zadania na ćwiczenia

rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)
11. Estymacja punktowa
1. W celu oszacowania wartości przeciętnej czasu bezawaryjnej pracy maszyny z partii tych
maszyn wybrano losowo 7 maszyn i mierzono czas ich pracy do pierwszej awarii. Uszkodzenia wystąpiły w chwilach: 51, 115, 150, 190, 217, 228, 351. Wiedząc, że czas bezawaryjnej pracy maszyny ma rozkład wykładniczy E(λ) znajdź ocenę wartości przeciętnej
czasu bezawaryjnej pracy oraz oszacuj parametr λ.
2. W celu wyznaczenia dokładności przyrządu pomiarowego dokonano 8 niezależnych pomiarów pewnej stałej wielkości uzyskując rezultaty: 171, 175, 182, 178, 173, 180, 179,
174. Wyznacz ocenę wariancji błędów tego przyrządu, jeśli
(a) wartość mierzonej wielkości jest znana i równa 176,
(b) wartość mierzonej wielkości nie jest znana.
3. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że statystyka
n
T =
1 X 2
X
2n i=1 i
jest nieobciążonym estymatorem wariancji rozkładu wykładniczego E(λ).
4. Niech θ̂n : Rn → [0, 1],
n−
θ̂n (x1 , . . . , xn ) =
n
P
1{m} (xi )
i=1
n
będzie estymatorem parametru θ = 1 − p rozkładu dwumianowego B(m, p).
m
(a) Sprawdź, czy θ̂n jest zgodnym estymatorem parametru θ.
(b) Pokaż, że ryzyko kwadratowe estymatora θ̂n w punkcie θ jest równe
1
n
pm (1 − pm ).
5. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U (a, a + 1). Sprawdź, czy
estymator
n
1X
1
T =
Xi −
n i=1
2
jest nieobciążonym estymatorem parametru a i znajdź ryzyko tego estymatora w punkcie
a.
6. X1 , X2 , . . . , Xn jest próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ). Zbadaj, dla jakich a ∈ R \ N
P
n + nk=1 1{2} (Xk )
θn =
n−a
jest mocno zgodnym estymatorem parametru θ = 1 + P (X = 2). Dla jakich a estymator
ten jest nieobciążony?
7. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego E(λ). Pokaż, że estymator
T = nX(1)
parametru 1/λ jest nieobciążony, ale nie jest zgodny.
1
rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna (4inf, rpism, 2007/2008)
8. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P (λ). Czy estymator
n
P
a i=1 Xi
n−1
1−
T =
,
n
n
a 6= 0,
funkcji f (λ) = exp(−aλ) jest asymptotycznie nieobciążony?
9. Pokaż, że ciąg {θ̂n }, gdzie
1
,
θ̂n (x1 , . . . , xn ) = exp −
x̄n
θ̂n : (0, ∞)n → (0, ∞),
jest mocno zgodnym ciągiem estymatorów parametru θ = P (X > 1) zmiennej losowej o
rozkładzie wykładniczym.
10. Niech X1 , . . . , Xn będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości
f (x) = 21 (1 + θx)1(−1,1) (x),
gdzie θ ∈ (−1, 1) nie jest znane. Wyznacz zgodny estymator parametru θ.
2