Matematyka Finansowa Materiały do laboratorium

MATEMATYKA FINANSOWA
Materiały do zajęć dla kierunku FiR NE UE we Wrocławiu
Zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad A. O pewne stanowisko ubiega się pięciu kandydatów. Uzyska je ten, kto w pierwszej turze głosowania
dostanie więcej niż 50% ważnych głosów. W przypadku nierozstrzygnięcia pierwszej tury, odbywa się druga
tura głosowania, do której przechodzi tylko dwóch kandydatów, którzy dostali najwięcej głosów w pierwszej
turze. W pierwszej turze głosowania oddano łącznie 125 038 głosów, przy czym poszczególni kandydaci
dostali (w kolejności malejącej): 59 138, 37 251, 13 752, 3 750 i 1 251 głosów. a) Ile procent głosów dostali
poszczególni kandydaci? b) Czy druga tura głosowania jest potrzebna? Odpowiedź uzasadnić.
Zad B. Ze względu na zmianę klasyfikacji podatkowej zmalała stawka podatku VAT pewnego towaru o 16
punktów procentowych. Poprzednio, po doliczeniu do kosztów produkcji 10% marży hurtownika, 15% marży
detalisty i 23% podatku VAT cena sprzedaży wynosiła 140 zł. a) Jaka jest obecnie cena sprzedaży (cena
brutto) tego towaru? b) Ile kosztuje jego produkcja? c) Ile płacili poprzednio i ile płacą obecnie podatku VAT
od tego towaru producent, hurtownik i detalista?
Zad. C. Dla większego bezpieczeństwa zainwestowano pewien kapitał w trzy niezależne inwestycje: na pierwszą
przeznaczono 45% kapitału, 30% na drugą, a pozostałe środki na trzecią. Po roku pierwsza inwestycja
przyniosła 9% zysku, druga 4,8% zysku a trzecia 10% straty. a) Obliczyć o ile procent powiększył się
posiadany kapitał. b) Ile wyniosła roczna stopa zwrotu kapitału przy uwzględnieniu inflacji rzędu 3,8%?
Zad E. Pierwsza trasa z miasta O do miasta W ma 85,7 km długości, druga jest o 13,07% dłuższa od pierwszej, ale
za to można przy sprzyjających warunkach można ją pokonać przeciętnie o 19,59% szybciej niż trasę
pierwszą. a) Obliczyć długość drugiej trasy. b) O ile procent dłużej trwa przeciętnie podróż pierwszą trasą w
porównaniu do czasu podróży trasą drugą, jeśli drugą można pokonać w 1 h 18 min.
Zad. D. Wykorzystując dane historyczne o inflacji (na przykład ze strony
http://pl.wikipedia.org/wiki/Inflacja_w_Polsce) a) sporządzić wykres przedstawiający realną wartość kwoty
miliona złotych z początku roku 1980 do roku obecnego włącznie; b) sporządzić wykres przedstawiający
wartości nominalne kwoty mającej taką samą wartość nabywczą jak tysiąc złotych w chwili obecnej w latach
ubiegłych od roku 2000 włącznie c) obliczyć średni poziom inflacji w latach 1980-1999 oraz w latach 20102013 i w latach 2013-2016.
Zad. F. Inwestycja przyniosła w przeciągu trzech kolejnych lat odpowiednio 4,5% zysku, 7,2% zysku i 2% straty.
Obliczyć a) procent wzrostu inwestycji przez trzy lata; b) średnie roczne oprocentowanie; c) realną stopę
zwrotu w tym okresie z uwzględnieniem inflacji wynoszącej odpowiednio 2,5%, 3,6% oraz 2,4%.
Zad G. Zakłada się, że pewna maszyna co miesiąc traci 4% swojej wartości. Obliczyć a) ile procent wyjściowej
wartości będzie warta po 6-ciu, 12-stu i po 24 miesiącach użytkowania; b) po ilu miesiącach straci więcej niż
połowę swojej wyjściowej wartości. c) W praktyce okazało się, że po 2 latach maszyna jest warta 30% swojej
pierwotnej wartości. Ile faktycznie procent traciła średnio na miesiąc?
Zad. H. Przy systemie kapitalizacji prostej odsetki od lokaty wyniosły w dniu 1 października 66 zł. Obliczyć:
a) zdeponowaną na lokacie kwotę jeśli lokatę założono 24 lutego, a = 5,5%; b) oprocentowanie lokaty, jeśli
12 marca zdeponowano na nią 2 400 zł; c) czas założenia lokaty, jeśli zdeponowano 3 000 zł, a = 5,5%.
