Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych

Wzór Taylora dla funkcji wielu zmiennych
Wzór Taylora
Niech
— zbiór otwarty. Niech
te pochodne są ciągłe). Niech
dla
.
— funkcja klasy
(tzn. różniczkowalna razy i
, przy czym niech
będą takie, aby
,
Utwórzmy funkcję pomocniczą
Z własności wynika, że jest ciągła na
Policzmy kolejne pochodne tej funkcji.
Napiszmy dla
(tu
oraz różniczkowalna
razy w sposób ciągły na
wzór Taylora dla przyrostu argumentu równego i z resztą w postaci Lagrange'a:
).
Wstawiając otrzymane wyżej wzory na pochodne
, otrzymujemy:
.
gdzie
jest resztą
tego rzędu:
I to jest już kompletny wzór Taylora.
Czasem może nam przyjść ochota na oszacowanie reszty. Podamy tu takie proste oszacowanie.
Proste oszacowanie reszty
Stwierdzenie
Weźmy kulę domkniętą
dla wszystkich
, gdzie
jest takie, że
. Wtedy istnieje taka stała
, że
.
Dowód
Wiemy, że funkcje ciągłe na zbiorze zwartym są ograniczone; tak więc:
dla wszystkich
przez
i pewnej dodatniej stałej
. Tak więc resztę
we wzorze (%i 3) szacujemy
Uzasadnienie ostatniej nierówności: Przypomnijmy sobie nierówność Schwarza: Zapodaje ona, że
więc mamy:
Mamy więc
i oznaczając:
, otrzymujemy wzór (%i 3) czyli tezę.
CBDO
Morał
Podsumujmy: Wzór Taylora możemy zapisać w postaci:
gdzie
— mała stopnia wyższego niż
, tzn. spełniająca
Wzór Taylora pozwala na przybliżenie skomplikowanych funkcji przez wielomiany, z którymi jest
mieć do czynienia na ogół o wiele prościej.
W zastosowaniach najczęściej spotyka się zastępowanie funkcji przez wielomian pierwszego lub
drugiego stopnia, choć zdarza się też konieczność uwzględniania wyższych potęg.
Przykł.
Energia drga/n cząsteczki o dwu lub więcej atomach w pobliżu położenia równowagi: przybliżenie
harmoniczne i czasem konieczność wyjścia poza to przybliżenie.
Ekstrema i punkty stacjonarne
Niech
— zb. otwarty, niech
, niech
RYS.
Maksimum
Mówimy, że
ma w
maksimum, jeżeli
Ścisłe maksimum
Mówimy, że
ma w
ścisłe maksimum, jeżeli
Maksimum lokalne
Mówimy, że
ma w
maksimum lokalne, jeżeli
Uwaga
Analogicznie mówimy o minimum, minimum ścisłym, minimum lokalnym, jeśli zmienimy znaki
nierówności w definicjach powyżej.
Stwierdzenie
Niech
— zb. otwarty, niech
lokalne. Wtedy
, niech
(tzn. wszystkie pochodne cząstkowe są równe zeru w
. Niech
ma w punkcie
minimum
).
Dowód
Dla większej jasności zapiszmy tu jawnie współrzędne punktu
:
Warunek (%i 7) na maksimum lokalne można przeformułować mówiąc, że
dla dowolnego wektora przyrostu . Skoro tak, to weźmy wektor przyrostu posiadający tylko
pierwszą składową różną od zera, a wszystkie pozostałe równe zeru. W ten sposób,
jest funkcją tylko jednej zmiennej
jednej zmiennej
mówiące, że jeżeli
naszej wersji oznacza to, że
Weźmy teraz wektor przyrostu
. Przypomnijmy sobie teraz tw. dla funkcji
posiada w
maksimum lokalne, to
.W
.
o niezerowej drugiej składowej, a wszystkich pozostałych równych
zeru. Analogiczne rozumowanie prowadzi do wniosku, że
otrzymujemy (%i 8).
