vba zerowa

Rachunek macierzowy
Macierzą A nazywamy funkcję 2-zmiennych, która parze liczb naturalnych (i,j) gdzie i =
1,2,3,4 ....,m; j = 1,2,3,4,......n przyporządkowuje dokładnie jeden element aij.
 a11
a
A =  21
 ...

a m1
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
a12
a 22
...
am2
Wymiarem macierzy nazywamy uporządkowaną parę m × n
(m = n macierz kwadratowa, m <> n macierz prostokątna)
Wektor kolumnowy m wymiarowy – macierz prostokątna o wymiarze n=1
Wektor wierszowy n wymiarowy – macierz prostokątna o wymiarze m=1
Macierz diagonalna
a11
0
D=
 ...

0
0
a 22
...
0
... 0 
... 0 
... ... 

... a mn 
Macierz skalarna
a
0
S=
...

0
0
a
...
0
...
...
...
...
0
0 
...

a
Macierz jednostkowa –
Kroneckera
1
0
1n = 
...

0
Macierz górnotrójkątna i dolnotrójkątna
a11
0
A=
 ...

0
a12
a 22
...
0
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
 a11
a
A =  21
 ...

a m1
0
a 22
...
am2
... 0 
... 0 
... ... 

... a mn 
Macierz transponowana to taka, która powstała z zamiany wierszy i kolumn
[ ]
A = aij
mxn
[ ]
AT = a ji
nxm
0
1
...
0
...
...
...
...
0
0 
...

1
Iloczyn macierzy A i B istnieje tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A jest równa
liczbie wierszy macierzy B
[ ]
A = aij
[ ]
B = bij
mxp
AB = F = [ f ]
pxn
p
f ij = ∑ air brj
ij mxn
r =1
Przykład
B
A
3
2
5
5
7
5
4
3
7
6
4
6
4
7
1
8
1
7
2
4
5
5
8
9
3
2
1
8
1
9
42
51
43
74
35
69
83
97
90
145
76
136
21
19
30
35
30
34
64
82
56
118
69
109
Każdy element macierzy F jest iloczynem skalarnym pewnego wiersza macierzy A i pewnej
kolumny macierzy B
Każdej macierzy kwadratowej można przyporządkować jedna liczbę rzeczywistą, zwaną
wyznacznikiem macierzy
a11
a21
det A = A =
...
am1
a12
a22
...
am 2
... a1n
... a2 n
... ...
... amn
Stopień wyznacznika jest taki, jak macierzy, której jest przyporządkowany
Definicja wyznacznika – Twierdzenie Laplace’a
n
n
k =1
k =1
det A = ∑ aik Dik =∑ a kj Dkj (w/g dowolnego wiersza, w/g dowolnej kolumny)
gdzie Dij jest dopełnieniem algebraicznym elementu aij.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij wyznacznika nazywamy wyrażenie
Dij = (−1) i + j M ij
gdzie Mij jest wyznacznikiem podmacierzy powstałej z macierzy A po usunięciu i-tego
wiersza i j-tej kolumny
Macierz osobliwa to macierz, której wyznacznik wynosi 0
Właściwości wyznaczników:
1. Jeżeli w wyznaczniku zamienimy wszystkie wiersze na kolumny to jego wartość nie
ulega zmianie
2. Wyznacznik, którego wszystkie elementy jakiegoś wiersza lub kolumny są równe
zero, ma wartość zero
3. zamiana w wyznaczniku dwóch wierszy zmienia jego znak
4. Jeżeli w wyznaczniku dwa wiersze są jednakowe, to jego wartość jest równa zero
5. Wspólny czynnik z dowolnego wiersza mozna wyłączyć przed znak wyznacznika
6. Wyznacznik, którego dwa wiersze sa liniowo zależne, jest równy zero
7. Suma wyznaczników dwóch macierzy jest równa wyznacznikowi sumy tych macierzy
8. Wartość wyznacznika nie ulega zmianie, jeżeli do elementów wiersza i dodamy
odpowiednie elementy wiersza k (i różne od k), pomnożone przez dowolna liczbę
Twierdzenie Cauchy’ego
Wyznacznik iloczynu dwóch macierzy kwadratowych tego samego stopnia jest równy
iloczynowi wyznaczników tych macierzy:
det AB = det A det B
Macierz odwrotna i sposoby jej wyznaczania
Macierzą odwrotna do macierzy kwadratowej A, nazywamy taka macierz B, że:
AB = BA = I
AA-1 = A-1A = I
Jeżeli macierz A stopnia n jest nieosobliwa, to:
1 T
A −1 =
D
A
gdzie DT oznacza transponowana macierz dopełnień algebraicznych elementów macierzy A,
czyli:
[ ]
D T = Dij
T
nxn
, oraz:
Dij = (−1) i + j M ij
Wyznaczanie macierzy odwrotnej można realizować:
1. odwołując się do definicji macierzy odwrotnej
2. stosując metodę operacji elementarnych
Jeżeli macierz A powstaje z macierzy B przez zastosowanie operacji elementarnych, to
macierze A i B nazywamy równoważnymi
Operacją elementarną na macierzy nazywamy każde z następujących przekształceń:
1. zamiana miejscami dwóch dowolnych wierszy (kolumn)
2. dodanie do wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) elementów innego
wiersza (kolumny) pomnożonych przez dowolna liczbę
3. pomnożenie wszystkich elementów dowolnego wiersza (kolumny) przez dowolna
liczbę różna od zera
Twierdzenie:
Jeżeli macierz blokowa C = [I | D ]
powstała w wyniku stosowania operacji elementarnych na wierszach macierzy
B = [A | I ], to D = A −1
Układ równań liniowych
Układ równań liniowych w postaci:
a11 x1 + a12 x 2 + .... + a1n x n = b1
a 21 x 2 + a 22 x 2 + .... + a 2 n x n = b2
.....................................
a m1 x1 + a m 2 x 2 + .... + a mn x n = bm
można zapisać w równoważnej postaci macierzowej AX = B, gdzie:
 a11
a
A =  21
 ...