Zad. I. Na rachunek oszczędnościowy oprocentowany na 6% w skali roku wpłacono 1 maja 450 zł, 23 maja 350 zł,
15 czerwca 820 zł i 150 zł 30 czerwca. Obliczyć wartość kapitału na koncie w dniu 1 sierpnia: a) przy
kapitalizacji prostej; b) przy kapitalizacji kwartalnej; c) przy kapitalizacji miesięcznej z góry; d) przy
kapitalizacji ciągłej.
Zad. J. Rachunek oszczędnościowo – rozliczeniowy (ROR) oprocentowany jest na 2%, a kredyt na nim na -18%.
1 stycznia wpłacono na nie 1000 zł, 2 lutego wypłacono 450 zł, 20 lutego wpłacono 300 zł, 15 marca
wypłacono 1000 zł, 15 kwietnia wpłacono 800 zł. Obliczyć jego stan na dzień 1 maja, jeśli: a) obowiązuje
kapitalizacja prosta; b*) odsetki są dopisywane do stanu konta w ostatnim dniu każdego miesiąca.
Zad. K. Obliczyć efektywną roczną stopę procentową dla sumy 1000 zł ulokowanej na następujących lokatach:
a) lokata roczna, odsetki są dopisywane z dołu co kwartał, = 5%; b) lokata roczna, odsetki są dopisywane
z dołu co kwartał, = 5,5%, przy czym odsetki pomniejsza się o 20% podatek; c) lokata roczna, odsetki są
dopisywane z góry co miesiąc, = 5%, przy czym odsetki pomniejsza się o 20% podatek; d) lokata roczna,
odsetki są dopisywane z góry codziennie, = 4,5%; e*) lokata roczna, odsetki są dopisywane z góry
codziennie, = 9%, przy czym bank na koniec każdego miesiąca potrąca z niej 5 zł.
Zad. L. a) Znaleźć takie wartości stóp procentowych, aby dla każdej z lokat z zadania poprzedniego kwota 1000 zł
przyniosła praktycznie takie same odsetki jak przy kapitalizacji prostej dla = 6%. b) Jakich wpłat należy
dokonać na lokaty określone w poszczególnych podpunktach zadania poprzedniego, aby dla każdej z nich
otrzymać tyle samo, co w przypadku lokaty 1000 zł dla kapitalizacji prostej dla = 6%.
Zad. M. Spłata długu ma mieć postać renty składającej się z 30 równych rat płatnych a) co miesiąc z góry; b) co
kwartał z dołu; c) co kwartał z dołu, przy czym pierwsza rata jest płacona dopiero w drugim kwartale.
Obliczyć jakiej wielkości powinny być raty aby przy = 12% i modelu kapitalizacji miesięcznej spłacić 10
tys. zł długu.
Zad. N. Oprócz odsetek od kredytu kredytodawca do kosztów kredytu dolicza jednorazową prowizję w wysokości
5% przyznanego kapitału. Obliczyć wielkość rat przy warunkach określonych w zadaniu 11. a) jeśli jest to
prowizja od kapitału a) netto; b) brutto.
Zad. O. Pewna firma sprzedaje swój towar na kredyt, w postaci 12 miesięcznych rat przy = 6% (płatnych z
dołu) w wysokości 212 zł każda. Jaka powinna być wysokość tych rat by firma dostała za swój towar taką
samą (bądź maksymalnie zbliżoną) cenę, gdyby tych rat miało być a) cztery płatnych co kwartał b) dwie,
płatne po półrocznym okresie zawieszenia, w trzecim i czwartym kwartale. c) Ile miało by być tych rat, jeżeli
klient gotów jest płacić co miesiąc po 100 zł?
Zad. P. Aby zgromadzić kapitał na zakup mieszkania pewna osoba wpłacała na rachunek w pewnej kasie
oszczędnościowej co miesiąc (z dołu) 500 zł w pierwszym roku, 530 w drugim, 550 w trzecim i 600 w
czwartym. W pierwszym roku oprocentowanie rachunku wynosiło 4%, w drugim 3,5%, w trzecim 3,25%, w
czwartym 4%. a) Jaki jest stan oszczędności tej osoby pod koniec czwartego roku? b) O ile mniej ta osoba
zgromadzi, jeśli od przyznanych każdorazowo odsetek kasa oszczędnościowa potrąca 20% podatku.
