Pochodne funkcji Lista zadań 04 Zadanie 1. Obliczyć pochodne

Pochodne funkcji Lista zadań 04
Zadanie 1. Obliczyć pochodne funkcji:
f (x) =
sin 2 x
x+cos x ,
f (x) =
x
√2 ·ln x
,
x+ x2 +2x+3
2x +ln x tg x
,
x
x
f (x) = x , f (x) =
f (x) =
Zadanie 2. Obliczyć granice
1
1
x−sin x
−
lim xsin
,
lim
, lim
2
x
x
x3
x→0
x→0
f (x) =
1
√ ,
√
x
x+arc tg x+1
1
√ ln x ,
x
2
ln(ex +x)
ex +2cos x−3
.
,
lim
x
x4
x→0
x→0
Zadanie 3. Znaleźć asymptoty wykresu funkcji
√
x
f (x) = x·arc tg x, f (x) = x·arc sin 1−2x
, f (x) = 3x+ x2 − 4x + 2,
√
1
3x
x
f (x) = x · arc tg 1+x
, f (x) = x · arc cos 1−x
, f (x) = x · e x .
Zadanie 4. Wykazać, że
arc tg x =
π
4
− arc tg 1−x
1+x , dla x ∈ (−1, ∞),
3arc cos x = π + arc cos (3x − 4x3), dla x ∈ [− 12 , 12 ].
Zadanie 5. Wykazać, że
2
cos x > 1 − x2 , dla x 6= 0,
3
sin x > x − x6 dla x > 0.
Zadanie 6. Zbadać funkcje i naszkicować wykresy funkcji
√
1
f (x) = (x − 2) · 3 x + 6, f (x) = (x − 5) · e 3−x ,
f (x) = cosh x =
f (x) =
ln x
x ,
ex +e−x
,
2
f (x) = sinh x =
f (x) = arc sin x22x+1 .
ex −e−x
,
2