4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO 4.1. Rozkład

Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
51
4. ZNACZENIE ROZKŁADU WYKŁADNICZEGO
4.1. Rozkład wykładniczy
Zmienna
losowa
X
ma
rozkład
wykładniczy,
jeżeli
funkcja
gęstości
prawdopodobieństwa
f ( x ) = λe − λx
x ≥ 0,
λ > 0.
(4.1)
Ruch telefoniczny jest procesem, w którym odstępy między zgłoszeniami do centrali
telefonicznej mają rozkład wykładniczy, natomiast potoki ruchu transportowego nie są
dobrym przykładem na wykładniczość, ponieważ mają „pamięć”, to znaczy mają ukryte
bezpieczne odstępy między pojazdami.
PRZYKŁAD 4.1 (Plucińscy,1990)
Niech
T
oznacza
czas
trwania
rozmowy
telefonicznej.
Zakładamy,
że
prawdopodobieństwo tego, że rozmowa, która trwała w momencie t zakończy się w ciągu
czasu ∆t jest równe λ∆t + o( ∆t ) , niezależnie od tego, ile trwała rozmowa, gdzie λ > 0 , a
o ( ∆t ) jest wyrażeniem o własności
lim
o ( ∆t )
=0 ,
∆t
gdy ∆t → 0 .
Wobec tego prawdopodobieństwo niezakończenia rozmowy w czasie ∆t jest równe
1 − λ∆t − o ( ∆t ) .
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
52
Wykażemy, że przy wprowadzonych założeniach zmienna losowa T ma rozkład wykładniczy.
Niech P ( t ) oznacza prawdopodobieństwo tego, że rozmowa nie zakończy się do chwili t,
wobec tego mamy (na podstawie wzoru na iloczyn zdarzeń niezależnych):
P ( t + ∆t ) = P ( t )(1 − λ∆t − o (∆t )) .
Po przekształceniu do ilorazu różnicowego mamy:
P ( t + ∆t ) − P ( t )
o ( ∆t )
.
= − λP ( t ) −
∆t
∆t
Ponieważ w ostatniej równości istnieje granica, gdy ∆t → 0 :
P ' ( t ) = − λP ( t ) .
Rozwiązanie ogólnym jest: P ( t ) = − λe − λt . Wobec tego prawdopodobieństwo F(t) tego, że
rozmowa trwa krócej niż t jest
F ( t ) = 1 − P ( t ) = 1 − ce − λt ,
F(t)=0 ,
t ≥ 0,
t<0.
Ponieważ F jest dystrybuantą zmiennej losowej, to
F ( 0) = 1 − c = 0 ,
stąd c = 1. Ostatecznie dystrybuanta
F ( t ) = 1 − e − λt ,
A gęstość:
t ≥ 0.
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
53
f ( t ) = F ' ( t ) = λe − λt ,
t ≥ 0,
f (t ) = 0 ,
t < 0.
PRZYKŁAD 4.2 (Plucińscy, 1990)
W praktyce, na podstawie obserwacji statystycznych, okazuje się, że dobrą charakterystyką
niezawodności N jest
N ( t ) = e − λt ,
t>0.
(*)
Widać, że
N (t ) = 1 − F (t ) ,
gdzie F(t) jest dystrybuantą rozkładu wykładniczego. Czasem (*) określa się, jako
wykładnicze prawo niezawodności.
E(X ) = m =
1
λ
,
V (X ) = σ 2 =
1
λ2
.
PRZYKŁAD 4.3
Rozkład wykładniczy w literaturze nazywany jest czasem rozkładem „bez pamięci”,
wyrażającym najbardziej losowy proces. Można na chwilę założyć, że na przykład tramwaje
przyjeżdżają na przystanek tramwajowy w odstępach czasu o rozkładzie wykładniczym
średnio co 10 minut, natomiast my przychodzimy w losowej chwili na przystanek. Gdy
określimy oczekiwany czas czekania na najbliższy tramwaj, co jest możliwe, gdy znana jest
wariancja odstępów, to na ogół wszyscy spodziewamy się, oczekiwania średnio 5 minut na
tramwaj. Okazuje się, że w takich okolicznościach będziemy średnio czekać 10 minut.
Ponieważ wykładniczy rozkład odstępów gwarantuje nam zawsze 10 minut czekania, bez
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
54
względu na to, jak długo nie pojawił się tramwaj w chwili naszego przyjścia na przystanek.
Natomiast połowę średniego odstępu, tak jak na ogół wszyscy spodziewamy się, czekamy
tylko wtedy, gdy tramwaje kursują w stałych odstępach! Na nasze szczęście tramwaje kursują
w odstępach bardziej zbliżonych do ruchu równoodstępowego, niż w odstępach
wykładniczych. Powyższy przykład uświadamia nam istotę „dużej losowości” wyrażonej
rozkładem wykładniczym. Można powiedzieć, że „duża losowość” odstępów w ruchu
tramwajowym prowadzi do dużych czasów czekania na tramwaj.
