11. Stereometria

11. STEREOMETRIA
Oznaczenia stosowane w stereometrii:
Pc - pole powierzchni całkowitej bryły
Pp - pole podstawy bryły
Pb - pole powierzchni bocznej bryły
V - objętość bryły
11.1. Graniastosłupy
Podstawy graniastosłupa
- dwa równoległe i przystające wielokąty
D
H
·
Ściana boczna - równoległobok
Graniastosłup prosty – graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie
boczne są prostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym wszystkie
ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup, który nie jest prosty nazywamy graniastosłupem pochyłym
H
Przekątna graniastosłupa D – odcinek łączący dwa wierzchołki nie leŜący na Ŝadnej ze ścian.
Wysokość graniastosłupa H – odcinek łączący podstawy, prostopadły do nich. W graniastosłupie prostym
wysokość jest równa krawędzi bocznej
Graniastosłup prawidłowy – graniastosłup, którego podstawy są wielokątami foremnymi ,
a ściany boczne prostokątami.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa:
Pc = 2 Pp + Pb
V = Pp ⋅ H
Kąty w graniastosłupie
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy
β – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy
γ
γ – kat nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej
α
β
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi bocznej
β
β – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany
bocznej
α
a) Sześcian
( graniastosłup foremny) – graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami.
a - krawędź sześcianu
D
d
a
D – przekątna sześcianu D = a 3
d – przekątna ściany sześciany d = a 2
a
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu:
Wzór n objętość sześcianu:
V = a3
Pc = 6a 2
b) Prostopadłościan – graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami.
a ,b, c – krawędzie prostopadłościanu
c
b
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
Pc = 2ab + 2ac + 2bc
Wzór na objętość prostopadłościanu:
V = a ⋅b ⋅c
c) Graniastosłup prawidłowy czworokątny – graniastosłup, którego podstawy są kwadratami, a ściany boczne
prostokątami.
b
d
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
d – przekątna podstawy d = a 2
a
a
czworokątnego:
Pc = 2 a
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego
2
+ 4ab
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
V = a 2 ⋅b
d) Graniastosłup prawidłowy trójkątny – graniastosłup, którego podstawy są trójkątami równobocznymi,
a ściany boczne są prostokątami.
b
a
a
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
a 3
h – wysokość podstawy h =
2
h
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
V=
a2 3
⋅b
4
Pc = 2 ⋅
a2 3
+ 3ab
4
e) Graniastosłup prawidłowy sześciokątny – graniastosłup, którego podstawami są sześciokąty foremne,
a ściany boczne są prostokątami.
b
d
D
a
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
a 3
d – krótsza przekątna podstawy d = 2
2
D – dłuŜsza przekątna podstawy D = 2a
a
Wzór na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
2
Pc = 2 ⋅ 6
3
a
4
+ 6ab
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
2
V = 6
3
a
4
⋅b
11.2 Ostrosłupy
ściana boczna - trójkąt
H
podstawa ostrosłupa - dowolny wielokąt
·
Wysokość ostrosłupa H – odcinek łączący wierzchołek ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, prostopadły
do podstawy
Czworościan - ostrosłup trójkątny ( podstawą tego ostrosłupa jest trójkąt).
Ostrosłup prawidłowy – ostrosłup, którego podstawą jest wielokąt foremny, a ściany boczne są przystającymi
trójkątami równoramiennymi.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość ostrosłupa:
Pc = Pp + Pb
V =
1
Pp ⋅ H
3
Kąty w ostrosłupie
Ostrosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt płaski przy wierzchołku
β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
α
δ
γ
β
Ostrosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt między krawędzią boczną, a krawędzią podstawy
β – kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy
γ – kąt nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy
δ – kąt miedzy sąsiednimi ścianami bocznymi
δ
γ
α
β
a) Ostrosłup prawidłowy czworokątny – ostrosłup, którego podstawą jest kwadrat, a ściany boczne są
trójkątami równoramiennymi.
b
H
0,5d
h1
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
d – przekątna podstawy d = a 2
0,5a
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego:
1
V = a2 ⋅ H
3
1
Pc = a 2 + 4 ⋅ a ⋅ h1
2
b) Ostrosłup prawidłowy trójkątny – ostrosłup, którego podstawą jest trójkąt równoboczny, a ściany boczne są
trójkątami równoramiennymi.