Zad. Q. Kredyt oprocentowany na 12% spłacany jest w postaci 10 rocznych rat, przy czym a) pierwsza rata wynosi
1500 zł, a każda następna jest większa od poprzedniej o 200 zł. Jaka jest wartość końcowa tej renty? b) Jaka
będzie wartość końcowa tej renty jeśli każda kolejna rata będzie większa od poprzedniej o 5%?
Zad. R. Kredyt na 9% ma być spłacany w postaci 12 kwartalnych rat po 3648,66 zł każda. Obliczyć a) kwotę
kredytu; b) RROSO. c) Po dwóch latach oprocentowanie kredytu wzrosło o 3 punkty procentowe. Obliczyć
wielkość pozostałych czterech rat.
Zad. S. Ile kwartalnych rat (z góry) wysokości 800 zł oprocentowanych na 5% przy kwartalnej kapitalizacji z dołu
trzeba wpłacić, aby zgromadzić kapitał większy niż 95 tys. zł?
Przykładowy zestaw zadań egzaminacyjnych
Zad. 1. Pożyczka na kwotę 8 200 zł ma być spłacona w postaci 10 miesięcznych rat (z dołu, kapitalizacja
miesięczna) w wysokości 842 zł każda. Obliczyć oprocentowanie pożyczki a) nominalne b) rzeczywiste
roczne. c) Po sześciu miesiącach klient poprosił o zawieszenie pozostałych czterech rat na okres pół roku. O ile
w tej sytuacji powinny wzrosnąć pozostałe raty?
a)
= ,
%
=
=1+
b)
=
1+
= ,
!
% c)
=
"
!
+
#
$
∆& = 50,26
Zad. 2. Oprocentowanie lokaty (założonej 30 kwietnia, zlikwidowanej w pierwszym dniu nowego roku) było
zmienne i wynosiło: do końca czerwca 6%, od lipca do końca września 5,5%, od października i do końca
trwania lokaty 4%. Obliczyć kwotę odsetek od kapitału 3 tys. zł ulokowanego na tej lokacie przy systemie
kapitalizacji a) ciągłej; b) ciągłej, z uwzględnieniem iż potrąca się 20% podatku; c) miesięcznej z góry.
Obliczyć oprocentowanie efektywne roczne d) przy warunkach jak w podpunkcie a).
a) 102,98
b) 82,55
c) 103,21
d) () =
*
= 5,15%
Zad. 3. Wartość pewnego kapitału w ciągu pół roku kolejno wzrosła o 15%, następnie zmalała, by po ponownym
wzroście o 26% zwiększyć swą wyjściową wartość o 5%. a) Ile procent wynosił ten spadek? b) O ile procent
wzrosła realna wartość kapitału jeśli współczynnik inflacji rocznej był równy 3,8%?
a) 1,15 1 + + 1,26 =
1,05+ = −27,54%
b)
, .
/0,*%
1
= 1,0304
= 3,04%
Materiały do wykładu
Procent to jedna setna. 1% = 0,01. Promil to jedna tysięczna 1‰ = 0,001 = 0,1%. 4-procent od wartości +
to + ∙ 4 ∙ 0,01. Na przykład dwadzieścia trzy procent i cztery promile z 200 złotych to 200zł ∙ 0,234 = 46,8zł.
Zad. Pożyczkodawca udzielił pożyczkobiorcy kredyt wysokości 1500 zł. Po roku pożyczkobiorca zobowiązany
jest zwrócić pożyczkodawcy pożyczoną kwotę powiększoną o odsetki w wysokości 8% oraz sumę 60 zł
tytułem opłat manipulacyjnych. a) Ile wynosi suma odsetek? b) Jakie jest oprocentowanie tego kredytu, gdy
opłaty manipulacyjne potraktuje się jako część należnych odsetek?
Odp. a) 1500 ∙ 0,08 = 120. b) 1500 ∙ = 120 + 60, czyli
= 180/1500 = 0,12 = 12%.
Jeden procent to nie to samo co jeden punkt procentowy. Załóżmy, że oprocentowanie kredytu wynosiło poprzednio
8%, a obecnie wynosi 10%. Oznacza to, że oprocentowanie wzrosło o 25% w porównaniu do poprzedniej wartości
(10% = 1,25 ∙ 8%) albo o dwa punkty procentowe (z 8% na 10%). Można powiedzieć, że pojęcia procentu używa
się w kontekście operacji mnożenia i dzielenia, a pojęcia punktu procentowego w kontekście dodawania
i odejmowania.
