a) X = N, a2b = ab

Czwarta lista zadań z Algebry 2
Zad.1. Zbadaj łączność działania 2 określonego w zbiorze X, jeżeli:
a) X = N, a2b = ab ;
a) X = N, a2b = 2ab;
2
2
c) X = Z, a2b = a + b ; d) X = Z, a2b = a − b;
a+b
e) X = R, a2b =
;
f ) X = R, a2b = a + b + 1.
2
Zad.2.
Zbadaj, czy podana struktura algebraiczna jest grupą:
n √
o
√
a) (N, +);
b) (X, +), gdzie X = a 2 + b 3 : a, b ∈ Q ;
c) (R, 2), gdzie a2b = a + b + 3;
d) (R, ∗), gdzie a ∗ b = a + b + 2b.
Zad.3. Niech (X, ∗) będzie grupą i niech e będzie w niej elementem neutralnym. Wykaż, że
a) e−1 = e;
−1
b) a−1
−1
−1
c) (a ∗ b) = b ∗ a ;
e) równanie a ∗ x = b ma jedno rozwiązanie;
−1
=a
d) a ∗ a = a ⇐⇒ a = e;
f ) równanie x ∗ a = b ma jedno rozwiązanie.
Zad.4. W grupie (Zn , +n ) rozwiąż równanie:
a) 6x = 5, n = 7; b) 13x + 7 = 9, n = 17.
Zad.5. W zbiorze dwuelementowym X = {a, b} wprowadzamy działania ∗, ◦ określone tabliczkami
Cayely’a:
∗ a b
◦ a b
a a b
a a a .
b b a
b a b
Sprawdź, czy w X:
a) działania ∗, ◦ są przemienne, łączne, rozdzielne jedno względem drugiego;
b) istnieją względem działań ∗, ◦ elementy neutralne;
c) istnieją dla elementów zbioru X elementy odwrotne względem działań ∗, ◦.
Zad.6. Zbadaj czy struktura algebraiczna (R, ◦, ∗) jest pierścieniem, jeżeli:
a) a ◦ b = a + b − 5, a ∗ b = ab + 3; b) a ◦ b = a + b + ab, a ∗ b = a2 b + ab + 2b.
Zad.7. Zbadaj czy struktura algebraiczna (X, +, ·) jest ciałem, jeżeli:
a) X = {0, 1};
b) X = {−1, 0, 1};
o
n
o
n
√
√
3
c) X = a + b 2 : a, b ∈ Q ; d) X = a + b 2 : a, b ∈ Q ; e) X = {z ∈ C : |z| ¬ 1} .
Zad.8. Wykaż, że zbiór X = {(a, b) : a, b ∈ Q} z działaniami ⊕ i ⊗ określonymi wzorami
(a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d)
(a, b) ⊗ (c, d) = (ac + 2bd, ad + bc)
tworzy ciało.
Poniższe trzy zadania pochodzą z listy zamieszczonej na stronie prof. Z. Olszaka (gdzie są też odpowiedzi): http://www.im.pwr.wroc.pl/ olszak/dydaktyka.html
Zad.9. Korzystając z algorytmu Euklidesa znajdź NWD(a, b) dla podanych par liczb:
a) a = 379, b = 77; b) a = 1037, b = 793; c) a = 2849, b = 1258; d) a = 34307, b = 34216.
Zad.10. Oblicz resztę z dzielenia a przez b, gdy:
a) a = 1946, b = 26; b) a = 19461972 , b = 26; c) a = 19721946 , b = 26; d) a = 5555, b = 191; e)
a = 5555190 , b = 191; f) a = 55557777 , b = 191.
Zad.11. Wyznacz dwie końcowe cyfry rozwinięcia dziesiętnego liczb:
9
9
99
99 , 910 , 99 , 79 , 79 , 79 .