Ćwiczenia 1

Graf (ogólny) G=(V(G), E(G))
V(G) – skończony zbiór wierzchołków,
E(G) – skończona rodzina (zbiór z powtórzeniami) krawędzi, czyli
par nieuporządkowanych (par uporządkowanych w przypadku grafu
skierowanego) elementów V.
Graf prosty G=(V(G), E(G))
- krawędzie łączą dwa różne wierzchołki (nie są możliwe pętle)
- dwa ustalone wierzchołki mogą być połączone co najwyżej jedną
krawędzią
(Każda relacja binarna r w zbiorze X, wyznacza jednoznacznie graf
skierowany, którego węzłami są elementy zbioru X, a krawędziami
uporządkowane pary (x,x') należące do r.
Dla grafu niezorientowanego relacja sąsiedztwa jest
symetryczna, tzn. dla dowolnych dwóch wierzchołków v,v'∈V(G),
(v,v')∈E(G) wttw (v',v)∈ E(G))
Dwa wierzchołki grafu są sąsiednie, jeśli istnieje krawędź łącząca
te wierzchołki.
Wierzchołek jest incydentny z krawędzią, jeśli krawędź ta łączy ten
wierzchołek z innym wierzchołkiem.
Stopień wierzchołka v deg(v) – liczba krawędzi incydentnych z
wierzchołkiem v. (pętla +2)
Wierzchołek izolowany – wierzchołek o stopniu 0
Wierzchołek końcowy – wierzchołek o stopniu 1
Ciąg stopni grafu – lista stopni wierzchołków grafu (z
ewentualnymi powtórzeniami) wypisana w kolejności rosnącej
Lemat o uściskach dłoni (Euler)
W każdym grafie niezorientowanym suma stopni wszystkich
wierzchołków jest liczbą parzystą i jest równa podwojonej liczbie
krawędzi.
=>w dowolnym grafie liczba wierzchołków o nieparzystych
stopniach jest parzysta
Sumą dwóch grafów G1=(V(G1), E(G1)) i G2=(V(G2), E(G2)) przy
założeniu, że V(G1) i V(G2) są rozłączne, jest graf G 1 ∪ G2
o zbiorze wierzchołków V(G1) ∪ V(G2) i zbiorze krawędzi
E(G1) ∪ E(G2)
Graf spójny - graf, którego nie można przedstawić jako sumę
dwóch grafów o rozłącznych zbiorach wierzchołków (graf, w którym
dla każdego wierzchołka istnieje droga do każdego innego
wierzchołka).
Graf niespójny G można przedstawić w postaci sumy grafów
spójnych – składowych grafu G.
Dwa grafy G1 i G2 są izomorficzne, jeśli istnieje wzajemnie
jednoznaczna odpowiedniość między wierzchołkami grafów G1 i G2
taka, że liczba krawędzi łączących dwa określone wierzchołki grafu
G1 jest równa liczbie krawędzi łączących odpowiadające im
wierzchołki grafu G2.
Podgrafem grafu G jest graf G', którego zbiór wierzchołków V(G')
zawiera się w V(G), zaś zbiór krawędzi E(G`) zawiera się w E(G).
Macierz sąsiedztwa A(G)– macierz o wymiarach n x n, gdzie n jest
liczbą wierzchołków grafu G i gdzie A[i,j] równa się liczbie krawędzi
łączących wierzchołki i oraz j.
Macierz incydencji M(G) – macierz o wymiarach n x m, gdzie n jest
liczbą wierzchołków grafu G zaś m jest liczbą krawędzi tego grafu i
gdzie M[i,j] równa się 1, jeśli wierzchołek i jest incydentny z
krawędzią j i 0 w przeciwnym przypadku.
Graf pusty – graf, którego zbiór krawędzi jest zbiorem pustym. Graf
pusty o n wierzchołkach – Nn.
Graf pełny – graf prosty, w którym każda para różnych
wierzchołków jest połączona krawędzią. Graf pełen o n
wierzchołkach – Kn.