. Itd. W ten sposób
CBDO
Z teorii funkcji jednej zmiennej przypominamy sobie, że warunek
był warunkiem koniecznym,
ale nie dostatecznym na to, aby posiadała w punkcie
maksimum. Analogicznie jest w przypadku
funkcji wielu zmiennych: Warunek (%i 8) jest warunkiem koniecznym, aby w
istniało maksimum
(mówi o tym powyższe Stwierdzenie), ale implikacja: (%i 8)
( posiada maksimum w ) na ogół
nie jest prawdziwa.
Punkt krytyczny
Niech
, — zbiór otwarty w
stacjonarnym), jeśli
. Mówimy, że
ma w
punkt krytyczny (zwany też
W przypadku funkcji jednej zmiennej można było podać kryterium na to, aby punkt krytyczny był
maksimum (minimum); był to warunek, aby druga pochodna funkcji w punkcie krytycznym była
mniejsza (większa) od zera[1].
W przypadku funkcji wielu zmiennych również można podać warunek dostateczny na to, aby punkt
krytyczny był maksimum (minimum). Jest to jednak bardziej skomplikowane niż w przypadku funkcji
jednej zmiennej, i aby ten warunek podać, przypomnimy najsampierw kilka faktów z zakresu teorii
form kwadratowych.
Forma kwadratowa
Niech
. Formą kwadratową na
nazywamy funkcję
Współczynniki występujące w powyższym wyrażeniu tworzą macierz formy kwadratowej:
Dla macierzy formy kwadratowej (%i 11) zdefiniujmy następujące liczby
.
itd.,
Twierdzenie (Kryterium dodatniej/ujemnej określoności form kwadratowych)
1. Jeśli wszystkie
są większe od zera:
niezerowego wektora
zachodzi:
dla
, to dla dowolnego
(taką formę nazywamy ściśle dodatnią).
2. Jeśli zachodzi:
zachodzi:
dla
, to dla dowolnego niezerowego wektora
(taką formę nazywamy ściśle ujemną).
Dowodu
nie będzie, bo był on już albo będzie niedługo w części 'algebraicznej' wykładu.
Przykł.
Niech
. Forma
ujemna, zaś forma
jest ściśle dodatnia, forma
nie jest ani dodatnia, ani ujemna.
jest ściśle
Postać kanoniczna formy kwadratowej
Jest to taka forma, że macierz formy jest macierzą diagonalną z liczbami:
Innymi słowy,
na przekątnej.
Twierdzenie
Każdą formę kwadratową można przez liniową zamianę zmiennych doprowadzić do postaci
kanonicznej, która jest jedyna z dokładnością do przenumerowania zmiennych (tzn. ilość plusów i
minusów w postaci kanonicznej formy jest jednoznaczna).
Dowód
Bez dowodu — był on / będzie na części algebraicznej wykładu.
Twierdzenie (warunek dostateczny istnienia ekstremum)
Niech
,
— otwarty w
. Niech
— punkt krytyczny funkcji , tzn.
. Niech
dla
. Wtedy
ma w
ścisłe minimum lokalne.
Dowód
Wypiszmy wzór Taylora dla
Drugie pochodne
takie, że
.
do 2. rzędu, uwzględniając, że
jest punktem krytycznym:
z założenia są ciągłe, a co za tym idzie — funkcje
dla
. Dla wszystkich
też są ciągłe, więc istnieje
— a więc w szczeg/olności dla
CBDO
Ekstrema związane (warunkowe)
Rozwiązanie przez funkcje uwikłane
Często w matematyce/fizyce mamy do czynienia z sytuacją, gdy musimy znaleźć ekstrema jakiejś
funkcji przy nałożonym określonym warunku. Na przykład, chcemy znaleźć prostopadłościan o
możliwie największej objętości przy warunku, że pole powierzchni tego prostopadłościanu jest
ustalone.
Niech
przypadki, gdzie
RYS.