a m1
a12
a 22
...
am2
... a1n 
... a 2 n 
... ... 

... a mn 
 x1 
x 
X = 2
 ... 
 
 xm 
 b1 
b 
B= 2
 ... 
 
bm 
Układ ten nazywamy niejednorodnym gdy macierz B <> 0, oraz jednorodnym, gdy B = 0.
Szczególnym przypadkiem układu równań dla m = n jest układem Cramera..
Rząd macierzy A tego układu jest równy n
[ ]
R a ij
nxn
=n
Oznacza to, że macierz A jest nieosobliwa.
Twierdzenie
Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorem Cramera:
w
xk = k
k = 1,2, ..., n
w
gdzie: w = det A, wk = det Ak,
macierz Ak powstaje z macierzy A przez zastąpienie kolumny k wyrazami b1, b2, ..., bn.
Stosując metody numeryczne układ Cramera można rozwiązać na podstawie przekształcenia:
AX = B
X = A-1B
Układ Cramera jednorodny ma tylko jedno – zerowe rozwiązanie
WYZNACZNIK.MACIERZY
Zobacz też
Podaje wartość wyznacznika macierzy tablicy.
Składnia
WYZNACZNIK.MACIERZY(tablica)
Tablica jest tablicą liczbową o równej liczbie wierszy i kolumn.
Tablicy można nadać zakres komórek; na przykład, A1:C3; może być to tablica stałych takich
jak {1;2;3;4;5;6;7;8;9}; lub nazwa dowolnej z tych dwóch.
Jeśli którakolwiek z komórek tablicy jest pusta lub zawiera tekst, funkcja
WYZNACZNIK.MACIERZY podaje wartość błędu #ARG!.
Funkcja WYZNACZNIK.MACIERZY także podaje wartość błędu #ARG! jeśli liczba
wierszy i kolumn tablicy nie jest równa.
Uwagi
Wyznacznik macierzy jest liczbą wyznaczoną przez wartości tablicy. Wyznacznik
trzywierszowej i trzykolumnowej tablicy A1:C3, definiuje się następująco:
jest równe
Wyznaczników macierzy używa się zasadniczo do rozwiązywania układów równań wielu
zmiennych.
Funkcja WYZNACZNIK.MACIERZY oblicza się z dokładnością do około 16 cyfr, co może
powodować niewielkie błędy numeryczne, gdy ich kompensacja jest niezupełna. Na przykład,
wyznacznik macierzy osobliwej może się różnić od zera o 1E-16.
Przykłady
jest
jest
równe 88
równe 1
jest
równe -3
jest równe #ARG!, ponieważ tablica nie ma
równych liczb wierszy i kolumn.
TRANSPONUJ
Zobacz też
Zamienia pionowy zakres komórek na zakres poziomy lub odwrotnie. Funkcja
TRANSPONUJ musi być wprowadzona jako formuła tablicowa do zakresu, który ma
odpowiednie liczby wierszy i kolumn, gdyż w argumencie tablica są kolumny i wiersze.
Funkcję TRANSPONUJ należy stosować w celu zmiany pionowej i poziomej orientacji
tablicy w arkuszu. Niektóre funkcje, jak na przykład funkcja REGLINP, podają w wyniku
tablice poziome nachylenia i punktu przecięcia z osią Y dla prostej. Wynikiem poniższej
formuły będzie tablica pionowa z wartościami nachylenia i punktu przecięcia z osią Y dla
prostej znalezionej przez funkcję REGLINP:
!"#$%&'(#)*+,-./01)*+,-./02
Składnia
TRANSPONUJ(tablica)
Tablica jest tablicą lub zakresem komórek w arkuszu, które chcesz transponować. Tablicę
