Statystyka - Ćwiczenia Arkusz 12a

Wydział Zarządzania - Statystyka - Ćwiczenia
Arkusz 12a - ESTYMACJA PRZEDZIAŁOWA
Zadanie 1. Co to jest przedział ufności i do czego jest przydatny? Co to jest poziom ufności?
Zadanie 2. Wyjaśnij dlaczego klasyczna statystyka nie pozwala określać przedziału ufności
jako przedziału do którego szacowany parametr należy z określonym prawdopodobieństwem?
Przedziały ufności dla µ, gdy znane jest σ.
Zadanie 3. Pośrednik w handlu nieruchomościami chce oszacować średnią wartość domu
mieszkalnego o określonej powierzchni w pewnej dzielnicy. Pośrednik jest przekonany, że
standardowe odchylenie wartości domu σ = 5500 $ i że rozkład wartości domów jest w przybliżeniu normalny. W losowej próbie 16 domów średnia wyniosła x = 89673, 12 $. Wyznacz
95% przedział ufności dla średniej wartości domu w tej dzielnicy.
Zadanie 4. W zadaniu 3 przyjmij. że poszukiwany jest 99% przedział ufności. Wyznacz
nowy przedział ufności i porównaj go z przedziałem odpowiadającym 95% poziomowi ufności.
Zadanie 5. Producent samochodów chce oszacować średnie zużycie paliwa przez nowy model
samochodu, mierzone ilością mil przejechanych na autostradzie na jednym galonie benzyny.
Z doświadczeń z podobnymi modelami producent wie, że odchylenie standardowe zużycia
paliwa wynosi 4,6 (mil/galon). Pobrano 100-elementową próbę przebiegów nowego modelu
na tej samej autostradzie i stwierdzoni, że średnio samochód przejeżdżał na jednym galonie
benzyny 32 mile. Ustal 95% przedział ufności dla średniej liczby kilometrów, jaką nowy model
samochodu może przejechać na danej autostradzie na jednym galonie benzyny.
Zadanie 6. Czy w zadaniu 5 musimy zakładać, że zmienna ”liczba kilometrów przejechanych
na jednym galonie benzyny” ma rozkład normalny? Odpowiedź uzasadnij.
Zadanie 7. Importer win musi ustalić średni procent alkoholu w butelkach nowego francuskiego wina. Z poprzednich doświadczeń wie on, że odchylenie standardowe tej zmiennej
wynosi 1, 2%. Importer wybiera losowo 60 butelek i stwierdza, że średnia z próby x = 9, 3%.
Ustal 90% przedział ufności dla średniego procentu alkoholu w butelkach nowego importowanego wina.
Zadanie 8. Firma rozważa zainstalowanie faksu w jednym ze swoich biur. Przed podjęciem
decyzji szef firmy chce oszacować przeciętną liczbę dokumentów, która będzie wysyłana za
pomocą zainstalowanego urządzenia. Na podstawie obserwacji innych biur firmy szef uważa,
że standardowe odchylenie liczby dokumentów wysyłanych dziennie za pomocą faksu wynosi 32. Jest też przekonany, że liczba dokumentów wysyłanych dziennie w ten sposób jest
zmienną losową o rozkładzie normalnym. Zbadano 15 losowo wybranych dni. Średnia liczba
wysyłanych dziennie dokumentów okazała się równa 267 sztuk. Ustal 99% przedział ufności
dla przeciętnej liczby dokumentów wysyłanych dziennie z tego biura, o ile faks zostałby w
nim zainstalowany.
Zadanie 9. Przy danych do zadania 8 rozpatrz sytuację, w której szef firmy byłby zainteresowany zainstalowaniem faksu, gdyby mógł mieć zaufanie do tego, że przeciętna liczba
dokumentów wysyłanych dziennie przekroczy 245 sztuk. Czy wynik uzyskany w zadaniu 8
usprawiedliwiałby zainstalowanie faksu? Odpowiedź uzasadnij.
Przedziały ufności dla µ, gdy σ nie jest znane.
Zadanie 10. Firma telefoniczna chce oszacować przeciętną długość rozmów międzymiastowych w czasie weekendu. Z losowej próby 50 rozmów otrzymano średnią x = 14, 5 minuty
1
Wydział Zarządzania - Statystyka - Ćwiczenia
przy odchyleniu standardowym z próby s = 5, 6 minuty. Wyznacz 95% przedział ufności dla
średniej długości rozmów międzymiastowych w czasie weekendu.
Zadanie 11. Firma ubezpieczeniowa zajmuje się przypadkami nadużyć w lecznictwie i jest
zainteresowana oszacowaniem przeciętnej wartości odszkodowania żądanego od lekarzy pewnej specjalności. Zbadano 165 losowo wybranych przypadków, wśród których średnia wartość
żądanego odszkodowania x wyniosła 16530 $. przy odchyleniu standardowym s = 5542$.
