rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale 〈a, b〉

Podstawowe rozkłady ciągłe
— rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale ha, bi
— rozkład normalny (Gaussa) o parametrach m, σ
— rozkład wykładniczy
Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu jednostajnego jest określona wzorem:

dla
x < a,
 0
1
dla a 6 x 6 b,
f (x) = b−a

0
dla
x > b.
y
1
b−a
0
a
b
x
Rysunek 1. Wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego
Rozkład jednostajny na przedziale ha, bi
— Dystrybuanta rozkładu jednostajnego ma postać:

 0
F (x) = x−a
 b−a
1
dla
x 6 a,
dla a < x 6 b,
dla
x > b.
Rozkład normalny N (m, σ)
— Rozkład normalny z parametrami m, σ oznaczany jest symbolem N (m, σ).
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu normalnego jest określona wzorem:
f (x) =
(x−m)2
1
√ e− 2σ2 , gdzie m ∈ R, σ > 0.
σ 2π
y=√
y
0
m−σ
m
(x−m)2
1
e− 2σ2
2πσ
m+σ
x
Rysunek 2. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego N (m, σ)
Rozkład normalny N (0, 1)
— Jeżeli m = 0 i σ = 1, to funkcja gęstości prawdopodobieństwa ma postać
x2
f (x) = √12π e− 2 i oznaczamy ją przez ϕ(x).
1
y
x2
1
ϕ(x) = √ e− 2
2π
√1
2π
0
−1
x
σ=1
Rysunek 3. Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego N (0, 1)
Rozkład normalny N (0, 1)
— Dystrybuanta rozkładu normalnego N (0, 1) ma postać:
1
Φ(x) = √
2π
Zx
t2
e− 2 dt.
−∞
1
φ(x) = √
2π
y
1
Zx
t2
e− 2 dt
−∞
1
2
0
x
Rysunek 4. Wykres dystrybuanty rozkładu normalnego N (0, 1)
Rozkład normalny
— Funkcje ϕ i Φ są stablicowane.
— Fakt, że zmienna losowa ma rozkład normalny z parametrami m, σ zapisujemy skrótowo X ∼ N (m, σ).
Standaryzacja zmiennej losowej
— Jeżeli zmienna losowa X ma rozkład N (m, σ), to zmienna losowa Y = X−m
ma rozkład N (0, 1).
σ
x−m
X−m
x−m
x−m
— Wtedy F (x) = P (X < x) = P
< σ
=P Y < σ
=Φ σ ,
σ
gdzie Φ jest dystrybuantą zmiennej losowej Y .
— Taki proces nazywamy standaryzacją zmiennej losowej.
Rozkład normalny N (0, 1)
— Z symetrii wykresu gęstości ϕ względem osi OY wynika, że
Φ(−x) = 1 − Φ(x).
— Często w tablicach, zamiast wartości funkcji Φ(x), podane są wartości funkcji
1
Φ0 (x) = √
2π
Zx
t2
e− 2 dt.
0
— Z własności dystrybuanty Φ(x) mamy wtedy: Φ(x) =
1
+ Φ0 (x).
2
Rozkład wykładniczy
2
— Gęstość prawdopodobieństwa rozkładu wykładniczego jest określona wzorem:

dla x < 0,
 0
f (x) =
 1 − λx
dla x > 0,
gdzie λ > 0.
λe
y
1
λ
f (x) =
(
0,
1
1 −λ
x
λe
dla x < 0,
dla x > 0
0
x
Rysunek 5. Wykres funkcji gęstości rozkładu wykładniczego
Rozkład wykładniczy
— Dystrybuanta rozkładu wykładniczego ma postać:

0

F (x) =
x

1 − e− λ
dla x 6 0,
dla x > 0.
Inne rozkłady zmiennych losowych wykorzystywane w statystyce
— rozkład t-Studenta
— rozkład χ2 (chi kwadrat)
— rozkład F -Snedecora
3