Funkcja generująca kumulanty

Funkcja generująca kumulanty
Matematyczne podstawy teorii
ryzyka i ich zastosowanie
R. Łochowski
Funkcja generująca kumulanty (FGK)
• Funkcją generującą kumulanty zmiennej X
nazywamy funkcję zdefiniowaną wzorem
(
)
(
)
C X (t ) = ln FX (t ) = ln E exp (tX ) .
• Funkcja generująca kumlanty ma następującą
własność: jeżeli X i Y – niezależne zmienne
losowe, to
(
)
(
)
C X +Y (t ) = ln FX +Y (t ) = ln FX (t ) ⋅ FY (t )
= C X (t ) + CY (t ).
Kumulanty – co to takiego?
• Kumulanty zmiennej losowej, ci,X , to
współczynniki pojawiające się w rozwinięciu
FGK w szereg potęgowy:
C X (t ) = c0,X + c1,X t +
c2,X
2!
2
t +
c3,X
3!
t 3 + ...
• Mamy c0,X = 0 oraz następujący wzór dla
(n )
n=1,2,… : cn ,X = C X (0).
• Ze względu na własność FGK, dla n=1,2, … oraz
niezależnych zmiennych X i Y zachodzi :
cn ,X +Y = cn ,X + cn ,Y .
Przykład – FGK i kumulanty rozkładu
normalnego
• Korzystając z obliczonej wcześniej FGM
2
rozkładu normalnego, dla X ∼ N (µ, σ )
otrzymujemy
 µt + σ2t 2 
2
σ
0 3
0 4

2
2 
C X (t ) = ln e
 = µt + t + t + t + ...

2!
3!
4!

2
• Wniosek: c1,X = µ, c2,X = σ zaś wszystkie
kumulanty zmiennej o rozkładzie normalnym
rzędu wyższego niż 2 są równe zero.
• Zadanie: wyznaczyć kumulanty rozkładu Poi(λ).
Kumulanty a momenty
• Przyjmijmy oznaczenia:
n
mn ,X = EX , µn ,X = E (X − EX ) .
n
• Obliczamy
d

d

c1,X =  C X (t ) =  ln FX (t ) 
 dt

 dt


 t =0 
 t =0


1 d
1


FX (t ) =
m1,X = m1,X = µX = EX .
=
FX (0)
 FX (t ) dt


 t =0
(
)
• Wniosek: 1. kumulanta to po prostu wartość
oczekiwana.
Kumulanty a momenty, c. d.
• Obliczamy dalej
 

 d2

 d  1
(1) 


c2,X =  2 C X (t ) =  
FX (t )
 F (t )

dt
dt



 t =0   X
 t =0


2
1
1
(1)
(2) 

= − 2
FX (t ) +
FX (t ) =
FX (t )
 FX (t )


 t =0
= −m1,X 2 + m2,X = µ2,X = σX 2 = D2 (X ).
(
)
• Wniosek: 2. kumulanta to 2. moment
centralny, czyli wariancja.
Kumulanty wyższych rzędów,
skośność i kurtoza
• Podobne rachunki dla kumulant rzędu 3. i 4.
dają:
c3,X = µ3,X ,
c4,X = µ4,X − 3µ2,X 2 = µ4,X − 3σX 4 .
• Skośność zmiennej losowej, γX , i kurtozę, γ2,X ,
definiujemy za pomocą formuł:
γX =
c3,X
σX
3
=
µ3,X
3/2
(µ )
2,X
, γ2,X =
c4,X
σX
4
=
µ4,X
2
(µ )
2,X
− 3.
Skośność i kurtoza rozkładu gamma
• Dla X ∼ Γ (β, λ ) mamy
(
)
C X (t ) = β ln λ − ln (λ − t ) ,
• skąd łatwo obliczamy
CX
(1)
β (n − 1) !
β
(n )
, n = 2, 3,...
(t ) = λ − t ,C X (t ) =
n
(λ − t )
• Skośność
γX =
c3,X
3/2
(c2,X )
=
2β / λ
(
β / λ2
3
3/2
)
=
2
,
β
• zadanie: obliczyć kurtozę rozkładu gamma.
Skośność i kurtoza sumy niezależnych
zmiennych losowych
• Jeżeli X1, X 2 , …, X n są niezależnymi zmiennymi
losowymi, to skośność i kurtozę sumy
S = X1 + X 2 + … + X n można obliczyć
korzystając z własności kumulant:
γS =
c3,S
3/2
(c )
=
2,S
γ2,S =
c4,S
2
(c )
2,S
=
c3,X + c3,X + … + c3,X
1
(c
2
3/2
2,X1
+ c2,X + … + c2,X
2
1
2,X1
)
n
c4,X + c4,X + … + c4,X
(c
n
2
n
2
+ c2,X + … + c2,X
2
n
)
.
;
Skośność i kurtoza - interpretacja
• Skośność i kurtoza nie zmieniają się przy
afinicznym przekształceniu zmiennej Y=aX+b:
γY = sgn (a ) γX ,
γ2,Y = γ2,X .
• Skośność mierzy „niesymetryczność” rozkładu
względem wartości oczekiwanej - gdy rozkład
jest symetryczny wówczas wynosi 0.
• Kurtoza mierzy odchylenie ogonów od
ogonów zmiennej o rozkładzie normalnym, dla
zmiennych o grubszych ogonach jest dodatnia.
Skośność i kurtoza a testowanie
normalności
• Skośność i kurtoza są wykorzystywane w
testowaniu normalności za pomocą tzw. testu
Jarque-Berry. Statystyka testowa ma postać:
2
 2

JB = S + (K − 3) / 4 n / 6,


gdzie
S=
∑
n
i =1
(x
3
i
−x
 n
∑ x − x
 i =1 i
(
)
2
)
/n
3/2

/ n 

4
x − x) / n
(
;K =
,


∑ (x − x ) / n 


∑
i ma w przybliżeniu rozkład χ2 .
n
i
i =1
2
n
i =1
i
2