transponowaną tworzy się następująco: pierwszy wiersz tablicy będzie pierwszą kolumną
nowej tablicy, drugi wiersz będzie drugą kolumną itd.
Przykład
Załóżmy, że A1:C1 zawierają odpowiednio 1, 2, 3. Po wprowadzeniu poniższej formuły jako
tablicy do komórek A3:A5
!"#$%&3333 jest równe odpowiednim wartościom w A3:A5
MACIERZ.ILOCZYN
Zobacz też
Wynikiem jest iloczyn macierzowy dwu tablic. Wynik jest tablicą o takiej samej liczbie
wierszy jak tablica1 i takiej samej liczbie kolumn jak tablica2.
Składnia
MACIERZ.ILOCZYN(tablica1;tablica2)
Tablica1; tablica2 są to tablice, które należy przemnożyć.
Liczba kolumn w tablicy1 musi być taka sama jak liczba wierszy w tablicy2, obydwie tablice
mogą zawierać jedynie liczby.
Tablica1 i tablica2 mogą wystąpić jako zakresy komórek, stałe tablicowe lub adresy.
Jeśli którakolwiek z komórek jest pusta lub zawiera tekst albo liczba kolumn w tablicy1 różni
się od liczby wierszy w tablicy2, funkcja MACIERZ.ILOCZYN podaje wartość błędu
#ARG!.
Uwagi
Tablica zawierająca iloczyn macierzowy a dwóch tablic b i c jest równa:
gdzie i jest liczbą wierszy a j jest liczbą kolumn.
Formuły, których wynikiem są tablice, muszą być wprowadzane jako formuły tablicowe.
Przykłady
($ jest równe {2;6\14;4}
($ jest równe {6;0\4;0}
($ jest równe #ARG!, ze względu na to, że
pierwsza tablica ma trzy kolumny, a druga tablica ma tylko 2 wiersze.
MACIERZ.ODW
Zobacz też
Wynikiem jest macierz odwrotna do macierzy przechowywanej w tablicy.
Składnia
MACIERZ.ODW(tablica)
Tablica jest tablicą liczbową o równych liczbach wierszy i kolumn.
Tablica może być zakresem komórek, na przykład A1:C3; może być to tablica stałych:
{1;2;3\4;5;6\7;8;9} lub nazwa dowolnej z tych dwóch.
Jeśli którakolwiek z komórek tablicy jest pusta lub zawiera tekst, MACIERZ.ODW podaje
wartość błędu #ARG!.
MACIERZ.ODW także podaje wartość błędu #ARG!, jeśli tablica nie ma równych liczb
wierszy i kolumn.
Uwagi
Formuły, których wynikiem są tablice, muszą być wprowadzane jako formuły tablicowe.
Macierzy odwrotnych, podobnie jak wyznaczników używa się zasadniczo do rozwiązywania
układów równań matematycznych wielu zmiennych. Iloczyn macierzy i jej odwrotności jest
macierzą jednostkową - macierzą kwadratową, której elementy diagonalne są równe 1, a
wszystkie pozostałe są równe 0.
Przykładowo, obliczając dwuwierszową, dwukolumnową macierz zakres A1:B2 zawiera
litery a, b, c i d, reprezentujące dowolne liczby. Poniższa tablica pokazuje odwrotność
macierzy A1:B2:
Kolumna A Kolumna B
Wiersz 1
d/(a*d-b*c) b/(b*c-a*d)
Wiersz 2
c/(b*c-a*d) a/(a*d-b*c)
MACIERZ.ODW oblicza się z dokładnością do około 16 cyfr, co może prowadzić do
niewielkich błędów numerycznych, jeśli nie wystąpi ich pełna kompensacja.
