Zadania z matematyki dyskretnej

Zadania z matematyki dyskretnej
dla studentów II roku informatyki
Zestaw 5
1. Wyznaczyć funkcję tworzącą
a) ciągu geometrycznego an = a1 q n ;
b) ciągu arytmetycznego bn = a1 + (n − 1)r;
c) ciągu Fibonacciego.
2. Wyznaczyć wykładniczą funkcję tworzącą
a) ciągu (wk )k∈N , gdzie wk oznacza liczbę wariacji z powtórzeniami o długości k zbioru n-elementowego;
b) ciągu (vk )k∈N , gdzie vk oznacza liczbę wariacji bez powtórzeń o długości k zbioru n-elementowego.
3. Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a1 =
1 , a2 = 5 , a3 = 1 oraz an = an−1 + 4an−2 − 4an−3 .
4. Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a0 =
1 , a1 = 0 , a2 = 4 oraz an = 6an−1 − 12an−2 + 8an−3 .
5. Wyznaczyć wzór analityczny pozwalający wyliczyć n-ty wyraz ciągu określonego rekurencyjnie: a0 =
0 , a1 = 0 , a2 = 1 oraz an = an−1 − 2n.
6. Na ile sposobów można pokryć szachownicę wymiaru
a) n × 2
b) n × 3
”kostkami domino” (o wymiarze 2 × 1).
7. Każdego roku pewna populacja królików podwaja się. Jeśli początkowo było sześć królików, to ile ich
będzie po n latach?
8. Każda para dojrzałych królików co trzy miesiące rodzi następną parę. Para młodych królików rodzi nową
parę po dwóch miesiącach od narodzin. W chwili ”zero” jest jedna nowo narodzona para. Ile jest par
królików po n miesiącach?
9. Niech S(n, k) oznacza liczbę Stirlinga drugiego rodzaju, tzn liczbę podziałów zbioru n-elementowego na
k-bloków. Definujemy ciągi an = S(n, 2) , bn = S(n, 3) , cn = S(n, n − 1) , dn = S(n, n − 2). Napisać
równania rekurencyjne dla tych ciągów i wyprowadzić wzory wyrażające wartość n-tego wyrazu każdego
z tych ciągów.
10. Na ile sposobów można podzielić zbiór {1, 2, . . . , n} na dwa podzbiory rozłączne?
11. Na ile sposobów można podzielić zbiór {1, 2, . . . , n} na trzy podzbiory rozłączne?
12. Wyznaczyć liczbę an ciągów binarnych długości n, w których żadne dwie jedynki nie występują obok
siebie (takie ciągi są funkcjami charakterystycznymi tzw. zbiorów bez sąsiadów).
13. Wyznaczyć liczbę an ciągów ternarnych (złożonych z liczb 1,2,3) długości n, w których
a) żadne dwie jedynki nie występują obok siebie;
b) żadne dwie jedynki , ani żadne 2 dwójki nie występują obok siebie.
14. Niech an oznacza maksymalną liczbę porównań w algorytmie wyszukiwania binarnego w ciągu o długości
2n − 1. Znaleźć zależność rekurencyjną dla ciągu (an )n∈N i wzór wyrażający wartość an .
Uwaga! Poprawne rozwiązanie tego zadania wymaga dokładnego zdefiniowania operacji porównania.