Graf regularny stopnia k (graf k-regularny) – graf, w którym każdy
wierzchołek ma taki sam stopień k.
Grafy kubiczne – grafy 3-regularne.
Grafy platońskie – grafy regularne utworzone z wierzchołków o
krawędzi pięciu wielościanów foremnych – czworościanu,
sześcianu, ośmiościanu, dwunastościanu, dwudziestościanu.
Graf dwudzielny – graf, którego zbiór wierzchołków można
podzielić na dwa rozłączne podzbiory V1 i V2 tak, by każda krawędź
tego grafu łączyła wierzchołki ze zbioru V1 i V2 .
Graf pełny dwudzielny – graf dwudzielny, w którym każdy
wierzchołek ze zbioru V1 jest połączony jedną krawędzią z każdym
z wierzchołków ze zbioru V2. Graf pełny dwudzielny o r
wierzchołkach w zbiorze V1 i s wierzchołkach w zbiorze V2 – Kr,s .
Gęstość grafu mierzy jak wiele krawędzi w grafie istnieje w
stosunku do maksymalnej ilości krawędzi w grafie o takiej ilości
wierzchołków (graf gęsty, rzadki).
- dla grafów skierowanych: D=k/(w*(w-1))
- dla grafów nieskierowanych: D=2*k/(w*(w-1))
gdzie k – liczba krawędzi, w – liczba wierzchołków
Graf cykliczny – graf spójny, regularny stopnia 2. Graf cykliczny o n
wierzchołkach – Cn.
Graf liniowy – graf spójny, powstały poprzez usunięcie z grafu
cyklicznego jednej krawędzi. Graf liniowy o n wierzchołkach – Pn.
Koło – graf spójny, powstały poprzez połączenie każdego
wierzchołka grafu Cn-1 z nowym wierzchołkiem. Koło o n
wierzchołkach – Wn.
Kostka (hiperkostka) Qk – graf dwudzielny o k wierzchołkach,
którym odpowiadają ciągi (a1,a2,...,ak) takie, że ai∈{0,1} i którego
krawędzie łączą ciągi różniące się dokładnie jednym wyrazem
(przykładowo: Q3 - sześcian).
Graf planarny - graf, który może byc przedstawiony na
płaszczyźnie bez przecinania się krawędzi.
Drabinka Ln - graf planarny o 2n wierzchołkach i n+2(n-1)
krawędziach.
Dopełnienie G grafu prostego G – graf prosty, którego zbiorem
wierzchołków jest V(G), zaś wierzchołkami sąsiadującymi są te,
które nie są sąsiednie w grafie G.
Trasa w grafie – skończony ciąg krawędzi v0v1, v1v2, …, vm-1vm
(v0→v1→...→vm), w którym każde kolejne dwie krawędzie są
sąsiednie lub identyczne.
Długość trasy – liczba krawędzi w trasie.
Odgległość d(v,w) wierzchołka v do wierzchołka w – długość
najkrótszej drogi z v do w.
Ścieżka – trasa, w której krawędzie są różne.
Droga – ścieżka, w której wierzchołki (poza przypadkiem v0=vm) są
różne.
Droga/ścieżka jest zamknięta, jeśli v0=vm.
Cykl – ścieżka zamknięta, która zawiera przynajmniej jedną
krawędź.
Cykl Eulera – zamknięta ścieżka zawierająca każdą krawędź.
Cykl Hamiltona – zamknięta ścieżka przechodząca dokładnie
jeden raz przez każdy wierzchołek.
Obwód grafu – długość najkrótszego cyklu w grafie.
Ekscentryczność wierzchołka grafu spójnego - maksymalna z
odległości tego wierzchołka do innych wierzchołków grafu.
Promień grafu – najmniejsza ekscentryczność wierzchołka spośród
wierzchołków grafu.
Średnica grafu - odległość na jaką są oddalone dwa najodleglejsze
wierzchołki grafu.