Układy równań liniowych.

6. Układy równań liniowych
6.1 Podstawowe określenia
Definicja 6.1.1 (układ równań liniowych, rozwiązanie układu równań)
Układem m równań liniowych z n niewiadomymi x1, x2, …, xn, gdzie m, n ∈ N, nazywamy
układ równań postaci:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2
(6.1.1)

M
M
O
M
M

a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
gdzie aij ∈ R to tzw. współczynniki układu, bi ∈ R to wyrazy wolne (albo stałe układu), dla 1
≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.
Uwaga: współczynniki układu równań mogą naleŜeć teŜ do innego ciała np. do ciała liczb
zespolonych
Rozwiązaniem układu równań liniowych nazywamy kaŜdy ciąg (c1, c2, …, cn) n liczb
rzeczywistych spełniających ten układ (tzn po podstawieniu (c1, c2, …, cn) za (x1, x2, …, xn)
w lewej stronie układu równań (6.1.1) otrzymujemy takie same wartości co po prawej
stronie). Często zamiast mówić, Ŝe n-ka liczb (c1, c2, …, cn) jest rozwiązaniem układu
równań piszemy x1= c1, x2= c2, ..., xn= cn.
Układ równań, który nie ma rozwiązań nazywamy układem sprzecznym. MoŜliwe są jeszcze
dwie inne ogólne sytuacje: układ ma dokładnie jedno rozwiązanie oraz istnieje nieskończona
liczba rozwiązań danego układu rownań. Jeśli istnieje co najmniej jedno rozwiązanie to układ
nazywamy niesprzecznym.
Uwaga. PowyŜszy układ równań liniowych moŜna zapisać za pomocą sumy:
n
∑a
j =1
ij
x j = bi
(i = 1, 2, ..., n )
(6.1.2)
lub w postaci macierzowej:
AX = B,
gdzie
 a11
def  a
A =  12
 M

 a m1
a12
a 22
M
a m2
L a1n 
L a 2 n  ,
O M 

L a mn 
 x1 
def  x 
X = 2,
M
 
xn 
 b1 
def  b 
B = 2 .
M
 
bm 
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań liniowych, macierz X macierzą
(kolumną bądź wektorem kolumnowym) niewiadomych, a B macierzą (kolumną lub wektorem
kolumnowym) wyrazów wolnych. RozwaŜa się takŜe układy równań liniowych, w których
macierze A, X oraz B są zespolone. W przypadku „małej liczby” niewiadomych będziemy je
oznaczać literami x, y, z, t, u, v, w.
Definicja 8.1.2 (układ jednorodny i niejednorodny)
Układ równań liniowych postaci
AX = 0,
gdzie A jest macierzą wymiaru m × n, natomiast 0 jest macierzą zerową wymiaru m × 1,
nazywamy układem jednorodnym.
Układ równań liniowych postaci
AX = B,
w którym B jest macierzą niezerową nazywamy układem niejednorodnym.
Uwaga. Jednym z rozwiązań kaŜdego układu jednorodnego AX = 0 jest macierz zerowa
 0
 0
X = 
M
 
 0
wymiaru n × 1, gdzie n oznacza liczbę kolumn macierzy A.
6.2 Układy Cramera
Definicja 6.2.1 (układ Cramera)
Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych AX = B, w którym A jest macierzą
nieosobliwą.
Twierdzenie 6.2.2 (wzór Cramera)
Układ Cramera AX = B ma dokładnie jedno rozwiąznie. Rozwiązanie to jest określone
wzorem
 det A1 


