STATYSTYKA MATEMATYCZNA Zestaw 3. Estymacja przedziałowa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Zestaw 3. Estymacja przedziałowa
Zadanie 1. W celu oszacowania średniej wydajności pracy (w sztukach na 8 godzin), dokonano czterech niezależnych pomiarów i uzyskano następujące wyniki: 35, 36, 35.5, 37. Zakładamy, że
wydajność pracy X ma rozkład normalny N (m, σ 2 = 100). Wyznacz przedziały ufności dla średniej wydajności pracy przyjmując współczynniki ufności odpowiednio: 0.95, 0.90, 0.99. Rozwiąż to
zadanie również przy założeniu, że X ma rozkład normalny N (m, s) o nieznanym odchyleniu s.
Zadanie 2. Dokonano niezależnie n = 12 pomiarów wartości kwoty zakupów na stoisku kosmetycznym i otrzymano następujące wyniki:
65.14, 35.12, 55.28, 45.34, 25.32, 47.27, 15.43, 9.34, 23.28, 64.31, 37.39, 22.35.
Zakładając, że rozkład wyników kwoty zakupów na tym stoisku jest normalny, wyznaczyć przedziały ufności ze współczynnikami ufności: 0.95, 0.99, 0.90 dla przeciętnej kwoty zakupów na tym
stanowisku.
Zadanie 3. W próbie losowej obejmującej 100 kwitów kasowych z pewnego sklepu okazało się, że
średnia arytmetyczna kwoty zakupu wynosi 814.50zł. zaś odchylenie standardowe kwoty zakupu
jest równe 351zł. Na poziomie ufności 0.95 wyznaczyć przedział ufności dla wartości oczekiwanej
kwoty zakupu.
Zadanie 4. Na podstawie próby losowej z obszernej bazy danych zakłady wodociągowe stwierdziły,
że należności u 120 odbiorców zalegających z opłatą za wodę wynoszą średnio 61.35 zł z odchyleniem standardowym równym 14.55 zł. Wyznacz realizację 95% przedziału ufności dla przeciętnej
należności odbiorców zalegających z opłatą.
Zadanie 5. Jedna z agencji badających opinię publiczną ogłosiła, że przebadała reprezentatywną
próbę 1000 osób, z których 57% poparło pomysł zakazu jedzenia frytek z majonezem. Uznając, że
mamy do czynienia z rozkładem dwupunktowym (popierania lub nie), skonstruuj 90% przedział
ufności dla proporcji obywateli popierających zakaz jedzenia frytek z majonezem.
Zadanie 6. Zapytano 2500 losowo wybranych przedstawicieli rodzin, kto podejmuje poważniejsze
decyzje finansowe. W 36% tych rodzin decyzje podejmuje małżonek. Jaki jest 99% przedział ufności
dla odsetka rodzin, w których decyzje podejmuje małżonek?
Zadanie 7. W czasie sondażu przed wyborami okazało się, że w grupie 1200 losowo wybranych
osób w wieku 18 lat i więcej, 720 osób zamierza wziąć udział w wyborach. Zakładając, że frekwencja
osób zamierzających wziąć udział w wyborach jest zmienną losową, przy współczynniku ufności
0.99 zbuduj przedział ufności dla nieznanego odsetka ogółu mieszkańców zamierzających wziąć
udział w głosowaniu.
Zadanie 8. W losowo wybranej próbie 100 studentów 40 osób mieszkało na stałe w Katowicach.
Przyjmując współczynnik ufności na poziomie 0.90 oszacuj przedziałowo udział studentów mieszkających na stałe poza Katowicami wśród ogółu studentów.
Zadanie 9. Czas produkcji wyrobu jest normalny. Czas produkcji wyrobu 5 losowo wybranych
sztuk kształtował się następująco (w sekundach): 5.1, 4.9, 4.8, 5.3, 4.9. Przyjmując współczynnik
ufności na poziomie 0.98, oszacuj wariancję czasu produkcji ogółu wytwarzanych wyrobów.
Zadanie 10. Rozkład wagi tabliczki czekolady jest normalny. Na podstawie losowej próby 120 tabliczek czekolady otrzymano średnią wagę równą 95g oraz odchylenie standardowe 10g. Przyjmując
współczynnik ufności na poziomie 0.90, oszacuj przedziałowo odchylenie standardowe w rozkładzie
wagi wszystkich tabliczek czekolady.
Zadanie 11. Miesięczne wydatki na książki i gazety studentów pewnej uczelni można uznać za
cechę o rozkładzie N (20, σ). Na podstawie 10-elementowej próby losowej otrzymano wariancję s2 =
19.36 zł2 . Wyznacz przedział ufności dla odchylenia standardowego tych wydatków, na poziomie
ufności 1 − α = 0.9.
Zadanie 12. Struktura wieku inwestorów giełdowych w pewnej grupie zawodowej jest następująca:
Wiek w latach
Liczba osób
15–25
2
25–35
5
35–45
10
45–55
9
Zakładając, że wiek ma rozkład normalny, wyznaczyć przedział ufności dla wariancji wieku na
poziomie ufności 1−α = 0.99. Jak zmienią się granice tego przedziału, gdy przyjmiemy 1−α = 0.95?
Zadanie 13. Współczynnik inteligencji w próbie liczącej 17 studentów ma wariancję 123. Na
poziomie ufności 0.98 wyznaczyć przedział ufności dla wariancji współczynnika inteligencji ogółu
studentów.
