Ekstrema funkcji jednej i wielu zmiennych

Joanna Cieślak, Paulina Bawej
EKSTREMA FUNKCJI
EKSTREMA FUNKCJI JEDNEJ ZMIENNEJ
Otoczeniem punktu ∈ ℝ jest każdy przedział postaci ( − , + ), gdzie > 0.
Sąsiedztwem punktu jest każdy zbiór postaci ( − , ) ∪ ( , + ), gdzie > 0.
Niech
⊂ ℝ,
:
→ ℝ oraz niech
∈ .
Def. Mówimy, że funkcja
punktu takie, że ⊂
ma w punkcie minimum lokalne, gdy istnieje otoczenie
oraz dla każdego ∈ zachodzi ( ) ≥ ( ).
Def. Mówimy, że funkcja
punktu takie, że ⊂
ma w punkcie maksimum lokalne, gdy istnieje otoczenie
oraz dla każdego ∈ zachodzi ( ) ≤ ( ).
⊂ℝ
⊂ℝ
Def. Mówimy, że funkcja ma w punkcie minimum lokalne właściwe, gdy istnieje otoczenie
⊂ ℝ punktu takie, że ⊂ oraz dla każdego ∈ ∖ { }zachodzi ( ) > ( ).
Def. Mówimy, że funkcja ma w punkcie maksimum lokalne właściwe, gdy istnieje otoczenie
⊂ ℝ punktu takie, że ⊂ oraz dla każdego ∈ ∖ { }zachodzi ( ) < ( ).
Def. Mówimy, że funkcja
lub minimum lokalne.
ma w punkcie
ekstremum lokalne, gdy
ma w punkcie
Def. Mówimy, że funkcja ma w punkcie ekstremum lokalne właściwe, gdy
maksimum lub minimum lokalne właściwe.
maksimum
ma w punkcie
(dziedzinie funkcji), jeżeli istnieje punkt
Def. Liczba jest najmniejszą wartością funkcji w
oraz dla każdego ∈ , ( ) ≥ ( ). Liczbę nazywamy minimum
∈ taki, że ( ) =
globalnym funkcji w .
Def. Liczba ! jest największą wartością funkcji w
(dziedzinie funkcji), jeżeli istnieje punkt
∈ taki, że ( ) = " oraz dla każdego ∈ , ( ) ≤ ( ). Liczbę " nazywamy maksimum
globalnym funkcji w .
Def. Minimum i maksimum globalne nazywamy ekstremami globalnymi.
Tw. Weierstrassa
Każda funkcja ciągła na przedziale domkniętym ma wartość najmniejszą i największą.
1
Przykłady:
a)
Minimum lokalne
b)
'= ( )
( )
( )
b)
Ekstremum globalne funkcji (minimum globalne)
' = ()*
( )
c)
( )
Ekstremum globalne funkcji (maksimum globalne)
'=−
d)
Maksimum lokalne
#
Ad. Twierdzenia Weierstrassa
( ) = − # , ∈ [0,2]
'= ( )
2
'= ( )
Tw. Warunek konieczny istnienia ekstremum
Niech ⊂ ℝ,
ma w punkcie
:
→ ℝ będzie funkcją różniczkowalną w punkcie
ekstremum lokalne, to ′( ) = 0.
∈ +*, . Jeśli funkcja
Tw. Warunek wystarczający istnienia ekstremum I
Niech :
→ ℝ będzie funkcją ciągłą w
i różniczkowalną w \{ } , gdzie
∈ .
a) Jeżeli istnieje / > 0 taka, że ( − /, + /) ⊂ oraz ′( ) ≤ 0 dla ∈ ( − /, )
i ′( ) ≥ 0 dla ∈ ( , + /), to funkcja ma w punkcie minimum lokalne.
b) Jeżeli istnieje / > 0 taka, że ( − /, + /) ⊂ oraz ′( ) ≥ 0 dla ∈ ( − /, )
i ′( ) ≤ 0 dla ∈ ( , + /), to funkcja ma w punkcie maksimum lokalne.
Przykład:
Wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji:
( )=3
1
−3
2
,
′( ) = 15
5
− 15
#
Warunek konieczny: ′( ) = 0
15
5
− 15
15
#
(
15
#(
#
#
=0
− 1) = 0
− 1)( + 1) = 0 zatem miejsca zerowe dla
= 0, = 1,
= −1.
Warunek dostateczny:
′( )
…
-1
…
0
…
1
…
+
0
-
0
-
0
+
↗
2
max
↘
brak
ekstr
↘
-2
min
↗
Przykład:
• Jeżeli funkcja to ma w punkcie ekstremum lokalne, to ′( ) = 0.
Implikacja odwrotna nie zachodzi, np.
( ) = 2 , dla mamy ′( ) = 0, ale funkcja nie ma ekstremum lokalnego.
( )=
2
3
• Przykład funkcji posiadającej minimum lokalne w punkcie i nieróżniczkowalnej w .
( ) =|x|
posiada w punkcie = 0 minimum lokalne właściwe, ale ′( ) nie istnieje w tym punkcie.
( )=| |
Tw. Warunek wystarczający istnienia ekstremum II