1 det A2 
X=
,
det A  M 


det An 
gdzie n oznacza stopień macierzy A, natomiast Aj, dla 1 ≤ j ≤ n, oznacza macierz A, w której
j–tą kolumnę zastąpiono kolumną wyrazów wolnych B, tzn.
 a11 a12 K b1 K a1n 
def  a
a 22 K b2 K a 2 n 
A j =  21
.
 M
M O M O M 


a n1 a n 2 K bn K a nn 
Uwaga. Równość określającą rozwiązanie układu równań liniowych nazywamy wzorem
Cramera. Równość ta po rozpisaniu przyjmuje postać:
det An
det A1
det A2
x1 =
, x2 =
, …, x n =
,
det A
det A
det A
zwaną wzorami Cramera.
Twierdzenie 6.2.3 (metoda macierzy odwrotnej
Rozwiązanie układu Cramera AX = B jest określone wzorem: X = A −1B .
6.3. Ogólne układy równań liniowych
Dany jest układ m-równań z n-niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie
niewiadomych n, tzn. moŜe zachodzić m<n lub m=n, lub m>n . Piszemy go następująco:
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1
a x + a x + ... + a x = b
 21 1
22 2
2n n
2
Błąd! Nie zdefiniowano

M O
M
M
 M
a m1 x1 + a m 2 x 2 + ... + a mn x n = bm
(6.3.1)
zakładki.
Analizę rozwiązalności takiego układu zaczynamy od porównania rzędów macierzy głównej
układu
 a11 a12
a
a22
A =  21
 ... ...

a m1 am2
... a1n 
... a2n  ,
... ... 

... amn 
oraz macierzy rozszerzonej (uzupełnionej) układu postaci:
 a11

a
[A | B] =  21
 M

a m1
a12
a 22
M
a m2
L a1n b1 

L a 2 n b2  ,
O M M

L a nm bm 
która powstaje z macierzy A przez formalne dopisanie kolumny wyrazów wolnych. Dla
zaznaczenia specjalnej roli ostatniej kolumny oddzielamy ją kreską.
Macierz rozszerzona w jednoznaczny sposób określa układ równań.
Przykład: Macierz
5
 1 −2 3
− 1
3 0 − 4


 2 − 5 5 17
odpowiada następującemu układowi równań:
x − 2 y + 3z =
−x +
3y
5
= −4 .
2 x − 5 y + 5z =
(6.3.2 )
17
Relacja między macierzą A i [A|B] macierzą określa kwestię istnienia oraz ilości rozwiązań
danego układu równań. Precyzyjnie określa to następujące waŜne twierdzenie.
Twierdzenie 6.3.1 (Kroneckera-Capelliego)
Układ m równań liniowych z n niewiadomymi posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy
rz A= rz [A|B].
(6.3.1)
Dowód: Układ równań (6.1.1) moŜna równieŜ zapisać następująco:
x1a1+ x2a2+...+xnan= B,
(6.3.2)
 a1i 
gdzie ai=  M  oznacza i-tą kolumnę macierzy A.
 
a mi 
Konieczność: Ze wzoru (6.3.2) wynika, Ŝe kolumna B jest liniowo zaleŜna od kolumn a1, a2,
..., an więc rz A= rz [A|B].
Dostateczność: niech rz A= rz [A|B]= r a więc istnieje r liniowo niezaleŜnych kolumn, niech
to będą kolumny a1, a2, ..., ar między kolumnami {a1, a2, ..., an, B} jest teŜ r liniowo
niezaleŜnych kolumn. Są nimi {a1, a2, ..., ar} . MoŜemy więc napisać
B = α1a1+ α2a2+...+αrar
Biorąc więc αr+1 = αr+2= ... = αn=0 otrzymujemy rozwiązanie układu: {αi}i=1,2,..., n .
Definicja 6.3.1 (układy równowaŜne)
Dwa układy równań nazywamy równowaŜnymi jeŜeli kaŜde rozwiązanie jednego układu
równań jest jednocześnie rozwiązaniem drugiego układu i na odwrót.
Twierdzenie 6.3.2
Niech układ równań (6.1.1) ma rozwiązanie i niech M ≠ 0 będzie minorem stopnia r (r= rz A)
macierzy A. Usuwając z układu równań (6.1.1) te równania, których współczynniki nie
wchodzą w skład minora M otrzymujemy układ równań równowaŜnych układowi (6.1.1).
Twierdzenie 6.3.3
a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n x n = b1

