Zadania 1. Wykazać, że jeśli Si jest stożkiem dla i = 1, 2 - E-SGH

Zadania
1. Wykazać, że jeśli Si jest stożkiem dla i = 1, 2, ..., k, to zbiór S =
k
S
Si jest stożkiem. Czy prawdziwe
i=1
jest analogiczne twierdzenie dla stożków wypukłych?
2. Wykazać, że suma wektorowa S = S1 + S2 + ... + Sk stożków wypukłych jest stożkiem wypukłym.
3. Wykazać,
zbiory są stożkami, ale nie są stożkami wypukłymi:
że podane
a) S = x ∈ R2 : x
x
1 2 ≥ 0 ,
x
n+1
b) S =
∈R
: |xn+1 | ≥ kxk .
xn+1
4. Wykazać,
jeśli:
że zbiór S jest stożkiem wypukłym,
x
a) S =
∈ Rn+1 : xn+1 ≥ kxk ,
xn+1
b) S = Rn+ = {x ∈ Rn : x ≥ 0}.
5. Podać interpretację
geometryczną
stożków:
a) R3+ =x ∈
R3 : x
≥ 0 ;
1
1
b) S =
+
;
2
4
c) A = x ∈ R2 : (e2 |x) ≤ 0 ∧ (e1 + e2 |x) ≥ 0 ,
B = (e1 + e2 ), C = A + B.
6. Udowodnić, że jeśli zbiór S ⊂ Rn jest stożkiem (stożkiem wypukłym), f : Rn → Rm jest przekształceniem liniowym, to f (S) jest stożkiem (stożkiem wypukłym).
7. Niech A będzie macierzą o wymiarach m × n. Udowodnić, że zbiory:
a) S = {Ax
: x ≥ 0} ,
b) T = z ∈ Rm : AT z ≤ 0
są domkniętymi stożkami wypukłymi.
(
)
W
Wskazówka. {Ax : x ≥ 0} = y ∈ Rm :
y = Ax .
x∈Rn
+
8. Sprawdzić, czy półprosta (x) jest promieniem ekstremalnym stożka określonego układem równań i
nierówności,
jeśli:



0
 x1 + x2 − x3 ≤ 0,
x1 − x2 ≤ 0,
a)
x =  1 ;

x2 − x3 ≤ 0,
1



x
+
x
+
x
=
0,

1
2
3

0

x1 + x2 ≤ 0,
b)
x =  −1 .
x

2 + x3 ≤ 0,

1

x3 ≥ 0,
9. Wyznaczyć
wszystkie promienie ekstremalne stożków:
a) S = x ∈ R3 : 2x1 + x2 − x3 ≤ 0 ∧ x1 − x2 ≤ 0 ∧ 3x
1 − x3 ≤ 0 ;
b) S = x ∈ R3 : x2 − x3 ≥ 0 ∧ xj ≥ 0 dla j = 1, 2, 3 ;
c) H(a, 0) = {x ∈ Rn : (a|x) = 0} , gdzie a 6= 0;
d) P (a, 0) = {x ∈ Rn : (a|x) ≤ 0} , gdzie a 6= 0.
10. Niech X ⊂ Rn będzie zbiorem niepustym. Zbiorem kierunków dopuszczalnych w punkcie x ∈ X
nazywamy zbiór




_ ^
D (x) = d ∈ Rn :
x + td ∈ X .


t0 >0 0≤t≤t0
2
a) Niech
X = x ∈ R : 0 ≤ x2 ≤ |x1 | . Wyznaczyć zbiór kierunków dopuszczalnych w punktach
0
1
1
,
,
.
0
0
o
n1
2
b) Niech X = x ∈ R2 : x21 + x22 ≤ 1 ∧ x21 + (x2 − 1) ≥ 1 . Wyznaczyć zbiór kierunków dopuszczal 1√ 0
1
3
nych w punktach
,
, 21
.
0
0
2
c) Udowodnić, że D(x) jest stożkiem.
d) Udowodnić, że jeśli X jest zbiorem wypukłym, to D(x) jest stożkiem wypukłym.
11. Wypukły stożek S nazywamy ostrym stożkiem wypukłym wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest
warunek x ∈ S ∧ −x ∈ S ⇒ x = 0. Udowodnić, że jeśli S ⊂ Rn jest ostrym stożkiem wypukłym, to
1
relacja ≤S w przestrzeni Rn określona warunkiem
x ≤S y ⇔ y − x ∈ S
jest częściowym porządkiem, tzn. jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia.
12. Czy stożki S1 = {x ∈ R2 : x1 ≥ 0 ∧ x2 ≥ 0}, S1 = {x ∈ R2 : x1 > 0 ∧ x2 > 0} ∪ {0} wyznaczają
ten sam częściowy porządek w przestrzeni R2 ?
13. Porządkiem leksykograficznym w przestrzeni Rn nazywamy relację ≤L określoną warunkiem


_ ^
x ≤L y ⇔ x1 < y1 ∨ 
xi = yi ∧ xj < yj  ∨ x = y.
1<j≤n 1≤i<j
a) Podać ilustrację graficzną stożka S wyznaczającego porządek leksykograficzny w przestrzeni R2 .
b) Podać promienie ekstremalne stożka S wyznaczającego porządek leksykograficzny w przestrzeni
R3 .
14. Podać ilustrację graficzną zbiorów S,
S ∗ , S ∗∗
, jeśli:
0
2
a) S = x ∈ R : x1 ≥ 0 ∧ x2 > 0 ∪
,
0
b) S = x ∈ R2 : x1 + 2x2 ≥ 0 ∧ 2x1 − x2 > 0 .
15. Podać ilustrację graficzną zbiorów
S = Ax : x ∈ R3+ i T = z ∈ R2 : AT z ≤ 0 ,
jeśli:
1 2 −1
2 1 −1
a) A =
,
b) A =
.
0 1
1
−1 1 −2
16. Wykazać, że układ równań
x1 + 3x2 − 5x3 = 2,
x1 − 4x2 − 7x3 = 3,
nie ma rozwiązań
nieujemnych.
1
−1
17. Niech A =
,
. Narysować zbiory A∗ , A∗∗ .
1
2
1
1
2
18. Niech A =
,
,
. Wyznaczyć krawędzie stożków A∗ , A∗∗ .
1
2
1
19. Narysować zbiory S, S ∗ , S ∗∗ , jeśli S jest odcinkiem (bez końców) łączącym punkty
1
2
1
,
.
4
Który z tychzbiorów

nie
 jeststożkiem

wypukłym?

1
0 
1

20. Niech A =  0  ,  1  ,  −1  . Wyznaczyć zbiory A∗ , A∗∗ .


2
−1  
 3

1
0
m 

21. Niech Am =  1  ,  1  ,  2m  . Dla jakich m ∈ R stożek A∗∗
m ma tylko dwa promienie


m
−1
2
ekstremalne? 22. Niech Km = x ∈ R2 : x1 x2 ≤ m , gdzie m ∈ C. Czy istnieje taka liczba całkowita m, że:
∗∗
a) Km jest stożkiem,
b) Km
= Km ?
Odpowiedź uzasadnić.
23. Wyznaczyć wszystkie wartości parametru m ∈ R, dla których spełniony jest warunek A∗∗
m = Am ,
gdzie Am = x ∈ R2 : (mx1 − x2 )(x1 − x2 ) = 0 .
24. Niech f : Rn → Rm będzie
przekształceniem liniowym. Czy dla dowolnego zbioru A ⊂ Rm spełniony
∗
−1
jest warunek f (A) = f −1 (A∗ )? Odpowiedź uzasadnić.
2