Niech : ( , 8) → ℝ będzie funkcją (* − 1)-krotnie różniczkowalną w przedziale ( , 8),
posiadającą *-tą pochodną w punkcie ∈ ( , 8). Niech 9 ( ) = ′′( ) = ⋯ =
(;<=)
( ) = 0 oraz (;) ( ) ≠ 0.
a) Jeśli (;) ( ) > 0 i * jest liczbą parzystą, to funkcja ma minimum lokalne właściwe
w punkcie .
b) Jeśli (;) ( ) < 0 i * jest liczbą parzystą, to funkcja ma maksimum lokalne właściwe
w punkcie .
c) Jeśli * jest liczbą nieparzystą, to funkcja nie ma w punkcie ekstremum lokalnego.
Przykład: (warunek wystarczający istnienia ekstremum II)
( )=1+
5
Warunek konieczny:
′( ) = 4
2
′( ) = 4
2
=0⟺
=0
Warunek dostateczny II:
′( ) = 4
2
′′( ) = 12
′( ) = 0
#
′′( ) = 0
999
′′′( ) = 24
9999(A)
= 24
⟹
( )=0
′′′′( ) = 24 ≠ 0
⇓
funkcja posiada w punkcie
= 0 minimum właściwe lokalne
4
EKSTREMA FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH
Niech : → ℝ, gdzie ⊂ ℝ; będzie funkcją * −zmiennych.
Przez otoczeniu punktu E ( = , … , ; ) ⊂ ℝ; rozumiemy zbiór
= {E( = , … , ; ) ∈ ℝ; : | G − G | < HI ) = 1,2, … , * ,
gdzie > 0 jest pewną liczbą. Innymi słowy
= ( = − , = + )×…×( ; − , ; + )
Def. Funkcja f ma w punkcie E ( = , … , ; ) minimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie
punktu E ( = , … , ; ),takie że dla każdego punktu E ∈ spełniona jest nierówność:
(E) ≥ (E ).
⊂
Def. Funkcja f ma w punkcie E ( = , … , ; ) maksimum lokalne, jeżeli istnieje otoczenie
punktu E ( = , … , ; ), takie że dla każdego punktuE ∈ spełniona jest nierówność:
(E) ≤ (E ).
⊂
Def. Funkcja f ma w punkcie E minimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie ⊂
E , takie że dla każdego punktu E ∈ i E ≠ E spełniona jest nierówność: (E) > (E ).
Def. Funkcja f ma w punkcie E maksimum lokalne właściwe, jeżeli istnieje otoczenie ⊂
E , takie że dla każdego punktu E ∈ iE ≠ E spełniona jest nierówność: (E) < (E ).
punktu
punktu
Minima i maksima lokalne nazywamy EKSTREMAMI LOKALNYM.
Def. Liczbę
E ( =, … ,
nazywamy najmniejszą wartością funkcji f na zbiorze K ⊆ , jeżeli istnieje punkt
i dla każdego punktu E ∈ K, (E) ≥ (E ) = .
; ) ∈ K , taki że (E ) =
nazywamy minimum globalnym funkcji f na zbiorze K.
Liczbę
Def. Liczbę " nazywamy największą wartością funkcji f na zbiorze K ⊆ , jeżeli istnieje punkt
E ( = , … , ; ) ∈ K, taki że (E ) = "i dla każdego punktuE ∈ K, (E) ≤ (E ) = ".
Liczbę " nazywamy maksimum globalnym funkcji
na zbiorze K.
Minimum i maksimum globalne nazywamy EKSTREMAMI GLOBALNYMI.
Tw. Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych
Jeżeli:
•
f ma ekstremum w punkcie E ,
•
istnieją pochodne
∂f
, i = 1,..., n cząstkowe w punkcie E .
∂x i
to
∂f
∂f
∂f
( P0 ) = 0,
( P0 ) = 0,...,
( P0 ) = 0 ⇔ ∇f ( P0 ) = [0,0,...,0] = 0
∂x1
∂x 2
∂x n
5
Def. Punkt E ∈ , w którym przynajmniej jedna pochodna cząstkowa nie istnieje lub w którym
wszystkie pochodne cząstkowe są równe zero nazywamy punktem krytycznym funkcji .
Punkt krytyczny P0, w którym jest spełniony warunek ∇ (P0) = [0,0,…,0] nazywamy punktem
stacjonarnym funkcji .
Załóżmy teraz, że w punkcie E ∈
istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji .
Def. Macierz
 ∂2 f
 ∂x 2 ( P0 )
 21
∂ f
H f ( P0 ) :=  ∂x x ( P0 )
 2 1M
 2
 ∂ f ( P0 )
 ∂xn x1
∂2 f
( P0 )
∂x1 x 2
∂2 f
( P0 )
∂x 22
M
∂2 f
( P0 )
∂x n x2