Niektórych macierzy kwadratowych nie da się odwrócić, a wynikiem działania
MACIERZ.ODW będzie wartość błędu #LICZBA!. Wyznacznik macierzy nieodwracalnej
jest równy 0.
Przykłady
$45 jest równe {0;0,5\-1;2}
$45 jest równe {0,25;0,25;-0,75\0;0;0,5\0,75;-0,25;-0,25}
Wskazówka Należy użyć funkcji INDEKS do uzyskania dostępu do pojedynczych
elementów macierzy odwrotnej.
Formuły tablicowe i ich wprowadzanie
Formuła tablicowa może wykonywać wiele obliczeń, a następnie zwracać pojedynczy wynik
lub wiele wyników. Formuły tablicowe działają na dwóch lub większej liczbie zestawów
wartości znanych jako argumenty tablicowe. Każdy argument tablicowy musi mieć taką samą
liczbę wierszy i kolumn. Formuły tablicowe tworzy się w taki sam sposób, w jaki są tworzone
inne formuły, z tą tylko różnicą, że formułę wprowadza się naciskając klawisze
CTRL+SHIFT+ENTER.
Oblicz pojedynczy wynik Czasami program Microsoft Excel musi wykonać kilka obliczeń,
aby wygenerować pojedynczy wynik. Na przykład, następujący arkusz pokazuje, że firma ma
regionalne biura w Europie i w USA, a każde biuro ma trzy działy produkcji. Aby znaleźć
średni zysk uzyskany w 1992 roku przez dział produkcji w Europie, będziesz musiał użyć
formuły tablicowej.
Komórka C16 zawiera formułę tablicową =ŚREDNIA(IF(C5:C14="Europa",D5:D14)),
wyszukującą komórki w zakresie C5:C14, zawierające tekst "Europa" i następnie wyliczającą
średnią wartość w odniesieniu do komórek umieszczonych w zakresie D5:D14.
Oblicz wiele wyników Aby za pomocą formuły tablicowej obliczyć wiele wyników, należy
wprowadzić tablicę do zakresu komórek, który ma taką samą liczbę wierszy i kolumn, jak
argumenty tablicowe. W poniższym przykładzie dana jest seria trzech wartości sprzedaży (w
wierszu 5) dla serii trzech miesięcy (w wierszu 3). Funkcja REGLINW ustala wartości
tworzące linię prostą na podstawie wartości sprzedaży. Aby wyświetlić wyniki formuły, jest
ona wprowadzona do trzech komórek w wierszu 6 (C6:E6).
Kiedy wprowadzisz formułę =TREND(C5:E5,C3:E3) jako formułę tablicową, wyprodukuje
ona trzy oddzielne wyniki, biorąc pod uwagę trzy wartości sprzedaży i trzy miesiące.
Użyj stałych wartości Formułę tablicową można także zastosować do obliczenia
pojedynczego lub wielu wyników dla serii wartości, które nie zostały wprowadzone do
arkusza roboczego. Formuły tablicowe mogą akceptować stałe w taki sam sposób jak formuły
nie tablicowe, lecz tablica stałych musi być wprowadzona w pewnym formacie. Na przykład
rozpatrując te same wartości i te same daty, co w poprzednim przykładzie, można
przewidywać wartości sprzedaży dla następnych dwóch miesięcy.
Użyj formuły =TREND(C5:E5,,{4,5}), aby prognozować czwartą i piątą wartość w cyklu
miesięcznym, biorąc pod uwagę pierwsze trzy wartości.
PROGRAMOWANIE W VBA