Zad. Klient banku spłaca kredyt zaciągnięty na 12%. Ze względu na korzystną historię kredytową klienta bank
zgodził się zredukować wysokość odsetek o 20%. O ile punktów procentowych zmniejszono oprocentowanie?
Odp. 12% ∙ 1 − 0,2 = 9,6%. 12% − 9,6% = 2,4%.
Przy obliczaniu procentów ważne jest aby poprawnie ustalić wartość bazową, czyli od czego procent jest naliczany.
Załóżmy dla przykładu, iż bilet komunikacji miejskiej kosztował wcześniej 2 zł, a obecnie kosztuje 3 zł. W takiej
sytuacji można powiedzieć, że obecnie bilet kosztuje o 50% więcej niż poprzednio (3:ł = 2:ł + 0,5 ∙ 2:ł), ale także,
iż poprzednia cena biletu jest o 1/3 (czyli w przybliżeniu o 33% i 3‰) mniejsza niż obecnie. Inny wynik otrzyma
się w sytuacji, gdy wartością bazową jest wartość poprzednia, inny gdy wartość aktualna. W szczególności, gdy
wyjściowa cena towaru wzrośnie o 4%, a po jakimś czasie zmaleje o 4%, to końcowa cena będzie inna niż cena
początkowa. Na przykład, gdy wyjściowa cena to 100 zł, wzrost o 10% daje wartość 110 zł. 10% ze 110 to 11.
Spadek o 10% ze 110 zł oznacza, iż końcowa cena wynosić będzie 99 zł, a nie 100 zł.
Zad. Cena pewnego dobra uwzględnia koszty potrzebnych do jego wytworzenia surowców i produkcji, a także
koszty dystrybucji i podatku VAT. 60% ceny producenta to koszty zakupu surowców. Cena hurtownika to
cena producenta powiększona o 10%, detalisty to cena hurtownika powiększona o 15%. Na każdym etapie, do
tzw. ceny netto, dolicza się 23% podatku VAT, otrzymując cenę brutto. a) Obliczyć ceny netto hurtownika,
detalisty, cenę końcową brutto oraz koszty poniesione na zakup surowców, jeśli cena producenta netto tego
dobra wynosi 1350 zł. b) Każdy pośrednik płaci podatek VAT pomniejszony o sumę jaką łącznie zapłacili jego
poprzednicy. Obliczyć kwoty podatku VAT od tego dobra odprowadzaną kolejno przez: dostarczycieli
surowców, producenta, hurtownika i detalistę.
Odp. Wprowadźmy oznaczenia: ;< – cena oferowana przez producenta bez podatku VAT (netto), ;= - cena
hurtownika netto, ;> - cena detalisty netto, ; - cena surowców netto. a) ;= = ;< + ;< ∙ 0,1 = 1,1;< = 1485;
;> = 1,15;= = 1,15 ∙ 1485 = 1678,05. Cena końcowa jest ceną brutto detalisty: ;? = 1,23 ∙ 1678,05 =
= 2064,002 ≈ 2064. Użycie znaku przybliżenia wynika z tego, iż cenę określa się z dokładnością do jednego
grosza, czyli do dwóch miejsc po przecinku. Cena surowców to 60% ceny producenta: ; = 0,6 ∙ ;< = 810.
Podatek VAT płacony od surowców to 810 ∙ 0,23 = 186,3. Producent płaci VAT nie od ceny brutto po jakiej
sprzedaje produkt, ale od różnicy pomiędzy jego ceną a ceną surowców: 1350 − 810 ∙ 0,23 = 124,2.
Hurtownik: ;= − ;< ∙ 0,23 = 1485 − 1350 ∙ 0,23 = 31,05; detalista: ;> − ;= ∙ 0,23 = 44,4015
≈ 44,4. Łącznie podatek VAT od tego produktu to 385 zł i 95 groszy, czyli dokładnie tyle ile wynosi różnica
pomiędzy ceną końcową a ceną netto detalisty.