Wyznacz przedziały ufności dla przeciętnej wartości odszkodowania przy poziomach ufności
95% i 99%.
Zadanie 12. Producent opon chce oszacować przeciętny przebieg (w milach) opony okreslonego typu przed całkowitym zużyciem. Pobrano próbę 32 opon i jeżdżono na nich aż
do całkowitego zużycia, notując liczbę mil przebiegu każdej opony. Otrzymano następujące
wyniki (w tys. mil):
32, 33, 28, 37, 29, 30, 25, 27, 39, 40, 26, 26, 27, 30, 25, 30, 31, 29, 24, 36, 25, 37, 37, 20, 22,
35, 23, 28, 30, 36, 40, 41.
Wyznacz 95% przedział ufności dla przeciętnej liczby mil, jaką można przejechać na oponie
tego typu.
Zadanie 13. Firma Pier 1 Imports zajmuje się detaliczną sprzedażą mebli i innych sprzętów
domowych w całym kraju. Od czasu do czasu firma przeprowadza badania ankietowe wśród
swoich klientów wybierając ich losowo na zasadzie losowania kodów pocztowych. W jednym
z badań klienci byli proszeni o ocenę stołu importowanego z Tajlandii, w skali od 0 do 100.
Oceny 25 klientów wypadły następująco:
78, 85, 80, 89, 77, 50, 75, 90, 88, 100, 70, 99, 98, 55, 80, 45, 80, 76, 96, 100, 95, 90, 60, 85, 90.
Wyznacz 99% przedział ufności dla podawanej przeciętnie przez klientów firmy oceny stołu.
Zadanie 14. Szkła kontaktowe mogą wywoływać podrażnienie gałki ocznej z powodu gromadzenia się substancji białkowej na powierzchni soczewek. Nowa technologia zapowiada
uporanie się z tym problemem. Na soczewkę nakłada się warstwę polimeru, która nie pozwala
proteinom znajdującym się we łzach gromadzić się na soczewce. Warstwa polimeru musi mieć
średnią długość 10 atomów. Zbadano próbę 15 miejsc wybranych losowo na soczewce pokrytej
polimerem i stwierdzono następujące grubości warstwy polimeru (mierzone w atomach):
9, 9, 8, 11, 12, 10, 9, 8, 13, 12, 10, 11, 10, 9, 7.
Wyznacz 90% przedział ufności dla przeciętnej grubości warstwy polimeru na soczewce. Czy
żądana grubość warstwy (10 atomów) leży wewnątrz przedziału ufności? Wyjaśnij znaczenie
odpowiedzi.
Przedziały ufności dla wariancji w populacji, σ 2 .
Zadanie 15. Czas obsługi w okienku bankowym nie powinien mieć dużej wariancji, gdyż w
przeciwnym przypadku kolejki maja tendencję do rozrastania się. Bank regularnie sprawdza
czas obsługi w okienkach, by oceniać jego wariancję. Obserwacja 22 czasów obsługi losowo
wybranych klientów dała s2 = 8 minut2 . Wyznacz 95% przedział ufności dla wariancji czasu
obsługi w okienku bankowym.
Zadanie 16. W losowej próbie 60 kont bankowych stwierdzono wariancję stanu kont równą
1228. Wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji stanów kont.
2
Wydział Zarządzania - Statystyka - Ćwiczenia
Zadanie 17. Przy założeniach zadania 12 wyznacz 99% przedział ufności dla wariancji liczby
mil, które można przejechać na oponie.
Wyznaczanie liczebności próby.
Zadanie 18. Firma zajmująca się analizą rynku chce przeprowadzić badania ankietowe w
celu oszacowania wydatków na rozrywki przez przeciętnego kuracjusza odwiedzającego popularne uzdrowisko. Osoba, która zleca badania, chciałaby znać te wydatki z przybliżeniem nie
większym niż 120 $, przy poziomie ufności 95 %. Na podstawie dotychczasowych obserwacji
działalności uzdrowiska odchylenie standardowe w populacji, σ, szacuje się na 400 $. Jaka
jest minimalna wymagana liczebność próby?
Zadanie 19. Ile prób trzeba wykonać do oszacowania średniego przebiegu samochodu na
autostradzie przy zużyciu 1 galona benzyny z dokładnością do 2 mil, jeżeli ma być osiagnięty
95% poziom ufności, a wstępna ocena wariancji w populacji przebiegów (zużywających 1
galon) wynosi około 100 mil?
Zadanie 20. Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania przeciętnej stopy przychodu z pewnej lokaty kapitału (w procentach rocznie) z dokładnością do 0, 5%, przy
95% poziomie ufności. Standardowe odchylenie tej stopy przychodu szacowane jest na 2%
rocznie.
3