Zadanie 14. Badanie 10 gospodarstw domowych w pewnym mieście dotyczyło wysokości miesięcznych opłat za energię elektryczną. Rozkład wysokości opłat jest N (m, 30) zł. Ile gospodarstw
powinno się wylosować do próby, aby oszacować średnią wysokość opłat miesięcznych z maksymalnym błędem szacunku 5 zł. na poziomie ufności 1 − α = 0.98?
Zadanie 15. Firma zajmująca się analizą rynku chce przeprowadzić badania ankietowe w celu oszacowania wydatków na rozrywki przez przeciętnego kuracjusza odwiedzającego popularne
uzdrowisko. Osoba która zleca badania, chciałaby znać te wydatki z przybliżeniem nie większym
niż 220, przy poziomie ufności 99%. Na podstawie dotychczasowych obserwacji działalności uzdrowiska odchylenie standardowe w populacji σ, szacuje się na 300. Jaka jest minimalna wymagana
liczebność próby?
Zadanie 16. Firma jest przekonana, że jej udział w rynku pewnego produktu wynosi około 14%.
Znajdź minimalną wymaganą liczebność próby do oszacowania rzeczywistego udziału z dokładnością do 5%, przy 90% poziomie ufności.
Zadanie 17. Wyznaczyć minimalną liczebność próby do oszacowania średniego wzrostu uczniów
w klasach piątych szkół podstawowych, jeżeli w próbie wstępnej liczącej 10 uczniów, otrzymano
następujące wyniki (w cm): 125, 150, 145, 130, 155, 140, 160, 125, 155, 135. Zakładamy dopuszczalny
błąd szacunku 5 cm, przy współczynniku ufności 0.95.
Zadanie 18. Zmierzono wytrzymałość 10 losowo wybranych gotowych elementów konstrukcji budowlanych i otrzymano następujące wyniki: 383, 284, 339, 340, 305, 386, 378, 335, 344, 346. Zakładając, że wytrzymałość tych elementów ma rozkład normalny (o nieznanych parametrach), wyznacz
95% realizację przedziałów ufności dla wartości oczekiwanej oraz wariancji.
Zadanie 19. W zakładzie pracy dla 16 wybranych losowo pracowników otrzymano następujące
informacje o zatrudnionych:
Wiek pracowników
Liczba pracowników
20-24
4
24-28
6
28-32
4
32-36
2
1. Zakładając, że rozkład wieku jest normalny, wyznacz przedział ufności dla przeciętnego wieku
pracowników tego zakładu, jeśli poziom ufności wynosi 0.98.
2. Traktując powyższe dane jako wyniki wstępnej próby, oblicz jaka powinna być liczebność
próby, by oszacować przeciętny wiek pracownika z dopuszczalnym błędem oceny 2 lata na
poziomie ufności 0.98.
WYBRANE ODPOWIEDZI
Odpowiedź 1. σ 2 = 100: P(27.65073 ¬ m ¬ 44.09927) = 0.90, P(26.07518 ¬ m ¬ 45.67482) =
0.95, P(22.99585 ¬ m ¬ 48.75415) = 0.99.
σ 2 nieznane: P(34.87022 ¬ m ¬ 36.87978) = 0.90, P(34.51623 ¬ m ¬ 37.23377) = 0.95,
P(33.38119 ¬ m ¬ 38.36881) = 0.99.
Odpowiedź 2. P(27.46982 ¬ m ¬ 46.79184) = 0.90, P(25.29058 ¬ m ¬ 48.97109) = 0.95,
P(20.42307 ¬ m ¬ 53.83860) = 0.99.
Odpowiedź 3. P(744.5031 ¬ m ¬ 884.4969) = 0.95.
Odpowiedź 4. P(58.70895 ¬ m ¬ 63.99105) = 0.95.
Odpowiedź 5. P(0.5442487 ¬ p ¬ 0.5957513) = 0.9.
Odpowiedź 6. P(0.335272 ¬ p ¬ 0.384728) = 0.99.
Odpowiedź 7. P(0.5635723 ¬ p ¬ 0.6364277) = 0.99.
Odpowiedź 8. P(0.319419 ¬ p ¬ 0.480581) = 0.9.
Odpowiedź 9. P(0.01205118 ¬ σ 2 ¬ 0.53852203) = 0.98.
Odpowiedź 10. P(9.082758 ¬ σ ¬ 11.250212) = 0.9, aproksymacja rozkładem normalnym:
P(9.040162 ¬ σ ¬ 11.187870) = 0.9.
Odpowiedź 11. P(3.382717 ¬ σ ¬ 7.630438) = 0.9.
Odpowiedź 12. P(46.88044 ¬ σ 2 ¬ 209.13239) = 0.99, P(54.12524 ¬ σ 2 ¬ 167.68651) = 0.95.
Odpowiedź 13. P(65.3439 ¬ σ 2 ¬ 359.7597) = 0.98.
Odpowiedź 14. 195.
Odpowiedź 15. 13.
Odpowiedź 16. 131.
Odpowiedź 17. Wstępnie 25, po sprawdzeniu 27.
Odpowiedź 18. P(320.5297 ¬ m ¬ 367.4703) = 0.95, P(509.2845 ¬ σ 2 ¬ 3587.6306) = 0.95.
Odpowiedź 19. P(24.39752 ¬ m ¬ 29.60248) = 0.98.
Wstępnie 22, po sprawdzeniu 25.