Pojęcie procentu związane jest z działaniami mnożenia i dzielenia. Dlatego w większości przypadków, gdy liczy
się średnią, używa się średniej geometrycznej, nie arytmetycznej. Na przykład, jeżeli lokata bankowa na początku
była oprocentowana na 5% w stosunku rocznym, w drugim roku trwania lokaty na 2%, a w trzecim na 0,5%, to kwota
ulokowana na takiej lokacie po roku byłaby warta
∙ 1,071, a po trzech
3 =
1 =
∙ 1,05, po dwóch latach
2 =
1 ∙ 1,02 =
∙ 1,076355. Oprocentowanie średnie roczne dla tej lokaty, to takie niezmienne
oprocentowanie ̅ , które dałoby taki sam rezultat w tym samym okresie. Czyli
∙ 1+ ̅
0
=
∙ 1,076355. Stąd,
C
po prostych przekształceniach otrzymuje się ̅ = B1,076355 − 1 ≈ 2,48%. Wynik ten jest inny niż w przypadku
średniej arytmetycznej, która w tym przypadku wynosi 2,5%.
Zad. Szacuje się, że światowa produkcja dóbr i usług w 1950 r. wynosiła 6 bln dol., a w 2000 43 bln dol. a) Jaki był
w tym okresie średni roczny wzrost tego wskaźnika? b) Zakładając, że wzrost ten utrzymałby się na tym
samym poziomie przez dalsze 50 lat, ile wynosiłaby światowa produkcja dóbr i usług w roku 2050?
Odp. a) 6bln 1 + ̅
.
H
= 43bln → ̅ = B43/6 − 1 ≈ 4,0175% b) 43bln 1 + ̅
.
≈ 308,17bln.
Zad. a) Koszty produkcji akumulatorów litowo-jonowych spadły w latach 2010-2015 o 65%. Jaki był średni roczny
spadek tych kosztów? b) Koszt zmagazynowania jednostki energii w tego typu bateriach w roku 2010 był
przeciętnie dwa i pół raza większy niż w 2015. Jaki był średni roczny spadek tych kosztów?
"
Odp. a) 1 + ̅ ! = 1 − 0,65 → ̅ = B0,35 − 1 ≈ −16,05%.
"
b) 2,5 = 1 + ̅ ! → ̅ = B2,5 − 1 ≈ 16,5%.
Zad. Przy systemie kapitalizacji miesięcznej bank zmieniał oprocentowanie rocznej lokaty. W pierwszym kwartale
= 6%, w drugim 3,5%, a w trzecim i czwartym kwartale = 2,5%. Ile wynosiło średnie oprocentowanie
lokaty?
Odp. 1 +
, ! 0
1+
, 0. 0
1+
,
. !
≈ 1,03685 ≈ 1 +
̅
→ ̅ ≈
1
B1,03685 − 1 ∙ 12 ≈ 3,62%.
Inflacja to proces ogólnego wzrostu cen, co skutkuje między innymi tym, iż za taką samą nominalnie kwotę z roku na
rok można nabyć coraz mniej towarów i usług. Jeżeli, przeciwnie, wartość nabywcza z roku na rok rośnie, mówi się
o deflacji. Na przykład, w roku 2012 w Polsce współczynnik inflacji wyniósł 3,7%, stąd kwota 10 000 zł pod koniec
roku 2012 miała wartość nabywczą taką jak
Ił
/ , 0J
≈ 9643,20 zł na początku tego roku. W roku 2015 miała
miejsce deflacja w wysokości 9‰. Stąd kapitał 10 000 zł w okresie przełomu 2014/15 roku miał wartość nabywczą
taką jak kapitał
/
,
Ił
K
≈ 10090,82:ł w analogicznym okresie przełomu lat 2015/16.
Zad. Ulokowano na lokacie na 3% w skali roku określony kapitał na okres 5 lat. Obliczyć a) nominalną stopę
zwrotu na koniec okresu trwania lokaty; b) realną roczną stopę zwrotu dla poszczególnych lat, jeśli
współczynnik inflacji w następujących po sobie latach wynosił odpowiednio: 4,3,%, 3,7%, 0,9%, 0%, -0,9%.
Odp. a) 1 = 0 1 + 0,03 ,
2 = 1 1,03 =
Po pięciu latach lokata przyniosła 15,93%. b) 1 ∙
0 1,03 , itd.: 5 = 0 1,03
≈ 0 ∙ 1,036. MNO = 3,6%.
, 0
/ , L0
.
≈
0 1,1593.
Zad. Obliczyć realny wzrost wartości dochodu jeśli w ciągu roku nominalnie, rok do roku, dochód ten wzrósł
o 1,8%, w połączeniu ze wskaźnikiem deflacji w wysokości 9‰.
