu algebry liniowej
4.
Umiejętność obliczania pochodnych funkcji (także wektorowych), całkowania w zakresie całki
Riemanna
5.
Umiejętność wykonywania operacji na zbiorach
EFEKTY KSZTAŁCENIA
EK 1 – definiuje podstawowe pojęcia i wymienia twierdzenia teorii miary i całki
EK 2 – przedstawia konstrukcję miary i całki Lebesgue’a w w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
oraz jej własności
EK 3 – przedstawia konstrukcję miary i całki Lebesgue’a na rozmaitości oraz jej własności
EK 4 - rozwiązuje proste problemy z zakresu teorii miary i całki oraz stosuje podstawowe twierdzenia
do wyznaczania całki Lebesgue’a
EK 5 - oblicza całki Lebesgue’a funkcji rzeczywistych (oraz funkcji wektorowych) w k-wymiarowej
przestrzeni euklidesowej
EK 6 - oblicza całki Lebesgue’a funkcji rzeczywistych (oraz funkcji wektorowych) na rozmaitości –
całki krzywoliniowe i powierzchniowe
TREŚCI PROGRAMOWE
Forma zajęć – WYKŁADY
W 1 – Przestrzenie mierzalne i odwzorowania mierzalne
W 2 – Zbiory borelowskie. Odwzorowania mierzalne o wartościach w R i w zbiorze R
rozszerzonym
W 3 – Miary i ich podstawowe własności
W 4 – Miary zewnętrzne i twierdzenie Caratheodory’ego
W 5 - Miara Lebesgue’a w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
W 6 - Ogólna teoria całki. Całkowanie funkcji prostych, nieujemnych funkcji
mierzalnych i dowolnych funkcji mierzalnych
W 7 - Własności całkowania
Liczba
godzin
3
3
3
3
3
3
4
W 8 - Całka Lebesgue’a w k-wymiarowej przestrzeni euklidesowej
W 9 - Produktowanie miar. Twierdzenie Tonellego i Fubiniego. Całki iterowane
W 10 - Miara i całka Lebesgue’a na rozmaitości
W 11 - Całki krzywoliniowe i powierzchniowe pierwszego rodzaju
W 12 - Twierdzenie Radona-Nikodyma
W 13 - Całkowanie przez podstawienie
5
5
4
3
3
3
Liczba
godzin
3
3
Forma zajęć – ĆWICZENIA
C 1 – Zbiory mierzalne, przestrzenie mierzalne i odwzorowania mierzalne
C 2 - Zbiory borelowskie. Odwzorowania mierzalne o wartościach w R i w zbiorze R
rozszerzonym
C 3- Podstawowe własności miar
3
C 4 – Miary zewnętrzne, warunek Caratheodory’ego
3
C 5 – Całki względem miary – konstrukcja i własności
3
C 6 – Miara zewnętrzna Lebesgue’a i miara Lebesgue’a w k-wymiarowej przestrzeni
3
euklidesowej
C 7 – Rozmaitości - miara Lebesgue’a na rozmaitości
3
C 8 - Całka podwójna – iteracja całki. Obliczanie całek podwójnych
4
C 9 – Całka potrójna- iteracja całki. Obliczanie całek potrójnych
5
C 10 – Całki krzywoliniowe pierwszego rodzaju
3
C 11 – Całki powierzchniowe pierwszego rodzaju
5
C 12 – Całkowanie przez podstawienie
5
C 13 - Kolokwium
2
NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE
1. – wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych
2. – ćwiczenia tablicowe
SPOSOBY OCENY ( F – FORMUJĄCA, P – PODSUMOWUJĄCA)
F1. – ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń
F2. – ocena aktywności podczas zajęć
P1. – ocena umiejętności rozwiązywania postawionych problemów – zaliczenie na ocenę
P2. – ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu – zaliczenie na ocenę
zadań i teorii
OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA
Forma aktywności
Średnia liczba godzin na
zrealizowanie aktywności
Godziny kontaktowe z prowadzącym
45W 45 C → 90h
Zapoznanie się ze wskazaną literaturą
16 h
Przygotowanie do ćwiczeń
30 h
Obecność na konsultacjach
5h
Przygotowanie do kolokwium
15 h
Przygotowanie do egzaminu
15 h
Obecność na egzaminie
4h
Suma
175 h
SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS
7 ECTS
DLA PRZEDMIOTU
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach
4 ECTS
wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego
Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o
charakterze praktycznym, w tym zajęć laboratoryjnych i
4,4 ECTS
projektowych
LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA
A. Birkholc Analiza matematyczna. Funkcje wielu zmiennych. PWN, Warszawa 2002
G. Plebanek Miara i całka. Skrypt do wykładu Funkcje rzeczywiste,
www.math.uni.wroc.pl/~grzes/dydaktyka09_10/fr_main2.pdf
W.J. Kaczor, M.T. Nowak Zadania z analizy matematycznej. Część 3 – Całkowanie. PWN, Warszawa
2006
PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES E-MAIL)
1. dr hab. Małgorzata Klimek, prof. PCz. [email protected]
MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA
Odniesienie danego
Efekt
efektu do efektów
Cele
Treści programowe
kształcenia
zdefiniowanych dla
przedmiotu
kierunku Matematyka
W1-W4,
K_W05
W6-W7, W9
EK1
K_W07
C1
W12-W13
K_U04
C1-C5
K_W05
K_W07
W5, W8-W9
EK2
C1
K_U04
W12-W13
K_U07
K_W05
K_W07
W10-W11
EK3
C1
K_U04
W12-W13
K_U07
Narzędzia
dydaktyczne
Sposób
oceny
1-2
P2
1
P2
1
P2
EK4
K_U04
K_U05
K_U07
C2
W5, W8-W9
C5-C6
1-2
EK5
K_U04
K_U05
K_U07
C2
W5, W8-W9, W13
C8, C9, C12
1-2
EK 6
K_U04
K_U05
K_U07
C2
W10, W11
C7, C10-C11
1-2
F1
F2
P1
P2
F1
F2
P1
P2
F1
F2
P1
P2
II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY
Na ocenę 2
Na ocenę 3
Na ocenę 4
Na ocenę 5
EK1-EK3 Student nie
spełnia
kryteriów
oceny 3
Zna definicje i
twierdzenia podane na
wykładzie. Ma kłopot z
ich poprawnym
formalnym zapisem.
Potrafi jednak wyjaśnić
ich znaczenie.
Poprawnie formułuje
większość definicji i
twierdzeń z zakresu teorii
miary i całki. Potrafi wykazać
proste własności zbiorów
mierzalnych, miar oraz całek.
Poprawnie formułuje
definicje i twierdzenia oraz
dowodzi wybrane
twierdzenia.
EK4-EK6 Student nie
spełnia
kryteriów
oceny 3
Rozwiązuje proste
przykłady z zakresu
teorii miary i całki.
Stosuje podstawowe
twierdzenia do
obliczania całek
Lebesgue’a.
Poprawnie rozwiązuje
większość zadań
dotyczących podstaw teorii
miary i całki oraz całkowania
w zakresie całek Lebesgue’a
na przestrzeni euklidesowej i
na rozmaitościach.
Poprawnie rozwiązuje
zadania w zakresie
podstaw teorii miary i całki
oraz całkowania w sensie
Lebesgue’a na przestrzeni
euklidesowej i na
rozmaitościach.
Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia
wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej
III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE
1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:
www.wimii.pcz.pl
2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego
przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki:
www.im.pcz.pl