Zestaw 4 1. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy
Transkrypt
Zestaw 4 1. Wyznaczyć wartości własne i wektory własne macierzy
Zestaw 4 1. Wyznaczyć " # wartości własne i wektory własne macierzy: 0 a (a) −a 0 5 6 −3 1 (b) −1 0 1 2 −1 0 2 1 0 3 (b) −2 −1 −3 0 2. Znaleźć zespolone wartości własne macierzy obrotu płaszczyzny o kąt α. 3. Znając wartości własne macierzy A wyznaczyć wartości własne macierzy A−1 . 4. Znając wartości własne macierzy A wyznaczyć wartości własne macierzy A2 . 5. Znaleźć wartości własne i wektory własne macierzy reprezentującej: (a) symetrię przestrzeni R3 względem prostej, (b) symetrię przestrzeni R3 względem płaszczyzny, (c) rzut przestrzeni R3 na prostą, (d) rzut przestrzeni R3 na płaszczynę. 6. Znaleźć wartości własne i odpowiadające im wektory własne przekształcenia ϕ : R3 → R3 : ϕ(x, y, z) = (x, y + z, z) 7. Wyznaczyć wartości własne macierzy: 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 8. Znaleźć wartości i wektory własne macierzy: " # 1 1 (a) 2 1 1 " # 1 2 (b) 2 1 nad ciałem Z3 . 9. Wykazać, że 0 jest wartością własną macierzy A wtedy i tylko wtedy gdy A jest macierzą osobliwą. 10. Dla danej macierzy A znaleźć jej postać Jordana J i taką macierz C, że C −1 AC = " J: # 4 9 (a) A = −4 −8 " # 6 9 (b) A = −4 −6 −1 −2 −1 2 0 (c) A = 1 1 2 −1 2 −4 0 (d) A = 1 −2 0 1 −5 1 −3 −4 0 1 0 (e) A = 1 0 0 −1 4 9 0 0 −4 −8 0 0 (f) A = 0 0 6 9 0 0 −4 −6 −1 1 0 0 0 −1 1 −1 (f) A = 0 0 −1 3 0 0 0 2 1 1 1 −1 0 1 0 1 (g) A = 0 0 1 −1 0 0 0 2 11. Dla danej macierzy " 5 x (a) f (x) = e , A = 6 " 7 (b) f (x) = ex , A = 5 A i funkcji f (x) obliczyć f (A): # −2 −2 # −5 −3 2 3 1 −1 x (c) f (x) = e , A = 0 4 −1 0 1 2 −10 6 −6 4 (d) f (x) = ln x, A = 4 −3 −11 6 7 1 1 9 2 2 (e) f (x) = ex , A = −6 −1 0 12 2 #2 " −1 1 (f) f (x) = sin x, A = −1 1 " # −1 1 (g) f (x) = cos x, A = −1 1 −2 −1 2 −2 −3 −4 3 −5 7 4 −2 8 3