I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI A 20.11.2012 godz. 11.40 - E-SGH
Transkrypt
I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI A 20.11.2012 godz. 11.40 - E-SGH
I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI Czas rozwiązywania 90 min A 20.11.2012 godz. 11.40 IMIĘ I NAZWISKO................................................................ NR INDEKSU........................ Zadanie 1. (6 punktów) Wyznaczyć granice w zależności od parametru t, o ile istnieją, lub uzasadnić brak granicy: tn 1 a) (2 punkty) lim n 2n 3 tn 1 b) (4 punkty) lim n 2n 3 n 1 Zadanie 2. (6 punktów) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f danej wzorem xe x 2 gdy x 2 f ( x) x 2 . x 2 gdy x 2 Zadanie 3. (6 punktów) Funkcja f : R R dana jest wzorem ex gdy x 0 f ( x) . x 2 ln( x x 1) gdy x 0 a) (2 punkty) Zbadać ciągłość funkcji. b) (3 punkty) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne. c) (1 punkt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale [-2,0]. Zadanie 4. (6 punktów) Funkcja f : R R dana jest wzorem | x 2 x | 1 gdy x 1 , f ( x) a b gdy x 1 x 1 gdzie a i b są pewnymi stałymi. a) (3 punkty) Wyznacz a i b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w punkcie . b) (3 punkty) Czy istnieje punkt o odciętej , w którym styczna do wykresu jest równoległa do prostej o równaniu . Jeśli tak, wyznacz równanie tej stycznej. Zadanie 5. (6 punktów) Funkcja f określona jest wzorem f ( x) x 2 4 , a funkcja g określona jest wzorem x2 g ( x) x 1 . a) (2 punkty) Wyznaczyć dziedziny funkcji f, g i funkcji h f g . b) (4 punkty) Wyznaczyć tempo zmian funkcji h w dziedzinie wyznaczonej w punkcie a). I KOLOKWIUM Z MATEMATYKI Czas rozwiązywania 90 min B 20.11.2012 godz. 11.40 IMIĘ I NAZWISKO................................................................ NR INDEKSU........................ Zadanie 1. (6 punktów) Wyznaczyć granice w zależności od parametru t, o ile istnieją, lub uzasadnić brak granicy: 3n 1 a) (2 punkty) lim n tn 3 3n 1 b) (4 punkty) lim n tn 3 n2 Zadanie 2. (6 punktów) Wyznaczyć asymptoty wykresu funkcji f danej wzorem 1 x ln 1 x gdy x 2 . f ( x) 2 x gdy x 2 2 x Zadanie 3. (6 punktów) Funkcja f : R R dana jest wzorem e x gdy x 0 f ( x) . x 2 ln( x x 1) gdy x 0 a) (2 punkty) Zbadać ciągłość funkcji. b) (3 punkty) Wyznaczyć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne. c) (1 punkt) Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość funkcji f na przedziale [0,1]. Zadanie 4. Funkcja f : R R dana jest wzorem x gdy x 1 , f ( x) 1 | x | a x 3 b gdy x 1 gdzie a i b są pewnymi stałymi. a) (3 punkty) Wyznacz a i b tak, aby funkcja f była różniczkowalna w punkcie . b) (3 punkty) Czy istnieje punkt o odciętej , w którym styczna do wykresu jest równoległa do prostej o równaniu . Jeśli tak, wyznacz równanie tej stycznej. Zadanie 5. (6 punktów) Funkcja f określona jest wzorem g ( x) x 2 1 , a funkcja g określona jest wzorem x2 f ( x) x 2 . a) (2 punkty) Wyznaczyć dziedziny funkcji f, g i funkcji h g f . b) (4 punkty) Wyznaczyć tempo zmian funkcji h w dziedzinie wyznaczonej w punkcie a).