Rys. 4.1 przedstawia wykres funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa,
natomiast Rys. 4.2 przedstawia wykres
dystrybuanty. Można zauważyć, że wykresy
dystrybuant wielu różnych zmiennych losowych są do siebie bardzo podobne, dlatego też
chętniej operujemy wykresami funkcji gęstości, które wyrażają charakterystyczne kształty
różnych rozkładów.
f ( x)
x
Rys. 4.1. Wykres funkcji gęstości wykładniczego rozkładu prawdopodobieństwa
F (x )
x
Rys. 4.2. Wykres dystrybuanty wykładniczego rozkładu prawdopodobieństwa
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
55
4.2. Przesunięty rozkład wykładniczy
Zmienna
losowa
X
ma
przesunięty
rozkład
wykładniczy,
jeżeli
gęstość
prawdopodobieństwa
f ( x ) = λe − λ ( x − ∆ ) ,
E( X ) = m =
1
λ
+∆,
x ≥ ∆ , λ > 0 , ∆ > 0 . (4.2)
V(X) = σ2 =
1
λ2
.
(4.3)
Rys. 4.3 przedstawia wykres gęstości przesuniętego rozkładu wykładniczego.
Przesunięcie ∆ odniesione do wartości średniej można traktować, jako wskaźnik
„równoodstępowości”, to znaczy, „małej losowości” potoku ruchu. Z uwagi na konieczność
utrzymywania bezpiecznych odstępów w potokach transportowych, przesunięty rozkład
wykładniczy jest dobrym modelem odstępu potoków ruchu.
f ( x)
∆
Rys. 4..3. Wykres gęstości przesuniętego rozkładu wykładniczego
x
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
56
Gdy obserwujemy odstępy pojedynczego potoku ruchu, to intensywność zgłoszenia
pojazdu λ ( t ) , wyrażająca prawdopodobieństwo zgłoszenia w chwili t, jest nieciągłą funkcją
czasu, tak jak to przedstawiono na Rys. 4.4:
λ(t )
t
Rys. 4.4. Intensywność przybyć pojazdów transportowego potoku ruchu
Natomiast odpowiednia intensywność zgłoszeń do centrali telefonicznej λ ( t ) jest ciągłą
funkcją t, tak jak na Rys. 4.5:
λ(t )
t
Rys. 4.5. Intensywność zgłoszeń telefonicznego potoku ruchu
W potokach ruchu transportowego odstępy czasu między pojazdami, z uwagi na
tendencję do zachowania bezpiecznego odstępu, mają przerywaną intensywność
przybyć, którą można opisać przesuniętym rozkładem wykładniczym odstępu.
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
57
PRZYKŁAD 4.3
W inżynierii ruchu kolejowego często pojawia się pytanie o przepustowość danego
fragmentu sieci kolejowej. Na przykład projektant sieci kolejowej, przy narzuconych
warunkach eksploatacyjnych może stawiać takie pytanie. Również projektant organizacji
ruchu kolejowego, gdy formułuje założenia do nowego rozkładu jazdy pociągów, stawia
czasem pytania o przepustowość poszczególnych fragmentów sieci kolejowej. Inną sytuacją
praktyczną, w której pojawiają się pytania o przepustowość sieci kolejowej jest planowanie
zamknięć torowych na czas remontów lub na czas usunięcia awarii. Okazuje się, że
przepustowość danego fragmentu sieci kolejowej zależy nie tylko od technicznych warunków
ruchu kolejowego, ale również od „losowości” odstępów między pociągami. Dlatego badane
są takie odstępy.
Na torze szlakowym, po którym odbywa się ruch pociągowy, badanie odstępów
między pociągami odbywa się w miejscu pierwszej tarczy wskaźnika W11a, ponieważ jest to
miejsce przybyć pociągów do węzła, a więc umowne miejsce początku drogi przez węzeł.
Rys. 4.6 przedstawia rozmieszczenie na torze szlakowym: pierwszej tarczy W11a, tarczy
ostrzegawczej oraz semafora z typowymi odległościami w metrach.
semafor
tarcza
ostrzegawcza
W11a
150
1150m
Rys. 4.6. Odległości między urządzeniami sterowania ruchem na torze szlakowym
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
58
Czy badanie odstępów w potokach pociągowych w miejscu przesuniętym nieco daje
inny obraz statystyczny? - wbrew przewidywaniom, okazuje się, że - nie. Można przesunąć
miejsca obserwacji do innych miejsc między pierwszą tarczą wskaźnika W11a a semaforem i
otrzymamy identyczny wynik badań statystycznych. Z punktu widzenia inżynierii ruchu są to
bardzo małe zmiany, nieistotne dla naszego celu obserwacyjnego. Gdybyśmy zmienili odstęp
szlakowy, to wtedy dopiero pojawiają się inne wyniki badań. Te wnioski czasem zaskakują,
jednak gdy zastanowimy się nad specyfiką ruchu kolejowego, to znajdujemy wyjaśnienie
naszych obaw statystycznych.