Odp. P 1 = P 0 ∙
/ ,
,
*
K
≈ P 0 ∙ 1,0272. P 1 − P 0 ≈ 2,72%.
Reguła bankowa, stosowana często przez banki, opiera się na założeniu, że przy liczeniu oprocentowania z lokaty (lub
przy pobieraniu odsetek od kredytu), każdy miesiąc jest tak samo ważny. Czyli iż trwa dokładnie 30 dni, a cały rok
360 dni. Standardową praktyką, stosowaną przez banki, jest nie uwzględnianie dni założenia i likwidacji lokaty przy
dopisywaniu odsetek od niej. Natomiast w przypadku brania kredytu od banku dni te są uwzględniane. I tak, lokata
założona 26 lutego i zlikwidowana 5 maja trwa 4 dni w lutym (27, 28, 29,30), po 30 dni w marcu i kwietniu oraz
4 dni w maju. Okres dopisywania odsetek od kredytu jest o dwa dni dłuższy i wynosi 70 dni.
We wzorach stosowanych w matematyce finansowej czas podaje się w latach. W przypadku okresu mniejszych
niż rok czas podany będzie w postaci ułamka. Na przykład w poprzednim przykładzie czas dopisywania odsetek
od kredytu wynosi Q = 68/360 ≈ 0,1889, a czas trwania kredytu Q = 70/360 ≈ 0,1944.
Zad. 5. Używając funkcji programu Excel obliczyć czas pomiędzy 26 lutym, a 5 maja według reguły bankowej.
Odp. W programie Excel datę zapisuje się w formacie rok-miesiąc-dzień (na przykład 2014-02-26) lub dzień-mie,
gdzie mie to pierwsze trzy litery miesiąca (na przykład 26-lut, 1-cze, 11-lis itd.). Zapisujemy w dwóch różnych
komórkach daty 26-lut i 5-maj, przykładowo w komórkach A1 i B1. W osobnej komórce piszemy
=DNI.360(A1;B1). Czyli według reguły bankowej =DNI.360(A1;B1)-1. Komenda
=YEARFRAC(A1;B1) da taki sam rezultat jak komenda =DNI.360(A1;B1)/360.
Przy dopisywaniu odsetek istotne jest według jakiej reguły się to robi, czyli jaki jest model kapitalizacji. Kapitalizacja
prosta ma miejsce wtedy, gdy odsetki dopisuje się tylko od kapitału początkowego. Model kapitalizacji prostej stosuje
się najczęściej w przypadku krótkiego okresu kapitalizacji.
Kapitalizacja złożona to kapitalizacja dla której co dany okres odsetki dopisuje się do kapitału od którego oblicza się
odsetki. Kapitalizacja z dołu, to kapitalizacja złożona przy której odsetki dopisuje się do kapitalizowanej kwoty pod
koniec okresu kapitalizacji. Kapitalizacja z góry ma miejsce wtedy, gdy odsetki dopisuje się na początku okresu
kapitalizacji. W zależności od okresu kapitalizacji wyróżnia się kapitalizację roczną, półroczną, kwartalną,
miesięczną czy dniową. Przy określaniu systemu kapitalizacji obowiązuje konwencja, iż jeśli nie określa się czy
chodzi o kapitalizację prostą czy złożoną, to przyjmuje się domyślnie, iż chodzi o kapitalizację złożoną. Gdy
nie określa się czy kapitalizacja jest z dołu czy z góry, przyjmuje się domyślnie kapitalizację z dołu. Gdy nie podaje
się okresu kapitalizacji domyślnie przyjmuje się roczny okres kapitalizacji. I tak, zamiast używać określenia
kapitalizacja złożona z dołu z miesięcznym okresem kapitalizacji mówi się po prostu kapitalizacja miesięczna.
Przyjmując standardowe oznaczenia: Q - czas (wyrażany w latach);
R
=
Q – wartość kapitału w chwili Q;
S – liczba okresów kapitalizacji (w okresie jednego roku), otrzymuje się następujące wzory.
Kapitalizacja prosta –
Q =
0 1+ Q .
Modele kapitalizacji złożonej:
•
z dołu: odsetki są dopisywane pod koniec okresu kapitalizacji –
Q =
0 1 + /S
•
z góry (odsetki dopisuje się na początku okresu kapitalizacji) –
Q =
0 1 − /S
•
ciągły (odsetki dopisuje się według wzoru
Q =
OR
.
OR
.
