Egzamin z Rachunku Prawdopodobienstwa 1. Za chwile Adam i

Egzamin z Rachunku Prawdopodobieństwa
1. Za chwilȩ Adam i Ewa oraz 8 innych osób zajma̧ losowo 10 miejsc przy okra̧glym stole. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzeń:
a) Adam i Ewa bȩda̧ siedzieć obok siebie;
b) pomiȩdzy nimi bȩda̧ siedzialy 2 osoby.
2. Ile jest wszystkich dróg prowadza̧cych z punktu (2,4) do punktu (20,2)? Ile z nich nie dotyka ani nie przecina
osi Ox?
3. Ile jest różnych sposobów ustawienia n par nawiasów? Na przyklad dla n = 2 mamy 2 sposoby: ()() i (()),
a dla n = 3 mamy 5 sposobów (oddzielonych średnikami): ((())); (()()); (()),(); (),(()); (),(),().
4.Niech zmienne X i Y przyjmuja̧ tylko po dwie wartości: 0 i 1. Wykazać, że z warunku E(XY ) = E(X)E(Y )
wynika wtedy, że X i Y sa̧ niezależne.
"
5. Macierz kowariancji niezdegenerowanego wektora losowego (X, Y ) ma postać
#
4 a
.
a 9
Jakie sa̧ możliwe wartości a?
6. Korzystaja̧c z definicji rozkladu stabilnego, zbadać czy rozklad Poissona z parametrem λ = 1 jest stabilny.
7. Niech (Ω, M, P ) = ([0, 1], B, dx). Na tej przestrzeni określamy zmienne losowe
(
X(x) =
2x,
2x − 1,
(
0 ≤ x ≤ 21 ,
1
2 < x ≤ 1.
a) Obliczyć dystrybuanty obu zmiennych.
Y (x) =
2x,
2(1 − x),
0 ≤ x ≤ 12 ,
1
2 < x ≤ 1.
b) Czy X i Y sa̧ niezależne?
8. Niech X1 , ..., Xn bȩda̧ niezależnymi zmiennymiqlosowymi o jednakowym rozkladzie N(0,1). Zapisać wzorem
calkowym dystrybuantȩ rozkladu zmiennej Yn =
X12 + ... + Xn2 i obliczyć tȩ calkȩ w przypadku n = 2.
9. Niech X1 , X2 , ... bȩda̧ niezależne i zalóżmy, że dla każdego n spelniona jest nierówność |Xn | ≤ C (stala C
nie zależy od n). Oznaczmy Sn = X1 + X2 + ... + Xn . Zbadać, czy istnieje granica
lim
n→∞
Sn − E(Sn )
√
.
n ln n
2
2
10. Wektor losowy (X, Y ) ma rozklad o gȩstości danej wzorem f (x, y) = Ce−x −2xy−4y .
a) Obliczyć C. Wsk. W tym przypadku najszybszy sposób to chyba po prostu zwykly rachunek.
b) Obliczyć E(X|Y = 1) oraz E(X|Y ).
11. Rzucamy 1000 razy symetryczna̧ moneta̧. Oszacować prawdopodobienstwo zdarzenia: czȩstość orla w 1000
prób odchyli siȩ od 12 o mniej niż 0,05.
12. Zmienne X ∼ N(1,1), Y ∼ N(0,22 ) i Z ∼ N(−2, 1) sa̧ niezależne. Zapisać P (|2X − Y + Z| > 3) za pomoca̧
funkcji Φ.
13. Wykazać, że jeśli supp(µ) jest ograniczony, to rozklad µ nie jest nieskończenie podzielny.
*****************************
Mini-tablice:
Jeśli Φ(t) =
Rt
−∞
2
u
√1 e− 2
2π
du, to
Φ(0)
√ = 0, 5, Φ(0, 5) = 0, 691, Φ(1)
√ = 0, 841,
Φ( 5) = 0, 987, Φ(3) = 0, 9987, Φ( 10) = 0, 998,
√
Φ( 2) = 0, 921,
Φ(5) = 0, 9999997.
√
Φ( 3) = 0, 958,
Φ(2) = 0, 997,