, — otwarty. Niech
. (dalej zazwyczaj będziemy rozważać
jest zadany jako poziomica pewnej różniczkowalnej funkcji ).
Minimum lokalne
Niech
. Mówimy, że funkcja
jeśli istnieje otoczenie punktu
w
ma w punkcie
takie, że
Rozpatrzmy konkretniej przypadek
. Niech
(tzn.
funkcja
minimum lokalne przy warunku, że
,
jest klasy
,
. Niech
jest zadany jako zerowa poziomica ). Niech będzie dana
. Szukamy ekstremów funkcji
przy warunku, że
.
Sytuacja, gdy szukamy ekstremum funkcji bez żadnych warunków, na ogół różni się zasadniczo od
tej, gdy szukamy ekstremów przy nałożeniu jakiegoś warunku.
Przykł.
. Gdy szukamy ekstremów
ekstremów nie ma: jest jeden punkt krytyczny
gdy szukamy ekstremów przy warunku
biegunowych:
,
; wtedy
, który jest siodłem. Rozważmy teraz sytuację,
. Sparametryzujmy okrąg przez kąt
obcięta do okręgu jest dana równaniem:
, i funkcja
we wsp.
ma cztery ekstrema: dwa maksima w
, co odpowiada punktom na płaszczyźnie:
jest równa 1; i dwa minima w
. RYS.
bez żadnego warunku, to
tzn.
; w tych punktach wartość
— w tych punktach wartość
Wróćmy do og/olnego przypadku funkcji zależnej od dwóch zmiennych
jest
przy warunku
. Rozwiązanie problemu znajdowania ekstremum warunkowego możemy znaleźć,
posługując się niedawno udowodnionym twierdzeniem o funkcjach uwikłanych. Będziemy zakładać,
że równanie:
zrobić, gdy
da się (przynajmniej lokalnie) rozwikłać do postaci
. Wstawmy uzyskaną funkcję
W ten sposób, badanie ekstremów funkcji
badania ekstremów funkcji
Funkcja
posiada punkt
; da się tak
do funkcji . Zdefiniujmy:
przy warunku
.
podejrzany o ekstremum, gdy
sprowadza się do
.
Policzmy pochodną funkcji
. Mamy
oraz
Punkt
(gdzie
) będzie podejrzany o ekstremum, gdy spełniona będzie równość
Jest to jedno równanie na dwie liczby
oraz
. Pamiętajmy jednak, że mamy też drugie równanie
Przeformułowanie — metoda mnożników Lagrange'a
Wzór (%i 16) nie wygląda miło. Lagrange podał schemat, który w znacznie bardziej przejrzysty
sposób pokazuje sposób liczenia ekstremów warunkowych.
Uzyskuje się to wprowadzając dodatkową zmienną
określoną jako:
Równanie (%i 16) można wtedy zapisać jako:
zaś definicję mnożnika Lagrange'a
jako
( jest nazywane mnożnikiem Lagrange'a),
(pamiętając, że cały czas mamy też trzeci warunek (%i 17)).
Wprowadźmy teraz funkcję:
Warunek konieczny istnienia ekstremum związanego możemy teraz zapisać jako
Jest to układ 3 równa/n na 3 niewiadome; z tego rzadko potrzebujemy znać , rozwiązujemy więc go
tak aby wyznaczyć tylko
.
Przykł.
raz jeszcze. Mamy:
. Warunek
konieczny istnienia ekstremum jest:
Mnożąc pierwsze z powyższych równa/n przez
, co daje
, drugie przez
i odejmując stronami, otrzymamy:
. Uwzględniając teraz trzecie równanie dostajemy:
oraz
— zgodnie z tym co dostaliśmy uprzednio.