Niech macierz układu równań: a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2
M O
M
M
 M
a r1 x1 + a r 2 x 2 + ... + a rn x n = br
ma rząd równy r. Oczywiście istnieje taki róŜny od zera minor M , który jest stopnia r.
Wówczas wszystkie rozwiązania układu otrzymujemy przyjmując dla n−r niewiadomych
(tych, których współczynniki nie wchodzą w skład minora M ≠ 0 dowolne stałe. Pozostałe
niewiadome obliczamy ze wzorów Cramera.
Wniosek: Na to by układ n-równań na n-niewiadomych (m= n) miał dokładnie jedno
rozwiązanie potrzeba i wystarcza by rz A= rz [A|B]= n.
Wniosek: dla dowolnego układu równań liniowych:
•
•
•
jeśli rz A= rz [A|B] = n to rozwiązanie jest dokładnie jedno
jeśli rz A= rz [A|B] = r < n to rozwiązań jest nieskończenie wiele zaleŜnych od (n−r)
parametrów.
jeśli rz A ≠ rz [A|B] to układ jest sprzeczny
Aby określić rodzaj układu obliczamy rzędy macierzy A i macierzy rozszerzonej [A|B] a
następnie porównujemy je ze sobą oraz z ilością niewiadomych.
Przykład 1. Rozwiązać układ równań
 x + 2y = 3

(6.3.3)
 x − y =8
2 x − 2 y = 16

Wypisujemy macierze główną oraz rozszerzoną
2
3
1
1 2



[A | B] = 1 − 1 8 
A = 1 −1


2 − 2
2 − 2 16
Z macierzy A wybieramy minor
M =
1
2
= −3 ≠ 0
1 −1
który jest róŜny od 0. Oznacza to, Ŝe rzA = 2. Następnie obliczamy
3
1 2

det [A | B] = det 1 − 1 8  = 0


2 − 2 16
Oznacza to, ze macierz [A|B] nie moŜe być rzędu 3. Stąd rz A = rz [A|B]= 2.
Następnie skreślamy trzecie równanie, którego współczynniki nie występują w wybranym
minorze M. Otrzymujemy układ równań równowaŜnych
x + 2 y = 3

x − y = 8


W którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań. Rozwiązujemy go metodą
Cramera.
3 2 
1 3
Obliczamy det A = M = −3 oraz det Ax = det 
= −19
det Ay = det 

 = 5.
8 − 1
1 8
det Ay
det Ax 19
5
19 5
Stąd x =
= , y=
= − . Para ( ,− ) jest równieŜ rozwiązaniem
det A
3
det A
3
3 3
równania trzeciego.
Przykład 2. Rozwiązać układ równań
2 x1 + 2 x2 − x3 = 1

 x1 − x2 + 3x3 = 2
3x + x + 2 x = 3
2
3
 1
(6.3.4)
a) Mamy:
2 − 1
2
2 2 − 1 1


A = 1 −1
3 B =  1 − 1 3 2 .




 3
1
2
 3 1
2 3
Ponadto rzA = 2 , gdyŜ istnieje taki minor stopnia drugiego M =
2 − 1 1
2
2


detA=0, rzB = rz 1 − 1 3 2 = rz 1



 3
1
2 3
0
2
−1
0
− 1 1
2
3 2 = rz 

1
0 0
2 −1
1
3
2
−1
= 7 ≠ 0 oraz
− 1 1
= 2,
3 2
gdzie wykonaliśmy operację elementarną w3 −w1−w2, która wygenerowała nam zera w trzecim
wierszu. Mamy więc rzA = rzB = 2 < n .
Układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań zaleŜnych od n − r = 3 − 2 = 1 parametrów.
b) Odrzucamy trzecie równanie jako liniowo zaleŜne od dwóch pierwszych.
c) Wybieramy zmienne x1 , x3 jako zmienne wiodące (bazowe) tzn. takie, których
współczynniki wchodzą do minora M. Zmienną niewiodącą (niebazową) tj. x2 przenosimy na
prawą stronę równań:
2 x1 − x3 = 1 − 2 x2

 x1 + 3x3 = 2 + x2
Następnie podstawiamy za zmienne niewiodące dowolne parametry tzn. przyjmujemy w
naszym przypadku x 2 = α , gdzie α ∈ R to dowolny parametr. Rozwiązując metodą Cramera
układ:
2 x1 − x3 = 1 − 2α