0 T R ).
W praktyce, zamiast kapitalizacji dziennej, godzinnej czy sekundowej stosuje się kapitalizację ciągłą, gdyż jeśli
kapitalizacja jest odpowiednio częsta rezultat jest praktycznie taki sam, a wzór na kapitalizację ciągłą jest
X M
wygodniejszy w stosowaniu. Jest to prosta konsekwencja wzoru limM→W 1 + M
X
= limM→W 1 − M
M
= T X,
gdzie T ≈ 2,71828 – to stała Eulera, czyli podstawa logarytmu naturalnego.
Zad. Wpłacono na lokatę 1000 zł. Obliczyć wartość lokaty po 4 latach przy r=6,5% dla: a) modelu kapitalizacji
prostej; b) dla modelu kapitalizacji złożonej z dołu; c) dla modelu kapitalizacji z dołu z kwartalnym okresem
kapitalizacji; d) dla modelu kapitalizacji złożonej z góry z miesięcznym okresem kapitalizacji; e) dla modelu
kapitalizacji ciągłej.
Odp. a)
c)
e)
4 = 1000 1 + 0,065 ∙ 4 = 1260; b)
4 = 1000
4 = 1000T
, !. L∙L
1+ L
L∙ , !.
≈ 1294,22; d)
≈ 1296,93.
4 = 1000 1,065
4 = 1000 1 −
L
≈ 1286,47;
, !.
L*
≈ 1297,85;
Warto zauważyć, iż stosowanie kapitalizacji prostej w pełnych okresach oznacza mniejsze odsetki niż stosowanie
kapitalizacji złożonej z dołu, a kapitalizacja z dołu daje mniejsze odsetki niż kapitalizacja z góry. Na wielkość odsetek
wpływ ma też częstotliwość kapitalizacji. W przypadku kapitalizacji z dołu, czym częstsza kapitalizacja, tym odsetki
większe, w przypadku kapitalizacji z góry odwrotnie. Kapitalizacja ciągła daje większe odsetki niż kapitalizacja
z dołu, ale mniejsze niż kapitalizacja z góry. Chociaż w przypadku częstej kapitalizacji (jak dniowa czy minutowa)
różnica jest w gruncie rzeczy symboliczna. Zależność tą opisuje wzór:
R
1+
≤ 1+
0! R
0!
≤ ⋯ ≤ TR ≤ ⋯ ≤ 1 −
0! R
0!
≤⋯≤ 1−
1+
R
R
≤ 1+
R
≤ 1+L
LR
≤
. Na przykład, jeśli bank oferuje
kredyt na 12%, to kapitalizacja kredytu z dołu jest dla kredytobiorcy korzystniejsza niż kapitalizacja z góry. A gdy
wiadomo, iż odsetki od kredytu będą naliczane według kapitalizacji z góry, to czym częściej następuje kapitalizacja,
tym lepiej.
Efektywna stopa procentowa (lub inaczej rzeczywista roczna stopa oprocentowania) służy do porównania lokat bądź
kredytów bankowych. Jest to oprocentowanie dla której dana lokata dałaby odsetki takie same jak lokata przy
kapitalizacji rocznej. Na przykład, gdy nominalna stopa oprocentowania lokaty wynosi 7%, to gdy obowiązuje
kapitalizacja
1−
, J
półroczna
≈
z
góry,
jej
efektywna
stopa
oprocentowania
wynosi
7,385%,
gdyż
1 + 0,07385 .
FV – wartość przyszła (future value) i PV – wartość bieżąca (present value) to terminy odnoszące się do zmiany
wartości kapitału w czasie. Na przykład załóżmy, że kolega posiada weksel wystawiony na początku roku na kwotę
1000 zł oprocentowany na 10% przy kapitalizacji prostej, płatny przez wystawcę weksla pod koniec roku. Jego
wartość wynosić wtedy będzie [\ = 1100:ł. Kolega nie może czekać do końca roku na odzyskanie gotówki
i w trzecim miesiącu od jego wystawienia chce go nam odsprzedać. Ile jest on wart w chwili t, przy założeniu,
iż ryzyko niewykupienia weksla jest żadne? ]\ Q = 1000 ∙ 1 + 0,1Q . Czyli po trzech miesiącach będzie on wart
]\ 3/12 = 1000 ∙ 1 + 0,1 ∙ 0,25 = 1025. Wykupienie go od kolegi za kwotę mniejszą niż 1025 zł będzie dla nas
opłacalne.
