Elementarne pojęcia teorii grafów

Elementarne pojęcia teorii grafów
Definicja: Grafem skierowanym (digrafem - directed graph) nazywamy trójkę G = (V, D, ι) , gdzie V
i D są zbiorami skończonymi, oraz ι : D −→ V × V . Elementy V nazywamy wierzchołkami, a elementy
zbioru D nazywamy łukami (lub krawędziami skierowanymi) oraz ι jest nazywana funkcją incydencji
krawędzi i wierzchołków. Jeżeli ι(α) = (u, v) dla α ∈ D, to mówimy, że wierzchołek u jest początkiem a
wierzchołek v końcem łuku α. Łuk, którego początek i koniec są równe nazywamy pętlą. Jeżeli funkcja
incydencji nie jest różnowartościowa, to mówimy, że digraf zawiera krawędzie wielokrotne. Jeżeli funkcja
incydencji jest różnowartościowa, to zbiór D można traktować jako podzbiór zbioru V × V. Digrafy bez
krawędzi wielokrotnych są obrazami relacji dwuargumentowych w zbiorach skończonych. Digraf bez pętli
i krawędzi wielokrotnych nazywamy prostym
Definicja: Grafem nieskierowanym nazywamy trójkę (V, E, ι), gdzie V i E są zbiorami skończonymi
oraz oraz ι : E −→ M2 (V ). (M2 (V )-rodzina multizbiorów 2-elementowych). Elementy V nazywamy
wierzchołkami, a elementy zbioru E nazywamy krawędziami (nieskierowanymi) oraz ι jest nazywana
funkcją incydencji krawędzi i wierzchołków. Jeżeli ι(α) = {u, v} dla α ∈ E, to wierzchołki u, v nazywamy
końcami krawędzi α. Krawędź α ∈ E taką, że ι(α) = {u, u} nazywamy pętlą. Graf nieskierowany bez pętli
i bez krawędzi wielokrotnych nazywamy grafem prostym.
Macierz grafu:
V = {v1 , . . . , vn } - zbiór wierzchołków i D = {α1 , . . . , αm - zbiór łuków grafu.
Macierz incydencji wierzchołków i łuków (krawędzi):

gdy vi nie jest początkiem ani końcem krawędzi αj
 0
1
gdy vi jest końcem krawędzi αj
M (V, D, ι) = [mij ] gdzie mij =

−1
gdy vi jest początkiem krawędzi αj
Macierz sąsiedztwa wierzchołków:
1
gdy wierzchołek vi jest początkiem a vj jest końcem krawędzi
A(V, D, ι) = [aij ] gdzie aij =
0
w pozostałych przypadkach
Macierz grafu A jest macierzą zero-jedynkowa lub macierz o wartościach z 2-elementowej algebry Boole’a.
Podobnie definiujemy macierze grafów nieskierowanych.
W dalszym ciągu będziemy rozważać grafy nieskierowane.
Definicja: Trasą (lub marszrutą) w grafie nieskierowanym nazywamy ciąg krawędzi α1 , α2 , . . . , αn taki,
że koniec krawędzi αi jest początkiem krawędzi αi+1 dla każdego i = 1, . . . n − 1. Początek krawędzi α1
nazywamy początkiem trasy, a koniec krawędzi αn końcem trasy. Długością trasy nazywamy liczbę jej
krawędzi.
Trasę, w której żadna krawędź się nie powtarza się nazywamy drogą. Drogę, której początek i koniec
są równe nazywamy cyklem (lub drogą zamkniętą). Każda droga wyznacza pewien uporządkowany ciąg
wierzchołków (początki i końce krawędzi liczone 1 raz).
Jeżeli wszystkie wierzchołki w tym ciągu (z wyjątkiem ewentualnie pierwszego i ostatniego) są różne, to
mówimy, że droga (lub cykl) jest elementarny.
Graf nie zawierający żadnego cyklu nazywamy acyklicznym W grafie prostym trasa jest jednoznacznie
wyznaczona przez ciąg wierzchołków.
Definicja: Cykl w którym każda krawędź grafu występuje dokładnie jeden raz nosi nazwę cyklu Eulera.
Cykl elementarny zawierający wszystkie wierzchołki grafu nazywamy cyklem Hamiltona.
Definicja: Stopniem wierzchołka v grafu (V, G) nazywamy liczbę d(v) krawędzi incydentnych z tym
wierzchołkiem. Licząc stopień wierzchołka przyjmujemy zwykle, że każda pętla jest liczona 2 razy. Oznaczenie: d(v).W grafie bez pętli mamy d(v) = |{α ∈ E : v ∈ ι(α)}|. Wierzchołek stopnia zero nazywamy
izolowanym
Obliczanie stopnia wierzchołka: A · [1, 1, . . . , 1]T .
Mówimy, że wierzchołki u, v są połączone w grafie (V, E) jeśli istnieje droga z wierzchołka u do v. Relacja
połączenia jest równoważnościowa i klasy abstrakcji tej relacji nazywamy składowymi spójnymi grafu.
Jeżeli graf posiada tylko jedną składową spójną, to mówimy, że graf jest spójny.
Przykłady 1. Graf pusty (V, ∅).
2. Graf pełny: Kn = (V, P2 (V )), gdzie n = |V |.
3. Grafy platońskie: graf utworzony przez wierzchołki i krawędzie wielościanów foremnych.
4. Graf dwudzielny: (V, E) V = V1 ∪ V2 i V1 ∩ V2 = ∅ E ⊆ V1 × V2
5. Graf dwudzielny pełny: V = V1 ∪ V2 i V1 ∪ V2 = ∅ E = V1 × V2 . Oznaczenie Krs , gdzie r := |V1 | , s :=
|V2 |.
6. Gwiazda: K1n
7. Graf regularny: Wszystkie wierzchołki mają ten sam stopień. Np.: Kn , Krr grafy platońskie.
8. Graf cykliczny: graf, w którym każdy wierzchołek ma stopień 2.
9. Drzewo: Graf spójny nie zawierający żadnego cyklu. Graf spójny (V, E) jest drzewem wtedy i tylko
wtedy, gdy |V | − 1 = |E|.
Definicja: Mówimy, że grafy (V1 , E1 ) i (V2 , E2 ) są izomorficzne jeśli istnieją bijekcje f : V1 −→ V2 i
ϕ : E1 −→ E2 takie, że ι(α) = {a, b} ⇐⇒ ι(ϕ(α)) = {f (a), f (b)} dla wszystkich α ∈ E1 .
Lemat: (o uściskach dłoni)
P
Jeśli (V, E) jest grafem nieskierowanym, to v∈V d(v) = 2|E|.
Wniosek:
1. Suma stopni wszystkich wierzchołków jest liczbą parzystą.
2. Liczba wierzchołków stopnia nieparzystego jest liczbą parzystą.