Zadanie W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna

Zadanie
W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna ma 10 cm i jest nachylona do
płaszczyzny podstawy pod katem L=60 stopni . Oblicz objętość ostrosłupa.
Rozwiązanie:
Rysunek
W
l
H
D
a
a
d
A
O
a
60° C
d
2
a
B
Dane:
∣WC∣=l=10 - długość krawędzi bocznej ostrosłupa
kąt ∣OCW∣=60o
Szukane:
V =?
Ostrosłup prawidłowy jest to ostrosłup o podstawie wielokąta foremnego.
W przypadku powyŜszego zadania podstawą jest kwadrat.
Wzór na objętość ostrosłupa ma postać:
V=
1
P ∗H
3 p
Podstawą jest kwadrat, którego wzór na pole ma postać:
P p =a 2
Wzór na objętość ostrosłupa przybiera postać:
V=
1 2
a H
3
Z własności kwadratu wiemy, Ŝe:
– przekątna kwadratu jest równa:
∣AC∣ = d = a  2
∣OC∣ =
d
2
=a 
2
2
Z trójkąta prostokątnego WOC wyznaczamy dlugość ∣OC∣ stosując twierdzenie cosinusa.
d
2
o
cos 60 =
l
d
2∗l
o
cos 60 =
d =2∗l∗cos 60 o
cos 60o =
1
2
d =2∗10∗
1
2
d = 10 cm
Dlugość boku a wyznaczymy z wzoru na przekątną:
d = a 2
a=
d
2
=d 
2
2
a = 10
2
2
a = 5  2 cm
Wysokość
sin 60o =
H ostrosłupa policzymy z twierdzenia sinusa z trójkąta prostokątnego WOC
H
l
3
sin 60o = 
2
H = l ∗ sin 60o 
3
H = 10 ∗ 
2
H = 5  3 cm
Do wyznaczenia wysokości
prostokątnego WOC.
H moŜna wykorzystać równieŜ tw. Pitagorasa z trójkąta
d 2
H 2  =l 2
2
2
2
H =l −
2
d 2

2
2
H =10 −
10 2

2
H 2=100−52
H 2=100−25
H 2=75
H = 75
H = 25∗3
H =5  3 cm
Mając wyznaczone a i
wyprowadzonego
V=
1 2
a ∗H
3
V=
1
2
∗ 5  2 ∗ 5  3
3
V=
1
∗ 25 ∗ 2 ∗ 5  3
3
V=
1
∗ 50 ∗ 5  3
3
V=
250
3
 3 cm3
1
3
 3 cm3
V = 83
H obliczamy objętość ostrosłupa wg wzoru wcześniej
Odp.
Objętość ostrosłupa wynosi: V = 83
1
3
 3 cm3