 x1 + 3x3 = 2 + α
5 − 5α
3 + 4α
ze względu na x1 , x3 otrzymujemy:
x1 =
, x3 =
. Pełne rozwiązanie
7
7
układu równań (8.3.4) jest postaci:
5 − 5α
3 + 4α
x1 =
, x2 = α , x3 =
.
7
7
6.4 Metoda eliminacji Gaussa
Łatwo zauwaŜyć, Ŝe zbiór rozwiązań układu równań nie zmienia się przy następujących
operacjach na tym układzie:
1. Permutowanie (zmiana kolejności) równań.
2. PomnoŜenie jednego równania przez dowolną liczbę.
3. Dodanie wielokrotności jednego równania do innego równania.
Te operacje zwane operacjami elementarnymi stanowią podstawowe narzędzie jednej z
najbardziej znanych metod rozwiązywania układów równań liniowych czyli tzw. metody
eliminacji Gaussa. W odniesieniu do macierzy rozszerzonej odpowiadają one permutowaniu
wierszy tej macierzy, mnoŜeniu wiersza przez dowolną liczbę oraz dodawaniu wielokrotności
jednego wiersza do innego wiersza. Wiemy równieŜ, Ŝe zamiana kolejności skladników w
równaniach (zamieniając np. wyrazy ai1x1 z wyrazami ai3x3 w kaŜdym z równań) nie
prowadzi do zmiany rozwiązań układu.
Definicja 6.4.1 (równowaŜność układów równań liniowych a operacje elementarne)
Podane poniŜej operacje na wierszach macierzy rozszerzonej [A|B] układu równań liniowych
AX = B przekształcają go na układ równowaŜny:
1. zamiana między sobą wierszy (oznaczać te operację będziemy Wij albo wi ↔ wj),
2. mnoŜenie wiersza przez stałą róŜną od zera (Wi(c) albo cwi),
3. dodawanie do i-tego wiersza j-tego wiersza pomnoŜonego przez liczbę c wyraz po
wyrazie (Wij(c) albo wi + cwj),
4. skreślenie wiersza złoŜonego z samych zer ( UWi lub wi),
5. skreślenie jednego z wierszy równych lub proporcjonalnych (UWij lub wi ~ wj) jako
złoŜenie operacji 3 i 4.
Metoda eliminacji Gaussa
Niech AX = B będzie układem równań liniowych, gdzie A jest macierzą wymiaru m × n.
Kolejne etapy rozwiązywania układu równań metodą eliminacji Gaussa są następujące:
1) Tworzymy macierz rozszerzoną układu.
644niewiadome
474448
x1
x2
xn
↓
↓
↓
 a11

a
[A | B] =  21
 M

a m1
L a1n b1 

L a 2 n b2 
M O M M

a 2 m L a mn bm 
2) Jeśli a11≠0, to dzielimy pierwszy wiersz przez a11 (wtedy po przekształceniu wyraz
wiodący wynosi 1. Następnie posługując się tym wierszem, uzyskamy zera w pierwszej
kolumnie. Mianowicie od wiersza drugiego odejmujemy wiersz pierwszy pomnoŜony przez
a21 itd. Gdyby wyraz a11 = 0, ale inny wyraz w pierwszej kolumnie np. ak1≠0, to przestawiamy
najpierw wiersz pierwszy z wierszem k-tym i dalej postępujemy tak jak poprzednio.
3) Jeśli a22≠0, to dzielimy drugi wiersz przez a22 i posługując się tym wierszem, uzyskamy
zera w drugiej kolumnie poniŜej a22. Jeśli a22 = 0, a inny element w tej kolumnie np. as2≠0, to
przestawiamy wiersz drugi z s-tym — i dalej juŜ postępujemy tak jak powyŜej. Jeśli
wszystkie as2 = 0 dla s = 2, 3, . . . ,m, to przechodzimy do następnej kolumny.
4) Postępowanie kontynuujemy aŜ do n-tej kolumny.
a12
a 22
Wynikiem tego postępowania jest macierz schodkowa, w której kaŜdy element wiodący
wynosi 1 (angielska nazwa dla tej macierzy to row-echelon matrix). Macierz ta pozwala na
proste znalezienie rozwiązania. Są moŜliwe trzy przypadki:
a) JeŜeli w otrzymanej macierzy występuje wiersz (0 0 . . . 0|1), to układ jest sprzeczny (taki
wiersz odpowiada równaniu 0 x1 + 0 x2 + ... + 0 x n = 1 , które oczywiście nie posiada
rozwiązań).
b) Nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1) i liczba niezerowych wierszy jest równa liczbie
niewiadomych, tzn. macierz jest postaci (trójkątnej):
1 a12/ a13/ L L a1/n b1/ 