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
a 3
h – wysokość podstawy h =
2
r – promień okręgu wpisanego w podstawę
a 3
1
r= h r=
3
6
R – promień okręgu opisanego na podstawie
2
a 3
R= h R=
3
3
b
H
h1
r
h
R
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego:
V=
Pc =
a2 3
1
+ 3 ⋅ a ⋅ h1
4
2
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
c) Czworościan foremny – ostrosłup, którego wszystkie ściany są trójkątami równobocznymi.
a – krawędź czworościanu
H – wysokość czworościanu H =
h – wysokość ściany h =
a
h
a 3
2
r – promień okręgu wpisanego w ścianę
a 3
1
r= h r=
3
6
R – promień okręgu opisanego na ścianie
2
a 3
R= h R=
3
3
H
r
h
R
a
a2 3
Wzór na pole powierzchni całkowitej czworościanu foremnego: Pc = 4 ⋅
4
Wzór na objętość czworościanu foremnego:
a 6
3
V=
1 a2 3
⋅
⋅H
3
4
d) Ostrosłup prawidłowy sześciokątny – ostrosłup, którego podstawą jest sześciokąt foremny, a ściany boczne
są trójkątami równoramiennymi.
a – krawędź podstawy
b - krawędź boczna
h1 - wysokość ściany bocznej
H – wysokość ostrosłupa
r – promień okręgu wpisanego w podstawę
a 3
r=
2
R – promień okręgu opisanego na podstawie R = a
b
H
h1
r
R
a
a2 3
1
Wzór na pole powierzchni całkowitej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego: Pc = 6 ⋅
+ 6 ⋅ a ⋅ h1
4
2
2
1
a 3
Wzór na objętość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego: V = ⋅ 6 ⋅
⋅H
3
4
11.3. Bryły obrotowe
a) Walec – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu prostokąta dokoła prostej zawierającej jeden z jego boków
r – promień podstawy walca
h – wysokość walca
l – tworząca walca l = h
h
l
r
Przekrój osiowy walca – prostokąt o bokach h i 2r
h
2r
Podstawa walca - koło o promieniu r
Pp = π ⋅ r 2
r
Powierzchnia boczna walca – prostokąt o bokach h i 2πr
h
Pb = 2π ⋅ r ⋅ h
2πr
Wzór na pole powierzchni całkowitej walca:
Wzór na objętość walca:
Pc = 2π ⋅ r 2 + 2π ⋅ r ⋅ h
V = π ⋅r2 ⋅h
b) StoŜek – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu trójkąta prostokątnego dokoła jednej z przyprostokątnych
r – promień podstawy stoŜka
h – wysokość stoŜka
l – tworząca stoŜka
h
l
r
Przekrój osiowy stoŜka – trójkąt równoramienny o podstawie 2r i ramieniu l
α – kąt rozwarcia stoŜka
β – kat nachylenia tworzącej do płaszczyzny podstawy
α
l
l
β
2r
Podstawa stoŜka - koło o promieniu r
r
Pp = π ⋅ r 2
Powierzchnia boczna stoŜka – wycinek koła o promieniu l , oparty na łuku długości 2πr
Pb = π ⋅ r ⋅ l
l
Pb =
α
α
360°
π ⋅l2
2πr
Wzór na pole powierzchni całkowitej stoŜka
Wzór na objętość stoŜka
Pc = π ⋅ r 2 + π ⋅ r ⋅ l
1
V = π ⋅r2 ⋅h
3
c) Kula – bryła obrotowa powstała w wyniku obrotu koła dokoła jego średnicy
R – promień kuli
R
Wzór na pole powierzchni kuli
Wzór na objętość kuli:
V =
Pc = 4π ⋅ R 2
4
π ⋅ R3
3
Sfera – powierzchnia kuli
Koło wielkie – przekrój kuli płaszczyzną przechodzącą przez jej środek.