Zad. Wartość lokaty za 9 miesięcy, przy systemie kapitalizacji kwartalnej i przy oprocentowaniu 4,5%, będzie
wynosić 3200 zł. Jaka jest jej wartość bieżąca?
]\ 1 + 0,045 ∙ L
0
= 3200:ł ⇒ ]\ = 3200:ł ∙ 1 + 0,045 ∙ L
0
≈ 3094,39:ł.
Prowizja za udzielenie kredytu (lub leasingu) to opłata pobierana w wysokości niewiększej niż 5% wartości kredytu.
Pożyczkodawca, przy takim oprocentowaniu może powiększyć swoją prowizję, jeżeli pobierze ją nie od samej kwoty
kredytu, ale od kwoty kredytu powiększonej o dodatkowe koszty. Prowizję tego typu nazywa się prowizją brutto.
Na przykład prowizja netto w wysokości 5% od kredytu na sumę 1000 zł to 50 zł. Prowizja brutto pobierana jest
od kwoty która pomniejszona o 5% będzie równa 1000 zł, czyli od 1000:ł/ 1 − 0,05 ≈ 1052,63:ł. Czyli prowizja
brutto w takim przypadku jest większa o 2,63 zł.
Renta (lub inaczej annuit) to strumień lub ciąg płatności (wpłat lub wypłat) dokonywanych w regularnych odstępach
czasu. Rata to pojedyncza płatność renty. Przykładem renty jest zbiór opłat abonamentowych, zbiór opłat z tytułu
należności czynszowych, płatności z tytułu podatku dochodowego czy raty kredytu. Ze względu na czas płatności
wyróżnia się raty płatne z dołu, to jest gdy płatności są kapitalizowane dopiero pod koniec okresu rozliczeniowego
lub raty płatne z góry, gdy raty są kapitalizowane od razu. Ze względu na wielkości rat rozróżnia się w szczególności
renty z ratami o nieregularnych wielkościach, o ratach stałych i ratach malejących. Przy obliczaniu wartości przyszłej
renty z równymi ratami wykorzystuje się wzór 1 + _ + _ + ⋯ + _ M
=
`a
`
. Na przykład, jeśli na początku
każdego miesiąca wpłaca się taką samą kwotę & na konto oprocentowane na
miesięcznej, to na początku drugiego miesiąca stan konta wynosi & 1 +
& 1+
M
&
+& 1+
− 1 , gdzie
& 1+
wynosi
&
M
+
M
+ &, a na początku 4 −tego miesiąca & 1 +
=1+
+ &, na początku trzeciego
+ ⋯+ & 1 +
a
+& =&
=
. Przy kapitalizacji miesięcznej z góry na początku drugiego miesiąca stan konta
+& 1+
+ ⋯+ 1 = &
M
przy systemie kapitalizacji
= &
a
+1 ,
M
=&
a
po
&
n- miesiącach
M
+&
M
+ ⋯ + & =
−1 .
Zad. Kredyt na kwotę 10 000 zł oprocentowany na 14% przy kapitalizacji ciągłej ma być spłacony w postaci 8
kwartalnych równych rat, przy czym pierwsza rata płacona jest a) pod koniec pierwszego kwartału;
b) na początku kwartału. Obliczyć wielkość rat.
Odp. a) Kredyt ma być spłacony w przeciągu dwóch lat. Wartość przyszła kapitału 10 000 po dwóch latach to
[\ = 10000 ∙ T , L∙ ≈ 13231,30. Wielkości rat mają być takie, aby wartość przyszła renty była praktycznie
równa tej kwocie. Pierwsza rata będzie oprocentowana przez dwa lata bez trzech miesięcy, stąd wartość
przyszła raty o wielkości & wynosi &T
i ostatniej &. Podstawiając _ = T
=&
`c
`
, L∙
≈ & ∙ 9,071658. Stąd & =
$
, L∙
b
$
, drugiej &T
, L∙
"
$
, trzeciej &T
H
$
, L∙
, itd. Przedostatniej &T
, L∙
otrzymujemy [\ = & _ J + _ ! + ⋯ + _ + 1 =
0 0 ,0
K, J !.*
≈ 1458,53.
b) Ostatnia rata zostanie zapłacona po 21 miesiącach, stąd [\ = 10000 ∙ T
, L∙J/*
warunki i czas oprocentowania rat są takie same jak w podpunkcie a), stąd & =
≈ 11303,19. Jako iż
0 0, K
K, J !.*
≈ 1245,99.
$