/ 
/
/
0 1 a 23 L L a 2 n b2 
M M O M M
M 
M
(6.4.1)

,
/
/
0 1 ∗ a m− 2 n bm− 2 
0 0
0 0
0 0 1 a m/ −1n bm/ −1 


bm/ 
0 0 0
1
0 0
gdzie aij/ i bi/ to przekształcone elementy macierzy rozszerzonej. Odpowiada ona układowi
(w tzw. postaci trójkątnej):
 x1 + a12/ x2 + ... + a1/n xn = b1/

/
x2 + a23
x3 + ... + a 2/ n xn = b2/


O
...
M
M


xn −1 + a m/ −1n xn = bm/ −1


xn
= bm/
(6.4.2)
Następnie układ ten rozwiązujemy następująco: z ostatniego równania mamy x n = bm/ a po
podstawieniu do przedostatniego równania otrzymujemy x n −1 = bm/ −1 − a m/ −1n xn = bm/ −1 − a m/ −1n bn
itd. Rozwiązujemy ten układ wstecz („od dołu”). Rozwiązanie w tym przypadku jest
oczywiście tylko jedno.
c) W macierzy nie ma wierszy postaci (0 0 . . . 0|1), ale występują kolumny niewiodące.
Stosujemy, tak jak powyŜej, podstawienie wsteczne rozwiązując ten układ od dołu, ale za
niewiadome, które odpowiadają kolumnom niewiodącym przyjmujemy dowolne wartości
(tzw. stałe albo parametry rozwiązania) i przenosimy je na prawą stronę odpowiednich
równań.
Przykład (do punktu c). Przypuśćmy, Ŝe po eliminacji dostaliśmy układ równań opisany
macierzą
0 4
1 − 1 1 3

(6.4.3)
[A | B] = 0
1 2 5
2 1 .


0 0 1 − 3 2
0
Zmienne x1 , x2 i x4 to zmienne wiodące, zaś x3 , x5 to zmienne niewiodące. Przyjmujemy za
nie dowolne stałe np. x3 = α , x5 = β i przenosimy je na prawe strony równań, gdzie α i β
przyjmują dowolne wartości ze zbioru R. Wtedy układ równań odpowiadający macierzy
(8.4.3) przyjmuje postać:
x1 − x2 + 3x4 = 4 − α


x2 + 5 x4 = 1 − 2α − 2 β ,
(6.4.4)


x 4 = 2 + 3β

który rozwiązujemy od dołu:
x 4 = 2 + 3β ,
x 2 + 5( 2 + 3β ) = 1 − 2α − 2 β
x 2 = −9 − 2α − 17 β i x1 = 4 − α − 9 − 2α − 17 β − 3( 2 + 3β ) = −11 − 3α − 26 β .
czyli
Rozwiązaniem naszego układu równań jest więc kaŜda piątka liczb postaci:
( − 11 − 3α − 26 β ,−9 − 2α − 17 β , α ,2 + 3β , β ).
Rozwiązania szczególne otrzymujemy wstawiając za α i β konkretne liczby np. α=0 i β=0
wtedy x1 = −11, x2 = −9, x3 = 0, x4 = 2, x5 = 0 albo dla α = −5 i β=0 o trzymujemy inne
rozwiązanie szczególne: x1 = 4, x2 = 1, x3 = −5, x4 = 2, x5 = 0 .