∂2 f
( P0 ) 
∂x1 x n

∂2 f
( P0 )
K

∂x 2 x n

O
M

∂2 f
( P0 )
K

∂x n xn
K
nazywamy hesjanem funkcji f w punkcie P0 .
Niech
∂2 f
( P0 )
∂x12
∂2 f
∆ i ( P0 ) := ∂x x ( P0 )
2 1
M
∂2 f
( P0 )
∂xi x1
Zauważmy, że ∆ 1 ( P0 ) =
∂2 f
( P0 )
∂x1 x2
∂2 f
( P0 )
∂x22
M
∂2 f
( P0 )
∂xi x2
∂2 f
( P0 )
∂x1 xi
∂2 f
K
( P0 ) , i = 1,..., n
∂x2 xi
O
M
∂2 f
K
( P0 )
∂xi xi
K
∂2 f
( P0 ) , ∆ i = det H f ( P0 )
∂x12
Tw. Warunek wystarczający istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych
Załóżmy, że
∂f
∂f
∂f
( P0 ) = 0,
( P0 ) = 0,...,
( P0 ) = 0 , gdzie P0 jest punktem stacjonarnym
∂x1
∂x 2
∂x n
funkcji f. Jeżeli
•
∆ i ( P0 ) > 0 , dla ) = 1,2, … , *, to w punkcie P0 funkcja f ma minimum lokalne właściwe,
•
∆= (E ) < 0, ∆# (E ) > 0, … , (−1); ∆; (E ) > 0, to w punkcie E funkcja f ma maksimum
lokalne właściwe.
Przykład
Niech ( , ') =
#
− ' #.
6
Mamy:
∂f
∂f
(0,0) = 0, (0,0) = 0
∂x
∂y
2
Ponadto H f (0,0) = 
0
0 
2 0
,
czyli
∆
(
0
,
0
)
=
2
,
∆
(
0
,
0
)
=
= −4 < 0. Zatem funkcja f nie
1
2
− 2
0 −2
ma ekstremum w punkcie krytycznym (0,0).
Przykład
Niech ( , ', O) =
#
+ ' # + O # − ' + + 2O.
Wówczas:
∂f
∂f
∂f
= 2y − x ,
= 2 x − y + 1,
= 2z + 2 .
∂x
∂y
∂z
Ponieważ:
−2

=
x

3
2 x − y + 1 = 0

−1

 2y − x = 0 ⇔  y =
3
 2z + 2 = 0

=
−
z
1



Wiec P0 = (
− 2 −1
,
,−1) jest punktem krytycznym funkcji f.
3 3
 2 − 1 0
Hf ( P0 ) = − 1 2 0 oraz ∆ 1 ( P0 ) = 2 > 0 , ∆ 2 ( P0 ) = 3 > 0 , ∆ 3 ( P0 ) = 6 > 0 .
 0 0 2
Zatem funkcja f ma w punkcie P0 = (
− 2 −1
, ,−1) minimum lokalne, które wynosi:
3 3
4
f min = f ( P0 ) = − .
3
7