Czy odstępy na planistycznym wykresie ruchu pociągów są inne statystycznie?
Wbrew przewidywaniom, tu również okazuje się, że - nie! Jest to wniosek z wieloletnich
badań statystycznych, jakie prowadzone były w przeszłości. Dzięki takim wnioskom z badań
statystycznych możliwe są uproszczenia badań, a więc potanienie badań statystycznych.
Tab. 4.1. Tablica obliczeń wyników obserwacji odstępów czasu między pociągami w miejscu
pierwszej tarczy W11a na jednokierunkowym torze szlakowym
Odstęp w min.
Częstość
Obliczenia statystyczne
xi
ci
x i ci
x i2 ci
7.5 - 8.5
100
800
6400
8.5 - 9.5
75
675
6075
9.5 - 10.5
52
520
5200
10.5 - 11.5
40
440
4840
11.5 - 12.5
34
408
4896
12.5 - 13.5
25
325
4225
13.5 - 14.5
20
180
3920
14.5 - 15.5
10
150
2250
15.5 - 16.5
5
80
1280
16.5 - 17.5
4
68
1156
17.5 - 18.5
2
36
648
------
---------
---------
367
3782
40890
x=
3782
= 10.3
367
C+
1
λ
= 10.3
∆ = 7.5
1
λ
= 10.3 − 7.5 = 2.8
1
∑ xi2 = 111.42
n
s '2 =
1
∑ xi2 − x 2
n
= 111.42 − 106.09 = 5.33
s2 =
n '2
s = 5.34
n−1
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
59
ci
100
10
20
xi
Rys. 4.7. Histogram szeregu rozdzielczego z tablicy obliczeń 4.1
Czy to jest przesunięty rozkład wykładniczy - być może jest - ale to jest dopiero
hipoteza statystyczna, którą należy udowodnić, to znaczy - przetestować, sprawdzić. Aby
sprawdzenie hipotezy było obiektywne należy zebrać nowe dane. Nie wolno pod żadnym
pozorem testować prawdziwości hipotezy na tym samym materiale statystycznym, na którym
wysunięto hipotezę. To jest niestety bardzo rozpowszechnione oszustwo statystyczne. W
badaniach statystycznych chodzi nam o prawdę obiektywną, a nie tylko prawdziwą dla jednej
próbki statystycznej.
Przerywana intensywność przybyć w ruchu pociągów jest charakterystyczną cechą
wszystkich potoków transportowych.
Ruch kolejowy ze względu na proces regulacji, podczas konstrukcji wykresu ruchu
pociągów, daje często czysty obraz przesuniętego rozkładu wykładniczego.
Gdy porównujemy charakterystyki ruchu kolejowego z innymi badaniami dotyczącymi
ruchu samochodowego, to widoczna jest duża równomierność ruchu kolejowego, wyrażona
dużą wartością minimalnego odstępu między pociągami.
Badania statystyczne potoków ruchu pociągowego na jednokierunkowych torach
szlakowych dają ten sam obraz statystyczny w różnych miejscach, między kolejnymi
posterunkami ruchu.
Badania statystyczne ruchu pociągowego planowanego i rzeczywistego dają również ten
sam obraz statystyczny.
Znaczenie rozkładu wykładniczego 4
60
Problemy rozdziału 4
1. Rozkład wykładniczy.
2. Przesunięty rozkład wykładniczy.
3. Jaki proces jest dobrze wyrażony przez przesunięty rozkład wykładniczy?
4. Jaki proces jest dobrze wyrażony przez rozkład wykładniczy?
5. Dlaczego niezawodność techniczna jest również dobrze modelowana przez rozkład
wykładniczy?
6. Dlaczego niezawodność techniczna jest źle modelowana przez przesunięty rozkład
wykładniczy?
7. Wyjaśnić intensywność zgłoszeń telefonicznego potoku ruchu.
8. Wyjaśnić intensywność zgłoszeń transportowego potoku ruchu.
9. Bezpieczny odstęp w transportowych potokach ruchu.
10. Jak odstęp bezpieczny zapewniany jest w ruchu kolejowym?
11. Czy badając strumień zgłoszeń pociągów do węzła można przesuwać miejsce obserwacji?
12. Czy odstępy w ruchu planowanym przez rozkład jazdy pociągów różnią się statystycznie
od odstępów w ruchu rzeczywistym?
13. Dlaczego przepustowość skrzyżowania ulic zależy od rodzaju rozkładu odstępów
wejściowych potoków ruchu?
14. Dlaczego przepustowość węzła kolejowego zależy od rodzaju rozkładu odstępów
wejściowych potoków ruchu?