Badanie warunku dostatecznego
W przypadku znajdowania ekstremów funkcji bez nałożonych żadnych warunków, po znalezieniu
punktów krytycznych, jako podejrzanych o ekstrema, trzeba było je dodatkowo zbadać, aby
zobaczyć, czy są ekstremami, czy nie. Gdy mamy kandydatów na ekstrema warunkowe, również
powinno się przeprowadzić analogiczne badanie. Jest to zazwyczaj bardziej skomplikowane niż w
przypadku kandydatów na ekstrema 'bezwarunkowe'. Są tu trzy zasadnicze sposoby postępowania.
1. Gdy zbiór, na którym szukamy ekstremów warunkowych, jest zwarty (tzn. domknięty i
ograniczony), to możemy skorzystać z tw. Weierstrassa mówiącego, iż funkcja na zbiorze
zwartym osiąga swoje kresy. W ten sposób, gdy z metody mnożników Lagrange'a znajdziemy
punkty podejrzane o ekstrema warunkowe, to liczymy wartość funkcji w tych punktach; w ten
sposób znajdujemy wartość największa i najmniejszą. Przykł.
raz jeszcze: Poziomicą zerową funkcji
zbiór zwarty. W znalezionych już punktach
punktach
minimami.
i
wynosi
i
wartość
jest okrąg, więc
wy nosi
,aw
. Dwa pierwsze są więc maksimami, a dwa pozostałe —
2. Badamy kandydatów na ekstrema warunkowe, korzystając z teorii funkcji uwikłanych.
3. Wyznaczamy mnożniki Lagrange'a i liczymy drugą pochodną funkcji z uzyskanymi
mnożnikami w znalezionych punktach krytycznych, a następnie badamy określoność tej formy
kwadratowej ograniczonej do płaszczyzny stycznej do poziomicy
.
Dwie ostatnie recepty brzmią być może dość abstrakcyjnie; podam konkretniejsze przykłady w
wolnej chwili.
Przypadek gdy mamy
warunków
Może się wreszcie zdarzyć, że musimy znaleźć ekstremum funkcji
warunkach. Sprecyzujmy to tak:
Niech
, niech
. Niech
przy nałożonym nie jednym, a
i niech
RYS.
Podamy teraz (ale uzasadnienie sobie darujemy[2]) sposób, w jaki znajdujemy kandydatów na
ekstrema w tym przypadku. (Tu również uzasadnienie — jako materiał nadobowiązkowy — planuję w
wolnej chwili napisać.)
Utwórzmy mianowicie funkcję
występujące tu liczby
następnie do zera pochodne:
są parametrami, zwanymi mnożnikami Lagrange'a. Przyrównajmy
(razem
równa/n) oraz
Razem mamy
równa/n na
dostaniemy zestaw
oraz
ten sposób mamy kandydatów na ekstrema.
niewiadomych. Rozwiązując te równania
(tych ostatnich zazwyczaj nie potrzebujemy). W
Przykł.
Na elipsie
znaleźć punkty najmniej i najbardziej odległe od prostej
Rozw. Niech
należy do elipsy, zaś
.
— do prostej. Musimy znaleźć
najmniejszą wartość odległości pomiędzy punktami
i :
przy warunkach, że
należy do elipsy, zaś
do prostej.
łatwiej będzie rozwiązywąc równoważny problem badania kwadratu odległości. Musimy zatem
znaleźć ekstrema funkcji
,
przy dwóch warunkach:
.
Postępując we wskazany wyżej sposób, tworzymy funkcję:
(
— mnożniki Lagrange'a), liczymy jej pochodne, przyrównujemy do zera i rozwiązujemy powstały
układ równa/n. Odp.: Punktem na elipsie najmniej odległym od prostej jest
punktem najbardziej odległym jest
, zaś
.
1. ↑ Nie był to warunek najogólniejszy, ale tego ogólniejszego warunku nie będziemy tu
przypominać, gdyż rozszerzenie go na przypadek funkcji wielu zmiennych wymaga znacznie
bardziej zaawansowanej teorii
2. ↑ Podobnie jak w filmie 'Toy Story 2' bohater negatywny Al darował sobie prysznic przed
wylotem do Tokio