Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Lista rozwiązań zadań nr 7 (18-23.11.2009)
Równania funkcyjne
1. Uzasadnić, że istnieje dokładnie jedna funkcja f : R → R spełniająca równanie
f (x + y) + f (x − y) = 2x2 + 2y 2
dla dowolnych x, y ∈ R. Znaleźć tę funkcję.
Wskazówka. Podstawić y = 0.
Rozwiązanie. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą powyższe równanie. Podstawmy y = 0. Otrzymujemy wtedy f (x) + f (x) = 2x2 , czyli f (x) = x2 . Zatem
jedyną funkcją spełniającą równanie może być funkcja f (x) = x2 . Łatwo sprawdzić, że ta funkcja rzeczywiście spełnia nasze równanie.
2. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R → R takie, że
f (x) · f (y) − xy = f (x) + f (y) − 1
dla dowolnych x, y ∈ R.
Wskazówka. Obliczyć, ile może wynosić f (1).
Rozwiązanie. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą powyższe równanie. Podstawmy x = y = 1. Otrzymujemy:
f (1) · f (1) − 1 · 1 = f (1) + f (1) − 1,
czyli f (1)2 − 2f (1) = 0. Wartość f (1) spełnia zatem równanie a2 − 2a = 0.
Rozwiązaniami tego równania są liczby a = 0 i a = 2. Rozważmy wobec tego
dwa przypadki:
1) f (1) = 0. Podstawiając y = 1 otrzymujemy −x = f (x) − 1, czyli f (x) = 1 − x.
2) f (1) = 2. Przyjmując y = 1 otrzymujemy 2f (x) − x = f (x) + 2 − 1, czyli
f (x) = x + 1.
Łatwo sprawdzić, że obie te funkcje rzeczywiście spełniają równanie z zadania.
Są to jednocześnie wszystkie funkcje spełniające to równanie.
3. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R → R takie, że
f (x + y) = f (x) + y
dla dowolnych x, y ∈ R.
Wskazówka. Podstawić w równaniu y = −x.
Rozwiązanie. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą powyższe równanie. Przyjmując y = −x otrzymujemy:
f (0) = f (x) − x,
czyli f (x) = x + f (0). Zauważmy jednak, że przyjmując f (0) = c, gdzie c jest
dowolną liczbą rzeczywistą, otrzymujemy funkcję spełniającą warunki zadania,
gdyż:
f (x + y) = x + y + c = f (x) + y.
Zatem istnieje nieskończenie wiele funkcji spełniających warunki zadania.
Wszystkie one dane są wzorem f (x) = x + c, c ∈ R.
4. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R → R spełniające równanie
f (x) + xf (−x) = x2
dla dowolnego x ∈ R.
Wskazówka. Zapisać układ równań, w którym niewiadomymi są f (x) oraz
f (−x).
Rozwiązanie. Niech f będzie funkcją spełniającą powyższe równanie. Podstawiając jako argument funkcji −x, otrzymamy równość f (−x) − xf (x) = x2 .
Wyznaczając z tej równości f (−x) i wstawiając do równości danej w zadaniu
otrzymujemy:
f (x) + x(xf (x) + x2 ) = x2 ,
czyli
(1 + x2 )f (x) = x2 − x3 .
Zauważmy, że wyrażenie 1 + x2 przyjmuje wartość różną od zera dla każdego x ∈ R. Możemy zatem podzielić obie strony ostatniej równości przez to
wyrażenie, otrzymując
x2 − x3
f (x) =
.
1 + x2
Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana funkcja f (x) spełnia równanie z treści
zadania, gdyż:
f (x) + xf (−x) =
x2 − x3
x2 + x3
x2 − x3 + x3 + x4
x2 (1 + x2 )
+
x
=
=
= x2 .
1 + x2
1 + x2
1 + x2
1 + x2
5. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R \ {0, 1} → R takie, że
(1 − x)f (x) − 2xf (1 − x) = 1
dla dowolnego x ∈ R \ {0, 1}.
Wskazówka. Podstawić za x wyrażenie 1 − x.
Rozwiązanie. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą powyższe równanie. Podstawiając za x wyrażenie 1 − x otrzymujemy:
(1 − (1 − x))f (1 − x) − 2(1 − x)f (1 − (1 − x)) = 1,
czyli
xf (1 − x) − 2(1 − x)f (x) = 1.
Mnożąc powyższą równość przez 2 i dodając do równości z treści zadania,
mamy:
−3(1 − x)f (x) = 3.
Ponieważ x 6= 1, to wyrażenie 1 − x jest różne od zera, a zatem możemy
podzielić obie strony równości przez −3(1 − x). Otrzymujemy:
f (x) = −
1
.
1−x
Łatwo sprawdzić, że funkcja f spełnia równanie z treści zadania.
6. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : R \ {0, 1} → R takie, że
1
f (x) + f
=x
1−x
(⋆)
dla dowolnego x ∈ R \ {0, 1}.
Wskazówka. Podstawić za x wyrażenie
1
.
1−x
Rozwiązanie. Załóżmy, że f jest funkcją spełniającą powyższe równanie. Pod1
stawiając za x wyrażenie
otrzymujemy:
1−x
1
f
+f
1−x
1
1
1 − 1−x
!
=
1
,
1−x
czyli
1
x−1
1
(⋆⋆)
f
+f
=
.
1−x
x
1−x
x−1
Podstawmy teraz w równaniu (⋆)
w miejsce x. Otrzymujemy:
x
x−1
f
+f
x
1
1 − x−1
x
!
=
x−1
,
x
czyli
x−1
x−1
(⋆ ⋆ ⋆)
f
+ f (x) =
.
x
x
Zauważmy, że odejmując od równania (⋆) równanie (⋆⋆) otrzymujemy
f (x) − f
1
x−1
=x−
.
x
1−x
Dodając to równanie do równania (⋆ ⋆ ⋆) mamy:
2f (x) = x −
1
x−1
−x3 + x − 1
+
=
1−x
x
x(1 − x)
i ostatecznie:
f (x) =
x3 − x + 1
.
2x(x − 1)
Łatwo sprawdzić, że funkcja f spełnia równanie (⋆).